ren luyen ky nang thuc hien cac thao tac tu duy cho hoc sinh trung hoc pho thong trong day hoc ai so va giai tich

Vì nh ững lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: "Rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tácưt duy cho học sinh Trung học phổ thông trong d ạy học Đại số và Gi ải tích" với mong muốn trình

BỘ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LUẬN ÁN TI ẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO D ỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 PGS TS TRẦN KIỀU

2 TS NGUYỄN VĂN THUẬN

NGHỆ AN - 2014

QUY ƯỚC VỀ CÁC CH Ữ VIẾT TẮT

: Trung học cơ sở: Trung học phổ thông

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LU ẬN VÀ TH ỰC TIỄN 9

1.1 Một số vấn đề khái quátềvtư duy và t ư duy toán học 9

1.1.1 Khái niệm tư duy 9

1.1.2 Đặc điểm của tư duy 9

1.1.3 Một số vấn đề về tư duy toán học 11

1.2 Thao tác ưt duy 12

1.2.1 Mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy 12

1.2.2 Phân tích - T ổng hợp 15

1.2.3 So sánh 22

1.2.4 Tương tự hóa 24

1.2.5 Trừu tượng hóa - Khái quát hóa 28

1.2.6 Đặc biệt hóa 37

1.2.7 Mối liên hệ giữa các thao tácư tduy 39

1.3 Kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy 41

1.3.1 Kỹ năng 41

1.3.2 Kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy 44

1.3.3 Các cấp độ của kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy 44

1.4 Một số đặc điểm của học sinh Trung học phổ thông 45

1.4.1.Đặc điểm hoạt động học tập 45

1.4.2 Đặc điểm của sự phát triển trí tuệ 46

1.4.3 Một số đặc điểm nhân cách chủ yếu 46

1.5 Khảo sát thực trạng về việc thực hiện các thao tácư tduy trong dạy học ở trường Trung học phổ thông 47

1.5.1 Mục đích 47

1.5.2 Đối tượng khảo sát 47

1.5.3 Hình thức khảo sát 47

1.5.4 Kết quả khảo sát thực trạng 47

1.6 Kết luận chương 1 58

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP S Ư PHẠM GÓP PH ẦN RÈN LUY ỆN KỸ NĂNG THỰC HIỆN CÁC THAO TÁC T Ư DUY CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GI ẢI TÍCH 60

2.1 Định hướng xây d ựng và th ực hiện biện pháp 60

2.2 Một số biện pháp ưs phạm góp ph ần rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tácư t

duy cho học sinh trong dạy học Đại số và Gi ải tích 60

2.2.1 Biện pháp 1: Tập luyện cho học sinh phân tích n ội hàm và ngo ại diên ủca khái niệm toán học, cũng như khả năng vận dụng các khái ệnim đó vào vi ệc giải quyết các vấn đề toán học 60

2.2.2 Biện pháp 2: Tập luyện cho học sinh làm rõ ý ngh ĩa của từng yếu tố được cho trong giả thiết và tìm các khả năng vận dụng của định lý 69

2.2.3 Biện pháp 3: Tập luyện cho học sinh diễn đạt cácđịnh nghĩa, định lý và gi ải các bài toán theo những cách khác nhau 80

2.2.4 Biện pháp 4: Hướng dẫn học sinh tìm ra dấu hiệu chung và b ản chất của các yếu tố và quan h ệ trong một hoặc một lớp bài toán 97

2.2.5 Biện pháp 5: Tạo cơ hội cho học sinh luyện tập kỹ năng tương tự hóa trong quá trình giải toán 111

2.2.6 Biện pháp 6: Khuyến khích học sinh đề xuất bài toán mới trên ơc sở khai thác bài toánđã cho 117

2.2.7 Biện pháp 7: Xây dựng một số tình huống có ch ứa lời giải các bài toán ớvi những sai lầm, hướng dẫn học sinh phân tích để giúp họ nhận ra các sai ầlm thường gặp, qua đó tìm các biện pháp dạy học thích hợp để khắc phục 128

2.3 Kết luận chương 2 143

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 145

3.1 Mục đích thực nghiệm 145

3.2 Tổ chức và n ội dung thực nghiệm 145

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 145

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 146

3.3 Đánh giáếkt quả thực nghiệm 152

3.3.1 Đánh giáđịnh tính 152

3.3.2 Đánh giáđịnh lượng 154

3.4 Kết luận chương 3 160

KẾT LUẬN 161

TÀI LIỆU THAM KHẢO 163

PHẦN PHỤ LỤC 171

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CH ỌN ĐỀ TÀI

Để tồn tại và phát triển, con người có nhu c ầu và yêu cầu phải nhận thức các

sự vật, hiện tượng và k ể cả chính mình Nói cách khác, con người cần phải tư duy Mỗi sự vật và hi ện tượng đều có nh ững dấu hiệu, thuộc tính, cần phải biết phân tích,

so sánh và tổng hợp để tìm được các dấu hiệu, thuộc tính bản chất của các ựs vật và hiện tượng hướng tới mục đích nhận thức Quá trình nhận thức trên ũcng phải tiến hành các thao tácưt duy khác như tương tự hóa, tr ừu tượng hóa, khái quát hóa,đặc biệt hóa để có được các tri thức đầy đủ, chính xác về các ựs vật hay hiện tượng ấy Quá trình nhận thức nói trên là kết quả của tư duy

Trong học tập nói chung, h ọc tập toán nói riêng,để hình thành m ột khái niệm, người học phải suy nghĩ, phân tích để tìm ra các thuộc tính của khái niệm, thuộc tính nào là thu ộc tính bản chất, thuộc tính nào là đặc trưng, phân chia khái niệm thành các bộ phận theo các thuộc tính đó để hiểu khái niệm một cáchđầy đủ, sâu s ắc hơn, Nhờ phân tích, con ng ười tách ra các thuộc tính của cácđối tượng, còn nh ờ tổng hợp, con người hợp nhất các thuộc tính bản chất, tách chúng ra khỏi các thuộc tính còn l ại, không b ản chất, đưa các thuộc tính bản chất này vào m ột thểthống nhất, đó là khái niệm Để tiếp thu một định lý, HS ph ải biết phân tích được giảthiết và k ết luận của định lý, các cách chứng minh định lý và v ận dụng định lý vào

gi ải các bài tập cụ thể, Khi giải một bài t ập, HS phải biết phân tích c ấu trúc của bài t ập đó, cái đã cho và cái phải tìm, huy động các kiến thức liên quanđể tìm cách giải bài t ập, so sánh các cáchả igiđể tìm lời giải tối ưu, từ trường hợp đặc biệt có th ểkhái quát hóađể tìm bài toán tổng quát,

Từ đó có th ể thấy, quá trình học toánđòi h ỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện các thao tácư tduy như phân tích, t ổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, Chính vì vậy, một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của việc giảng dạy toán là dạy cách nghĩ, dạy tư duy, dạy cho học sinh biết các loại thao tác tư duy, ý ngh

ĩa và tác dụng của từng loại thao tác, mối quan hệ giữa các thao tác, cách thức phối hợp các thao tác ưTduy phải được phát triển trong quá trình học thông qua vi ệc đượcthường xuyên rèn luyện, mà tr ước hết là rèn luyện các thao tác tư duy Rèn luyện các thao tácư tduy được quan niệm như thế nào là đầy đủ và đúng đắn, hoạt động đó ph ụ thuộc những yếu tố nào, v ề mặt sư phạm nênđược tổ

chức ra sao là nh ững vấn đề quan trọng cần được nghiên ứcu Đây là nh ững vấn

đề thuộc lĩnh vực phương pháp dạy học

Vai trò quan tr ọng của các thao tácư tduy và yêu cầu phải rèn luyện các thao tácđó c ần thiết như đã nêu ở trên, nhưng trong thực tiễn giảng dạy toánở trường phổ thông ch ưa được chú ý thích đáng Tác ảgiluận án do công việc phải đảm nhiệm đã

có nhi ều cơ hội tiếp cận thực tiễn dạy học toán thông qua dự giờ, trao đổi

ýki ến với giáo viên,ọhc sinh, qua nghiên ứcu các báo cáoề tìnhv hình giảng dạy học tậpcủa một số trường đã rút ra một số nhận xét chung, đó là: M ột số giáo viên nhận thức vềvai trò, ý ngh ĩa, tác dụng của tư duy, của các thao tácư tduy còn h ạn chế Một số giáo viên khácặ cmdù nhận thức đúng về vai trò, ý ngh ĩa, tác dụng của các thao tácư tduy nhưng chưa thực hiện một cách có kết quả nhiệm vụ dạy cách ưt duy cho học sinh khi học toán.Đặc biệt, một số giáo viên lúng túng trong quá trình dạy học khi thực hiện yêu ầcu rèn luyện các thao tácư tduy cho học sinh

Những vấn đề đặt ra về lý lu ận và t ừ thực tiễn nói trên cần được nghiên ứcu trong lĩnh vực phương pháp dạy học toán học

Phân môn toán nào c ũng đòi h ỏi phải rèn luyện cho HS thực hiện các thao tác ưt duy, tuy nhiên trong luận án này, chúng tôi lựa chọn Đại số và Gi ải tích vì

những lý do chính sau đây:

- Đại số, đặc biệt là Gi ải tích ở trường THPT có nhi ều khái niệm khó và quantrọng gắn liền với phạm trù vô h ạn, với đại lượng vô cùng bé như khái niệm giới hạncủa dãy s ố, giới hạn của hàm s ố, đạo hàm, nguyên hàm, Để hiểu được các khái niệm này và m ối quan hệ giữa chúng đòi h ỏi học sinh phải biết phân tích n ội hàm

và xác định rõ ngo ại diên ủca chúng Điều này c ũng liên quan ớti việc phát hiện dấuhiệu chung và b ản chất của khái niệm, nhận dạng khái niệm và hình thành mối quan

hệ của các khái ệnim trong cùng một hệ thống

- Một số định lý c ủa Đại số và Gi ải tích có c ấu trúc phức tạp, có nhi ều ứngdụng trong giải toán và trong thực tiễn, chẳng hạn định lý v ề dấu của tam thức bậc hai,định lý v ề giá trị trung gian của hàm liên tục, cácđịnh lý v ề giới hạn hữu hạn của

dãy s ố, hàm s ố, Dạy học những nội dung này đòi h ỏi phải làm rõ ý ngh ĩa củatừng yếu tố được cho trong giả thiết, xácđịnh cấu trúc lôgic và kh ả năng vận dụngcủa định lý

- Mạch toánứng dụng đã được tăng cường ở trường THPT, đặc biệt là m ột

số yếu tố về đại số tổ hợp, xác suất và th ống kê.Đối với HS, các khái ệnim thuộcchủ đề này còn m ới và khó, các bài toán đếm đa dạng, phong phú trong đời sống

2

thực tiễn, có th ể giải theo nhiều cách khác nhau, HSặgp nhiều sai lầm Do đó, d ạyhọc chủ đề này thích h ợp với việc phát hiện dấu hiệu chung và b ản chất của bàitoán, nhìn bài toán ướdi nhiều góc độ, tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải vàcách khắc phục,

- Nhìn bề ngoài, Đại số và Gi ải tích có v ẻ giống nhau, thực ra chúng khác nhau về bản chất Trong khi Đại số gắn liền với các bất biến, hữu hạn hoặc vô h ạnđếm được thì Giải tích lại nghiên ứcu cácđại lượng biến thiên, liênụct và gián đoạn,

có l ực lượng vô h ạn không đếm được Nếu GV không phân tích k ỹ, đầy đủ, sâu s

ắc, thì việc dạy Giải tích sẽ bị "Đại số hóa", h ạn chế rất nhiều đến khả năng tư duycủa HS ở độ tuổi trưởng thành - chuy ển từ việc nhìn thế giới theo quan điểm "tĩnh"sang quan điểm "động"

Đã có nhi ều công trình nghiên cứu về tư duy, về kỹ năng học toán cho HStrong đó có bàn đến các thao tácư tduy [6], [8], [36], [44], [50], [52], [61], [103], nhưng chưa có công trình nào nghiên c ứu một cách ươtng đối hệ thống và đầy đủ vềviệc rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy trong quá trình học toán,đặc biệt

là đối với Giải tích và Đại số và cách thức rèn luyện các thao tácđó Vì nh ững lý do

trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: "Rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tácưt duy cho học sinh Trung học phổ thông trong d ạy học Đại số và Gi ải tích" với mong muốn

trình bày m ột cách có hệ thống về mặt lý lu ận và th ực tiễn vấn đề thao tác ưt duy

và nêu một số biện pháp rèn luyện các thao tácđó, góp ph ần nâng cao ch ất lượngdạy học bộ môn Đại số và Gi ải tích ở trường THPT

2 TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN C ỨU THUỘC LĨNH VỰC ĐỀ TÀI

Vấn đề tư duy thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều ngành khoa h ọc vànhiều nhà khoa h ọc trên thế giới Tư duy không ch ỉ được nghiên ứcu ở phươngdiện triết học mà còn được nghiên ứcu ở nhiều phương diện khác như Lôgic h ọc,

Xã h ội học, Sinh lý h ọc, Tâm lý h ọc, Lý lu ận dạy học, Triết học nghiên cứu tưduy dưới góc độ lý lu ận nhận thức Lôgic h ọc nghiên cứu tư duy dưới góc độ cácquy ắtc tư duy đúng Xã hội học nghiên ứcu tư duy ở sự phát triển của quá trìnhnhận thức trong các chế độ xã h ội khác nhau Sinh lý học nghiên ứcu cơ chế hoạtđộng thần kinh cao cấp với tư cách là nền tảng vật chất của các quá trìnhư tduy ởcon người Điều khiển học nghiên ứcu tư duy để có th ể tạo ra “Trí tu ệ nhân t ạo”.Tâm lý h ọc nghiên ứcu diễn biến của quá trình ưt duy, mối quan hệ qua lại cụ thểcủa tư duy với các khía cạnh khác ủca nhận thức

Tư duy bắt đầu từ nhận thức cảm tính, nhà tâm lý h ọc X L Rubinstein đãviết: “N ội dung cảm tính bao giờ cũng có trong t ư duy trừu tượng, tựa hồ như làmthành ch ỗ dựa cho tư duy”.

Tư duy là m ột quá trình tâm lý, nghĩa là t ư duy có n ảy sinh, diễn biến và k

ết thúc Quá trìnhưt duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau được nhà tâm lý h ọc

K K Platônôp minh h ọa bởi sơ đồ [102, tr 116]:

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện cá liên tưởng

Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Khẳng định

Chính xá hóa

Giải quyết vấn đề

Phủ định

Tìm giả thuyết mới

Hành động tư duy mới

Tuy nhiên, tính giaiđoạn của quá trình ưt duy chỉ phản ánhđược mặt bênngoài, cấu trúc bên ngoài ủca tư duy, còn n ội dung bên trong mỗi giai đoạn của quá

trình ưt duy lại là m ột quá trình phức tạp, diễn ra trên ơc sở của những thao tác ưt

duy, còn g ọi là thao tác trí tuệ hay thao tác trí óc [107, tr 116].

2.1 Tình hình nghiên ứcu ở nước ngoài

Một số tác giả nước ngoài đề cập đến thao tác ưt duy, nêuđịnh nghĩa của một

số thao tác và mối quan hệ giữa chúng, chẳng hạn như:

G Polya cho rằng thao tác ưt duy bao gồm phân tích, t ổng hợp, so sánh,tương tự hóa, khái quát hóa,đặc biệt hóa [77] Ông c ũng đã đưa ra một số ví dụ vềtoán học minh họa cho các thao tácđó

G Polya trong [75] đã đưa ra quy trình 4 bước để giải bài toán, trong mỗi bước tác giả đã đưa ra các gợi ý, đó chính là các thao tác phân tích, tổng hợp liên tiếp, đan xen nhau để thực hiện được 4 bước của quá trình giải toán Có thể thấy

4

trong giải toán, các thao tác phân tích vàổngt hợp thường gắn bó kh ăng khít vớinhau Trong phân tích có t ổng hợp (tổng hợp thành ph ần) và trong quá trình tổnghợp phải có phân tích ( đảm bảo tính lôgic và tính định hướng của quá trình ổtnghợp).

M N Sácđacôp cho r ằng: tư duy được thực hiện và phát triển trong những hình thức riêng ủca nó: phân tích, t ổng hợp và so sánh; trừu tượng hóa, khái quát hóa

và c ụ thể hóa; quy n ạp, diễn dịch và t ương tự; phát hiện những mối liên hệ và quan hệ; hình thành nh ững khái niệm, phân lo ại và h ệ thống hóa chúng [82], [83] Những

ví dụ được ông nêu trong [82], [83] đều không thu ộc về toán học

Trong [103], Đào V ăn Trung có nói đến năng lực khái quát hóa vàđưa ra một số ví dụ về toán học

2.2 Tình hình nghiên ứcu ở trong nước

Trong nước chưa có công trình nào c ủa các tác ảgiđề cập đến định nghĩa thao tác ưt duy mà ch ỉ nêu lên thao tácư duyt bao gồm những thao tác nào, nêu định nghĩacủa một số thao tác và mối quan hệ giữa chúng, chẳng hạn như:

Các nhà tâm lý h ọc trong các công trình [94], [95], [106], [107], [108] chorằng thao tác ưt duy bao gồm phân tích, t ổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và kháiquát hóa

Nguyễn Bá Kim không gọi là thao tác tư duy mà g ọi là các hoạt động trí tuệ

cơ bản, bao gồm phân tích, t ổng hợp, so sánh, ươtng tự hóa, tr ừu tượng hóa, kháiquát hóa, đặc biệt hóa [52], [54]

Hoàng Chúng cho rằng thao tác ưt duy bao gồm phân tích, t ổng hợp, so sánh, khái quát hóa, ừtru tượng hóa và c ụ thể hóa [8]

Trong Giáo dục học môn Toán, các tácảgicó đề cập đến trừu tượng hóa, khái quát hóa và đặc biệt hóa [33]

Qua tìm hiểu một số công trình nh ư đã nêuở trên, có thể thấy:

- Quan niệm về các thao tácư tduy chưa nhất quán

- Chưa làm rõ th ứ tự để tiến hành các thao tácưt duy

- Chưa cụ thể hóa các thao tácưt duy biểu hiện trong dạy học Toán như thếnào

- Chưa có đánh giáềvthực trạng của việc thực hiện các thao tácư tduy ở

trường Trung học phổ thông m ột cách khá toàn diện và c ụ thể

- Thiếu các biện pháp dạy học cụ thể nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy

2.3 Định hướng nghiên ứcu của tác giả

- Đưa ra trật tự để tiến hành m ột số thao tác ưt duy

- Đưa ra một quan niệm về rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy cho học sinh Trung học phổ thông

- Tìm hiểu thực trạng về việc thực hiện các thao tácư tduy của GV và HS Trung học thông qua d ạy học môn Đại số và Gi ải tích

- Xây d ựng một số biện pháp góp phần rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác ưt duy cho học sinh Trung học phổ thông

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của các biện phápđề xuất

3 MỤC ĐÍCH NGHIÊN C ỨU

Mục đích của luận án là nghiên ứcu để làm sáng tỏ các thao tácư tduy về các khía cạnh: khái niệm, vai trò, tính ph ổ dụng trong nhận thức nói chung và trong giáodục toán học nói riêng, đồng thời nghiên ứcu để xây d ựng các biện pháp nhằm rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện thao tác ưt duy

4 NHIỆM VỤ NGHIÊN C ỨU

Luận án có nhiệm vụ làm sáng tỏ các vấn đề sau:

- Quan niệm về thao tác ưt duy, các loại thao tác ưt duy, sự cần thiết phải chúýrèn luyện chúng;

- Xem xét thao tácưt duy từ bình diện hoạt động;

- Các thao tácư tduy trong dạy học toán;

- Thực trạng rèn luyện các thao tácư tduy trong dạy học toánở THPT;

- Đề xuất các biện phápdạy học để rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện các thao tác ưt duy;

- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khảthi và tính hi ệu quả của các biện phápđã đề xuất

5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu xây d ựng được một số biện pháp ưs phạm hợp lý, kh ả thi, có c ơ sở khoa học xácđángthì có th ể phát triển kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy cho HS,

góp phần nâng cao ch ất lượng dạy học môn Đại số và Gi ải tích ở trường THPT

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C ỨU

6.1 Nghiên ứcu lý lu ận: Tìm hiểu, nghiên ứcu các tài liệu trong và ngoài

nước về các vấn đề có liên quan đến đề tài

6.2 Điều tra, quan sát: Nhận thức và th ực trạng dạy học của giáo viên toán

THPT về bồi dưỡng kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy cho HS

6.3 Thực nghiệm sư phạm.

6

7 ĐÓNG GÓP C ỦA LUẬN ÁN

7.1 Về mặt lý lu ận

7.1.1 Làm sáng tỏ tính phổ dụng, vai trò và v ị trí của các thao tácư tduy

trong dạy học toán

7.1.2 Đưa ra một quan niệm về hành động tư duy trong mối quan hệ với thao

tác ưt duy

7.1.3 Đưa ra một quan niệm về kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy và quy

trình rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy cho HS THPT trong học tậptoán

7.1.4 Nêuđược một số khó kh ăn và sai l ầm của HS khi đứng trước những

vấn đề toán học mà vi ệc giải quyết những vấn đề đó đòi h ỏi phải có k ỹ năng về cácthao tác ưt duy

7.1.5 Nêuđược cơ sở khoa học cho các biện pháp ưs phạm để rèn luyện kỹ

năng thực hiện các thao tácư tduy cho học sinh

7.2 Về mặt thực tiễn

7.2.1 Xây d ựng một số biện pháp ưs phạm góp ph ần rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy cho HS THPT.

7.2.2 Có th ể sử dụng Luận ánđể làm tài li ệu tham khảo cho giáo viên Toán

nhằm góp ph ần nâng cao hi ệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT

8 NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƯA RA BẢO VỆ

8.1 Quan niệm về các thao tácư tduy, trật tự để tiến hành m ột số thao tác 8.2 Quan niệm về rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy cho HS

THPT

8.3 Thực trạng về việc thực hiện các thao tácư tduy ở Trường THPT.

8.4 Một số biện pháp ưs phạm góp ph ần rèn luyện kỹ năng thực hiện các

thao tác ưt duy cho HS THPT

9 CẤU TRÚC C ỦA LUẬN ÁN

Ngoài ph ần Mở đầu, Kết luận và Tài li ệu tham khảo, nội dung Luận án gồm

có 3 ch ương:

Chương 1: Cơ sở lý lu ận và th ực tiễn

1.1 Một số vấn đề khái quátềvtư duy và t ư duy toán học

1.2 Thao tác ưt duy

1.3 Kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy

1.4 Đặc điểm tâm lý c ủa HS THPT

1.5 Khảo sát thực trạng về việc thực hiện các thao tácư tduy trong dạy học ở trường THPT.

1.6 Kết luận chương 1

Chương 2: Một số biện pháp ưs phạm góp ph ần rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tácư tduy cho học sinh trong dạy học Đại số và Gi ải tích

2.1 Định hướng xây d ựng và th ực hiện biện pháp

2.2 Một số biện pháp ưs phạm góp ph ần rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác ưt duy cho HS trong dạy học Đại số và Gi ải tích

2.3 Kết luận chương 2

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và n ội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giáếkt quả thực nghiệm

3.4 Kết luận chương 3

8

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LU ẬN VÀ TH ỰC TIỄN

1.1 Một số vấn đề khái quátề vtư duy và t ư duy toán học

1.1.1 Khái niệm tư duy

Để tồn tại và phát triển trong cuộc sống, con người cần phải nhận thức các hiện tượng, các ựs vật, các quá trìnhủca tự nhiên, ủca xã h ội và c ủa chính bản thân

để hiểu về bản chất, mối liên hệ, quan hệ có tính quy lu ật của chúng Quá trình nhận thức đó bao g ồm nhận thức cảm tính và nh ận thức lý tính Quá trình nhận thức lý tính được gọi là t ư duy

Có nhi ều định nghĩa, cách diễn đạt khác nhau về tư duy của các nhà tâm lý học X L Rubinstein cho rằng: "Tư duy - đó là s ự khôi ph ục trong ý ngh ĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn di ện hơn so với các ưt liệu cảm tính xuất hiện do tácđộng của khách thể" (dẫn theo [15, tr 246]) Trong các tài liệu [95], [106], [107], [108], các tác ảgicho rằng: "Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ có tính quy lu ật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan" "Tư duy là m ột quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ng ữ - quá trình tìm tòi và sáng ạto cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách ừtng phần hay khái quát ựthc tế trong khi phân tích và t ổng hợp nó Tư duysinh ra trên ơc sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và v ượt xa giới hạn củanó" (d ẫn theo [93, tr 8])

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

Theo [95], [106], [107], [108], tư duy có nh ững đặc điểm cơ bản sau đây:

- Tính "có v ấn đề" của tư duy

Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn c ảnh, những tình huống "có v ấnđề" Tình huống "có v ấn đề" là tình hu ống chứa đựng một mục đích, một vấn đềmới mà nh ững hiểu biết cũ, phương pháp hành động cũ không đủ sức giải quyết.Muốn giải quyết vấn đề mới đó, để đạt được mục đích mới đó, con ng ười phải tìmcách thức giải quyết mới, tức con người phải tư duy

Ví dụ 1.1: Sau khi HS đã được học cách giải phương trình bậc hai, thầy giáo

yêu ầcu các em giải phương trình sau: x 2

3xx 2

3x230 Giải phương trình này là m ột tình huống có v ấn đề với các em ạti thời điểm đó vì ch ưa có m ột thuật giải nào có th ể giúp các em giả được một phương trình bậc bốn Do đó, bu ộc

các em phải suy nghĩ để tìm cách giải phương trình trên Các em tìm ấthy hứng thú

trong việc tìm lời giải bởi vì có bi ểu thức đồng dạng x 2  3x giúp các em liên tưởng tới đặt ẩn phụ Và sau khi đặt ẩn phụ t  x 2  3x thì phương trình ban đầu trở thành ph ương trình t 2  2t  3  0 đã có thu ật giải.

- Tính gián tiếp của tư duy

Con người sử dụng ngôn ng ữ để tư duy Nhờ có ngôn ng ữ mà con ng ười sửdụng các kết quả nhận thức (khái niệm, phánđoán, quy luật, ) vào quá trình tư duy

để nhận thức được cái bên trong,ảbn chất của sự vật, hiện tượng Trong quá trình ưtduy, con người sử dụng những công c ụ, phương tiện (đồng hồ, nhiệt kế, máymóc, ) để nhận thức đối tượng mà không th ể trực tiếp tri giác chúng

- Tính trừu tượng và khái quátủca tư duy

Tư duy có kh ả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính,những dấu hiệu cá biệt, cụ thể, chỉ giữ lại những thuộc tính chung, bản chất chonhiều sự vật và hi ện tượng Trên ơc sở đó mà khái quát những sự vật, hiện tượngriêng ẻl, nhưng có nh ững thuộc tính bản chất chung thành m ột nhóm, m ột loại,một phạm trù

Ví dụ 1.2: Công th ức tính diện tích tam giác S 1

ah a , trong đó h a là độ dài

2đường cao hạ từ đỉnh A, a là độ dài c ạnh đối diện đỉnh A (diện tích tam giác bằng mộtnửa đường cao nhân v ới cạnh đáy).Để có được công th ức tổng quát trên, chúng ta đã

g ạt bỏ những chi tiết không quan tr ọng như tam giác gì, làm bằng chất liệu nào, độ dài các cạnh có m ối quan hệ như thế nào, đặt trong phẳng hay trong không gian, mà

ch ỉ giữ lại yếu tố bản chất là độ dài đường cao và độ dài cạnh đáyđể có được công th

ức mang tính khái quát trên

- Tư duy liên quan chặt chẽ với ngôn ng ữ

Nếu không có ngôn ng ữ thì quá trình ưt duy ở con người không th ể diễn rađược, đồng thời các ảsn phẩm của tư duy (khái niệm, phánđoán, quy luật, ) cũngkhông được chủ thể và ng ười khác tiếp nhận Ngôn ng ữ cố định lại các kết quả của

tư duy, là v ỏ vật chất của tư duy và là ph ương tiện biểu đạt kết quả của tư duy.Ngược lại, nếu không có t ư duy thì ngôn ng ữ chỉ là chu ỗi âm thanh vô ngh ĩa Tuynhiên, ngôn ngữ không ph ải là t ư duy, ngôn ng ữ chỉ là ph ương tiện của tư duy

- Tư duy có quan h ệ mật thiết với nhận thức cảm tính

10

Tư duy bắt đầu từ nhận thức cảm tính, nhà tâm lý h ọc X L Rubinstein đãviết: "Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong t ư duy trừu tượng, tựa hồ như làmthành ch ỗ dựa cho tư duy".

Tư duy là m ột quá trình tâm lý, nghĩa là t ư duy có n ảy sinh, diễn biến và k ết thúc

1.1.3 Một số vấn đề về tư duy toán học

Cũng như những lĩnh vực khác ủca đời sống xã h ội, toán học với tư cách làmột khoa học có ngu ồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng vô cùng đa dạng, phongphú trong thực tiễn với những đặc điểm về đối tượng và ph ương pháp nghiênứcucũng là m ột đối tượng của tư duy, và nh ư là m ột tất yếu, xuất hiện tư duy toán học

"Để nhận thức được mặt nội dung của hiện thực cần có t ư duy biện chứng,

và để nhận thức mặt hình thức của hiện thực cần có t ư duy lôgic Do đó, t ư duytoán học là s ự thống nhất giữa tư duy biện chứng và t ư duy lôgic Theo đó, t ư duytoán học cũng có nh ững cặp phạm trù quan trọng: cụ thể - trừu tượng, nhận thứccảm tính - nhận thức lý tính, cái chung - cái riêng, cáiản bchất - cái không bản chất"[33, tr 60-61] Luận điểm nói trên cần được vận dụng một cách ục thể và thích hợpvào vi ệc dạy học nhằm phát triển tư duy toán học cho học sinh

Giáo dục toán học cho HS nhằm đạt các mục tiêu:

- Truyền thụ cho HS những kiến thức cơ bản được chọn lựa cho phù hợp vớiđặc điểm của đối tượng Toán học một cách có hệ thống;

- Rèn luyện cho HS những kỹ năng, kỹ xảo toán học;

- Phát triển tư duy toán học cho HS (dẫn theo [93, tr 12])

Tư duy toán học là m ột mục tiêu quan trọng trong hoạt động toán học của

HS, nhưng nếu thiếu sự phát triển một cách có phương hướng thì không th ể đạtđược mức độ mong muốn về kiến thức và k ỹ năng trong quá trình dạy học toán

Nhiều nhà toán học đã bày t ỏ ý ki ến về tư duy toán học như sau:

Viện sĩ B V Gơnhedencô đưa ra một số yêu ầcu đối với tư duy toán học, đólà:

- Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng c ủa quá trình suy luận;

- Thấy được sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;

- Có thói quen lý gi ải lôgic m ột cáchđầy đủ;

- Phân chia rõ ràng ti ến trình suy luận, sự cô đọng, sự chính xác của các ký hiệu (dẫn theo [93, tr 15])

Nhà toán học A Ia Khinsin cho rằng những nét độc đáo ủca phong cách ưt duy toán học là:

- Suy luận theo sơ đồ lôgic chi ếm ưu thế;

- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích; phân chia rành m ạch các bước suy luận;

- Sử dụng chính xác các ký hiệu;

- Tính có c ăn cứ đầy đủ trong các ậlp luận, đặc biệt không bao gi ờ chấpnhận những khái quát không có suy luận, những phép ươtng tự không có c ơ sở (dẫntheo [33, tr 127])

A I Marcusêvich nhấn mạnh đến những kỹ năng cần được bồi dưỡng cho

HS trong dạy học Toán là:

- Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không c ăn bản chỉ để giữ lại bản chất của vấn đề, chẳng hạn kỹ năng trừu tượng hóa;

- Kỹ năng rút ra hệ quả lôgic t ừ những tiền đề đã cho;

- Kỹ năng phân tích v ấn đề thành nh ững trường hợp riêng;

- Kỹ năng khái quát hóa ếkt quả nhận được và đặt ra vấn đề mới ở dạng kháiquát;

- Kỹ năng xây d ựng sơ đồ của hiện tượng sao cho chỉ giữ lại những yếu tốcần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt toán học;

- Kỹ năng xây d ựng các kết luận được rút ra từ các suy luận, đối chiếu kết quả đó v ới cácđiều được dự kiến;

- Kỹ năng đánh giáảnh hưởng của việc thay đổi cácđiều kiện đến sự tin cậy, (dẫn theo [93, tr 16])

1.2 Thao tác ưt duy

1.2.1 Mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy

Về mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy, có hai cách giải thích như sau:

Nhiều nhà tâm lý h ọc (trong đó có J Piaget) cho r ằng:

- Hành động (Action) là các ứng xử của cá nhân đối với sự tácđộng của các yếu tố môi tr ường bên ngoài;

- Thao tác (Operations) là các hànhđộng đã được chuyển vào bên trong (hànhđộng bên ngoàiđược nội hiện) và đã được rút gọn

Đối tượng của thao tác ưt duy không ph ải là s ự vật có th ực như của hànhđộng, mà là nh ững hình ảnh, biểu tượng, ký hi ệu Như vậy, thao tác ưt duy là hànhđộng tinh thần, chứ không ph ải là hành động thực, vật chất ở bên ngoài [68, tr 73]

12

Cách giải thích của A N Lêônchiep và các nhà tâm lý h ọc cùng xu hướng cóphần khác với cách hiểu trên khi xem xétưt duy từ bình diện hoạt động Các nhà tâm

lý h ọc này gi ải thích hành động và thao tác trong cấu trúc chung của hoạt động Sự giống nhau và khác nhau giữa chúng thể hiện như sau:

- Hành động tư duy được hiểu là hành động tâm lý tr ọn vẹn, chịu sự chi phối

bởi một mục đích được ý th ức (hành động tâm lý có th ể hiểu là làm m ột việc nào

đó có m ục đích);

- Thao tác là phương tiện, là c ơ cấu kỹ thuật, là ph ương thức hành động đểtriển khai đến mục đích đó Thao tác không có m ục đích tâm lý riêng, nó ch ỉ là phương tiện để thực hiện mục đích của một hành động nào đó;

- Thao tác và hành động có chung lôgic;

- Cấu trúc của thao tácđược định hình trong các phương tiện (công c ụ) kỹ

thuật Vì vậy, quá trình hình thành thao tác thực chất là quá trình học cách ửs dụng các công cụ đó Thời kỳ đầu, quá trình học này chính là hành động tâm lý Sau đó,

hành động được luyện tập và k ỹ thuật hoáđể trở thành thao tác.

- Cùng một mục đích nhưng trong những điều kiện khác nhau, chủ thể hànhđộng phải có các thao tác khác nhau

Như vậy, mặc dù thao tác khác hànhđộng, nhưng nó được sinh ra từ hành động, kỹ thuật hoá nó, tước bỏ mục đích và chuy ển nó vào trong m ột hành động

khác Khi chuyển thành thao tác, hành động được rút gọn và thu ần thục [68] Vìvậy, thao tác gắn bó ch ặt chẽ với kỹ năng

Quá trình ưt duy nảy sinh khi con người có nhu c ầu giải quyết một nhiệm vụnhận thức nào đó, không th ể tách ưt duy ra khỏi tâm lý nói chung trong vi ệc giảiquyết nhiệm vụ nhận thức Bởi vì, tâm lý v ề bản chất là ho ạt động, cho nên tham giavào tâm lý v ới tư cách yếu tố cấu thành nó, không ch ỉ có cácđối tượng tinh thần (các

biểu tượng, các khái ệnim), mà còn có các hành động tinh thần (hành động tri giác, hành động tưởng tượng, hành động xúc cảm, ) Với ý ngh ĩa đó, có th ể xem xét ưtduy với tư cách là một hoạt động của con người, là m ột hoạt động trí tuệ với các hành động và thao tác đặc trưng Hành động trí tuệ là hành động tinh thần có liên quan đến quá trình ưt duy, là hành động tinh thần hướng tới mục đích nhận thức Mỗihành động trí tuệ bao hàm trong nó m ột loạt các thao tácđược thực hiện trong một trật tự xácđịnh và phù h ợp với những quy tắc nhất định Từ đó, m ột tập hợp các hành động trí tuệ như là m ột chỉnh thể để giải quyết một nhiệm vụ nhận thức nào đó

g ọi là ho ạt động trí tuệ trong việc giải quyết nhiệm vụ nhận thức ấy [33]

13

Quá trình ưt duy bao gồm nhiều giai đoạn, tuy nhiên tính giaiđoạn của quá trình tư duy chỉ phản ánhđược mặt bên ngoài, cấu trúc bên ngoài ủca tư duy, còn nội dung bên trong mỗi giai đoạn của quá trình ưt duy lại là m ột quá trình phức tạp, diễn

ra trên cơ sở của những thao tác ưt duy, và nh ư quan điểm đã nêu trên, còn gọi là

thao tác trí tuệ hay thao tác trí óc [107, tr 116].

Xét về bản chất, tư duy là m ột quá trình cá nhân thực hiện các thao tácư tduy

để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra Cá nhân có tư duy hay không chính là ở chỗ họ có ti ến hành các thao tácưt duy trong đầu mình hay không Do v ậy, thao tác

tư duy còn được gọi là quy lu ật bên trong ủca tư duy [107, tr 116]

Thao tác ưt duy không đồng nhất với tư duy Quá trình ưt duy là quá trình thựchiện các thao tácư tduy để đạt được mục đích Việc rèn luyện các thao tácư t duy cuốicùng cũng nhằm vào m ục đích chung là phát triển tư duy cho HS, một trong các mụctiêu chính của việc dạy học Có th ể liệt kê, mô tả một số thao tác ưt duy cụ thể dưới đây c ủa các nhà khoa học:

Theo M N Sácđacôp [82], t ư duy được thực hiện và phát triển trong những hình thức riêng ủca nó: phân tích, t ổng hợp và so sánh; trừu tượng hóa, khái quát hóa

và c ụ thể hóa; quy n ạp, diễn dịch và t ương tự; phát hiện những mối liên hệ và quan hệ; hình thành nh ững khái niệm, phân lo ại và h ệ thống hóa chúng

Theo G Polya [77], thao tác ưt duy bao gồm: phân tích, t ổng hợp, so sánh, tương tự hóa, khái quát hóa,đặc biệt hóa

Trong [95], [106], [10], [108], các tác ảgicho rằng thao tác ưt duy bao gồm:phân tích, t ổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và khái quát hóa

Nguyễn Bá Kim trong [54] không gọi là thao tác tư duy mà g ọi là các hoạtđộng trí tuệ cơ bản, bao gồm: phân tích, t ổng hợp, so sánh, ươtng tự hóa, tr ừutượng hóa, khái quát hóa,đặc biệt hóa

Theo tác giả Hoàng Chúng [8], thao tác ưt duy bao gồm: phân tích, t ổng hợp,

so sánh, khái quát hóa,ừtru tượng hóa và c ụ thể hóa

Từ phân tích và t ổng hợp các ý kiến nêu trên, có thể hiểu rằng thao tác ưt

duy là m ột hành động tư duy được kỹ thuật hóa và đã rút gọn, có th ể rèn luyện để

đạt được các mức độ nhất định Việc rèn luyện các thao tácư tduy cho học sinh

chính là vi ệc tập luyện các hành động tư duy Trong luận án, chúng tôi ậtp trung nghiên ứcu các thao tácư tduy sau: phân tích, t ổng hợp, so sánh, ươtng tự hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa,đặc biệt hóa.

Tương ứng với các thao tácư tduy trên, ũcng có th ể nói là có các hành động

tư duy, đó là các hành động phân tích, t ổng hợp, so sánh, ươtng tự hóa, tr ừu tượng hóa, khái quát hóa,đặc biệt hóa xét ừt bình diện hoạt động trí tuệ.

1.2.2 Phân tích - T ổng hợp

1.2.2.1 Phân tích

Thế giới vật chất khách quan là một tổng thể các ựs vật, hiện tượng, biến cố

và các quá trình nguyênẹ nv mà m ỗi sự vật, biến cố và quá trình đó bao g ồm nhiều

bộ phận riêng biệt với các dấu hiệu và thu ộc tính riêng Việc nhận thức các ựs vật và

hi ện tượng của thế giới đòi h ỏi phải nghiên ứcu, phân tích các bộ phận theo các dấu hiệu và thu ộc tính của chúng Các ộb phận của bất kỳ một sự vật nguyên vẹn nào c ũng có nh ững mối quan hệ và liên hệ nhất định với nhau Cho nênđể nhận thức một

sự vật nguyên vẹn cần phải phân tích, nghiên cứu các mối quan hệ và liên hệ giữa các bộ phận đó Nghiên cứu một sự vật nguyên vẹn với các bộ phận của nó, cũng nhưcác mối liên hệ, quan hệ giữa các bộ phận càng chi ti ết bao nhiêu thì càng nhận thức

nó m ột cách sâu sắc bấy nhiêu

Việc nghiên ứcu có phân tích không ph ải là s ự liệt kêđơn giản hoặc chỉ làviệc lần lượt nghiên cứu các yếu tố của sự vật nguyên vẹn với các dấu hiệu củachúng và các mối liên hệ giữa chúng Phân tích luôn luôn là m ột việc làm có m ụcđích, được thực hiện theo một định hướng nào đó Ý ngh ĩa tổng hợp ban đầu của sựvật nguyên vẹn và m ục đích hoạt động sẽ xácđịnh phương hướng và góc độ của sựnghiên ứcu có phân tích Ví d ụ, việc phân tích m ột định lý để tìm cách chứng minh

nó có th ể được tiến hành b ằng cách phân tích cấu trúc lôgic của định lý, gi ả thiếtcủa định lý, k ết luận của định lý, các phương pháp chứng minh một định lý,

Xét ừt bình diện của triết học thì: "Phân tích là ph ương pháp phân chia cái toàn th ể ra thành t ừng bộ phận, từng mặt, từng yếu tố để nghiên ứcu và hi ểu được các bộ phận, mặt, yếu tố đó" [100, tr 86]

Ngoài ra,còn có r ất nhiều định nghĩa khác nhau về phân tích c ủa các nhà khoahọc, chẳng hạn như: "Phân tích là quá trình dùng trí óc để táchđối tượng nhận thứcthành nh ững bộ phận, những thuộc tính, những mối liên hệ và quan h ệ giữa chúng đểnhận thức đối tượng sâu s ắc hơn" [95], [106], [10], [108] "Phân tích là tách (trong tưtưởng) một hệ thống thành nh ững vật, tách một vật thành nh ững bộ phận riêng ẻl" [54,

tr 46] "Phân tích là m ột quá trình nhằm tách cácộbphận của những sự vật hoặc hiệntượng của hiện thực với các dấu hiệu và thu ộc tính của chúng, cũng như các mối liên hệ

và quan h ệ giữa chúng theo một hướng nhất định Quá trìnhđó nh ằm mục

15

đích nghiên cứu chúng đầy đủ và sâu s ắc hơn, và chính vì v ậy mới nhận thức được trọn vẹn các ựs vật và hi ện tượng" [82, tr 88] "Phân tích là dùng trí óc chia cái to

àn thể ra thành t ừng phần, hoặc tách ra ừtng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó" [8, tr 16] "Phân tích là chia cái toàn th ể ra từng phần, làphân cái toàn thể ra từng bộ phận, là chia nh ỏ, là tách ra hoặc trừu xuất hóa đi một mặt nào đó nh ững dấu hiệu và nh ững phần riêng ẻl nào đó" [33, tr 109] "Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhi ều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận Sau khi đã chia ra nh ư vậy, mỗi bộ phận đều phải được nghiên ứcu

để cho sự hiểu biết sâu h ơn, chi tiết hơn" [97, tr 122]

Mỗi một đối tượng, mỗi một quan hệ mà chúng ta nghiên ứcu đều có nh ữngthuộc tính, trong số các thuộc tính này có nh ững thuộc tính bản chất, thuộc tính không

b ản chất, thuộc tính chung, thuộc tính đặc trưng Trong [18], nhóm tác giả cho rằng:Thuộc tính bản chất là thu ộc tính gắn liền với một đối tượng Nếu mất thuộc tính bảnchất thì đối tượng đã cho s ẽ trở thành m ột đối tượng khác Thuộc tính bản chất là điềukiện cần thiết để phân bi ệt đối tượng này v ới đối tượng khác Thuộc tính đặc trưng làthu ộc tính chỉ đối tượng đó m ới có Thu ộc tính đặc trưng là điều kiện cần và đủ củakhái niệm Thuộc tính chung là thu ộc tính mà nhi ều đối tượng cùng có

Ví dụ 1.3: Phân tích khái niệm hình chữ nhật.

Nhìn hình chữ nhật là m ột tứ giác ừt các thuộc tính của cạnh, góc, đườngchéo ta thấy:

- Nhìn từ yếu tố cạnh: Đa giác ồli có 4 c ạnh (tứ giác); ứt giác có các ặcp cạnhđối song song với nhau; tứ giác có các ặcp cạnh đối diện bằng nhau; tứ giác có haicạnh kề nhau vuông góc v ới nhau

- Nhìn từ yếu tố góc: T ứ giác có 4 góc bằng nhau; tứ giác có 4 góc vuông; t

ứ giác có tổng các góc đối diện bằng 1800

- Nhìn từ yếu tố đường chéo: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường; tứ giác có hai đường chéo bằng nhau

Tất cả các thuộc tính trênđều là thu ộc tính bản chất của hình chữ nhật, còn độ lớn của các ạcnh, vị trí của hình, chất liệu làm nên hình, màu sắc của hình, là các thuộc tính không b ản chất Tuy nhiên, không phải thuộc tính bản chất nào c ũng là thu ộc tính đặc trưng của hình chữ nhật Chẳng hạn, thuộc tính "tứ giác có các ặcp cạnh đối song song với nhau" không ph ải là thu ộc tính đặc trưng vì không ph ải "tứ giác có các ặcp cạnh đối song song với nhau" nào c ũng đều là hình ch ữ nhật Phân tích mối quan hệ giữa các thuộc tính chúng ta thấy các thuộc tính "tứ giác có các

cặp cạnh đối song song với nhau", "tứ giác có các ặcp cạnh đối diện bằng nhau", "tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường" có th ể kéo theo nhau(đó chính là các thuộc tính đặc trưng của khái niệm hình bình hành); "t ứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau" có th ể kéo theo "tứ giác có một cặp cạnh đối song song và b ằng nhau" và ng ược lại; "tứ giác có một cặp cạnh đối song song và b ằng nhau" cùng với "tứ giác có hai cạnh kề nhau vuông góc v ới nhau" có th ể

kéo theo "tứ giác có 4 góc vuông" và ng ược lại; "tứ giác có 4 góc vuông" có th ểkéo theo "tứ giác có hai đường chéo bằng nhau" và ng ược lại (đây chính là cácthuộc tính đặc trưng của khái niệm hình chữ nhật)

Từ các quan niệm đã nêu, tuy có một vài điểm khác, nhưng tựu trung lại phântích th ực chất là tìm cho ra c ấu trúc của sự vật và hi ện tượng bao gồm những thành ph

ần chủ yếu nào, quan h ệ giữa các thành phần đó nh ư thế nào, m ỗi một thành ph ầnnhư vậy với tư cách là một bộ phận của cái chung ạli bao gồm những gì Phân tích làlàm nhi ệm vụ tách ấcu trúc, nhận thức cấu tạo của bộ phận, mối quan

hệ giữa các bộ phận, nhiệm vụ cuối cùng là hi ểu được bản chất của đối tượng, sựvật, hiện tượng Trên cơ sở phân tích các định nghĩa đó, có th ể quan niệm về phân

tích như sau: Phân tích là quá trình dùng trí óc tách cái toàn thể ra từng bộ phận theo các dấu hiệu và thu ộc tính của chúng nhằm mục đích nghiên ứcu chúng đầy

đủ và sâu s ắc hơn.

Chúng ta có thể xem có hai hình th ức phân tích nh ư sau:

Hình thức thứ nhất, đó là tách vấn đề thành các bộ phận theo một tiêu chí Chẳng hạn như phân tích khái niệm số nguyên thành hai bộ phận: số chẵn và s ố lẻ;phân tích khái niệm số nguyên thành ba bộ phận: chia cho 3 dư 1, chia cho 3 dư 2 và

chia hết cho 3; phân tích bi ệt thức D = b 2 - 4ac của tam thức bậc hai

f x = ax 2 + bx + c a ¹ 0(trong tập sốthực) thành ba trường hợp:  0,  0

và

 0 , Việc tách như thế nào tùy t ừng đặc điểm, yêu ầcu, mục đích của bài

toán Hình thức phân tích th ứ hai, đó là tách ra một thành ph ần, tập trung chú ý

vào thành ph ần đó, thu th ập các thông tin từ việc nghiên cứu thành ph ần vừa tách

ra Chẳng hạn, trong một phương trình, tách vế phải của phương trình, quan sát, xemxét các phép toán, các conốtrongs biểu thức vế phải, từ đó đưa ra các thông tin về

biểu thức này Ti ếp tục tách vế trái của phương trình và rút ra các thông tin thu nhậnđược từ vế trái

17

là t ạo lập một cái toàn vẹn" [33, tr 110] "Tổng hợp là nhìn bao quát lên một chỉnhthể gồm nhiều bộ phận, cố mô t ả được bức tranh toàn c ảnh của cả chỉnh thể, cácmối quan hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể và c ủa chỉnh thể với môi tr ường xungquanh" [97, tr 125].

Ví dụ 1.4: Từ việc phân tích các thuộc tính của hình chữ nhật nhìn từ các góc

độ cạnh, góc, đường chéo và mối quan hệ giữa cácđối tượng đó, t ổng hợp lại chúng

ta có định nghĩa về khái niệm hình chữ nhật dựa trên các thuộc tính đặc trưng củanó: "Hình ch ữ nhật là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau"; "hình chữ nhật

là hình bình hành có m ột góc vuông"; "hình ch ữ nhật là t ứ giác có 4 góc vuông"

Mặc dù có nhi ều định nghĩa khác nhau về tổng hợp nhưng đều thống nhấtrằng tổng hợp là k ết hợp các thành phần đã được tách nhờ phân tích thành m ộtchỉnh thể nguyên vẹn, cuối cùng nhìn nhận lại để biết được các thuộc tính của đốitượng, dấu hiệu bản chất của đối tượng Trên ơc sở cácđịnh nghĩa trên, có thể thống

nhất quan niệm về tổng hợp: Tổng hợp là quá trình dùng trí óc liên kết những bộ phận, những thuộc tính, những thành ph ần đã được tách nhờ phân tích thành m ột chỉnh thể theo một mục đích xácđịnh nhằm đem lại một kết quả mới, một sự hiểu biết mới nào đó v ề hiện thực.

Tương ứng với hai hình thức của phân tích, có hai hình th ức tổng hợp sau:Hình thức tổng hợp thứ nhất đó là nh ập cácđối tượng vừa phân tích, ch ẳng hạn như hợp nhất hai đối tượng số chẵn và s ố lẻ sẽ được khái niệm số nguyên Hình thức thứ hai là g ắn một thông tin v ừa thu nhận được từ việc tách một bộ phận ra nghiên ứcu vào cái toàn thể, chẳng hạn như từ việc nghiên ứcu vế trái ủca phương trình có th ể đưa ra thông tin v ề vế trái là hàm số đồng biến, gắn thông tin này vào cái toàn thể là ph ương trình, ta thu nhận được phương trình này có v ế trái là một hàm s ố đồng biến.

