Một trường Đại học dự kiến tuyển sinh dựa vào tổng điểm của 3 môn trong kì thi chung và có ít nhất 1 trong hai môn là Toán hoặc Văn.. Hỏi trường Đại học đó có bao nhiêu phương án tuyển s
Trang 1HƯNG YÊN
BAN CHUYÊN MÔN
ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA 2015
Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y=x3+3mx 2 + 2 (1), với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2
(O là gốc tọa độ).
Câu 2 (1,0 điểm). Giải bất phương trình ( ) ( 1 )
log 4x+4 ³log 2x+ -3 - log 2 x .
Câu 3 (1,0 điểm).
a) Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho các số phức là nghiệm của phương trình z2 +2z + = Tính 3 0
độ dài đoạn thẳng AB.
b) Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2015, mỗi thí sinh có thể dự thi tối đa 8 môn: Toán, Lý, Hóa, Sinh, Văn, Sử, Địa và Tiếng anh. Một trường Đại học dự kiến tuyển sinh dựa vào tổng điểm của
3 môn trong kì thi chung và có ít nhất 1 trong hai môn là Toán hoặc Văn. Hỏi trường Đại học đó
có bao nhiêu phương án tuyển sinh?
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
2
0
sin cos 2 3cos 2
x
p
=
ò
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 4; 2; 2 ,) ( B 0;0;7 ) và
d - = - = -
- . Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng thuộc một
mặt phẳng. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC cân đỉnh A.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác cân, AB ' ' ' = AC= , a
120
BAC = Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy góc 60 0 . Tính thể tích lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng ( AB C theo a hoctoancapba.com ' ' )
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A - ( 1; 2 ) . Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của cạnh AD và DC; K là giao điểm của BN với CM. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK, biết BN có phương trình 2x+ y - = và điểm B có hoành 8 0
độ lớn hơn 2.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình ( )
,
x y
ï
Î
í
î
¡
Câu 9 (1,0 điểm). Cho x y z là các số thực dương thỏa mãn , , ( 2 2 2 ) ( )
5 x +y +z =9 xy+2 yz+ zx
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
( ) 3
1
x
P
ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA 2015 - ĐỀ SỐ 48
Thời gian làm bài 180 phút
Trang 2
1 a) Khảo sát hàm số 3 2
y=x + mx + Với m = 1, ta có hàm số: y = x 3 + 3x 2 + 2
*) TXĐ: ¡
*) Sự biến thiên:
+) Giới hạn tại vô cực: lim
x y
®±¥ = ±¥
0,25
+) Chiều biến thiên:
y' = 3x 2 + 6x Þ y' = 0 Û x = 0 hoặc x = 2 Bảng biến thiên:
y
2
¥
0,25
Þ hàm số đồng biến trên (¥; 2) và (0; +¥); hàm số nghịch biến trên (2; 0)
hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 6; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 2 0,25
*) Đồ thị:
Nhận xét: đồ thị hàm số nhận điểm
I(1; 4) làm tâm đối xứng.
0,25
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích
tam giác OAB bằng 2
Với mọi x Î ¡ , y' = 3x 2 + 6mx Þ y' = 0 Û x = 0 hoặc x = 2m
Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt
Û m ¹ 0 Khi đó, tọa độ các điểm cực trị là: A(0; 2); B(2m; 4m 3 + 2)
0,5
1
m
m
m
=
é
- = Û ê = -
ë
(thỏa mãn) Vậy với m = ± 1 thì hàm số có 2 cực trị thỏa mãn bài.
0,5
log 4x+4 ³log 2x+ -3 - log 2 x
6
4
2
2
Trang 3( ) ( )
1
2 1
+
+
( )
2 1
2
2 4
x x
x
x
L
x
+
é £ -
³
ê
Vậy BPT có tập nghiệm: S = [ 2; +¥ )
0,5
3 a) Xét phương trình: 2
2 3 0
z + z + = D' = 1 3 = 2 = ( ) i 2 2
Phương trình có hai nghiệm: z1= - +1 i 2;z2 = - - 1 i 2
0,25
Þ A( -1; 2 ;) ( B - - 1; 2 )
b) TH1: Trường ĐH chỉ xét 1 trong 2 môn Toán hoặc Văn:
TH2: Trường ĐH xét cả hai môn Toán và Văn:
Có: 1.C = (cách) 6 1 6
Vậy có các trường hợp là: 30 + 6 = 36 (cách)
0,25
4
2
Đặt cosx = t Þ dt = sinxdx
Với x = 0 Þ t = 1; với x =
2
p
Þ t = 0
0,25
( )( )
2
2
=
1
0
t
t
+
=
+
Trang 45 Đường thẳng d có véctơ chỉ phương u - r ( 2; 2;1 )
và đi qua M(3;6;1) Đường thẳng AB có véctơ chỉ phương uuur AB - - ( 4; 2;5 )
( 1; 4; 1 )
AM - -
uuuur
Ta có: éëu AB r uuur , ù = û ( 12;6;12 )
Þ ,éu AB AM ù = -12+24 12- = 0
r uuur uuuur Vậy AB và d đồng phẳng
0,5
( 3 2 ;6 2 ;1 )
CÎdÞC - t + t + t
Tam giác ABC cân tại A Û AB = AC
Û (1 + 2t) 2 + (4 + 2t) 2 + (1 t) 2 = 45
Û 9t 2 + 18t 27 = 0 Û t = 1 hoặc t = 3 Vậy C(1; 8; 2) hoặc C(9; 0; 2)
0,5
6
+ Xác định góc giữa (AB'C') và mặt đáy là · AKA ' · 0
' 60 AKA
Tính A'K = 1
' '
a
A C = Þ ' ' tan 60 0 3
2
a
3 ' ' '
3
=AA'.S
8 ABC A B C ABC
a
0,5
+) d(B;(AB'C')) = d(A';(AB'C'))
Chứng minh: (AA'K) ^ (AB'C')
Trong mặt phẳng (AA'K) dựng A'H vuông góc với AK Þ A'H ^ (AB'C')
Þ d(A';(AB'C')) = A'H
Tính: A'H = 3
4
a
Vậy d(B;(AB'C')) = 3
4
a
0,5
H
K
C' B'
A'
C
B A
Trang 57 Gọi E = BN Ç AD Þ D là trung điểm của AE
Dựng AH ^ BN tại H Þ AH d A; BN ( ) 8
5
Trong tam giác vuông ABE: 1 2 12 12 5 2
2
0,25
B Î BN Þ B(b; 8 2b) (b > 2)
Phương trình AE: x + 1 = 0
Gọi I là tâm của (BKM) Þ I là trung điểm của BM Þ I(1; 3)
BM
2
= = Vậy phương trình đường tròn: (x 1) 2 + (y 3) 2 = 5. 0,25
8
( )
ï
í
ï
î
ĐK: y ³ 1
Xét (1): ( ) 2 2
1-y x +2y =x+2y+ 3 xy
x + y =t t ³
Phương trình (1) trở thành: 2 ( ) 2 2
t + -y t-x - y - -x y- xy =
D = (1 y) 2 + 4(x 2 + 2y 2 + x + 2y + 3xy) = (2x + 3y + 1) 2
1
t x y
= - - -
é
ê
0,5
x + y = - -x y - , thay vào (2) ta có:
2
1
y
ì
³ -
ï
î
Þ x2 = - - (vô nghiệm) x 1
0,25
H
E
K
N
M
B A
Trang 6Với x2+2y2 = x+ 2 y , ta có hệ:
1 5
1 5
2
x
y
ì - -
=
ï
ì + = -
Û
+
ï
î Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) 1 5 1; 5
x y = çæ- - + ö ÷
0,25
9 Từ điều kiện: 5x 2
+ 5(y 2 + z 2 ) = 9x(y + z) + 18yz hoctoancapba.com
Û 5x 2 9x(y + z) = 18yz 5(y 2 + z 2 )
Áp dụng BĐT Côsi ta có: 1( ) 2 2 2 1 ( ) 2
Þ 18yz 5(y 2 + z 2 ) £ 2(y + z) 2 .
Do đó: 5x 2 9x(y + z) £ 2(y + z) 2 Û [x 2(y + z)](5x + y + z) £ 0
Þ x £ 2(y + z)
P
Đặt y + z = t > 0, ta có: P £ 4t 1 3
t
27
Xét hàm Þ P £ 16.
Vậy MaxP = 16 khi
1
y z
12
1
x
3
ì
= =
ï
í
ï =
ï
Cảm ơn bạn MathLove (lovemaths.@yahoo.com.vn ) đã gửi tới www.laisac.page.tl