c H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T Hết Họ tên thí sinh:.... Giám thị không giải thích gì thêm... Học sinh giải bằng cách
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 12/10/2015
Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
(Đề thi này có 5 bài, gồm 01 trang)
Bài 1: (4,0 điểm) Cho A 2 x 9 2 x 1 x 3(x 0, x 4, x 9)
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của x để A = 1
2
Bài 2: (4,5 điểm)
a) Tính 8 2 15− − 8 2 15+
b) Cho x2 – x – 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức:
P
=
c) Giải phương trình: x 3x2 6 2
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Tìm số nguyên dương n bé nhất để F = n3 + 4n2 – 20n – 48 chia hết cho 125
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n >1 thì số A = n6 - n4 +2n3 + 2n2
không thể là số chính phương
Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE,
CF cắt nhau tại H Chứng minh rằng:
a) SABC = 1
2AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
b) tanB.tanC = AD
HD c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF
AB.AC + BC.BA + CA.CB =
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 2 2 2
x + y + y + z + z + x = 2015 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
T
Hết
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị không giải thích gì thêm
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016
MÔN : TOÁN
Hướng dẫn chấm này có 03 trang
I Yêu cầu chung:
1 Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng
2 Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điểm
II Yêu cầu cụ thể:
1
2 x 9 (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3)
( x 3)( x 2)
=
x 3
+
=
0,25 0,5
1,0 0,25 b(2,0đ) Ta có:
1
9
+
−
Vậy x = 1
9thì A = 1
2
−
0,75 1,0 0,25
2
a(1,5đ) Ta có 8 2 15− − 8 2 15+
b(1,5đ) Ta có: x2 – x – 1 = 0 ⇒ x2 – x = 1 ⇒ (x2 – x)3 = 1
⇒ x6 – 3x5 + 3x4 – x3 = 1
Mặt khác: x2 – x – 1 = 0 ⇒ x2 = x + 1
⇒ x6 = (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1.
1
0,5 0,5
0,5
c(1,5đ) ĐK: x2 – 9 > 0 ⇔ < −x x>33
+ Nếu x > 3: Bình phương hai vế của phương trình ta được:
2
Đặt
2 2
x
2
t + − 6t 72 0 = ⇔ = t 6(t/m)
0,25 0,25 0,5
Trang 3Khi đó:
2 2
x
6
− ⇔ x4 – 36x2 + 324 = 0 ⇔ x2 = 18
Suy ra : x= 3 2 (t/m) hoặc x= − 3 2 (loại)
+ Nếu x < –3: Khi đó: 32 0 6 2
9
x x
x
− : PT vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x= 3 2
0,25
0,5 0,25
3
a(2,0đ) Ta có: F = n3 + 4n2 – 20n – 48 = (n – 4)(n + 2)(n + 6)
Thử với n = 1; 2; 3 thì F đều không chia hết cho 125.
Thử với n = 4 thì F = 0 chia hết cho 125.
Vậy số nguyên dương bé nhất cần tìm là: n = 4.
1,0 0,5 0,25 0,25 b(2,0đ) A=n6 - n4 +2n3 + 2n2
= n4(n2-1) + 2n2(n+1)
= n2(n+1)(n3-n2 +2)
= n2(n+1)[(n+1)(n2-2n+2)]
= n2(n+1)2(n2-2n +2) = n2(n+1)2[(n-1)2 +1]
Ta có: (n-1)2 < (n-1)2 +1= n2 + 2(1-n) < n2 (vì n>1)
⇒ (n-1)2 +1 không thể là số chính phương
Vậy A không thể là số chính phương
0,5
0,5 0,5 0,5
* Ta có: SABC = 1
2.BC.AD.
∆ABD vuông tại D có AD =AB.sinB, do đó SABC = 1
2BC.AB.sinB.
∆ABE vuông ở E có AE = AB.cosA
∆BFC vuông ở F có BF = BC.cosB
∆ACD vuông ở D có CD = AC.cosC
Do đó AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC
1,0 0,25 0,25 0,25 0,25
b(1,5đ) Xét ∆ABD có tanB = AD
BD; ∆ACD có tanC = AD
CD suy ra tanB.tanC =
2
AD BD.CD (1)
Do ·HBD CAD=· (cùng phụ với ·ACB ) nên ∆BDH ∼ ∆ADC (g.g)
0,5
0,5
A
H D
E F
Trang 4Kết hợp với (1) được tanB.tanC =
2
c(1,5đ) Chứng minh được ∆AEF ∼ ∆ABC (g.g) ⇒AEF ABC· = ·
Tương tự được ·CED CBA=· nên ·AEF CED=· mà BE ⊥ AC
AEB CEB
⇒ = = 900 Từ đó suy ra ·FEB DEB=· ⇒ EH là phân trong
của ∆DEF
Tương tự DH, FH cũng là phân giác trong của ∆DEF nên H là giao ba
đường phân giác trong của ∆DEF
0,5
0,5
0,5 d(1,0đ) Ta có : SBHC + SCHA + SAHB = SABC
Dễ thấy ∆CHE ∼ ∆CAF(g.g) CH CE
BHC BHC
ABC ABC
CBA
CAB
HA.HB S
BAC CBA ACB
1
0,25
0,25 0,25 0,25
5
Đặt a= x 2 + y ; b 2 = y 2 + z ;c 2 = z 2 + x 2 ⇒a; b;c 0 > và a b c 2015 + + =
Ta có: a 2 + + = b 2 c 2 2(x 2 + y 2 + z ) 2 ⇒
Do đó: (y z) + 2 ≤ 2(y 2 + z ) 2b 2 = 2 ⇒ y z + ≤ 2b ⇒ x2 a2 b2 c2
− +
≥
Tương tự:
,
a b c
+ +
2
(a b c)
a b c
(a b c)(a b c)
a b c
2015.9
Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c 2015
3
Vậy T min 2015
2 2
3 2
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 Người làm đáp án: Người thẩm định:
1
2 Người duyệt: