Phương trình lượng giác 11 ( đầy đủ lí thuyết bài tập )

cos6x=4cos 2x−3cos2x và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số lượng giác cos2x.. * Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về phươn

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Dạng 2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng: sina x b+ cosx c= (1) ; với , ,a b c∈¡ và a b2+ ≠2 0

Cách giải: Chia hai vế cho a b2+ 2 và đặt

0tan ( ) tan ( )

Cách giải: Đặt

sin ( )cos ( )tan ( )cot ( )

u x

u x t

Dạng 5 Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng: (sina x+cos )x b+ sin cosx x c+ =0 (3)

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ

2 1 sin cos2

sin cos 2sin

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng

(sin cos ) sin cos 0

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

Vấn đề 1 Giải các phương trình lượng giác cơ bản Các ví dụ

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

1 sinx−cos2 0x = 2 cos2x−sin2 0x =

3 2sin(2x−35 )0 = 3 4 sin(2x+ +1) cos(3x− =1) 0

2sin cos tan

2

x x

155 .1802

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau:

1 cosx−2sin2x=0 2 sin sin33 cos cos33 5

2

x x− x x= −

3 sin 22 x=cos 22 x+cos3x 4 sin2 cos3x x=sin5 cos6x x

5 sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x

6 sin 32 x−cos 42 x=sin 52 x−cos 62 x 7 cos 3 cos22 x x−cos2x=0

5 Phương trình ⇔(sinx+sin3 ) sin2x + x=(cosx+cos3 ) cos2x + x

2sin2 cosx x sin2x 2cos2 cosx x cos2x

cos6x=4cos 2x−3cos2x và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm

số lượng giác cos2x.

* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình

đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt t=cos2x

Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:

1 3sinx+ 4cosx= 0 2 sin 2x+ 3cos2x= 1

3 2sin 3x+ 5cos3x= 5 4 3cosx+ 3sinx= 1

5 sin7x− cos2x= 3(sin 2x− cos7 )x 6 sin 3x− 3cos3x= 2sin 2x

7 sinx+cos sin2x x+ 3cos3x=2(cos4x+sin )3x

2 + 5 = <9 5 ⇒phương trình vô nghiệm.

4 Phương trình 3cos sin 1 cos( ) 1

 − = π− + π



23

 = +



Ví dụ 4 Giải các phương trình sau:

1 cos( sin ) cos(3 sin )π x = π x 2 tan (sin 1) 1

1 Phương trình 3 sin sin 2

2

x k n x

Ví dụ 5 Giải các phương trình sau:

1 ( 3 1 sin− ) x+( 3 1 cos+ ) x=2 2sin2x

2 3sin2x+5cos2x−2cos2x=4sin2x

3 5sinx− =2 3 1 sin tan( − x) 2x 4 sin2 tan2 cos2 0

sin5sin 2 3(1 sin )

sin(1 sin ) (1 cos ) 0

(1 cos )(cos sin ) 0

tan 1

4

x k x

Ví dụ 6 Giải các phương trình sau:

1.sin3x+cos3x=sinx−cosx 2 2cos3x=sin3x

3 sin2x+3tanx=cos 4sinx( x−cosx)

⇔ = ⇔ = + π (Do sin2x−sin cosx x+2cos2x> ∀ ∈0 x ¡ )

2 Phương trình ⇔2cos3x=3sinx−4sin3x

3 Điều kiện: cosx≠0

Phương trình ⇔tan2x+3tan (1 tan ) 4tanx + 2x = x−1

Ví dụ 7 Giải các phương trình sau:

1.sin2x−5sin cosx x−6cos2x=0 2 sin2x−3sin cosx x= −1

3.3sin2x+5cos2x−2cos2x=4sin2x 4 sin3x+cos3x=sinx−cosx

Lời giải:

1 Nhận thấy cosx=0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho cos x ta được:2

Ví dụ 8 Giải các phương trình sau:

1.cos3x+cos2x−cosx− =1 0 2 3cos4x−8cos6x+2cos2x+ =3 0

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên theo cách sau

phương trình ⇔cos3x−cosx− −(1 cos2 ) 0x =

2cos

32

x k x

cung này về cùng một cung x

Ta có: sin( 3 ) sin ( ) 2 sin( ) cos

x− π =  x+π − π = x+π = x

4 Ta chuyển cung 2x về cung x.

Phương trình ⇔4sin cosx 2x+2sin cosx x= +1 2cosx

2sin cos (2cosx x x 1) 2cosx 1

4(2cos 1)(sin2 1) 0

Ví dụ 8 Giải các phương trình sau:

1.4 cos3 cos( x 3x+sin3 sinx 3x)+ 3sin6x= +1 3 cos( 4x−sin4x)

2 4 sin( 4x+cos4x)+sin4x( 3 1 tan2 tan− − x x) =3

Ta có : 4 sin( 4x+cos4x) = −4 2sin 22 x= +3 cos4x

sin2 sin cos2 cos sin2 sin

Suy ra (1 3 33)tan+ 3 2x−14tanx+3 33 5 0 3 − > ∀ ∈x ¡

Suy ra điều phải chứng minh

Lời giải:

1 Theo định lí Viét ta có: tanα +tanβ =6, tan tanα β = −2

Suy ra tan( ) tan tan 2

2 Theo định lí Viét ta có: tanα +tanβ = −b,tan tanα β =c

Suy ra tan( ) tan tan

1 tan tan 1

b c

1tan ( ) 2 tan( ) (1 )

2 2

2 (1 ) (1 )(1 )

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP (có đáp án chi tiết)

Bài 1 Giải phương trình sin 2 1

k x

k x

k x

2sin cos tan

2

x x

Bài 13 Giải phương trình sin(2x+ +1) cos(3x− =1) 0

k k x

k k x

k k x

k k x

k k x

 = π



∈

π

k k x

 = π



∈

π

k k x

 = π



∈

π

k x

k k x

k k x

k k x

k x

x= π+ πk là nghiệm của phương trình

Bài 21 Giải phương trình cot2 sin3x x=0

k k

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình x m= π.

Bài 23 Giải phương trình cot5 cot8x x=1

Điều kiện: sin5 0 5

sin8 0

8

k x x

sin2 0

2

x x

Kết hợp điều kiện ta thấy phương trình vô nghiệm

Bài 26 Giải phương trình tan2 cot2 1 cos (32 )

Ta có: tan2 cot2 2 1 cos 32

⇔ = + π là nghiệm của phương trình đã cho

Bài 27 Giải phương trình cos(2 sin 2 ) 1

k x

k x

Bài 32 Giải phương trình 3(sin2x+cos7 ) sin7x = x−cos2x

k k x

k k x

k k x

k k x

k x

Bài 34 Giải phương trình 1 cos 2cos2 cos3 2(3 3sin )

32cos cos 1

Điều kiện: 2cos2x+sinx− ≠1 0

Phương trình ⇔cosx−sin2x= 3cos2x+ 3sinx

22

Bài 36 Khẳng định nào đúng về phương trình 2 2 sin( x+cos cosx) x= +3 cos2x

A Có 1 họ nghiệm B Có 2 họ nghiệmC Vô nghiệm

D Có 1 nghiệm duy nhất

Lời giải:

Phương trình ⇔ 2sin2x+ 2(1 cos2 ) 3 cos2+ x = + x

2sin2x 2 1 cos2x 3 2

Bài 37 Giải phương trình 3cos4x−sin 22 x+cos2x− =2 0

C x= − + π ∈π4 k k( ¢ hoặc ) x arc= cot( 2)− + π ∈k k( ¢)

D x= + π ∈4π k k( ¢ hoặc ) x arc= cot(2)+ π ∈k k( ¢)

x π k

⇔ = − + π hoặc x arc= cot( 2)− + πk

Bài 39 Giải phương trình 3tanx+cotx− 3 1 0− =

Phương trình ⇔sinx+cosx+sin cosx x− =1 0

Đặt sin cos 2cos( ), 2; 2

4

t= x+ x= x−π t∈ − 

2 1sin cos

Phương trình ⇔(cosx−sin )(1 sin cos ) 1 0x + x x + =

2

t

Thay vào phương trình ta được:

Phương trình ⇔5tan2x+2tanx− =5 0

A

22

5,

12 2

x k

k x

1arctan

 = + π



C

1arctan( 2)

31

52arcsin

Điều kiện: 2cos2x+sinx− ≠ ⇔1 0 cos2x+sinx≠0

Phương trình ⇔cosx−sin2x= 3cos2x+ 3sinx

k x

k x

k x

k x

x

k x

Lời giải:

