bài làm đề thi môn phương pháp tính truyền nhiệt do sinh viên đai học bách khoa đà nẵng trình bày, giáo viên hướng dẫn PGS, TS Nguyễn Bốn, bài làm bằng file word, khá dễ hiểu và cụ thể, chi tiết, dễ đạt điểm cao
Trang 1Câu 1: Nêu các bước áp dụng phương pháp toán tử phức để giải phương trình đạo
hàm riêng, viết hàm số sóng nhiệt và khảo sát các thông số đặc trưng của dao động và sóng nhiệt?
Các bước áp dụng phương pháp toán tử phức để giải hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng:
1.Lập bài toán ảo (A) tương ứng bài toán (T) bằng cách thay:
2.Lập biểu thức (W) theo phép biển đổi: T + A(i) =W
3.Tìm nghiệm phức ở dạng tách biến:
Theo (1) ta có:
+)Tìm theo (3)
+)Tìm C1 theo (2)
Trang 2
4 Tìm dạng đại số của W (x,τ)
- Tìm nghiệm thực : T(x,τ) = Re.W(x,τ) +
+
Xác định:
=
Trang 3
Khảo sát sóng nhiệt:
Đồ thị (t-x) của trường nhiệt độ t(x,
τ) = t0 + t1exp (-x √ω/2a ) cos (ω τ-x √ω/2a) có dạng như hình:
1 Dao động nhiệt có biên độ tắt dần theo chiều sâu x, B(x) = t1 e − x√ω
2π Trị số x0, tại đó có B (x0 )
B(0)= 1%, gọi là khoảng tác dụng của sóng => 1% = e x0√ω
2a Vậy: Khoảng cách tác dụng x0 =ln 100√ ω
2a =ln100 √aτ0
π hay
x0=2.6 √aτ0 =>Chu kỳ τ0↑thì x0↑
2 Bước sóng và tốc độ truyền sóng nhiệt
Trang 4- Bước sóng λ x là khoảng cách giữa 2 đỉnh sóng liên tiếp, xác định theo phương trình:
Cos (ω τ0-λ x√ω/2a) = 1 => λ x= ω τ0
√ω/2a = 2 √πa τ0 => Do đó λ x ↑ khi τ0 ↑.
- Tốc độ truyền sóng v=λ x
τ0 = 2 √aπ
τ0
=> Do đó v↑ khi τ0
3 Giá trị gradt: theo phân bố nhiệt độ:
t(x,τ) = t0 + t1e − x√ π
aτ0 cos(2πτ τ
aτ0), ta có:
gradt = ∂ x ∂ t= t1 √ π
aτ0 e − x√ π
aτ0 [sin(2πτ τ0 - x √ π
aτ0 – cos(2πτ τ0 - x √ π
aτ0)]
Gradt có dạng một dao động tắt dần theo độ sâu x Ví dụ:
* gradt|x=0 = -t1√ π
aτ0 (cos 2πτ τ0 – sin 2πτ τ0 ) = -t1√2 π
aτ0 sin(π4− ¿ 2πτ τ
4 Dòng nhiệt bức xạ x lúc τ là:
q(x,τ) = -λ ∂t ∂ x => q(x,τ) = λt1√ π
aτ0 e − x√ π
2aτ0 [sin(2πτ τ
aτ0) - cos(2πτ τ0 -x √aπ
τ0 )] cũng là một dao động tắt dần theo x Ví dụ:
*q(0,τ) = λ t1 √2π
aτ0sin(π4− 2πτ
τ0 ), (W/m2) q(0,τ) max khi sin(π4− 2πτ τ
0 )= ±1, ứng với τ=-18τ0, 38τ0, 78τ0,…
- Lượng nhiệt tích trong vật sau ½ chu kỳ là:
Q τ0/ 2=∫
0
τ0 / 2
q(0,τ)= ¿λ¿.t1√2π
aτ0.
τ0
π =λt1√2τ0
aπ ,[J /m2]
Trang 5Câu 2: Lập chương trình giải phương trình tgk=B/k theo phương pháp lặp để tìm 1
nghiệm k∈[0, π/2] với sai số ε k=|1− tgk B/k|≤ ε bé tùy ý cho trước Chạy thử chương trình với B=0,79 và ε=0,001
- Bước 1: Nhập các giá trị Kmin=0, KMax=pi/2, B,epsilonc cho trước.
- Bước 2: Tính giá trị K = …
- Bước 3: So sánh biểu thức |1− tgK
B /K
K |−εc với 0
nếu:
- |1− tgK B /K
K |−εc
<= 0 thì suy ra giá trị K cần tìm, kết thức chương
trình
- … >0 thì đi tới bước 4
- Bước 4: So sánh biểu thức tgK− B K với0 nếu:
- … >0 thì Kmax=K rồi quay lại bước 2.
