Các dạng toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số Đặng Việt Đông

Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị C có phương song song hoặc trùng với trục hoành... Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D.. Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ

Trang 2

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A – KIẾN THỨC CHUNG

Bài toán 1: Tiếp tuyến tại điểm M x ; y 0 0 thuộc đồ thị hàm số:

Cho hàm số  C : yf x  và điểm M x ; y 0 0   C Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M

- Tính đạo hàm f ' x Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là   f ' x 0

- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: yf ' x xx0y0

Bài toán 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

- Gọi   là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k

- Giả sử M x ; y 0 0 là tiếp điểm Khi đó x thỏa mãn: 0 f ' x 0 k(*)

- Giải (*) tìm x Suy ra 0 y0 f x 0

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: yk x x0y0

Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua điểm

Cho hàm số  C : yf x  và điểm A a; b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi   qua A

- Gọi   là đường thẳng qua A và có hệ số góc k Khi đó   : yk x a   (*)b

- Để   là tiếp tuyến của (C)      

f x k x a b 1



 





có nghiệm

- Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm

* Chú ý:

1 Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M x ; y 0 0 thuộc (C) là: kf ' x 0

2 Cho đường thẳng  d : yk xd  b

+)     / / d kkd +)      d d

d

1

k

d

1 k k





 +) , Ox  k  tan

3 Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị (C) có phương song song hoặc trùng với trục hoành.

4 Cho hàm số bậc 3: 3 2  

yax bx cxd, a0 +) Khi a : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất 0

+) Khi a : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất 0

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

Câu 1 Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sốyx33x22 tại điểm M   1; 2?

A. y9x11 B. y9x11 C. y9x7 D. y9x7

Trang 3

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D

  2

y  x  x y  

Vậy phương trình tiếp tuyến là : y9x1 2 y9x7

Câu 2 Phương trình tiếp tuyến của đường cong   4 2

C yx  x  tại điểm A1; 2 là

A. y3x5 B. y2x4 C. y 2x4 D. y 2x

  3

y  x  x y  

Vậy phương trình tiếp tuyến: y 2x1 2 y 2 x

Câu 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3

y x  x tại điểm M2; 4

A. y 3x10 B. y 9x14 C. y9x14 D. y3x2.

Chọn đáp án C

Ta có y 3x2 3

Do đó : phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M2; 4là :

 2 2 4

y y x  9x24 9x14

1

x y x





 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0; 1 là

A. y3x1 B. y3x1 C. y 3x1 D. y 3x1

Chọn đáp án B

Ta có:

 2

3 1

y

x

 



Hệ số góc tiếp tuyến : y 0  3

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M0; 1  là y3x0 1 3x 1

Câu 5.Cho hàm số 3 2

yx  x  có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có

hoành độ bằng –3

A. y30x25 B. y9x25 C. y30x25 D. y9x25

Ta có y 3x26x nên  

 

y y

  





  



, do đó phương trình tiếp tuyến là

y x   y x

Câu 6. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số   4

1

y f x

x

 tại điểm có hoành độ x0 1 có phương trình là

A. yx2 B. y  x 2 C. yx1 D. y  x 3

Trang 4

 

/

2

4 1

f x

x

 



Phương trình tiếp của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0  1 là

/

y f  x  f    x  Vậy y  x 3

Câu 7 Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 2 1

1

x y x





 tại điểm có hoành độ bằng 0 ?

A. y3x1 B. y3x1 C. y3x4 D. y3x2

3

1

x



x  y  

Vậy phương trình tiếp tuyến là: y3x0 1 y3x1

Câu 8.Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2

1

y x x  x tại điểm có tung độ bằng 2

A. y2x B. y9x11

C. y2x và 2 32

27

Chọn đáp án A

TXĐ: D  

Gọi M0x y0; 0là tiếp điểm của đồ thị hàm số với tiếp tuyến

Ta có y 0 2x03x02x0 1 0    2 

2

y  x  x y 1 2

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng hai là y2x

Câu 9.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 2 4

4

x y x





 tại điểm có tung độ bằng3

A. x4y200 B. x4y 5 0 C. 4xy200 D. 4x  y 5 0

Gọi M x y( 0, 0) là tiếp điểm

Theo đề bài ta có y0 3 x0 8

 2

4 4

x



Vậy tiếp tuyến tại điểm M(3;8) có phương trình là: 1 5

4

y  x hay x4y200

C yx  x Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm thuộc  C

và có hoành độ x  0 1

A. y 9x 5 B. y 9x 5 C. y9x 5 D. y9x 5

Trang 5

Ta có y'3x26x

Với x0   1 y0  4,y 1  9

Vậy phương trình tiếp tuyến tại  1; 4 là y9x1 4 9x 5

3

x y x





 có đồ thị là  H Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của  H với

trục hoành là:

A. y 2x4 B. y 3x1 C. y2x4 D. y2 x

 2

x



Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm A2; 0 y 2   2

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y 2x4

Câu 12 Cho hàm số y x33x26x11 có đồ thị  C Phương trình tiếp tuyến với đồ thị C

tại giao điểm của  C với trục tung là:

A. y6x11 và y6x1 B. y6x11

C. y  6x11 và y  6x1 D. y 6x11

0 y'' x0 0

A. y 3x3 B. y9x7 C. y 0 D. y 3x3

Ta có: 3 2

y x  x 

2

y  x  x

'' 6 6

y  x

y x   x    x   y 

Tiếp tuyến tại x 0 1 có phương trình là: y f '(x0)(xx0)y0  3x3

Câu 14.Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 1 3 2 2 3 5

3

y x  x  x

A. Song song với đường thẳng x  1 B.Song song với trục hoành

C. Có hệ số góc dương D.Có hệ số góc bằng 1

Tập xác định D  

Giao điểm của đồ thị với trục tung A0; 11

y  x3 3x2 6x 11  y  3x2 6x  6  y0 6

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A0; 11 là

y  6x  011  6x 11.

Câu 13. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3

 3x2

 2 tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ x thỏa điều kiện

Trang 6

Ta có y x24x , 3

11 1,

x y y

x y





  





Vì cả hai điểm cực trị đều không thuộc trục hoành và tại mỗi điểm đều có y x 0  nên tiếp tuyến 0 song song với trục hoành

Câu 15 Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số 2

x y x





 với trục Ox Tiếp tuyến tại A của đồ thị

hàm số đã cho có hệ số góc k là

A. 5

9

k   B 1

3

k  C 1

3

k   D 5

9

k 

Giao điểm của đồ thị và trục hoành là A2; 0

2

x



Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là 1

3

k  .

Câu 16 Tiếp tuyến của đồ thị hàmsố 1

5

x y x





 tại điểmA  1; 0có hệ số góc bằng

A 1

1 6

6 25



Ta có :

 2

6 '

5

y

x



hệ số góc của tiếp tuyến tại A  1; 0 là ' 1 1

6

y   

Câu 17.Tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx34x24x tại điểm 1 A   3; 2 cắt đồ thị tại điểm thứ hai là B Điểm B có tọa độ là

A. B  1;0  B. B1;10  C. B2;33  D. B  2;1 

2

y  x  x

Phương trình tiếp tuyến tại A  3;2, y  3 7 là y7x19

Phương trình hoành độ giao điểm x34x24x 1 7x19 2; 33



     



Vậy B2; 33

Câu 18 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2

yx  x  tại điểm có hoành độ x0 thỏa

 0  0

2y x y x 150 là

A. y 9x7 B. y9x6 C. y9 x D. y9x1

Ta có: y 3x26x và y 6x6

Thay vào điều kiện đề bài ta có:

Trang 7

      2

2

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x 0 1 là:

 1 1  1 9 1 3 9 6



1

x

M C y

x



 có tung độ bằng 5 Tiếp tuyến của  C tại M cắt các trục tọa độ

Ox , Oy lần lượt tại A và B Hãy tính diện tích tam giác OAB ?

A 121

119

123

125

6

1

M

x



Ta có

3

1

x



Phương trình tiếp tuyến  của  C tại M là y 3x11

Giao điểm của  với Ox : cho 0 11 11;0

y x A 

 

Giao điểm của  với Oy: cho x 0 y11B0;11

Ta có 121 121 11 10

10

d O  

Diện tích tam giác OAB là 1  ,  121

S d O  AB

Câu 20.Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 1

1

x y x





 tại điểm có hoành độ bằng 0 cắt hai trục tọa độ tại

A và B Tính diện tích tam giác OAB

A. 1

1

 2

1

y

x

 



0

x   y 1, y 0  1

Phương trình tiếp tuyến y x 1, ta được A0;1, B  1; 0

OAB

S  OA OB

Câu 21 Cho hàm số có đồ thị   3 2

C y x  x  Tìm trên  C những điểm M sao cho tiếp tuyến của  C tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8

A. M0;8  B. M   1; 4  C. M1; 0  D. M  1;8 

Trang 8

Ta có : y 6x26x

Gọi tọa độ  3 2 

M a a  a  Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M là :

y y a xa a  a   2  3 2

y a a x a a

Vì tiếp tuyến cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8 nên tiếp tuyến đi qua điểm A0;8

Do đó ta có phương trình : 3 2

8 4a 3a 1 4a33a2 7 0 a 1M 1; 4

1

x y x





 có đồ thị là ( )C Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận Gọi

 0, 0

M x y , x  là một điểm trên 0 0 ( )C sao cho tiếp tuyến với ( )C tại M cắt hai đường tiệm cận lần lượt tại A B, thỏa mãn AI2IB2 40 Khi đó tích x y bằng:0 0

A 15

1

0 ), 1

1 2

; ( ),

2

;

1

0





x

x x M

I

Có ), (2 1;2)

1

4 2

;

1

0





x

x A

1 1 0

36 1 40 1

4

40 ) 1

4 2 2 ( 2 2 40 40

0 0

2 0

2 0 2

0 4

0

2

0

0 2

2





















































y x

x

x x

x

x x

AB IB

IA

Vậy x0y0 2

Trang 9

DẠNG 2: TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC K CHO TRƯỚC

Câu 1.Cho hàm số yx48x2 có đồ thị 2 ( )C và điểm M thuộc ( )C có hoành độ bằng 2 Tìm

hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại M

A. k  6 2 B k  7 2 C k  8 2 D k  9 2

Chọn đáp án C.

Ta có 3

4 16

y  x  x

Do đó hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại M là k 4 2 316 2 8 2

Câu 2.Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx33x2 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3



A. y 3x2 B. y  3 C. y 3x5 D. y 3x1

Ta có y 3x2 6x

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình y   3 3x2 6x  3 x 1

Với x 1 y 1   Vậy phương trình tiếp tuyến là: 2 y 3x1 2 y 3x 1

Câu 3.Tìm tọa độ các điểm M trên đồ thị (C): 2 1

1

x y x





 , biết tiếp tuyến tại M có hệ số góc bằng 1.

A. 3;5

2

M 

  B. M(0;1), M ( 1;3). C M(0;1), M(2;3). D.

5 2;

3

M 

 

1

x

y

x





 TXĐ D  \ 1 

 2

1

y

x



 



0 0

; 1

x



Tiếp tuyến tại M có hệ số góc bằng 1  

0

1

y x

x



Vậy M(0;1), M(2;3)

2

x y x





 có đồ thị là C Phương trình tiếp tuyến của  C có hệ số góc bằng 5

 là:

A. y 5x2 và y 5x22 B. y 5x2 và y 5x22

C. y5x2 và y 5x22 D. y 5x2 và y 5x22

Trang 10

Ta có:

5 2

y

x



 



Gọi tọa độ tiếp điểm là   0

0 0 0

0

; ,

2

x

M x y y

x





 và x  0 2

Theo giả thiết:  

0

5

2

y x

x





Phương trình tiếp tuyến cần tìm tại điểm M3; 7 là: y 5x3 7 y 5x22

Phương trình tiếp tuyến cần tìm tại điểm M1; 3  là: y 5x1 3 y 5x2

Câu 5: Cho hàm số y x36x2 9x có đồ thị (C) Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng

d y  x có phương trình là

A. y  9 x  40 B. y  9 x  40 C. y  9 x  32 D. y  9 x  32

Ta có :y' 3 x2 12x9 ;



' 9

y

Suy ra chọn đáp án D

Câu 6.Gọi  C là đồ thị của hàm số

3 2

3

x

y  x   Có hai tiếp tuyến của x  C cùng song song

với đường thẳng y 2x5 Hai tiếp tuyến đó là :

A. 2 10

3

y  x  và y 2x2 B. y 2x4 và y 2x2

C. 2 4

3

y  x và y 2x2 D.y 2x3 và y 2 – 1x .

Gọi M x y 0, 0 là tọa độ tiếp điểm Ta có: y x24x 1

4 1







Câu 7.Cho hàm số

2

x b y

ax





 có đồ thị hàm số  C Biết rằng a b, là các giá trị thực sao cho tiếp tuyến của  C tại điểm M1; 2  song song với đương thẳng d: 3xy 4 0 Khi đó giá trị của

a b bằng

Ta có :    

1

2

b

a

 

Ta lại có:

2 '

2

ab y

ax

 





Hệ số góc của tiếp tuyến  

 2

2

ab y

a

 

Trang 11

Thế (1) vào (2), ta được : 22 1 1 2.

a









Câu 8 Hỏi có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số 2 3

x y x





 , biết tiếp tuyến vuông góc với

đường thẳng 1

2

y x ?

 

0

3

1

2

x

y x

x









 



Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 9.Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x33x vuông góc với đường thẳng 2 1

9

y  x là

y  x y  x

y x y x

+ TXĐ: DR

+ y'3x23

+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M x y 0; 0có dạng:

yy  f x xx

+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1

9

y  x tiếp tuyến có hệ số góc k 9

+ Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu là  

9 18





x y x





 có đồ thị là  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1

5

y  x

A. y5x3 và y5x2 B. y5x8 và y5x2

C. y5x8 và y5x2 D. y5x8 và y5x2

2

D  

Trang 12

Gọi đường thẳng  có phương trình yk x x  0y0 là tiếp tuyến với đồ thị  C , vì tiếp tuyến

song song với đường thẳng 1 1

5

y  x nên ta có 1 1 5

5

k   k 

Vậy ta có

 0 2

5

k

x



0

0 1

x x





 

 



Với x0 0 y0  2 và k  nên đường thẳng  có phương trình là 5 y5x2

Với x0   1 y0 3 và k  nên đường thẳng  có phương trình là 5 y5x8

Vậy có hai tiếp tuyến của đồ thị  C song song với đường thẳng 1 1

5

y  x

Câu 11.Tiếp tuyến của đường cong (C) vuông góc với đường thẳng 2x  y3 20170 có hệ số góc bằng :

A

2

3

2

3

2



Ta có:

x y   y  x Hệ số góc của tiếp tuyến là

2 3

Câu 12.Cho hàm số yx3ax2bx c đi qua điểm A0; 4  và đạt cực đại tại điểm B(1; 0) hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 là:

A. k 0 B. k 24 C. k  18 D. k 18.

Ta có:

 

6

9

4

a

b

a b y

c a

y

 

 

     



Do đó k y 1  3 2a b 24

Câu 13. Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm sốyx33x2 , tiếp tuyến có hệ số góc 2 nhỏ nhất bằng:

Tập xác định: D  

Gọi M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( ;0 0)

Hệ số góc của tiếp tuyến: k3x026x03(x0 1)2   3 3

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến nhỏ nhất bằng -3

Câu 14.Cho đường cong ( ) :C yx33x25x2017 Trong các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến có

hệ số góc nhỏ nhất bằng:

Trang 13

( ) :C yx 3x 5x2017

2

y  x  x

Gọi M x y ( ;0 0) là tiếp điểm

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M x y ( ;0 0) là k y x'( 0)3x026x0 5 3(x1)2 2 2

Trang 14

DẠNG 3: TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM Câu 1.Cho hàm số 3 2

yx  x  có đồ thị  C Số tiếp tuyến với đồ thị  C đi qua điểm

 1; 2

J   là:

Chú ý: y 6x60 x 1 và y  1   nên 2 J   1; 2 là điểm uốn của  C đo đó qua

 1; 2

J   chỉ có 1 tiếp tuyến với  C

Câu 2.Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số sau đây

2

( )

2

y f x

x

 và 2

( )

yg x   x  x

A. y 13 B. y 15 C. y  13 D. y  15

Gọi x là hoành độ tiếp xúc của 0 f x và   g x  

 

2

0 2

2 0

1

2

3 3 2

x











Lưu ý: Hệ trên có bao nhiêu nghiệm thì phương trình có bấy nhiêu tiếp tuyến chung

Giải  1 x036x0215x01000 4

5

x x

 



  

 Giải  2 x036x0212x0350x0  5

Suy ra x  là nghiệm duy nhất của hệ trên (Chỉ có duy nhất 1 tiếp tuyến chung) 0 5

Do đó tọa độ tiếp điểm A 5;13 và hệ số góc   k f 5 g 5  0

Khi đó phương trình tiếp tuyến chung có dạng y0x513  y13

Câu 3 Đồ thị hàm số 2 2 

3

y x x  tiếp xúc với đường thẳng y2x tại bao nhiêu điểm?

Ta có y  3x2

 6x

Gọi a là hoành độ tiếp điểm thì phương trình tiếp tuyến có dạng

y 3a2  6a x  a a3 3a2  4

Vì tiếp tuyến đi qua J1; 2 nên

2 3a2 6a 1  a a3

 3a2

 4  2a3

 6a2

 6a  2  0  a  1 Vậy qua điểm J1; 2 chỉ có 1 tiếp tuyến với C

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	2,32 MB