Điều kiên: cosx≠0

Phương trình ⇔sinx+cosx= 2sin2x

Phương trình ⇔(sinx+cos )(1 sin cos ) (sinx − x x = x+cos )(cosx x−sin )x

(sinx cosx) (1 sin cosx x cosx sinx) 0

Phương trình ⇔(cosx+sinx) (1 sin cos− x x) =2sin2x+sinx+cosx

Giải ra ta được ; arctan 1

Điều kiện: sin2x≠0

Phương trình 2 2(sin2 cos2 ) 12 1 cot2

21

 = + π



C

2arctan( 2)

32

Ta thấy cosx=0 không là nghiệm của phương trình

Nên phương trình ⇔4tan3x+ −3 3tan (1 tan ) tanx + 2x − 2x=0

cos 2cos 1 sin 2sin 1 cos2 cos sin

24

41arcsin( )

1arcsin( ) 2

41arcsin( ) 2

Phương trình ⇔ −4sin2x+3sinx+ =1 0

22sin 1

1arcsin( ) 2

6arccos 2

Phương trình cos2 3 1 1arccos 3 1

;6

526

sin 0

6sin

26

x k x

5,

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( ĐÁP ÁN KHÔNG CHI TIẾT)

Câu 1 Phương trình sin 1

Câu 9 Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của

phương trình sinx=0?

A cosx= −1 B cosx=1 C tanx=0 D cotx=1

Câu 10 Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của

Câu 12 Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của

phương trình 3sin2x=cos2x?

Câu 16 Phương trình 2sin2x−7sinx+ =3 0

Câu 19 Phương trình sin2x−4sin cosx x+3cos2x=0có tập nghiệm trùng với tậpnghiệm của phương trình nào sau đây?

A cosx=0 B cotx=1 C tanx=3 D

tan 1

1cot

3

x x

2cos 0

x x

tan 2tan 3

x x

2

x x

2

x x

2

x x

2

x x

A

2

24

Câu 29 Phương trình 16cos cos2 cos4 cos8x x x x=1có tập nghiệm trùng với tậpnghiệm của phương trình nào sau đây?

A sinx=0 B sinx=sin8x C sinx=sin16x D sinx=sin32x

Câu 30 Phương trình 2 cos cos2 cos4 cos8 cos2n+ 1 x x x x n x=1có tập nghiệm trùngvới tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A sinx=0 B sinx=sin2n x C sinx=sin2n+ 1x D sinx=sin2n+ 2x

Câu 31 Phương trình sin3x+sin2x=sinxcó tập nghiệm trùng với tập nghiệmcủa phương trình nào sau đây?

A sinx=0 B cosx= −1 C cos 1

2

x= − D

sin 0

1cos

2

x x

A sinx=cosx B cosx=0 C cos8x=cos6x D sin8x=cos6x

Câu 33 Phương trình sin4x+cos4x=1có tập nghiệm trùng với tập nghiệm củaphương trình nào sau đây?

A sinx= −1 B sinx=1 C cosx= −1 D sin 0

cos 0

x x

2cos2 sin2

A cos2x=sin3x B cos2x= −sin3x C cos2x=sin2x D cos2x= −sin2x.

Câu 37 Phương trình sin2x+sin 22 x+sin 32 x+sin 42 x=2 có tập nghiệm trùng vớitập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A sin5x=1 B cos3x= −cosx C cos3x=cosx D cos3x= −cosx

Câu 38 Phương trình tanx+tan2x=sin3 cosx x có tập nghiệm trùng với tậpnghiệm của phương trình nào sau đây?

A sin3x=0 B cos2x=0 C cos2x= −2 D sin3 0

cos2 0

x x

A t=sinx B t=cosx C t=tanx D t=cotx

Câu 40 Phương trình 3cos2x−4sinx=10 có thể chuyển về phương trình bậc haivới ẩn phụ được đặt như sau

A t=sinx B t=cosx C t=tanx D t=cotx

Câu 41 Phương trình 2 cos( 4x−sin4x) =1

6

x x

 =π



π

A vô nghiệm B chỉ có các nghiệm 12

512

x x

 = π



π

cosx−sinx = −1 cos3x

2

x x

 = π



π

Câu 45 Phương trình sin6 cos6 7

Câu 50 Hiệu giữa nghiệm lớn nhất và nghiệm nhỏ nhất trên 0;2 π của

Câu 53 Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx− 3cosx= 2 là:

