Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn O.Đường thẳng AO cắt đường tròn O tại M M≠A.. Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt đường tròn O tại N N≠C.. Gọi K là giao điểm MN với BC..
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
Hướng dẫn gồm 05 trang
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
MÔN TOÁN CHUYÊN
Bài 1(1.5 điểm)
Cho phương trình : 2 x2 − mx − = 1 0 (với m là tham số)
a)Tìm m sao cho phương trình trên có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x12 − 4 x22 = 0
b)Chứng minh rằng với mọi m phương trình trên có nghiệm x thỏa mãn x < 1
a)
(1.0đ) +)
2 8
∆ =m +
+) ∆ >0với mọi m nên pt đã cho có hai nghiệm phân biệt
0.125 0.125
+) Theo viet ta có
1 2
1 2
2 1
2
+ =
= −
m
x x
x x
và gt cho x12 = 4 x22
0.25
Nên ta có
1 2
1 2
1 2
1 2
2 1
2 2
2 1
2 2
+ =
= −
=
+ =
= −
= −
m
x x
x x
x x
m
x x
x x
0.125
0.125
+) (1) vô nghiệm
+) (2) ta có m=1 và m=-1
0.125 0.125 b
(0.5điểm) +)
2 8
∆ =m +
+) ∆ >0 với mọi m nên pt đã cho có hai nghiệm phân biệt x x1, 2
0.125 0.125
+) theo viet ta có x x1. 2 = 1
2
− suy ra
2
1 1
1 2
<
= < ⇒ < x
x x
x với mọi m
0.125 0.125
Bài 2 (2.0điểm) a) Giải phương trình sau : 2 17 1
x x x =0
b) Tìm các số nguyên x,y với x≥0,y≥0 thỏa mãn :
x2 +3y2+4xy+4x+10y−12=0
a)
+) đk x 1
3
Trang 2(1.0đ)
− − + − −
⇔
1 1
3 3
− −
− +
x
x x
x
0.25
3 3
x
(2)
0.125
+) Chứng minh biểu thức trong (2) dương 0.125
x= 4
9
0.125
+) so sánh đk pt có nghiệm x= 4
9
0.125
b)
(1.0 đ)
+) do x, y là số nguyên không âm nên từ (1) ta có
3 3
3 5
3 1
3 15
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
0.125
0.125
0.125 0.125
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Bài 3(1.0 điểm ) Giải hệ phương trình sau :
2
2
− + + = − + −
x xy
1.0
(điểm)
+) đk ( x y − ≥ ) 0 (*)
+) Từ pt x y− + + =1 1 4(x y− )2 + 3(x y− )
⇔ 4(x y− )2 − +1 ( 3(x y− ) − x y− + =1) 0
0.25
Trang 3
1
− −
− + − +
− + − +
x y
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
0.125 0.125
Do (*) nên ta có 2(x-y)-1= ⇔ 0 2y=2x-1 thế vào pt (2) ta có
2
1
0 2
− − =
= ⇒ =
⇔
= − ⇒ = −
x x
0.125 0.125 0.125
+) KL hệ có hai nghiệm là 1 1 5
− −
0.125
Bài 4 (1.0 điểm) Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 − 4 x − = 2 0 Chứng minh rằng
10 4 6− ≤x2+ y2 ≤ +10 4 6
+) ta có x2 + y2 = 4 x + 2 (1) 0.125
2 2
− − = − ≤
⇔ − ≤ ≤ +
x x
x y
0.125
0.125 0.125
0.25 0.25
Bài 5 (2.5điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O).Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M ( M≠A) Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt đường tròn (O ) tại N ( N≠C) Gọi K là giao điểm MN với BC.
a) Chứng minh tam giác KCN cân.
b) Chứng minh OK vuông góc với BM.
c) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M và N cắt nhau tại P Chứng minh ba điểm P, B, O
thẳng hàng
Trang 4a)
(0.75đ)
+) Ta có ∠MNC= ∠MBC (1) (cùng cung MC)
0.25 +) ∠ MBC = ∠ BCN ( do cùng phụ với góc ∠ ABC) (2) 0.25 +) từ (1) & (2) ta có ∠ MNC = ∠ BCN suy ra tam giác KNC cân tại K 0.25
b)
0.75đ +) ta có ON
+) từ (3)& (4) ta có OK vuông góc NC
+) do NC//BM ( cùng vuông góc với AB) 0.125
0.125 c)
1.0đ
+) ta có ∠BNM = ∠BAM (cung MB) (5)
+) ∠BMN = ∠BCN ( Cung NB) (6) 0.125
0.125 +) ∠BAM = ∠NCB ( do cùng phụ với góc ∠ABC) (7) 0.25 +) từ (5), (6) &(7) suy ra ∠BNM = ∠BMN nên BM=BN
+)mà gt ta có ON=OM & PM=PN nên ba điểm P ,B,O nằm trên đường trung
trực đoạn MN vậy P,B,O thẳng hàng
0.25 0.125 0.125
Bài 6 (1.0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB=3a , AC=4a và góc ∠BAC= 600.Qua
A kẻ AH vuông góc với BC tại H Tính độ dài đoạn AH theo a
+) Hạ CK vuông góc AB tại K
(giải thích tam giác ABC không tù tại B hay C) 0.1250.125 +) ta có CK=2 3a
+) nên ta có SABC = 3 a2 3
0.125 0.125 +) Tính BK=a
suy ra BC = BK2+CK2 =a 13
0.125 0.125
+) AH= 2 6 39
13
=
ABC
BC
0.25
Bài 7(1.0 điểm) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng :
+ +
b c a
a b c ab bc ca .
Trang 5+) đặt x= 1
a , y=1
b, z=1
c suy ra x.y.z=1 và x y z, , dương.
+) Bất đẳng thức tương đương với
P= 2 2 2 9 9
+ +
x y z
y z x x y z (*)
0.125
+) ta có
⇒ + + ≥ + + = + +
x y y y z z z x x
x y z
xy yz zx
y z x x y z
0.125 0.125
+) ta có
x+y+z=xyz(x+y+z) =(xy)(zx)+(yz)(yx)+(zx)(zy)≤( )xy 2+( )yz 2 +( )zx 2
2
3
+ +
⇒ + + ≤x y z xy yz zx
0.125 0.125
2
2
27
9 2
≥ + + +
+ +
+ +
⇒ ≥
P xy yz zx
xy yz zx
do xy yz zx
xy yz zx P
cô si cho 3 số ‘=’ xảy ra khi ‘=’ xảy
ra khi a=b=c=1.
0.125 0.125 0.125
Lưu ý chung
1) Trên đây là các bước bắt buộc và khung điểm tương ứng Học sinh phải biến đổi hợp lý và lập luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa.
2) Bài 5, 6 phải có hình vẽ đúng hợp lý với lời giải mới cho điểm ( không cho điểm hình vẽ) 3) Những cách giải đúng vẫn cho điểm tối đa.
4) Chấm điểm từng phần , điểm bài là tổng các điểm thành phần (không làm tròn).