CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BÀI 4.. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ĐỀU Dạng 2.. Chóp đều – các cạnh bên bằng nhau - Chóp đều: − ?ó ?á? ?ạ?ℎ ?ê? ?ằ?? ?ℎ?? − Đá? ?à 1 đ? ??á? đề? ??? ??á? đề
Trang 1CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
BÀI 4 TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ĐỀU
Dạng 2 Chóp đều – các cạnh bên bằng nhau
- Chóp đều:
− 𝐶ó 𝑐á𝑐 𝑐ạ𝑛ℎ 𝑏ê𝑛 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑛ℎ𝑎𝑢
− Đá𝑦 𝑙à 1 đ𝑎 𝑔𝑖á𝑐 đề𝑢 (𝑡𝑎𝑚 𝑔𝑖á𝑐 đề𝑢, ℎì𝑛ℎ 𝑣𝑢ô𝑛𝑔)
- Xác định chiều cao: Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp
* Chú ý: Tâm đường tròn ngoại tiếp của một số hình đặc biệt:
+ Hình vuông, hình chữ nhật : Giao 2 đường chéo
+ Tam giác đều: Trùng với trọng tâm
+ Tam giác vuông: Trung điểm cạnh huyền
+ Tam giác thường: Giao 3 đường trung trực
R = 𝑎𝑏𝑐
4𝑆
Ví dụ 1 Cho chóp đều SABCD có cạnh đáy bằng a Tính V biết:
a) Cạnh bên bằng 𝑎 2
b) Góc giữa mặt bên và đáy bằng 600
Giải
+) Vì SABCD đều => O là giao của AC và BD
=> SO ⊥ đáy
a) Ta có SABCD = a2
Trang 2+) Vì ABCD là hình vuông cạnh a
=> AC = 𝑎 2 => OC = 𝑎 2
2
+) Xét ∆ SOC có: SO2 + OC2 = SC2
=> SO2 = 2a2−𝑎2
2 = 3𝑎2
2
=> SO = 𝑎 3
2
=> V = 1
3 𝑎2.𝑎 3
2 = 𝑎3
6 (đvtt) b) Góc giữa (SCD) và (ABCD)
* Dựng: - (SCD) ∩ (ABCD) = CD
- SO ⊥ (ABCD)
- Dựng OH ⊥ CD
=> Góc giữa (SCD) và (ABCD) là 𝑆𝐻𝑂 => 𝑆𝐻𝑂 = 600
* Chứng minh: Vì ta có 𝑆𝐻 ⊥ CD
𝑂𝐻 ⊥ CD => CD ⊥ (SHO)
* Tính thể tích:
+) SABCD = a2
+) Xét ∆BCD có: 𝑂 𝑙à 𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔 đ𝑖ể𝑚 𝐵𝐷
𝑂𝐻//𝐵𝐶(𝑐ù𝑛𝑔 𝑣𝑢ô𝑛𝑔 𝑔ó𝑐 𝑣ớ𝑖 𝐶𝐷)
=> OH là đường trung bình
=> OH = 1
2 BC = 𝑎
2
+) Xét tam giác vuông SOH có: tan 600 = 𝑆𝑂
𝑂𝐻
=> SO = 𝑎 3
2
=> V = 1
3 𝑎2.𝑎 3
2 = 𝑎3
2 3 (đvtt)
Ví dụ 2 Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng 𝑎 2 Góc giữa cạnh bên và đáy bằng 450 Tính thể tích VSABC ?
Giải
Trang 3
+) Gọi G là trọng tâm ∆ ABC
Vì SABC là chóp đều => SG ⊥ (ABC)
+) Góc tạo bởi SA và (ABC) là 𝑆𝐴𝐺 => 𝑆𝐴𝐺 = 450
+) Xét tam giác vuông SGA có: sin 450 = 𝑆𝐺
𝑆𝐴
=> SG = 2
2 𝑎 2 = a
* Vì ∆ SAG có: 𝐺 = 900
𝐴 = 450
=> Tam giác SAG vuông cân => GA = SG = a
=> AH = 3
2 AG = 3
2 a
* Xét tam giác vuông AHB có: sin 600 = 𝐴𝐻
𝐴𝐵 => AB = 3𝑎
2 ∶ 3
2 = 𝑎 3
=> S∆ABC = 1
2 AB AC sin 600 = 1
2 𝑎 3 𝑎 3 3
2 = 3𝑎
2 3 4
=> VSABC = 1
3 a 3𝑎
2 3
4 = 𝑎
3 3
4 (đvtt)
Ví dụ 3 Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC Tam giác ABC vuông cân tại B với AC = 𝑎 2 a) Chứng minh rằng: Chân đường cao trùng với trung điểm AC
b) Góc giữa (SBC) và đáy bằng 450 Tính thể tích khối chóp VSABC?
Giải
Trang 4
a) Vì ∆ 𝑆𝐴𝐶 𝑐â𝑛 𝑡ạ𝑖 𝑆
𝐻 𝑙à 𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔 đ𝑖ể𝑚 𝐴𝐶 => SH ⊥ AC
+) Gọi K là trung điểm BC
=> HK là đường trung bình trong ∆ ABC
=> HK // AB
=> HK ⊥ BC
+) Ta có: ∆ 𝑆𝐵𝐶 𝑐â𝑛 𝑡ạ𝑖 𝑆
𝐾 𝑙à 𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔 đ𝑖ể𝑚 𝐵𝐶 => SK ⊥ BC
=> BC ⊥ (SHK)
=> BC ⊥ SH => SH ⊥ (ABC) hay chân đường cao trùng với trung điểm H của AC (đpcm) b) Xét ∆ ABC vuông tại B có: AB2 + BC2 = AC2
2AB2
= 2a2
=> AB = a
=> S∆ABC = 1
2 AB BC = 𝑎
2 2
* Vì HK là đường trung bình trong ∆ ABC
=> HK = 1
2 BC = 𝑎
2
* ∆ SHK vuông cân => SH = HK = 𝑎
2
=> 𝑉 = 1 𝑎2.𝑎 = 𝑎3 (đvtt)
Trang 5Giải
+) S∆APB = 1
2 AB 𝑑𝐶𝑃 →𝐴𝐵) = 1
2 a a = 𝑎
2 2
+) Xét tam giác vuông SOA có:
SO2 + OA2 = SA2 SO2 = SA2 – OA2 = 2a2 – 𝑎
2
2 = 3𝑎2
2
=> SO = 𝑎 6
2
=> VSPAB = 1
3 𝑎2
2 𝑎 6
2 = 𝑎3 6
12 (đvtt)
Ta có: SAMN = 1
4 SSAB
=> VPAMN = 1
4 VSPAB = 1
4 𝑎3 6
12 = 𝑎
3 6
48 (đvtt)