Hướng dẫn giải các dạng toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đặng việt đông

Khi đó: a Nếu tồn tại một điểm sao cho thì số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên K.. b Nếu tồn tại một điểm sao cho thì số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên K.. 1.

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

I Định nghĩa.

Giả sử hàm số xác định trên tập K Khi đó:

a) Nếu tồn tại một điểm sao cho thì số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên K Kí hiệu:

b) Nếu tồn tại một điểm sao cho thì số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên K Kí hiệu:

II Nhận xét.

1.Như vậy để có được M (hoặc m) là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên K ta phải chỉ

ra được :

b) Tồn tại ít nhất một điểm sao cho ( hoặc )

2 Chú ý khi nói đến giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số (mà không nói rõ “trên tập K’’)thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của nó

3 Mỗi hàm số liên tục trên đoạn thì đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó Hơn nữa

4 Cho phương trình f x m với yf x  là hàm số liên tục trên D thì phương trình có nghiệm khi



min

x D f x f a



max



min

c) Xét trên hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

d) Xét hàm số trùng phương trên tập xác định

+ Khi thì hàm số đạt được giá trị nhỏ nhất đồng thời bằng giá trị cực tiểu của hàm số

+ Khi thì hàm số đạt được giá trị lớn nhất đồng thời bằng giá trị cực đại của hàm số

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN

Phương pháp: Cho hàm số yf x  xác định và liên tục trên a; b 

- Tính f ' x , giải phương trình   f ' x  tìm nghiệm trên 0 a, b 

- Giả sử phương trình có 2 nghiệm x , x1 2a, b

Câu 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

3 233

3

y  ,

 0;2 

5min

;3

;3

2 2

;3

;3

2 2

;3

;3

2 2

;3

;3

2 2

1

2

x y

;3

2 2

x y

Câu 10.Gọi m là giá trị nhỏ nhất và M là giá trị lớn nhất của hàm số y2x3 3x21 trên đoạn

1 0;38

x y

Câu 15. Cho hàm số yx33x2 Gọi 3 M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

hàm số trên đoạn  1;3 Tính giá trị T M m

A. Có giá trị nhỏ nhất tại x  1 và giá trị lớn nhất tại x 1

B.Có giá trị nhỏ nhất tại x 1 và giá trị lớn nhất tại x  1

C. Có giá trị nhỏ nhất tại x  1 và không có giá trị lớn nhất

D. Không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất tại x 1

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Hàm số liên tục trên 1;1 

Ta có y 3x2 m2 1 0với mọix  0;1 nên hàm số luôn đồng biến trên  0;1

Vì hàm số đã cho là hàm đa thức, liên tục trên  0;1 nên

Câu 21 Cho hàm số yx33x Tìm tìm tập hợp tất cả giá trị 1 m  , để giá trị nhỏ nhất của hàm 0

số trên Dm1;m2 luôn bé hơn 3 là

Câu 22 Cho hàm số yx42x2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 1 1; 2

Trên đoạn 1; 2, giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5 tại x 2.

Câu 24.Cho hàm số y  f x  liên tục trên đoạn 2;2

  và có đồ thị trên đoạn 2;2 như sau:.

Hàm số không liên tục trên đoạn 1; 2 Loại đáp án A.

Hàm số không liên tục trên đoạn  0;1  Loại đáp án B

Ta có

 2

30

Câu 32. Kí hiệu m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 3

x y x





 trên đoạn [1;4] Tính giá trị biểu thức d M m

 Suy ra hàm nghịch biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số

nghịch biến trên đoạn [1;4] Vậy m y 4 1;M  y 1 4d M m  4 1 3

Câu 33. Gọi M n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số , ( ) 2

Câu 34.Gọi Q là giá trị lớn nhất và K là giá trị nhỏ nhất của hàm số

211

x y x





 trên đoạn  1; 2 Khi

đó giá trị của biểu thức 24 27 1997

1; 2

m y

m m

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

Do đó trên đoạn 2; 4 hàm số nghịch biến Suy ra  f  2  f  4

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 2; 4 là   2 2 1

2

m f

Lưu ý Nếu m 2;4 thì hàm số không có giá trị lớn nhất

Câu 38.Tìm tất cả giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số   2 1