Câu 55 Tổng của nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương

trình sin2 tanx cos cot2 2sinxcosx 4 3

Câu 58 Số nghiệm của phương trình sin2 1

Câu 59 Tổng các nghiệm thuộc (0;2π) của phương trìnhsinxcos3x sinx 2cos3x 2 0− + − = là:

23

 = − − π



A I, II cùng sai B Chỉ I đúng C Chỉ II đúng D I, II cùng đúng Câu 64 Cho phương trình 2cos 22 x+cos4x=0 Trong các số sau, số nào là họnghiệm của phương trình trên:

Câu 71 Phương trình sin x m= có đúng 1 nghiệm 0;3

1

Câu 2

Câu 6

Câu 7

Câu 8

Câu 9

Câu 10

Câu 11

Câu 12

Câu 13

Câu

14

Câu 15

Câu 16

Câu 17

Câu 18

Câu 19

Câu 20

Câu 21

Câu 22

Câu 23

Câu

24

Câu 25

Câu 26

Câu 27

Câu 28

Câu 29

Câu 30

Câu 31

Câu 32

Câu 33

Câu

34

Câu 35

Câu 36

Câu 37

Câu 38

Câu 39

Câu 40

Câu 41

Câu 42

Câu 43

Câu

44

Câu 45

Câu 46

Câu 47

Câu 35 Nghiêm của pt sin4x – cos4x = 0 là:

4

x= ± +π k π B 3

24

Câu 36 Xét các phương trình lượng giác:

(I ) sinx + cosx = 3 , (II ) 2.sinx + 3.cosx = 12 , (III ) cos2x + cos22x = 2

Trong các phương trình trên , phương trình nào vô nghiệm?

A Chỉ (III ) B Chỉ (I ) C (I ) và (III ) D Chỉ (II )

Câu 37 Nghiệm của pt sinx = –1

Câu 51 Nghiệm của pt cos2x – sinx cosx = 0 là:

Câu 63 Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:

(I) cosx = 5− 3 (II) sinx = 1– 2 (III) sinx + cosx = 2

k x

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình x2+ − =x k 0 là: 1 5 1

Ví dụ 5 Tính tổng các nghiệm nằm trong khoảng (0;2 )π của phương trình sau:

( 3 1 sin− ) x+( 3 1 cos+ ) x=2 2sin2x

Vậy tổng các nghiệm cần tính là: 3π.

Chú ý: Ta có thể giải theo cách khác như sau

Phương trình ⇔ 3sinx+cosx+ 3cosx−sinx=2 2sin2x

7sin( ) cos( ) 2sin2 sin( ) sin2

Tiếp tục giải ta được kết quả như trên

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2cos( ) 1

Lời giải:

Phương trình

21

3

x k x

2 10

3 2

k x k x k

Yêu cầu bài toán

Kết hợp điều kiện, ta có x=4,x=12 là những giá trị cần tìm

Bài 4 Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình:

Bài 5 Tìm số nghiệm x∈ 0;14 nghiệm đúng phương trình :

cos3x−4cos2x+3cosx− =4 0

Lời giải:

Phương trình ⇔4cos3x−3cosx−4(2cos2x− +1) 3cosx− =4 0

Phương trình 2cos2 sin 2cos 2 4

Ta thấy x= π không là nghiệm của phương trình

• Nếu x∈( )0;π thì phương trình 2cos2 sin 2cos 2

42sin

x x

x x

Ta loại đi những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn của điều kiện

Với cách này chúng ta cần ghi nhớ

• Điểm biểu diễn cung α và α + πk2 , k∈¢ trùng nhau

• Để biểu diễn cung 2k

n

π

α + lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n giá trị

(thường chọn k=0,1,2, ,n−1) nên ta có được n điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn.

Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên

Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm k

Ta xét phương trình : k l ak bl c

α + = β + ⇔ + = (*)Với , ,a b c là các số nguyên.

Trong trường hợp này ta quy về giải phương trình nghiệm nguyên

ax by c+ = (1).

Để giải phương trình (1) ta cần chú ý kết quả sau:

• Phương trình (1) có nghiệm ⇔ =d ( , )a b là ước của c

• Nếu phương trình (1) có nghiệm ( ; )x y thì (1) có vô số nghiệm0 0

Phương pháp này là ta đi giải phương trình tìm nghiệm rồi thay nghiệm vào

điều kiện để kiểm trA

Phương pháp 4: Biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua một hàm số lượng

giác:

Giả sử ta có điều kiện là ( ) 0u x ≠ ( ( ) 0, ( ) 0u x ≥ u x ≤ ), ta biến đổi phương trình đã cho về phương trình chứa ( )u x và giải phương trình để tìm ( ) u x

Các ví dụ

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

1 cot3x=cotx 2 cot4 cot7x x=1

Loại nghiệm: Để loại nghiệm của phương trình ta có các cách sau

Cách 1: Biểu diễn các điểm cuối của cung

Phương trình cot7 tan4 cot( 4 )

Vì 22n−14m là số chẵn còn 7 là số lẻ nên phương trình này vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

Phương trình ⇔sin cos5x x=cos9 sin5x x

sin6x sin4x sin14x sin4x sin14x sin6x

ta thấy cả hai phương trình này vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Giải phương trình : sinx=cos2x

k x

Dễ thấy nghiệm (2) không thỏa (*)

Biểu diễn nghiệm (1) lên đường tròn lượng giác ta được các điểm A A A 1, , 2 3Trong đó chỉ có hai điểm A A nằm phía trên 1, 2 Ox

Hai điểm này ứng với các cung 2

2 (4)

k x

Dễ thấy (3) không thỏa (**)

Biểu diễn (4) trên đường tròn lượng giác ta được các điểm B , 1 B B2, 3Trong đó chỉ có hai điểm B B nằm dưới Ox2, 3 (sinx<0)

Hai điểm đó ứng với cung: 2

Điều kiện: cos4x≠0

Phương trình ⇔sin4 cos3x x=sin5 cos4x x

sin7x sinx sin9x sinx sin9x sin7x

Phương trình ⇔ −tan2 (1 tan3 tan7 ) tan3x − x x = x+tan7x

Nếu tan3 tan7x x= ⇒1 tan3x+tan7x=0 vô lí

Nên ta có phương trình : tan2 tan3 tan7 tan10

Loại nghiệm: Với bài toán này nếu chúng ta sử dụng phương pháp loại nghiệm

bằng cách biểu diễn lên đường tròn lượng giác hay phương pháp thử trực tiếp

sẽ phải xét nghiều trường hợp Do đó ta lựa chọn phương pháp đại số

Vấn đề 4 Phương trình lượng giác chứa tham số

Đây là chuyên đề giới thiệu, nên giáo viên có thể minh họa bằng toán

tự luận cho học sinh, chứ nếu chuyển về bài toán trắc nghiệm thật sự không tốt.

phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2 Giải và biện luận phương trình: cos2m x m= −1

Lời giải:

• Nếu 1 1 1

2

m m

m< thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 3 Cho phương trình : (m−1)cosx+2sinx m= +3

1 Giải phương trình khi m= −2 2 Tìm m để phương trình có nghiệm

Lời giải:

1 Với m=2 ta có phương trình : 3cosx−2sinx= −1

Do đ ó: 1 2 2 ( 1 2 )2

3 3

2 2

⇔ − + = ⇔ = ± (ko thoả mãn (*))

Vậy không tồn tại m thoả mãn yêu cầu bài toán

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Giải và biện luận các phương trình sau:

• Nếu m= ⇒1 phương trình (1) vô nghiệm

• Nếu m≠ ⇒1 phương trình đa cho cos 42 2

m x

• Nếu m= ⇒0 phương trình vô nghiệm

• Nếu m≠0 thì phương trình đã ch tương đương vớicot 22 2 1

8

m x

• Nếu m≠ ⇒0 phương trình sin 22 x 1 m

0

m m

2 0 0 1

Bài 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

1 cos2x+cos2x+3sinx+2m=0 có nghiệm

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình đã cho có nghiệm

Phương trình ⇔2cos x2 −(2m 1 cosx m 0+ ) + =

(2cos 1 cos) ( ) 0 2cos 1 0

Bài 5: Giải và biện luận phương trình :

1 (8m2+1 sin) 3x−(4m2+1 sin) x+2 cosm 3x=0

Lời giải:

21

Phương trình cos2 cos22 2

sin2 1 3sin cos

+) m=0 phương trình vô nghiệm

+) m≠ ⇒0 phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 4