Số báo danh:.. Phòng thi số:.. Các đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại H.. Chứng minh rằng AD.. Kéo dài BH cắt đường tròn tâm O tại H’.. Chứng minh H và H’ đối xứng qua AC và ha
Trang 1Số báo danh:
Phòng thi số:
AN GIANG Môn : TOÁN (ĐỀ CHUYÊN)
Khóa ngày 18 - 6 - 2015 Thời gian làm bài : 150 phút
(không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (1,0 điểm)
Cho 𝐴 = 𝑥 + 2 3(𝑥 − 3) + 𝑥 − 2 3(𝑥 − 3) Tính 𝐴 khi 𝑥 = 5
Bài 2: (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình:
2𝑥 +1
𝑦=
5 2 2𝑦 +1
𝑥 = 5
Bài 3: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 1 ta luôn có: 1
𝑛 + 1 − 𝑛> 2 𝑛
Từ đó chứng minh rằng ∶ 1
1 +
1
2+
1
3+ ⋯ +
1
𝑛 > 2 𝑛 − 2
Bài 4: (1,5 điểm)
Tìm 𝑎; 𝑏; 𝑐 biết rằng phương trình 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 có tập nghiệm là
𝑆 = {−1; 1}
Bài 5: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và góc A bằng 600 nội tiếp trong đường tròn
tâm O, bán kính R Các đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại H
a Chứng minh rằng AD AC = AE AB;
b Chứng minh rằng BC = 2 DE;
c Kéo dài BH cắt đường tròn tâm O tại H’ Chứng minh H và H’ đối xứng qua AC
và hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AHC, ABC có cùng bán kính
Bài 6: (1,0 điểm)
Cầu Vàm Cống bắc ngang qua Sông Hậu nối liền hai tỉnh Cần Thơ và Đồng Tháp
thiết kế theo kiểu dây giăng như hình vẽ Chiều cao từ sàn cầu đến đỉnh trụ đỡ
AB=120m, dây giăng AC=258m, chiều dài sàn cầu từ B đến C là 218m Hỏi góc nghiêng
của sàn cầu BC so với mặt nằm ngang (giả thiết xem như trụ đỡ AB thẳng đứng)
ĐỀ CHÍNH THỨC
hoctoancapba.com
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH 10
AN GIANG Năm học 2014 -2015
MÔN TOÁN (CHUYÊN)
A ĐÁP ÁN
Bài 1
1,0
điểm
𝐴 = 𝑥 + 2 3𝑥 − 9 + 𝑥 − 2 3𝑥 − 9 Khi 𝑥 = 5 ⇒ 𝐴 = 5 + 2 6 + 5 − 2 6
0,25
= 3 + 2 3 2 + 2 + 3 − 2 3 2 + 2 0,25
Bài 2
1,5
điểm
2𝑥 +1
𝑦=
5 2 2𝑦 +1
𝑥 = 5
Điều kiện 𝑥 ≠ 0 ; 𝑦 ≠ 0 hệ trở thành
0,25
2𝑥𝑦 + 1 =
5𝑦 2 2𝑥𝑦 + 1 = 5𝑥
0,25
Từ hai phương trình của hệ ta được 5𝑦
Thay vào phương trình ban đầu của hệ ta có
2𝑥 + 1 2𝑥 =
5
2 ⟺ 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0 ⟺ 𝑥 = 1 ; 𝑥 =
1 4
0,25
Với 𝑥 = 1 ⇒ 𝑦 = 2
𝑥 = 1
4⇒ 𝑦 =
1 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm
1; 2 , 1
4;
1
2
0,5
Bài 3
2,0
điểm
Chứng minh
1
𝑛 + 1 − 𝑛≥ 2 𝑛
Ta có 1
𝑛 + 1 − 𝑛=
𝑛 + 1 + 𝑛
𝑛 + 1 − 𝑛 𝑛 + 1 + 𝑛
0,5
= 𝑛 + 1 + 𝑛
Từ biểu thức chứng minh trên ta có 1
hoctoancapba.com
Trang 31> 2 2 − 1 1
2> 2 3 − 2
… 1
𝑛 > 2( 𝑛 + 1 − 𝑛)
0,25
Cộng các bất đẳng thức trên ta được 1
1+
1
2+ ⋯ +
1
𝑛 >
> 2 2 − 1 + 2 3 − 2 + ⋯ + 2 𝑛 + 1 − 𝑛
> 2 𝑛 + 1 − 2 1
0,25
> 2 𝑛 − 2
Bài 4
1,5
điểm
Tìm 𝑎; 𝑏; 𝑐 biết rằng phương trình 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 có tập nghiệm là 𝑆 = {−1; 1}
Phương trình có hai nghiệm là 𝑥 = −1 ; 𝑥 = 1 thay nghiệm vào phương trình ta được hệ:
−1 + 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0
1 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0
0,25
Trừ hai phương trình ta được −2 − 2𝑏 = 0 ⟹ 𝑏 = −1 0,25
Cộng hai phương trình ta được 𝑎 + 𝑐 = 0 ⟹ 𝑐 = −𝑎 0,25 Phương trình trở thành
𝑥3 + 𝑎𝑥2 − 𝑥 − 𝑎 = 0
⟺ 𝑥2 𝑥 + 𝑎 − 𝑥 + 𝑎 = 0 ⟺ 𝑥 + 𝑎 𝑥2 − 1 = 0
0,25
theo giả thiết phương trình có tập nghiệm là 𝑆 = {−1; 1}
khi đó phương trình 𝑥 + 𝑎 = 0 phải có nghiệm hoặc -1 hoặc 1 0,25
⟹ 𝑎 = 1; 𝑎 = −1
vậy các số 𝑎; 𝑏; 𝑐 cần tìm là 𝑎 = 1; 𝑏 = −1; 𝑐 = −1 hay
𝑎 = −1 ; 𝑏 = −1 ; 𝑐 = 1
0,25
Bài 5a
1,0
điểm
0,25
Hai tam giác vuông ADB và AEC có chung góc A nên chúng đồng
hoctoancapba.com
Trang 4Bài 5b
1,0
điểm
Chứng minh rằng 𝐵𝐶 = 2𝐷𝐸
Xét hai tam giác ADE và ABC Góc A chung
Mà 𝐴𝐷
𝐴𝐵 =
𝐴𝐸
𝐴𝐶 (theo câu a) Vậy hai tam giác đồng dạng
0,25
⇒𝐴𝐷
𝐴𝐵 =
𝐸𝐷 𝐵𝐶
0,25 Mặt khác tam giác ABD vuông tại D có 𝐴 = 600
⇒ cos 𝐴 = 𝐴𝐷
𝐴𝐵 ⟺ cos 600 =
1
2 =
𝐴𝐷 𝐴𝐵
0,25
⇒1
2 =
𝐸𝐷
Bài 5c
1,0
điểm
Kéo dài BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại H’
Xét hai tam giác vuông AHD và AH’D Cạnh AD chung
𝐻𝐵𝐶 = 𝐻𝐴𝐶 (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
0,25
𝐻𝐵𝐶 = 𝐶𝐴𝐻′ (cùng chắn cung H’C)
⟹ 𝐻𝐴𝐶 = 𝐶𝐴𝐻′
Mà HH’ vuông với AC nên tam giác AHH’ cân tại A hay AC là đường trung trực của HH’
H’ là điểm đối xứng của H qua AC
0,25
Theo trênAC là trung trực của đoạn Hai tam giác AH’C và AHC bằng nhau Suy ra bán kính hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác AHC và AH’C bằng nhau mà đường tròn ngoại tiếp tam giác AH’C chính là đường tròn O
Vậy hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC và AHC có cùng bán kính
0,5
Bài 6
1,0
điểm
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên trụ đỡ AB Đặt BH=x
0,25
Tam giác AHC vuông tại H ta được
𝐻𝐶2 = 𝐴𝐶2 − 𝐴𝐵 + 𝑥 2 = 2582 − 120 + 𝑥 2
Tam giác BHC vuông tại H ta được
𝐻𝐶2 = 𝐵𝐶2 − 𝐻𝐵2 = 2182 − 𝑥2
0,25 hoctoancapba.com
Trang 52582 − 120 + 𝑥 2 = 2182 − 𝑥2
⟺ 2582 − 1202 − 2182 = 240 𝑥
⟺ 𝑥 = 58
3
0,25
Ta lại có
sin 𝐵𝐶𝐻 = 𝐵𝐻
𝐵𝐶 =
58 3.218 =
29
327 Vậy góc nghiêng BC so với mặt nằm ngang là
𝜑 = sin−1 29
327≈ 50 5′ 16′′
0,25
B HƯỚNG DẪN CHẤM:
1 Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn được điểm tối đa
2 Điểm số có thể chia nhỏ tới 0,25 điểm cho từng câu trong đáp án, giám khảo chấm bài không dời điểm từ phần này qua phần khác
hoctoancapba.com