CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BÀI 6.. - Khi tứ diện nhỏ có chung đỉnh với tứ diện to, đồng thời đáy bị nghiêng lên.. - Khi đã tính được thể tích chóp to Ví dụ: Cho hình chóp SABC có VSAB
Trang 1CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
BÀI 6 ĐỊNH LÝ SIMPSON VÀ TỶ LỆ THỂ TÍCH
Định lý Simpson
+) Cho tứ diện ABCD, lấy M, N, P ∈ AB, AC, AD
=> 𝑉𝐴𝑀𝑁𝑃
𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝑀
𝐴𝐵 𝐴𝑁
𝐴𝐶 .𝐴𝑃 𝐴𝐷
* Chú ý: Khi sử dụng Simpson:
- Chỉ sử dụng cho tứ diện
- Khi tứ diện nhỏ có chung đỉnh với tứ diện to, đồng thời đáy bị nghiêng lên
- Khi đã tính được thể tích chóp to
Ví dụ: Cho hình chóp SABC có VSABC = a3 Lấy M là trung điểm SA, N là trung điểm SB, điểm P ∈ SC và PC = 2PS Tính VSMNP = ?
Giải
Sử dụng Simpson ta có:
Trang 2𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 =
𝑆𝑀
𝑆𝐴
𝑆𝑁
𝑆𝐵.
𝑆𝑃
𝑆𝐶 =
1
2.
1
2.
1
3=
1 12
=> 𝑉𝑆𝑀𝑁𝑃 = 1
12 a3 (đvtt)
Ví dụ 1 Cho hình chóp SABC có SA ⊥ (ABC) Đáy là tam giác vuông cân tại C với AB = 2a Cho SA = a Gọi G là trọng tâm tam giác SBC Đường thẳng qua G và song song BC, cắt SB, SC tại B’ , C’ Tính VB’C’ABC
Giải
VB’C’ABC = VSABC – VSAB’C’
VSABC = 1
3SA S∆ABC
+) Xét tam giác vuông ABC có: AC2 + BC2 = AB2
2AC2
= 4a2
AC = 𝑎 2
=> S∆ABC = 1
2 AC BC = 1
2 𝑎 2 𝑎 2 = a2
=> VSABC = 1
3 a.a2 = 𝑎
3 3
𝑉𝑆𝐴 𝐵′ 𝐶′
𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝑎
𝑆𝐴.𝑆𝐵′
𝑆𝐵 .𝑆𝐶′
𝑆𝐶 = 𝑆𝐺
𝑆𝑀 𝑆𝐺
𝑆𝑀 (theo định lý Ta-let)
𝑉𝑆𝐴 𝐵′ 𝐶′
𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 = 2
3.2
3 = 4
9
=> 𝑉𝑆𝐴𝐵′ 𝐶′ = 4
9.𝑎3
3 = 4𝑎3 27
=> VB’C’ABC = 𝑎
3
3 − 4𝑎3
27 = 5𝑎3
27 (đvtt)
Trang 3Ví dụ 2 Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy, SA = 2a Đáy là tam giác đều cạnh a
Gọi M, N là hình chiếu của A lên SB, SC Tính VSAMN ?
Giải
Ta có: 𝑉𝑆𝐴𝑀𝑁
𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴
𝑆𝐴.𝑆𝑀
𝑆𝐵 𝑆𝑁 𝑆𝐶
S∆ABC = 1
2 AB AC sin 600 = 𝑎
2 3 4
=> VSABC = 1
3 SA S∆ABC = 1
3 2a 𝑎
2 3
4 = 𝑎
3 3
6 Xét tam giác vuông SAB có: SB2 = SA2 + AB2 = 5a2
=> SB = 𝑎 5
+) SM SB = SA2 => SM = 𝑆𝐴
2
𝑆𝐵 = 4𝑎2
𝑎 5 = 4𝑎
5
=> 𝑆𝑀
𝑆𝐵 = 4𝑎
5 ∶ 𝑎 5 = 4
5
Chứng minh tương tự: 𝑆𝑁
𝑆𝐶 = 4
5
=> 𝑉𝑆𝐴𝑀𝑁
𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 = 4
5.4
5 = 16 25
=> VSAMN = 16
25 𝑎3 3
6 = 8𝑎3 3
75 (đvtt)
Ví dụ 3 Cho hình chóp SABCD có SA vuông góc với đáy Đáy là hình chữ nhật có AB = a,
AD = 2a Góc giữa SB và đáy bằng 600 Lấy M ∈ SA sao cho: AM = 𝑎 3
3 Mặt phẳng (BCM) giao với SD tại điểm N Tính VSBCMN = ?
Giải
Trang 4
+) Góc giữa SB và mp(ABC) là góc 𝑆𝐵𝐴
+) Xét tam giác vuông SBA có: tan 600 = 𝑆𝐴
𝐴𝐵 = 3
=> SA = a 3
+) (BCM) ∩ SD
B1: (BCM) ∩ (SAD) = MN
VSBCMN = VSBMC + VSMCN
* Ta có: 𝑉𝑆𝐵𝑀𝐶
𝑉𝑆𝐵𝐴𝐶 = 𝑆𝐵
𝑆𝐵 𝑆𝑀
𝑆𝐴 .𝑆𝐶
𝑆𝐶 = 𝑆𝑀
𝑆𝐴 = 2
3
=> VSBMC = 2
3 VSBAC = 2
3 1
3 1
2 a 2a a 3 = 2𝑎
3 3 9
* 𝑉𝑆𝑀𝐶𝑁
𝑉𝑆𝐴𝐶𝐷 = 𝑆𝑀
𝑆𝐴 𝑆𝐶
𝑆𝐶 𝑆𝑁
𝑆𝐷 = 2
3.2
3 = 4 9
=> VSMCN = 4
9 SACD = 4𝑎
3 3 27
=> VSBCMN = 2𝑎
3 3
9 + 4𝑎3 3
27 = 10𝑎3 3
27