PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG CHỨNG MINH BĐT BÀI TOÁN MỞ ĐẦU Bài toán 1.. Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực tr
Trang 1PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG CHỨNG MINH BĐT
BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
Bài toán 1 Cho , 0
1
a b
a b
>
+ ≤
2 1
P
ab
Giải
P
ab
Dấu “=” xảy ra
tồn tại Min ? ?P
Lời giải 2 Ta có:
P
Mặt khác
2
1
a b
ab≤ + =
3
P
+ ÷ ÷
Dấu “=” xảy ra
1 2 1
a b
+ + =
+ =
Lời bình: Bài toán 1 áp dụng bất đẳng thức 1 1 4
a b+ ≥ a b
+ Lời giải 1 tại sao sai?
Lời giải 2 tại sao lại tách 1 1 1
2ab = 6ab+ 3ab? ? Làm sao nhận biết được điều đó…?
Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị.
2.1 PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI
1 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy
Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rất rộng
rãi Đây là bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là công cụ hoàn hảo cho việc chứng minh các bất đẳng thức
* Bất đẳng thức Cauchy
Trang 2Cho n số thực không âm a a1 2 , , , (a n n ≥ 2) ta luôn có:
1 2
1 2
n n
n
a a a n
+ + + L ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 =a2 = L =a n.
* Một vài hệ quả quan trọng:
n
i
n
a +a + +a ≥ a a a ∀ > =
L
L
+Cho 2n số dương (n Z n∈ , ≥ 2): a a1 2, , , , , , ,a b b n 1 2 b n ta có:
n( 1 1)( 2 2) ( ) n 1 2 n 1 2
a +b a +b a +b ≥ a a a + b b b
Trong chứng minh bất đẳng thức, đôi khi việc ghép và sử dụng các bất đẳng thức cơ sở không được thuận lợi và dễ dàng Khi sử dụng liên tiếp nhiều bất đẳng thức ta phải chú ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện này luôn được thỏa mãn suốt quá trình ta sử dụng bất đẳng thức trung gian Và bất
đẳng thức Cauchy là một trong những bất đẳng thức đó Để thấy được kĩ thuật
này như thế nào ta sẽ đi vào một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho a≥3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a+
a
1
Phân tích và tìm tòi lời giải
Xét bảng biến thiên của a,
a
1
và S để dự đoán Min S
a
1
3
1
4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
1 10
1
11
1
12
30 1
S 3
3
1
4
4
1
5
5
1
6
6
1
7
7
1
8
8
1
9
9
1
10
10
1
11
11
1
12
12
30 1
Nhìn lại bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì S càng lớn và từ đó dẵn đến việc dự đoán khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất.Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta
sẽ nói rằng Min S=
3
10
đạt tại “Điểm rơi : a=3”
Do bất đẳng thức côsi chỉ xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau ,nên tại “Điểm rơi:a=3”ta không thể sử dụng bất đẳng thức côsi trực tiếp cho 2 số a và
a
1
vì 3≠
3
1
Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳng thức côsi cho cặp số
a
a 1
,
α sao cho tại “điểm rơi:a=3”thì a
a = 1
α tức là ta có lược đồ
“điểm rơi” sau đây:
Sơ đồ:
Trang 3a=3⇒ 3 9
3 1 3
1 1
3
=
⇒
=
⇒
=
=
α α
α α
a a
Từ đó ta biến đổi theo sơ đồ “Điểm rơi”được nêu trên
Lời giải: S=a+
a
1
+
a
9
8a
≥2
a
a 1
9
3
8 ⋅
=
3 10
Vậy với a=3 thì Min S=
3 10
Ví dụ 2: Cho a≥6.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a2 +
a
18
Sơ đồ điểm rơi :
a=6 ⇒
=
=
6 18
36 6
18
2
a
a
α
⇒
=
= α α
α
36
36 6 18
2
6
18
Lời giải: S=a2+
a
18
+
a
6 2
2
+ −2 6
1
a
6 2
2
⋅ + −2 6
1
=6
6
a a
6 2
1
6 2
1 1 6
6 6
−
Vậy với a=6 thì Min S=2a+3 6
Ví dụ 3: Cho , 0
1
a b
a b
>
+ ≤
, tìm GTNN của biểu thức 2 2
4
ab
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có :
2ab+ ab≥ 2ab ab = Vậy P≥ + 4 2 2 nên MinP = 2(2 + 2)
Sai lầm 2:
Trang 42 2 2
Dấu bằng xảy ra
2 2
2
1
a b
+ =
+ =
2
a b= = vào ta được
7
P≥ ⇒MinP= 7 khi 1
2
a b= =
Nguyên nhân sai lầm:
ab = ab+ ab là
do thói quen để làm xuất hiện a2+b2+ 2ab= + (a b)2
1
2
1
a b
ab
a b
=
+ =
Dấu “=” bất đẳng thức không xảy ra ⇒
không kết luận được MinP = + 4 2 2
Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi
1
2
a b= = nên đã tách các số hạng và MinP= 7 khi 1
2
a b= = là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai
Ví dụ như (1 −x)2+ ≥x x, dấu bằng xảy ra khi x= 1⇒Min x( −1)2+x =1??. Lời giải đúng:
Do P là biểu thức đối xứng với a b, , ta dự đoán MinP đạt tại 1
2
a b= = , ta có:
4 2
Dấu bằng xảy ra
2 2
2
1
a b
+ =
+ =
Ví dụ 4: Cho , 0
1
a b
a b
>
+ ≤
S
Sai lầm thường gặp:
Ta có:
Trang 53 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2
3
S
3.
2
+
59
3
MinS =
Nguyên nhân sai lầm:
3 3 3 2
3
1
a b
+ =
= ⇔ =
+ =
Lời giải đúng:
Ta dự đốn dấu bằng xảy ra khi 1
2
a b= = , và ta thấy:
3 3 3 2 3 2 ( ) 3
a + +b a b+ ab = +a b vì thế ta muốn xuất hiện (a b+ )3, ta áp dụng bất đẳng thức 31 3 12 12
a b + a b + ab
31 3 12 12 3 9
a b + a b+ ab ≥ a b ab a b
Ta khơng đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp dụng bất đẳng thức cho 5 số:
3
20
4
S
Dấu bằng xảy ra khi 1
2
a b= =
2 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Bunhia
Cũng như bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức này cũng cần cĩ một
phương pháp để cân bằng các hệ số khi ta giải các bài tốn liên quan đến bất đẳng thức này
* Bất đẳng thức Bunhia
Cho 2n số dương (n Z n∈ , ≥ 2): a a1 2 , , , , , , ,a b b n 1 2 b n ta cĩ:
(a b +a b + + L a b n n) ≤ (a +a + + L a n)(b +b + + L b n)
Dấu “=’ xảy ra 1 2
(quy ướ c nếu 0 0)
n
n
a
* Một vài hệ quả quan trọng
2 2 1 1 2 2 2
2 1 2 2
2
2
1 a a n b b b n a b a b a n b n
Trang 6Dạng 2: (a a a n) (b b2 b n2) a1b1 a2b2 a n b n
2
2 1 2 2
2
2
Dạng 3: (a +a + +a n) (⋅ b +b2 + +b n2) ≥a1b1 +a2b2 + +a n b n
2
2 1 2 2
2
2
1
Dấu bằng: Dạng 1, dạng 2
n
n
b
a b
a b
a
=
=
=
2
2 1
1
2
2 1
1 = = = ≥
⇔
n
n
b
a b
a b a
Ví dụ 1:Cho
≥ + +
>
6
0 , ,
c b a
c b a
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2 2
a
c c
b b
Phân tích và tìm tòi lời giải:Xét dang đặc biệt với n=2:
2 2
2 1
2 2
2
[a +a b +b ≥a b +a b Dấu bằng xẩy ra 0
2
2 1
1 = ≥
⇔
b
a b a
Ý nghĩa: chuyển đổi một biểu thức ở trong căn thành một biểu thức khác ở ngoài căn Xét đánh giá giả định với các số α, β
+ +
≥ +
+ +
= +
b
a b
a b
β α β
α β
2 2
2 2
2 2 2
(1)
+ +
≥ +
+ +
= +
a
b c
b c
β α β
α β
2 2 2
2 2 2 2 2
(2)
+ +
≥ +
+ +
= +
a
c a
c a
β α β
α β
2 2 2
2 2 2
(3)
1 1 1 ) (
1
S c b a c
b a
+ + +
+ + +
β α
Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán S=So tại điểm rơi
a=b=c=2, khi đó tất cả các bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thơi xảy ra dấu bằng tức là ta có sơ đồ điểm rơi sau:
b b
a
β
1
=
Sơ đồ: a=b=c=2 ⇒ αb = β1c ⇔ = 1 = 1 = 1 = 14
a
c c
b b
a
β
α
⇒
a
c
β α
1
=
Kết hợp với biến đổi theo “kỹ thuật điểm rơi trong cối ” ta có lời giải sau:
4
=
α 1
=
β
Trang 7Lời giải đúng:
+
≥ +
+
= +
b
a b
a b
17
1 ) 1 4 (
1 17
1
2
2 2
2
+
≥ +
+
= +
c
b c
b c
17
1 ) 1 4 (
1 17
1
2
2 2
2
+
≥ +
+
= +
a
c a
c a
17
1 ) 1 4 (
1 17
1
2
2 2
2
+ + + + + +
+ +
=
+ + + + +
≥
c b a
c b a c b a c
b a c b
4 4 4 ) (
4
15 17
1 1 1 1 4 4 4 17
1
2
17 3 3 2
45 17
1 1
1 1 4 4 4 6 6 4
15 17
1
+
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ +
⋅
≥
c b a
c b a
Với a=b=c=2 thì Min S=
2
17 3
a,b,c > 0
Ví dụ 2: Cho Tìm Min của S=
b a
c a c
b c b
a
+ + + +
+ +
2
a+b+c≥ 6
Bình luận và lời giải
Phân tích để tìm lời giải: Xét đánh giá giả định với các số α , β
c b
a c
b
a
+ +
≥ +
+
2
(1)
a c
b a
c
b
+ +
≥ +
+
2
(2)
b a
c b
a
c
+ +
≥ +
+
2
(3) _
⇒ + S ≥ a+b+c + a+b + b+c + c+a
1 1
1 )
(
2
α
a c c b b a c
b a
+
+ +
+ + +
+ + +
2
β α
Trang 8Do biểu thức đối xứng với a,b,c nên dứ đoán S=So tại điểm rơi a=b=c=2, khi đó các bất dẳng thức (1), (2), (3)đồng thời xảy ra dấu bằng tức là có sơ đồ điểm rơi sau đây:
*Sơ đồ điểm rơi:
b
a
β α
1
=
4 1 1 1 1
a
c c
b b
a b
b
β
α β
α
a
c
β α
1
=
Từ đó ta có lời giải sau đây:
*Lời giải đúng:
c b
a c
b
a
+ +
≥ +
+ + 1 ( 4 2 1 2 ) 4 1
2 2
+
a c
b a
c
b
+ +
≥ +
+ + 1 ( 4 2 1 2 ) 4 1
2 2
b a
b b
a
c
+ +
≥ +
+ + 1 ( 4 2 1 2 ) 4 1
2 2
⇒ S≥ a+b+c + a+b + b+c + c+a
1 1
1 )
( 4 17
a c c b b a c b a a c c b b a c
b
a
+ + + + + + + +
≥ + +
+ +
+
+
.
3 )
(
4
3
( ) ( ) ( )
9 )
( 4 )
1 1 1 (
9 )
(
4
c
b
a
+ + +
+ +
= + + + + + +
+ +
+
+
≥
) (
6 2
9 )
( 6 2
9 8
) (
8
31
c b a c
b a
c b a c
b
a
+ +
+ + + +
+ + + +
+
=
2
51 4
9 4
93 ) (
6 2
9
) (
6 2
9 8
3
6
8
31
+ + +
+
⋅ + + +
⋅
≥
c b a c
b a
c b a
2
17 3 17 2
17 3 17
2
≥
2
17 3
Ví dụ3: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a+b+c+ 2abc≥ 10 Chứng minh rằng
4 2
9 8 4
2
9 8 4
2
9
2
2 2 2 2
2 2 2
c
b a c b
a c b a
4
=
α 1
=
β
Trang 9*Lời giải:
Dự đốn điểm rơi: a = b = c = 2
Sử dụng bất đẳng thức bunhiacơpski cĩ:
ca b a
a c b
+
4 2
9 8 4 18 2
2 2 2 2
b
b a c
+
4 2
9 8 4 18 2
2 2 2 2
bc a c
c b a
+
4 2
9 8 4 18 2
2 2 2 2
_
+ +
≥
⇒
c b a
.
) (
6 2
2 2
4 2
4 2
4
2
) (
6 ) 2
( ) 2
( ) 2
( 4
4 4
c b a abc abc
abc c
c
b b
a
a
c b a ab c ca bb bc
a c
c
b b
a
a
+ + + +
+ +
⋅ +
⋅ +
⋅
≥
+ + + + + + +
+ +
+ +
+
+
+
=
6 6 24 / 72 72
10 6 12 ) 2 (
6
* Bài tập tương tự (trích dẫn trong các đề thi đại học)
Bài1: Cho , , 0
1
x y z xyz
>
, chứng minh rằng:
3 3
: Nếu 1 là đề thi Đại học khối D năm 2005
m N∈ ∗ m=
Bài 2: Cho x y z, , là 3 số thỏa x y z+ + = 0, chứng minh rằng:
3 4 + x + 3 4 + y + 3 4 + z ≥ 6(đề tham khảo 2005)
Bài 3: Cho a≥ 2,b≥ 3,c≥ 4, tìm GTLN: P ab c 4 bc a 2 ca b 3
abc
=
Bài 4: Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn 3
4
a b c+ + = Chứng minh rằng:3a+ 3b+ 3b+ 2c+ 3c+ 3a ≤ 3 (ĐTK 2005)
Bài 5: Cho a b c, , 0 1
a b c
>
+ + ≤
, tìm GTNN của các biểu thức sau:
Trang 102 2 2
P
ab bc ca
S
ab bc ca
Q
ab bc ca
+ +