- ……<0 thì Kmin=K rồi quay lại bước 2.
- Bước 5: Kết luận
k ε k=|1− tgk B
Trang 61 k1=π4 1 1,006 0,006 Tăng k
k2∈[k1,π2]
2=k1+ π2
2 =3π8 2,414 0,671 2.5 kGi m k3 ∈ả [k1,k2]
3 k3=k2+k1
k4∈[k1,k3]
4 k4=k1+k3
k5 ∈[k1,k4]
5 k5=k1+k4
k6∈[k1,k5]
6 k6=k1+k5
k7 ∈[k1,k6]
7 k7=k6+k1
k8∈[k1,k7]
8 k8=k1+k7
k9∈[k1,k8¿
9 k9=k1+k8
k10 ∈[k1,k9¿
10 k10=k1+k9
513 π
2048
Trang 7
Câu 3: Một hồ nước rất rộng, sâu h=1,8m, có C p=4,18 kJ/kgK, nhiệt độ đầu t1 =100C, tỏa nhiệt ra gió lạnh nhiệt độ bằng t f=-160C(đề 4), với α=20W/m2K, để làm lạnh đến
t0=0 0Cvà sau đó đóng băng Băng có thông số ρ=1000kg/m3, r=333kJ/kg và
λ=2,2W/mK
1) Tính thời gian τ1 hạ nhiệt độ từ t1 =100 xuống t0 theo τ1=ρC p h
α lnt t1−t f
0−t f
2) Viết phương trình cân bằng nhiệt cho dV=fdx của lớp băng tạo ra sau d τ, và tích phân tìm luật đóng băng τ (x), xác định vận tốc v(x) và gia tốc a(x) của mặt băng tại x=0,25m
3) Lập công thức tính độ dày lớp băng x(τ) tạo ra sau thời gian τ , tính giá trị x(
τ =τ1−τ4) với τ4=90 ngày là thời hạn mùa đông, só sánh với h và nhận xét 4) Tính nhiệt độ mặt trên hồ lúc cuối mùa đông t w(x=0)
Trang 81) Tính thời gian τ1 hạ nhiệt độ từ t1 =10 0 xuống t0 theo τ1=ρC p h
α lnt1−t f
t0−t f
Trang 9thế số vào công thức: τ1=ρC p h
α lnt1−t f
t0−t f Ta có:
τ1=1000 4,18.1020 3.1,8ln10−(−16)0−(−16) =182648 s= 50 giờ 44 phút = 2 ngày 2 giờ
44 phút
Vậy cần 50 giờ 44 phút giờ để hồ hạ nhiệt độ từ t1 xuống t0
2) Viết phương trình cân bằng nhiệt cho dV=fdx của lớp băng tạo ra sau d τ:
- Tìm vận tốc v :
Gọi : x là độ dày lớp băng lúc τ
dx là độ dàu lớp băng lúc d τ
Phương trình cân bằng nhiệt : δ Q r =δ Q α
ρfdx r= ( x t0−t f
λ+ 1α)
f dτ
- Tìm luật đóng băng τ (x):
∫
0
τ
dτ=(t ρr
0−t f)∫
0
x
(x
λ+ 1α)dx
Suy ra:
- Xác định vận tốc v(x) và gia tốc a(x) của mặt băng tại x=0,25m:
Vận tốc đóng băng = tốc độ mặt băng: v x ≜ dx dτ= (t0−t f)
(x
λ+ 1α)ρr ,[m/s]
=1000.333 100−(−16)3 [ 0,25
2,2 + 120]
=2.94 10 −7m
s =1.06 mm/h
Gia tốc băng: a x = dv dτ = dv dx dx dτ =v '(x) v(x)= −λ(t0−t f)2
ρ2r2(x+ λ α)3
2.(0−(−16)) 2
10002.(333.10¿¿ 3)2.(0,25+ 2,220)3=−2.395.10−13m2/s¿
τ (x)= ρr¿¿
Trang 103) Tính giá trị x(τ =τ1−τ4) với τ4=90 ngày là thời hạn mùa đông, só sánh với h và nhận xét:
- Lập công thức tính độ dày lớp băng x( τ¿ tạo ra sau thời gian τ
x( τ¿= τ−1(x)= λ α[ √2α2(t0−t f)
ρrλ τ +1−1]
Thay số ta được: x(
τ¿ =2,220 [ √2.20 2.(0−(−16))
1000.10 3 333.2,2(90.24 3600−182648)+1−1]=1,16 m
Nhận xét: x( τ¿<h nên hết mùa đông hồ vẫn không bị đóng băng tới đáy.
4) Tính nhiệt độ mặt trên hồ lúc cuối mùa đông t w(x=0):
Theo ph ng trình cân b ng nhi t :ươ ằ ệ
q λ=q α
t0−t x w
λ =α(t w −t f)
Th s khi x=0: ế ố t w = 2,2.1,6 (−16)
20.1,16−2,2 =−14,6
0C
t w=λ t0+α xt f λ+α x
Trang 11Bài 4: Một hộp thực phẩm có V=2δRD=2× 0.05× 0.2× 0.3 m3=0.006 m3có thông số
φ=85% , ρ=1100kg/m3, c p =4,18 kJ /kg, nhiệt độ đầu t1=27℃, cần được làm lạnh đến
t0=0℃, hóa rắn với r=334kJ/kg để tạo ra băng có¿2,21 W /mK, sau đó được quá lạnh để nhiệt độ tâm hộp đạt tới t k =−20℃, bằng cách cho mặt hộp tiếp xúc với gió lạnh có
t f =−35℃ và hệ số tỏa nhiệt α=37,5( đề 4), hoặc tiếp xúc với chất lỏng lạnh hay mặt lạnh có nhiệt độ t f =−35℃ với α=∞
1) Mô tả quá trình đông lạnh trên đồ thị t(
τ¿ ,tính các khoảng thời gian đặc trưng khi cấp đông kiểu đối lưu gió hoặc kiểu tiếp xúc, nêu các nhận xét
2) Nếu hộp trên chỉ chứa H
2O nguyên chất, với φ=100% và ρ=1000kg/m3 thì các khoảng thời gian τ1,τ2,τ3 khi đối lưu và khi tiếp xúc bằng bao nhiêu?
Tham số Giá tr và đ n v ị ơ ị
D
R
δ
0,3 m
0,2 m 0,05 m
ρ
φ
C p
r
λ
1100kg/m3
85%
4,18kJ/kgK 334J/kg 2,21W/mK
t1
t0
t k
t f
t w
α
27 ℃
0 ℃
-20℃
-35℃
-35℃
30W/ m2K
τ α
τ λ
φ
ρ
τ1
τ2
τ3
?
? 100%
1000 kg
m3
?
?
?
Trang 12Giải:
1) Mô tả quá trình đông lạnh trên đồ thị t( τ¿ ,tính các khoảng thời gian đặc trưng khi cấp đông kiểu đối lưu gió hoặc kiểu tiếp xúc, nêu các nhận xét.
Đồ thị mô tả quá trình đông lạnh thực phẩm t(τ¿
Thời gian hạ nhiệt độ thực phẩm từ t1→t0:
giả thiết tại mỗi thời điểm τthể tích V có nhiệt độ bằng t(τ¿và các thông số khác đã cho không đổi
Phương trình cân bằng nhiệt V lúc τsau thời gian dτ :
dU v =δ Q ρVc(−dt)=k(t−t f)fd τ
với k=R−1=( δ λ+ 1α)−1
⟹k=δα +λ αλ khi đối lưu gió, Hoặc k=δ λ khi tiếp xúc α →∞
⟹∫
x0
t
dt t−t f =−kf ρVc∫
0
τ
d τ ⟹ln t1−t f
t0−t f =−kf
ρVc τ
⟹ t(τ¿=t f +(t¿¿0+t f )exp (−kf ρVc τ)¿
⟹τ1= ρVc
kf ln
t1−t f
t0−t f
Trang 13Khi đối lưu gió τ1=2δρC (δ α+λ)
λα ln|t1−t f
t0−t f|
Khi đối lưu tiếp xúc τ1=2δ λ2cρln|t1−t f
t0−t f|
2) Tính τ để hóa băng φ thực phẩm:
Gọi: x là độ dày lớp băng tạo ra lúc τ
dx là độ dày lớp băng lớp băng tạo ra lúc dτ
Phương trình cân bằng nhiệt của thể tích vật dV=fdx:
δ Q p =δ Q k Ρfdxφ r= t x1−t f
λ+ 1α
fd τ
⇒∫
0
τ
d τ= ρ φr
t0−t f∫
0
x
( x
λ+ 1α )d x
τ(x)= ρ φr t
0−t f( x2
2λ + x α)= ρ φr x2
(t¿¿0−t f )2 λ(1+2 λ xα)¿
τ2=τ (x=δ)
⇒khi đối lưu gió τ2 = ρ φr δ2
(t¿¿0−t f )2λ(1+2 λ δ α)¿ Khi tiếp xúc τ2 =(t ρ φr δ2
¿¿0−t f )2λ¿ với α →∞
3) Tính thời gian τ3 để quá lạnh thực phẩm dạng băng ¿)
Nhiệt độ tâm V lúc τ là t0(τ )
Phương trình cân bằng nhiệt V sau thời gian d τ khi t giảm Lượng d t:
dU=δ Q
⇒−ρVcdt =kf (t¿¿0−t f )d τ¿
⇒ dt t−t
f
=−kf ρVc dτ
⇒∫
t0
t
dt t−t f=∫
0
τ
kf ρVc d τ ⇒ ln|t1−t f
t0−t f|=−kf ρVc τ
Trang 14⇒ τ= ρVc
kf .ln|t0−t f
t−t f|
Khi đối lưu gió: τ3=2δρC (δ α+ λ)
λα ln|t0−t f
t k −t f|
Thời
Gian
Cấp đông đối lưu(α hh¿ Cấp đông tiếp xúc(α →∞¿ Giải
thích Nhận xét
Công thức và thay giá trị quả,Kết
Đơn vị
Công thức và thay giá trị
ĐS Đơn vị
τ1
2δρC(δ α+ λ)
λα ln|t1−t f
t0−t f|
2.0,05.1100.4180 (0,05.37.5+2,21)
2,21.37 5 ln ( 6235)
12959 s
=3,6h
2δ2cρ
λ ln|t1−t f
t0−t f|
2.0,05 2 4180 1100
2,21 ln ( 6235)
5948 s 1,65h
τ 1α hh
>τ 1α → ∞
τ3¿τ2>τ1
τ2
ρ φr δ2
(t¿¿0−t f )2 λ(1+2 λ δ α)¿
1100.0,85.334.1030,052
(0+35) 2.2,21 .(1+2 2,210,05.37,5)
16943 s
=4,7h
ρ φr δ2
(t¿¿0−t f )2 λ¿
1100.0,85.334 1000 0,052
(0+35).2.2,21
5046 s
=1,4 h
Càng giảm nhiệt độ, công suất tỏa nhiệt thực phẩm càng giảm, thời gian làm lạnh càng tăng lên
τ3
2δρC(δ α+ λ)
λα ln|t0−t f
t k −t f|
2.0,05.1100.4180 (0,05.37,5+2,21)
2,21.37,5 ln ( 3515)
19203 s
=5,3h
2δ λ2cρln|t0−t f
t k −t f|
2.0,05 2 4180 1100
2,21 ln ( 3515)
8814
s = 2,45h
=3,6+4,7+5,3
13,6h τ =τ1+τ2+τ3
=1,65+1,4+2,45
5,5h
Khi tiếp xúc: τ3=2δ2cρ
λ ln|t0−t f
t k −t f|
Trang 15Hộp chỉ chữa H2O nguyên chất và với φ=100% và ρ=1000 kg/m3
Thời
Gian
Cấp đông đối lưu(α hh¿ Cấp đông tiếp xúc(α →∞¿ Giải
thích Nhận xét Công thức và thay giá trị
ĐS Đơn vị
Công thức và thay giá trị
ĐS Đơn vị
τ1
2δρC(δ α+ λ)
λα ln|t1−t f
t0−t f|
2.0,05.1000 4180 (0,05.37,5+2,21)
2,21.37,5 ln ( 6235)
11780 s
=3,27 h
2δ2Cρ
λ ln|t1−t f
t0−t f|
2.0,05 2 4180 1000
2,21 ln ( 6235)
5407 s
=1,5 h
τ2
ρ φr δ2 (t¿¿0−t f )2 λ(1+2 λ δ α)¿
1000.1.334.103.0,052
(0+35).2.2,21 .(1+2 2,210,05.37,5)
18121 s
= 5.03h
ρ φr δ2
(t¿¿0−t f )2 λ¿
1000.1.334.103.0,052
(0+35).2.2,21
5398 s
= 1,5h
τ3
2δρC(δ α+ λ)
λα ln|t0−t f
t k −t f|
2.0,05.1000 4180(0,05.37,5+2,21)
2,21.37,5 ln ( 3515)
17457 s
= 4,85h
2δ2cρ
λ ln|t0−t f
t k −t f|
2.0,05 2 4180 1000
2,21 ln (3515)
8013 s
= 2,23h
τ
τ =τ1+τ2+τ3
=3,27+5,03+4,85
13,15 h
τ =τ1+τ2+τ3
=1,5+1,5+2,23
5,23h