Nếu    m 3 0 m thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó, do đó GTNN 3của hàm số trên đoạn

x m y

x m y

Ta có:

2

2 0,1

x y

 

 

0;4miny 3

1 0; 4

x y

y , y 1 3,  24

45

0 1; 22

y 

Câu 46.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

253

x y x

x y x

3 2;4

x y

02

21

7max





 trên đoạn 0; 3 

y x

y x

 

10

B.Có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất

C. Có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất

D. Không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Câu 57.Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 2x4 6x

trên đoạn 3; 6 Tổng M m có giá trị là:

 từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là Min y f  3  0

Câu 61.Hàm số y4 x22x 3 2x x đạt giá trị lớn nhất tại hai giá trị  2 x x Tính1, 2 x x 1 2

Suy ra hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x1 1 2,x2  1 2 Do đó, x x   1 2 1

Câu 62. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y5sinxcos 2x là:

 1 4

g    ; g 1 6 ;

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 4

Câu 63. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y2 cos2 x4 cosx

Ta có : y2 cos2x4 cosx 2 cos x122

Vì  1 cosx10cosx 1 2 0cosx12 4 Do đó :  2 y6

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là y  2 khi cosx   1

Câu 64. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ycos2x4cosx1

Câu 65. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 9 2 1

Câu 66.Cho hàm số y 3cosx4sinx8 với x0; 2 Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và, giá trị nhỏ nhất của hàm số Khi đó tổng M m bằng bao nhiêu?

232

- Ta có bảng biến thiên hàm số trên [1; 1]:

- Từ bảng biến thiên ta suy ra:

y

y

21

y y

112

y y

212

max

.min

y y

Từ đây suy ra:

Câu 72. Giá trị lớn nhất của hàm số f x  ln x

Với x1;e thì f ' x  0 hàm số đồng biến trên nửa khoảng 1; e 

Với xe;3 thì f ' x 0 hàm số nghịch biến trên nửa khoảng e;3.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  1;3 là f e  1

max

.min

y y

Câu 77. Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [–1; 2] là:

 trong đó m n, là các số tự nhiên Tính S m22 n3

  



x y

x x x

Yêu cầu bài toán  m  3 2

Câu 80.Với giá trị nào của tham số m thì phương trình x 

A 2  m  2 B 2  m  2 2 C

Hướng dẫn giải:

Câu 81. Cho x, y là các số thực thỏa mãn xy x 1 2y2 Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 2   

DẠNG 2: GTLN, GTNN TRÊN MỘT KHOẢNG, NỬA KHOẢNG

Phương pháp: Xét khoảng hoặc nửa khoảng D

- Tính f ' x , giải phương trình f ' x 0 tìm nghiệm trên D.

- Lập BBT cho hàm số trên D.

- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN.

Câu 1.Trên khoảng (0; +) thì hàm số y x33x1

A.Có giá trị nhỏ nhất là miny3. B.Có giá trị lớn nhất là maxy 1.

C.Có giá trị nhỏ nhất là miny 1. D.Có giá trị lớn nhất là maxy3.

Do đó, maxy3 và không tồn tại min y

Câu 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số yx4

40



x

22

Dựa vào bảng biên thiên ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số là 4







x y

Chọn đáp án D

Ta có

2 2

Ta có bảng biến thiên

Câu 7.Tìm giá trị nhỏ nhất ymin của hàm số y2 3x.

1( )

( )3

22

6726

Vì x  ; 0nên ta lấy x 3, loại x3.

Ta có bảng biến thiên như sau

Từ bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của hàm số trên ;0là 6.

