M là một điểm thuộc cung nhỏ BC.. Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By của đường tròn.. Gọi M là một điểm tuỳ ý trên cung AB.. Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D..
Trang 1UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I
Bài 1 (2,0 điểm):
a) Cho
A
Hãy rút gọn: B 1 A x 1 (Với 0 x 1)
b) Cho x32 3 3 2 3 Thực hiện tính 264 3 3x
(x 3)
Bài 2 (2,0 điểm):
Giải các phương trình sau:
a) x 2 2x 5 + x23 2x 5 = 7 2 b) x4 x2 2014 2014
Bài 3 (2,0 điểm):
Cho đường tròn tâm O và hai điểm B, C thuộc đường tròn Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau ở A M là một điểm thuộc cung nhỏ BC Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt AB, AC theo thứ tự ở D và E BC cắt OD ở I và cắt
OE tại K Chứng minh rằng:
a) DB.DE = DI.DO b) OM, DK, EI đồng quy
Bài 4 (2,0 điểm):
Cho đường tròn (O, R) đường kính AB Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By của đường tròn Gọi M là một điểm tuỳ ý trên cung AB Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D
a) Chứng minh: AC.BD = R2
b) Tìm vị trí của M để chu vi tam giác OCD nhỏ nhất
Bài 5 (2,0 điểm):
Cho x là số nguyên Chứng minh rằng:
a) A(x) = x5 – x chia hết cho 5
b) M = x x x
30 6 15 luôn nhận giá trị nguyên.
Trang 2UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I
Bài 1 (2,0 điểm):
x( x 1)(x x 1) x( x 1)(x x 1) A
0,25
2
2
3
x 4 3( 2 3 2 3) 2 3 2 3 4 3x 0,50
Từ x3 = 4 + 3x được: x3 – 3x = 4 (x3 – 3x)3 = 43 x3(x2 – 3)3 = 43 =64 0,25 Thay được
3
Bài 2(2,0 điểm): Giải các phương trình sau:
Nhân hai vế với 2 được: 2x 4 2 2x 5 + 2x 4 6 2x 5 14 0,25
2x 5 1 2x 5 3 14 2x 5 5 0,25
x = 15 Đặt điều kiện rồi đối chiếu hoặc thử lại để kết luận nghiệm 0,25
Cộng hai vế với x2 1
4
được: x4 x2 1 x2 2014 x2 2014 1
0,25
0,25
x2 1 x2 2014 1
x2 x2 2014 PT vô nghiệm do VT0;
VP <0
0,25
Trang 3x2 1 x2 2014 1 x2 1 x2 2014 x4 x2 2013 0
Giải phương trình được nghiệm: x1 8053 1 x2 8053 1
0,25
Bài 3 (2,0 điểm):
K
I
E
D A
O B
C M
Hai tam giác DBI và DOE có:
sđ DBI= sđBC
2 ; sđ DOE sđ
BOC
2 =sđ
BC 2
DBI DOE DBI đồng dạng DOE
0,50
DB DO DB.DE DI.DO
Từ: DBI DOE và DIB OIK (Đ.đỉnh)
IKO IDB
Tứ giác DBOK nội tiếp đường tròn
Do DBO = 900
nên DKO = 900 hay DKOE
0,50
OM DE (DE là tiếp tuyến tại M)
Tam giác DOE có OM, DK, EI là các đường cao nên OM, DK, EI đồng quy 0,25
Trang 4Bài 4(2,0 điểm):
- AC = CM; BD = DM nên AC.BD = MC.MD 0,25
C
D
O
M
- Chứng tỏ được OCD vuông tại O 0,25
Đặt AC = x; BD = y có:
OC = x 2 R 2 ; OD = y 2 R 2
CV= OC+OD+CD = x 2 R 2 + y 2 R 2 + x+y
0,25
Do x.y = R2 nên x + y nhỏ nhất khi x = y = R (1) 0,25
Xét A= x 2 R 2 + y 2 R 2
A2 = x2 + y2 + 2R2 + 2 x y 2 2 R (x 2 2 y ) R 2 4
= x2 + y2 +2R2 + 2 R2 R (x2 2 y ) R2 4
Để A nhỏ nhất A2 x2 + y2 nhỏ nhất
x2 + y2 2xy =2R2 Dấu "=" xảy ra khi x = y = R
(2)
0,50
Từ (1) và (2) CV nhỏ nhất khi x = y M là điểm
chính giữa của cung AB
Bài 5(2,0 điểm):
Xét số dư khi chi n cho 5:
n = 5k: n chia hết cho 5 nên n5 – n
n = 5k1: n2 -1 = 25k2 10k + 1-1 = 5(5k2 2k) chia hết cho 5
n = 5k2: n2 +1 = 25k2 20k + 4+1 = 5(5k2 4k+1) chia hết cho 5
Vậy với mọi n Z thì n5 – n chia hết cho 5
0,50
M = x5 x3 2x x5 5x3 4x
M Z M(x) = x5 5x34xchia hết cho 30
0,25
M(x) = x5 x 5x3 5x chia hết cho 5 (1) 0,25
M(x) = x(x4 1 5) x(x2 1) x(x 1)(x1)(x2 1 5) x(x 1)(x1)
x(x 1)(x 1)(x2 1 5)
Tích ba số nguyên liên tiếp x(x-1)(x+1) chia hết cho 2; 3 và ƯCLN(2,3)=1
nên x(x-1)(x+1) chia hết cho 6 M(x) chia hết cho 6 (2)
0,50
Kết hợp (1), (2) và ƯCLN(5,6) = 1 M(x) chia hết cho 30 hay M nhận giá trị
Trang 5UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II
Bài 1 (2,0 điểm):
a) Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng:
a b a b ;
a b c a b c b) Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
a b c b c a c a b a b c
Bài 2 (2,5 điểm):
a) Cho hàm số y x có đồ thị (P) Tìm các giá trị của 2 m để đường thẳng (d)
có phương trình y x m cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A x y ,( ; )1 1 ( ; )B x y2 2
thoả mãn: (x2 x1)4 (y2 y1)4 18
b) Giải hệ phương trình: x (x x y)
1 2
1 2
Bài 3 (2,5 điểm):
Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB, CD Trên tia NC lấy điểm G Đường thẳng GM cắt DB tại H và cắt DA tại K
KN cắt AB tại E; NH cắt AB tại F
a) Chứng minh NM là phân giác của góc ENF
b) Khi G là trung điểm của NC Chứng minh GA, DB, KN đồng quy
Bài 4 (2,0 điểm):
Cho tam giác nhọn ABC và O là một điểm nằm trong tam giác Các tia AO,
BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P Chứng minh:
CP
OP BN
ON AM OM
Bài 5 (1,0 điểm):
Tìm các số nguyên x, y để: x2 23xy 2y2 7
Trang 6UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II
Bài 1 (2,0 điểm):
a) 1 1 4 a b 4 (a b)2 4ab (a b)2 0
Có: a12
0,50
b) Do a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a+b-c > 0; b+c-a > 0 0,25
a b c b c a 2b ;
a b c c a b 2a ;
a b c c a b 2a
0,50
a b c b c a c a b a b c
0,25
Bài 2 (2,5 điểm):
Các điểmA x y( ; ), ( ; ) 1 1 B x y2 2 thuộc (d) và thuộc (P) nên x1; x2 là hai nghiệm của
phương trình: 2
x x m x2 x m 0 (1) 0,25 Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi (1) có hai
nghiệm phân biệt
1 4m 0 1.
4
0,25
Các điểm A x y( ; ), ( ; ) 1 1 B x y2 2 thuộc (d) nên y1 x1 m y, 2 x2 m
(x x ) (y y ) 18 được:
Theo định lí Viet x1 x2 1, x x1 2 m Ta có
(1+4m)2 = 9
0,50
+ Tìm được
1 1 2
m
m Đối chiếu ĐK kết luận m = 1
Trang 7Trừ được: x – y3 3 2 x – y – 2 x – y 2 2
x – y x xy y 2 x – y x y – 2
x – y x xy y – 2 x y 4 0
x y
x xy y – 2 x y 4=0
0,25
Với x = y: x3 + 1 = 2(x2 – x + y)
x3 – 2x2 + 1 = 0
(x – 1) (x2 - x - 1) = 0
Giải được x1 = 1; x2 = 1 5
2
; x3 = 1 5
2
Nghiệm của hệ là: x ;
y
1 1
x
; y
2
2
x y
2
2
0,50
Với: x2 xy y – 2 x y 4=0 2
x 2xy 2y – 4 x y =0
PT vô nghiệm do VT luôn lớn hơn 0
0,50
Bài 3 (2,5 điểm):
Nối NA, NB Chứng minh được AND
=BNC NA = NB NAB cân
MN AB
Có: ME/GN = KM/KG (EM//GN)
KM/KG = AM/DG
ME/GN = AM/DG
MF/NG = HM/HG
HM/HG = MB/DG
MF/NG = MB/DG
Mà MA = MB nên ME/GN = MF/GN
ME=MF
Tam giác ENF có NM vừa là đường cao
vừa là trung tuyến nên NM là phân giác
của ENF
0,50
0,25
0,25
0,25
F E
H
N
M
C D
K
Từ DN = 2NG chứng minh được AE = 2EM
Gọi I là giao điểm của EN và DB Có IE/IN = EB/DN = 4EM/DN
Gọi J là giao điểm của AG và EN, Có JE/JN=AE/NG = 2EM/NG = 4EM/DN
IE/IN =JE/JN I J hay GA, DB, KN đồng quy
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 8Bài 4 (2,0 điểm):
K H
M
A
O
Lần lượt hạ AH, OK vuông góc với BC Có:OM OK
Lại có OBC
ABC
S OK
AH S nên OBCABC
S OM
Tương tự: OAC
BAC
S ON
S OP
ABC ABC ABC ABC
Với ba số dương a, b, c có:
c b a
c
b
a
9 1
1
1
a b c
0,25
0,50
Bài 5 (1,0 điểm):
Đưa về phương trình tích
(x y)( x y)
0,50
Lập và giải các hệ phương trình:
Giải được nghiệm: (3; -1); (-3; 1)
0,50