CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 1.. Cho SABCD có SA vuông góc với đáy.. a Tính góc SBC và ABCD b Tính góc SBD và ABCD Giải... Tính góc giữa mpA
Trang 1CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
1 Định nghĩa
+) Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) có giao tuyến ∆ có:
a ⊂ (P)
b ⊂ (Q)
và a, b ⊥ ∆
=> Góc giữa (P) và (Q) = góc giữa a và b
Các bước xác định góc
+) B1: Tìm giao tuyến
+) B2: Từ điểm còn lại (thường là điểm trên cao) hạ đường vuông góc xuống mp kia
+) B3: Tiếp tục hạ vuông góc xuống giao tuyến
+) B4: Nối lại với đỉnh ở B2 (trên cao)
Ví dụ 1 Cho SABCD có SA vuông góc với đáy Đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = a√3 Góc giữa SD và đáy bằng 600
a) Tính góc (SBC) và (ABCD)
b) Tính góc (SBD) và (ABCD)
Giải
Trang 2
a) Góc (SBC) và (ABCD)
* Cách dựng:
- Giao tuyến: (SBC) ∩ (ABCD) = BC
- SA ⊥ (ABCD)
- AB ⊥ BC
=> SBA là góc cần tìm
* Chứng minh:
Ta thấy: {𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝐵 (1)
𝐵𝐶 ⊥ 𝑆𝐴 => BC ⊥ (SAB)
=> BC ⊥ SB (2)
Từ (1), (2) => SBA là góc giữa (SBC) và đáy
* Tính:
Xét tam giác vuông SAD có 𝐷̂ = 450
=> ∆ SAD vuông cân
=> SA = AD = a√3
Xét tam giác vuông SBA có: tan B = 𝑆𝐴
𝐴𝐵 = 𝑎√3
𝑎 = √3
=> 𝑆𝐵𝐴̂ = 600
b) Góc (SBD) và (ABCD)
* Cách dựng:
- Giao tuyến: (SBD) ∩ (ABCD) = BD
- SA ⊥ (ABCD)
- AH ⊥ BD
Trang 3=> 𝑆𝐻𝐴̂ là góc cần tìm
* Chứng minh:
Ta có: {𝐵𝐷 ⊥ AH (1)
𝐵𝐷 ⊥ SA => BD ⊥ (SAH)
=> BD ⊥ SH (2)
=> 𝑆𝐻𝐴̂ là góc giữa (SBD) và (ABCD)
* Tính
Xét tam giác vuông SBD có: 1
𝐴𝐻2 = 1
𝐴𝐵2 + 1
𝐴𝐷2 = 3
3𝑎2+ 1
3𝑎2 = 4
3𝑎2
=> AH2 = 3𝑎
2
4 => AH = 𝑎√3
2
Xét tam giác vuông SAH: tan H = 𝑆𝐴
2 = 2
=> 𝑆𝐻𝐴̂ = arctan 2
Ví dụ 2 Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có AA’ ⊥ (ABC) Đáy là tam giác vuông cân tại A với cạnh
BC = a√2 Cho BB’ = 𝑎√2
2 Tính góc giữa mp(A’BC) và mp(ABC)
Giải
Góc giữa (A’BC) và (ABC)
* Dựng:
- (A’BC) ∩ (ABC) = BC
- A’A ⊥ BC
- AH ⊥ BC
=> 𝐴′𝐻𝐴̂ là góc cần tìm
Trang 4* Chứng minh:
Ta có: {𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝐻 (1)
𝐵𝐶 ⊥ 𝐴′𝐴 => BC ⊥ (A’HA)
=> BC ⊥ A’H (2)
=> 𝐴′𝐻𝐴̂ là góc giữa (A’BC) và (ABC)
* Tính 𝐴′𝐻𝐴̂
- Xét tam giác vuông ABC có: { 𝐴𝐻 ⊥ BC
∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑐â𝑛 𝑡ạ𝑖 𝐴 => AH là trung tuyến
=> AH = 1
2 BC = 𝑎√2
2
- AA’ = BB’ = 𝑎√2
2
Xét tam giác vuông A’HA: tan H = 𝐴𝐴
′
𝐴𝐻 = 1
=> 𝐴′𝐻𝐴̂ = 450
Ví dụ 3 Cho chóp đều SABCD có cạnh đáy bằng a Góc giữa mặt bên và đáy là 450 Tính góc giữa (SCD) và (SAD)
Giải
Góc giữa (SAB) và (ABCD) là 𝑆𝐻𝑂̂ = 450
Góc giữa (SCD) và (SAD)
* Dựng
- Giao tuyến : (SCD) ∩ (SAD) = SD
Từ O dựng OI ⊥ SD
=> 𝐴𝐼𝐶̂ là góc cần tìm
Trang 5* Chứng minh:
Ta có: {𝐴𝐶 ⊥ 𝑂𝐷
𝐴𝐶 ⊥ 𝑆𝑂 => AC ⊥ (SOD)
=> AC ⊥ SD
Mà SD ⊥ OI (theo cách dựng)
=> SD ⊥ (AIC) => {𝑆𝐷 ⊥ 𝐴𝐼
𝑆𝐷 ⊥ 𝐶𝐼
=> 𝐴𝐼𝐶̂ là góc giữa (SCD) và (SAD)
* Tính 𝐴𝐼𝐶̂
- Xét tam giác vuông SOD có: 1
𝑂𝐼2 = 1
𝑆𝑂2 + 1
𝑂𝐷2 = 4
𝑎2+ 2
𝑎2 = 6
𝑎2
=> OI = 𝑎
√6
- Xét tam giác vuông AOI (vuông tại O) có:
tan I = 𝑂𝐴
𝑂𝐼 = 𝑎√2
2 ∶ 𝑎
√6 = √3
=> 𝐴𝐼𝑂 ̂ = 600
=> 𝐴𝐼𝐶 ̂ = 1200
Vì góc giữa 2 mặt phẳng phải là góc nhọn
=> Góc giữa (SCD) và (SAD) là 600