Câu 12. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 4 2

1'

12

DẠNG 3: ỨNG DỤNG GTLN, GTNN VÀO GIẢI TOÁN THỰC TẾ

Câu 1: Hình chữ nhật có chu vi không đổi là 8 m Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật đó là:

Câu 3: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 24cm Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình

vuông cạnh bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm) rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới

đây để được một cái hộp không nắp Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất

Có   

3 3

Dựa vào bảng biên thiên ta có V x  lớn nhất khi x  3 3

Câu 5: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 18 cm Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để

được một cái hộp không nắp Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất

dùng để đựng nước Hỏi bác thợ hàn phải cắt cạnh hình vuông bằng bao nhiêu sao cho khối hộp chứa được

384 cm Biết rằng trang giấy được canh lề trái là 2 cm, lề phải là 2 cm, lề trên

3 cm và lề dưới là 3 cm Tìm chiều dài và chiều rộng của trang sách để trang sách

có diện tích nhỏ nhất

A. Chiều dài: 32 cm và chiều rộng: 12 cm

B.Chiều dài: 24 cm và chiều rộng: 16 cm

C. Chiều dài: 40 cm và chiều rộng: 20 cm

D. Chiều dài: 30 cm và chiều rộng: 20 cm

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B

Gọi x , y là chiều dài và chiều rộng của trang chữ

Theo đề bài ta có: xy 384 Ta cần tìm x , y sao cho x4y6 đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 7: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày

xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là   2 3

Câu 8: [2D1-3]Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một bồn nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp

đứng đáy là hình chữ nhật có chiều rộng là xm, chiều dài gấp 2 lần chiều rộng và không nắp, có chiều cao là hm, có thể tích là 4

Câu 9: Một chất điểm chuyển động theo phương trình S 2t318t22t trong đó 1, t tính bằng giây  s và S tính bằng mét  m Thời gian vận tốc chất điểm đạt giá trị lớn nhất là

thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất

360024,0'30

x x

G x x

Khoảng cách từ A đến B là 9 km Vị trí C trên đoạn AB sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền

ít nhất Khi đó C cách A một đoạn bằng bao nhiêu ?

Câu 12: Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12 cm và chiều rộng 8 cm Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho góc ở đỉnh của nó chạm với đáy như hình vẽ Khi độ dài nếp gấp là nhỏ nhất thì giá trị nhỏ nhất đó là bao nhiêu

Câu 13: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C khoảng cách

ngắn nhất từ C đến B là 1 km Khoảng cách từ B đến A là 4 Mỗi km dây điện đặt dưới nước là

dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất?

13km

10km

19km

Muốn ít tốn kém chi phí nhất ta cần tìm x để ymin

x y

4

13nhan4

Vẽ lại hình vẽ thì ta có hình vẽ đơn giản hóa như sau:

Câu 14: Đường cao tốc mới xây nối hai thành phố A và B, hai thành phố này muốn xây một trạm thu phí và trạm xăng ở trên đường cao tốc như hình vẽ Để tiết kiệm chi phí đi lại, hai thành phố này quyết định toán xem xây trạm thu phí ở vị trí nào để tổng khoảng cách từ hai trung tâm thành phố đến trạm là ngắn nhất, biết khoảng cách từ trung tâm thành phố A, B đến đường cao tốc lần lượt là 60km và 40km

và khoảng cách giữa hai trung tâm thành phố là 120km (được tính theo khoảng cách của hình chiếu vuông góc của hai trung tâm thành phố lên đường cao tốc, tức là PQ kí hiệu như hình vẽ) Tìm vị trí của trạm thu phí và trạm xăng? (Giả sử chiều rộng của trạm thu phí không đáng kể)

Thực chất bài toàn trở thành tìm x để AC+BC nhỏ nhất

; khi bấm máy tính nhẩm bằng cách nhập vào màn

hình biểu thức f’(x) và ấn SHIFT SLOVE và chọn một số nằm trong khoảng (0;120) để dò nghiệm, như tôi nhập 2 máy nhanh chóng hiện nghiệm là 72

Bấm máy tính sử dụng nút TABLE ta nhận thấy phương trình có duy nhất một nghiệm này do f’(x) chỉ đổi dấu qua 72 Khi đó ta có BBT sau:

Ta được l đạt giá trị nhỏ nhất thì các kích thước của mương là x4 ,m y2m

Câu 16: Một người thợ xây cần xây một bể chứa 3

108m nước có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông và không có nắp Hỏi chiều dài cạnh đáy và chiều cao của lòng bể bằng bao nhiêu để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất? Biết thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch, độ dày của thành bể

và đáy là như nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị diện tích là bằng nhau

Câu 17: Cho một tấm gỗ hình vuông cạnh 200cm Người ta cắt một tấm gỗ có hình một tam giác

vuông ABC từ tấm gỗ hình vuông đã cho như hình vẽ sau Biết AB  x0  x  60cm là một cạnh góc vuông của tam giác ABC và tổng độ dài cạnh góc vuông AB với cạnh huyền BC bằng 120cm

Tìm x để tam giác ABC có diện tích lớn nhất

M

B A

x

Bảng biến thiên:

Vậy Smax  f x max x40

Câu 18: Cho một tấm bìa hình vuông cạnh 5 dm Để làm một mô hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy chính là cạnh của hình vuông rồi gấp lên, ghép lại thành một hình chóp tứ giác đều Để mô hình có thể tích lớn nhất thì cạnh đáy của mô hình là:

2 2

x y

Câu 19: Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép

dưới của màn hình) Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng O sao cho góc nhìn lớn nhất Hãy xác định vị trí điểm O (  BOC gọi là góc nhìn).

Dựa vào BBT trên:

   0;

7max

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần bồn nước phải nhỏ nhất

Tức là: S tp 2 R2 2 Rh nhỏ nhất (với R là bán kính đường tròn đáy

Sử dụng bảng biến thiên, ta tìm được S tp nhỏ nhất khi h 10,84

Câu 21: Khi nuôi cá trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng: P n 480 20 n (gam) Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất

Câu 22: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá

hộ thêm 50 000 đồng một tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống Công ty đã tìm ra phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn nhất Hỏi thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong một tháng là bao nhiêu?

Chọn đáp án B

Gọi n là số lần tăng giá ( n là số tự nhiên) Khi đó số căn hộ bị bỏ trống cũng là n Do đó số tiền thu được khi cho thuê 50  n căn hộ là A 2.106 5.104.n 50  n 5.104n2 5.105n 108, điềukiện n  50

Xét hàm số f x 5.104x2 5.105x 108, với 0  x  50

Ta có f x 105x  5.105; f x 0  x  5

Lập bảng biến thiên, suy ra

Vậy thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong một tháng là 101 250 000

Câu 23: Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là x3 2x (triệu đồng), máy B làm việc

trong y ngày và cho số tiền lãi là 326 y  27 y2 (triệu đồng) Hỏi doanh nghiệp Alibaba cần sử dụng máy A làm việc trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng hai máy A và B

không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày)

Ta có f x 3x254x216 f x 03x254x2160x 6 x12

Chỉ có x  6 4;10 Vậy máy A làm việc trong 6 ngày

Câu 24: Một người thợ xây cần xây một bể chứa 108 3

m nước có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông và không có nắp Hỏi chiều cao của lòng bể bằng bao nhiêu để số viên gạch dùng xây bể là

ít nhất Biết thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch, độ dày thành bể và đáy bể là như nhau, các

viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị diện tích là bằng nhau

là 400 nghìn đồng Hỏi ông An cần chọn bán kính đáy của bể là bao nhiêu để chi phí làm bể là ít

nhất? (Biết bề dày vỏ inốc không đáng kể)

 Năng lượng tiêu hao của cá trong 400

10

t v

Câu 26: Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là x3 2x (triệu đồng), máy B làm việc

trong y ngày và cho số tiền lãi là 326 y  27 y2 (triệu đồng) Hỏi doanh nghiệp Alibaba cần sử dụng máy A làm việc trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng hai máy A và B

không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày)

Số tiền lãi f x x3 2x  326y  27 y2 x3 2x  32610  x 2710  x2 (thay (1)vào)

 fx x3 27x2 216x  560 với x 4;10

Ta có f x 3x2 54x  216 f x 0  3x2 54x  216  0  x  6  x  12

Chỉ có x  6 4;10 Vậy máy A làm việc trong 6 ngày

Câu 27: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 400km Vận tốc dòng nước là

10km/h Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong

t giờ được cho bởi công thức E (v)  cv3t, trong đó c là hằng số, E được tính bằng jun Tìm vận tốc

của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất