CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BÀI 7.. TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG 1.. Lăng trụ đứng Định nghĩa: Lăng trụ đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.. Lăng trụ xiên... Tín
Trang 1CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
BÀI 7 TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG
1 Lăng trụ đứng
Định nghĩa: Lăng trụ đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy
+) A’B’C’ABC có AA’ ⊥ (ABC)
+) Dấu hiệu:
− 𝑐ạ𝑛ℎ 𝑏ê𝑛 𝑣𝑢ô𝑛𝑔 𝑔ó𝑐 𝑣ớ𝑖 đá𝑦
− 𝑙ă𝑛𝑔 𝑡𝑟ụ đứ𝑛𝑔
− 𝑙ă𝑛𝑔 𝑡𝑟ụ đề𝑢
2 Lăng trụ xiên
Trang 2Giải
+) Góc giữa (A’BC) và (ABC)
𝐴𝐻 ⊥ 𝐵𝐶
𝐴𝐴′ ⊥ (𝐴𝐵𝐶) => 𝐴 = 60′𝐻𝐴 0
+) S∆ABC = 1
2 AB AC sin 600
= 𝑎
2 3 4 +) AH = 𝑎 3
2
+) Xét tam giác vuông A’AH có: tan 600 = 𝐴
′ 𝐴
𝐴𝐻 => A’A = 3 𝑎 3
2 = 3𝑎 2
=> VA’B’C’ABC = 𝑎
2 3
4 3𝑎
2 = 3𝑎3 3
8
Ví dụ 2 Cho lăng trụ A’B’C’ABC là lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại A với 𝐶 = 600,
AC = a Góc giữa BC’ và (A’C’CA) bằng 300 Tính thể tích lăng trụ
Giải
Trang 3+) Góc giữa BC’ và (A’C’CA)
Ta có: 𝐵𝐴 ⊥ (𝐴
′𝐶′𝐶𝐴)
𝐵𝐶′ ∩ 𝐴′𝐶′𝐶𝐴 = {𝐶′} => 𝐵𝐶 = 30′𝐴 0
+) Xét tam giác vuông ABC có: tan 600 = 𝐴𝐵
𝐴𝐶
=> AB = 𝑎 3
=> S∆ABC = 1
2 AB.AC = 1
2 a 𝑎 3 = 𝑎
2 3 2 +) Xét tam giác vuông BAC’ có: tan 300
= 𝐴𝐵
𝐴𝐶′
=> AC’ = 3a
+) Xét tam giác vuông AA’C’ có: AA’2
= AC’2 – A’C’2
AA’2
= 9a2 – a2 = 8a2
=> AA’ = 2a 2
=> V = 𝑎
2 3
2 2a 2 = 𝑎3 6
Ví dụ 3 Cho lăng trụ đứng ABCDA’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc nhọn bằng 600 Độ dài đường chéo nhỏ của lăng trụ bằng độ dài đường chéo lớn của hình thoi Tính thể tích lăng trụ
Giải
+) Đường chéo của lăng trụ (hình hộp)
+) AC = a (vì ∆ ABC đều)
Trang 4=> BD = a 3
=> BD là đường chéo lớn
* A’C2
= AA’2 + AC2
B’D2 = BB’2 + BD2
=> A’C < B’D
=> A’C = a 3
+) SABCD = 1
2 AC.BD = 1
2 a a 3 = 𝑎
2 3 2 +) Xét tam giác vuông A’AC có:
AA’2
= A’C2 – AC2 = 2a2
=> AA’ = a 2
=> V = 𝑎
2 3
2 a 2 = 𝑎
3 6
2 (đvtt)