Ngoài hai hình th ức tổng hợp trên, có thể có m ột hình thức khác ủca tổnghợp, đó là tr ước tiên nhìn nhận sự vật hay hiện tượng trong sự toàn v ẹn của nó m

ột cách bao quátđể định hướng cho sự phân tích

1.2.2.3 Mối quan hệ giữa phân tích và t ổng hợp

Có nhi ều luận điểm nói v ề mối quan hệ giữa phân tích và t ổng hợp, chẳng hạn như: "Phân tích và t ổng hợp là hai ho ạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại làhai m ặt của một quá trình thống nhất Chúng là hai hoạt động cơ bản của quá trình

tư duy Những hoạt động trí tuệ khácđều được diễn ra trên nền tảng phân tích và t ổng hợp" [54, tr 46] "Phân tích và t ổng hợp có m ối quan hệ qua lại mật thiết với nhau, tạo thành s ự thống nhất không tách rời được: Sự phân tích được tiến hành theo

h ướng tổng hợp, còn s ự tổng hợp được thực hiện theo kết quả của phân tích" [107,

tr 116] "Là nh ững thao tác trái ngược nhau, phân tích và t ổng hợp đồng thời lại liên hệ chặt chẽ với nhau, là hai m ặt của một quá trình thống nhất" [8, tr 16] F Engels viết: " Trước hết, chúng ta thấy bức tranh tổng quát, trongđó các chi tiết còn

m ờ nhạt ít nhiều Nhưng dù đã n ắm được toàn b ộ tính chất chung của bức tranh cáchiện tượng đến thế nào đi nữa, cách nhìnấy vẫn không đủ để giải thích những chi tiết kết thành toàn b ộ bức tranh ấy, và ch ừng nào chúng ta chưa giải thích nổi các chi tiết thì chúng ta cũng chưa thể có m ột quan niệm rõ r ệt về bức tranh chung được" (dẫn theo [82, tr 105]) Đây chính là lý do để tiến hành thao tác phân tích nh ằm hướng tới tổng hợp ở mức độ nhận thức cụ thể và sâu s ắc hơn

Nhận thức luôn luôn b ắt đầu từ sự tri giác và sự thông hi ểu cái nguyênẹvn, từ

sự tổng hợp, bởi vì hiện thực cụ thể tồn tại trong các ựs vật và hi ện tượng nguyên vẹn Những tri giác ổtng hợp ban đầu cung cấp cho chúng ta tri thức tổng quát, ảtn mạn về các ựs vật hiện tượng Nhưng sự tổng hợp ban đầu đó th ường xácđịnh được phương hướng nghiên ứcu phân tích các sự vật hoặc hiện tượng Sự phân tích ban đầu xuất phát ừt tri thức tổng hợp, nó ch ỉ có ý ngh ĩa trong mối tương quan với tổng

19

hợp [82, tr 102] I P Páplốp viết: "Trong thực tế, trước khi phân tích thì đã có m ộthiện tượng thần kinh đặc biệt, một loại hoạt động tổng hợp" (dẫn theo [82, tr 102]).

Về sau, chúng ta nghiên ứcu các bộ phận của một sự vật nguyên vẹn với các phẩmchất và thu ộc tính của nó trong các mối quan hệ giữa chúng theo một phươnghướng nhất định sẽ giúp ta có một nhận thức tổng hợp đầy đủ hơn và sâu s ắc hơn

về sự vật và hi ện tượng đó

Đồng thời với sự tổng hợp trên, ựs phân tích đi càng xa và càng sâu bao nhiêu,thì ựs tổng hợp càng tr ở nênđầy đủ bấy nhiêu, tri thức về sự vật hoặc hiện tượng hoàn ch ỉnh càng được hiểu rõ và phong phú b ấy nhiêu Sự tổng hợp được hoàn thi

ện sẽ ảnh hưởng đến chất lượng của sự phân tích ti ếp sau và giúp cho việc nghiên ứcu đầy đủ và sâu s ắc hơn sự vật và hi ện tượng với các bộ phận của nó và mối quan

hệ giữa chúng Như vậy, sự phân tích được hoàn thi ện cùng với sự phát triển tổng

hợp của học sinh và vi ệc hoàn thi ện sự phân tích c ũng dẫn đến hoàn thi ện sự tổng hợp [82]

Trong dạy học giải bài t ập toán, Hoàng Chúng cho ằrng: Trước tiên, phải tìmhiểu bài toán một cách ổtng hợp, tránh thói quen không tốt của một số học sinh là đivào ngay các chi tiết trước khi nhìn bài toán một cách ổtng quát, hiểu bài toán mộtcách toàn bộ Sau đó, phân tích bài toán: cái gì chưa biết, phải tìm? những cái gìđãcho? mối liên hệ giữa cái chưa biết và cáiđã cho là gì? [8]

Từ các luận điểm trên, chúng ta có thể thống nhất rằng:

- Bất cứ hoạt động học tập nào c ũng được thực hiện thông qua phân tích và tổng hợp, vì suy cho cùng đó là vi ệc thực hiện một nhiệm vụ nhận thức;

- Sự phân tích được tiến hành theo h ướng tổng hợp, còn s ự tổng hợp được thực hiện theo kết quả của phân tích;

- Trong phân tích đã có t ổng hợp, phân tích m ột cái toàn thể đồng thời làtổng hợp các phần của nó vì phân tích m ột cái toàn thể ra từng phần cũng chỉ nhằmmục đích làm b ộc lộ ra mối liên hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy Phân tích cáitoàn th ể là con đường để nhận thức cái toàn thể sâu s ắc hơn

- Phân tích và t ổng hợp là hai thao tác trái ngược nhau, không tách rời nhaucủa một quá trình thống nhất vì chúng cùng một mục đích là ph ục vụ quá trình ưtduy Sự thống nhất này còn th ể hiện ở chỗ: cái toàn thể ban đầu (tổng hợp I) địnhhướng cho phân tích, ch ỉ ra cần phân tích m ặt nào, khía c ạnh nào K ết quả củaphân tích là cái toàn thể ban đầu được nhận thức sâu s ắc hơn (tổng hợp II)

Trên ơc sở định nghĩa cùng với mối quan hệ giữa phân tích và t ổng hợp, cóthể đưa ra quy trình chung thực hiện các thao tácđó đối với một nhiệm vụ nhận thứcnhư sau:

Bước 1: Quan sát cái toàn thể một cách ổtng quát, xácđịnh vấn đề cần giải quyết; Bước 2: Xácđịnh cácđối tượng, quan hệ cần thiết cho việc giải quyết vấn đề Tách cái toàn thể thành các bộ phận theo các quan hệ đã được xácđịnh;

Bước 3: Xácđịnh, nghiên ứcu tính chất của các bộ phận vừa phân tách;

Bước 4: Gắn thông tin thu nh ận được ở bước 3 vào cái toàn th ể ban đầu, kết hợp các bộ phận vừa tách thành cái toàn thể hoàn ch ỉnh hơn.

Trong quy trình của phân tích - t ổng hợp ở trên, bước 1 là s ự tổng hợp sơ bộban đầu về cái toàn thể, định hướng cho việc phân tích ở bước 2 (hình thức phân tíchthứ nhất) Sau khi tách cái toàn thểthành các bộ phận thì tiếp tục bước 3, phân tíchmỗi bộ phận để tìm hiểu thông tin t ừ mỗi bộ phận đó (hình th ức phân tích th ứ 2).Bước 4 gắn thông tin v ừa thu nhận được từ việc phân tích m ỗi bộ phận vào cái toàn

th ể (hình thức tổng hợp thứ nhất), đồng thời kết hợp các bộ phận thành cái toàn thểhoàn ch ỉnh (hình thức tổng hợp thứ 2)

Ví dụ 2.5: Phân tích - t ổng hợp thể hiện trong bài toán: Giải bất phương trình:

x 2 - 4x + 3 + x 2 - 5x + 4 ³ 2 x 2 - 6x + 5

Bước 1: Quan sát cái toàn thể một cách ổtng quát, xácđịnh vấn đề cần giải quyết

Cái toàn thể ở đây là m ột bất phương trình vô t ỷ, vấn đề cần giải quyết là tìm

Bước 3: Xácđịnh, nghiên ứcu tính chất của các bộ phận vừa phân tách.

Các phương pháp thường dùng để giải bất phương trình vô t ỷ là: bìnhphương hai vế một cách thích hợp, đặt ẩn phụ, phân chia t ập xácđịnh của bấtphương trình thành các bộ phận và gi ải trên mỗi bộ phận đó, đánh giá,

Tập xácđịnh của bất phương trình là D  ;15; 

21

Phân tích v ế trái (VT) ủca bất phương trình:

VT = x 2 - 4x + 3 + x 2 - 5x + 4 = x-1x-3+ x-1x-4

= x -1 x - 3 + x -1 x - 4

Phân tích v ế phải (VP) của bất phương trình:

VP = 2 x 2 - 6x + 5 = 2 x-1x-5=2 x -1 x - 5

Từ việc phân tích nh ư vậy, HS thu nhận được thông tin (t ổng hợp): Vế trái

có nhân t ử x 1 , vế phải cũng có nhân t ử x -1

Bước 4: Gắn thông tin v ừa thu nhận được ở bước 2 vào b ất phương trình,

HS thu nhận được thông tin: m ỗi vế của bất phương trình đều có nhân t ử x -1

Do đó b ất phương trình được biến đổi về dạng x - 3 + x - 4 ³ 2 x - 5 sau khi

nhận xét x1 là m ột nghiệm của bất phương trình.

Đến đây, các bước của thao tác phân tích - tổng hợp lặp lại từ đầu

Mỗi cách phân tích bất phương trình ở mỗi góc độ sẽ cho các cách ảgi khác nhau Với cách dẫn dắt HS phân tích b ất phương trình và cách giải bất phương trình như vậy không nh ững HS sẽ giải được bất phương trình đó m ột cáchđúng đắn mà còn giúp họ củng cố cách nhận dạng một bất phương trình và ph ương pháp giải chúng

1.2.3 So sánh

Có nhi ều định nghĩa về so sánh ủca các nhà tâm lý h ọc, lý lu ận dạy học, chẳng hạn như: "So sánh là quá trình dùng trí ócđể xácđịnh sự giống nhau hay khác nhau, ựs đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không b ằng nhau giữa cácđối tượng nhận thức" [107, tr 116] "So sánh là xácđịnh sự giống nhau và khác nhau ủca các ựs vật và hi ện tượng của hiện thực" [82, tr 110] "So sánh là xác định

sự giống nhau và khác nhau giữa các ựs vật và hi ện tượng Muốn so sánh hai sự vật (hiện tượng), ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính giữa chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó v ới nhau, rồi tổng hợp lại xem hai sự vật đó có gì giống nhau và khác nhau" [8, tr 21]

Ví dụ 1.6: So sánh các tính chất của hàm s ố y  sin x và hàm s ố y cos x

để thấy những đặc điểm giống nhau và khác nhau của hai hàm s ố này:

Đặc điểm giống nhau: Tập xácđịnh R; tập giá trị 1; 1; tuần hoàn v ới chu

   k 2 ; k 2và ngh ịch biến trên mỗi khoảngk 2;   k 2)

Khi nói đến sự giống nhau là mu ốn đề cập đến một số quy luật chung, cácthuộc tính và ph ẩm chất hoặc các mối quan hệ như nhau giữa cácđối tượng hoặc

hiện tượng được so sánh Mức độ giống nhau có th ể nhiều hay ít, tuy nhiênđiều đóchuẩn bị cho tổng hợp và khái quát "Trong giảng dạy và h ọc tập, so sánh luôn luôn

vật và hi ện tượng cũng như các dấu hiệu và quan h ệ bên trong, không nhận thức trực

tiếp được và ch ỉ thể hiện ra trong hoạt động tư duy của HS Mặt khác, nhờ so sánh

người ta còn tìm th ấy cả những dấu hiệu không b ản chất, thứ yếu của chúng Chỉ có

so sánh cácđối tượng và hi ện tượng với nhau, con người mới có th ể định hướng đúng

đắn trong thế giới xung quanh, phản ứng như nhau đối với những cái giống nhau trong đối tượng và hành động khác nhau dựa vào s ự khác biệt trong đối tượng [106,

tr 227]

Trên cơ sở cácđịnh nghĩa và các luận điểm vừa nêu, có thể thống nhất vớiquan niệm rằng So sánh là xác định sự gi ống nhau và khác nhau giữa các sự v ật và hiện tượng trong tất cả các mối quan hệ có th ể có nh ằm một mục đích nhận thức nào đó.

Theo M N Sácđacôp [82], có các hình th ức so sánh sau:

+) So sánh liênếtip: Là s ự so sánh thể hiện ở chỗ đối tượng hoặc khái niệm

mới đang nghiên cứu được đem so sánh với những đối tượng hoặc khái niệm đã đượchọc từ trước, theo sự giống nhau hoặc khác nhau nào đấy

23

Chẳng hạn, so sánh ựs giống nhau giữa phép nhân và phép cộng trên R, giữaphép trừ trên Z và phép trừ trên N, giữa cấp số nhân và c ấp số cộng, giữa giới hạncủa hàm s ố và gi ới hạn của dãy s ố, giữa tính liên ụtc tại một điểm và tính gi ới hạntại một điểm, giữa hình học không gian và hình h ọc phẳng, …

+) So sánhđối chứng: Là s ự so sánh thể hiện ở chỗ nghiên ứcu hai đối tượnghoặc hiện tượng cùng loại xen kẽ nhau Việc áp dụng sự so sánh dưới hình thức đốichứng tạo điều kiện học tập có k ết quả cùng một lúc các ặcp khái niệm có n ội dungliên quan với nhau, chẳng hạn các khái ệnim về nô l ệ và ch ủ nô, v ề sự ân c ần và h

ờ hững, sự hưng phấn và s ự ức chế của các quá trình ầthn kinh,

Trong Toán học, ta thường so sánh khái ệnim tam giác với tứ diện, đườngtròn v ới mặt cầu, đạo hàm và tích phân, gi ữa hàm s ố mũ và hàm s ố lôgarit, gi ữacác cách giải khác nhau ủca cùng một bài t ập, Việc so sánh giúp cho HSĩnhl hộicác khái niệm, cácđịnh lý, các quy tắc, phương pháp với tất cả tính đa dạng và độcđáo của các dấu hiệu và thu ộc tính của nó

Nhờ có so sánh mà HS đã nghiên cứu được các ựs vật và hi ện tượng với các dấu hiệu giống nhau và khác nhau, chung và riêng ủca chúng Bằng cách so sánh, HS

đã hình thành được những hình tượng phong phú, trong sáng, ựtrc quan về những điều

đã h ọc, từ đó vi ệc học tập của HS có tính tích c ực, tự giác và làm cho việc ghi nhớ lại các tài liệu đã h ọc tốt hơn, củng cố trí nhớ của HS

1.2.4 Tương tự hóa

Theo G Polya [77, tr 19], tương tự là m ột kiểu giống nhau nào đó Có th ể nói

tương tự là gi ống nhau nhưng ở mức độ xácđịnh hơn và m ức độ đó được phản ánh bằng khái niệm Ông gi ải thích điều trên như sau: "Sự khác nhau ăcn bản giữa tương

tự và nh ững loại giống nhau khác là ở ý định của người đang suy nghĩ Những đối tượng giống nhau phù hợp với nhau trong một quan hệ nào đó N ếu bạn có ý địnhquy mối quan hệ trong đó các đối tượng phù hợp với nhau về những khái niệm đã địnhthì bạn sẽ xem những đối tượng giống nhau ấy như là nh ững đối tượng tương tự Và n

ếu bạn đạt tới những khái niệm rõ ràng, thì t ức là b ạn làm sáng tỏ sự tương tự."

Trong [23], Đ P Goocki cho rằng: "Tương tự là phép suy luận trong đó t ừ chỗ

hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng cácđối tượng nàygiống nhau ở các dấu hiệu khác Nếu đối tượng A có d ấu hiệu là a, b, c, d và đối tượng

B cũng có các dấu hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giả định rằng đối tượng B cũng cótính ch ất d Ta có th ể biểu diễn sơ đồ của phép suy luận tương tự như sau: A có tính

ch ất a, b, c, d; B có tính ch ất a, b, c; Kết luận B cũng có tính ch ất d."

"Tương tự là chuy ển từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng

khác ủca cùng một cái ổtng quát" [52, tr 9]

Trong Toán học, người ta thường xét các ấvn đề tương tự trên các khíaạcnh sau đây:

- Hai phép chứng minh tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh là giống nhau;

- Hai hình là t ương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau Chẳng hạn,đường thẳng trong mặt phẳng tương tự với mặt phẳng trong không gian vì trong hìnhhọc phẳng đường thẳng là đường đơn giản nhất có vai trò gi ống mặt phẳng là đơn giản nhất trong hình học không gian Ngoài ra, có nhi ều định lý v ẫn còn đúng nếu

ta thay từ "đường thẳng" bởi từ "mặt phẳng", ví dụ định lý "N ếu hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ 3 thì chúng song song với nhau" có thể thay "đường thẳng" bởi "mặt phẳng" thì kết luận thu được vẫn đúng

Nói v ề vai trò c ủa tương tự, nhà thiên văn học tài ba Kepler (ng ười Đức), người đã phát minh ra ba định luật nổi tiếng trong thiên văn học cho rằng: "Tôi vô cùng biết ơn các phépươtng tự, những người thầy đáng tin ậcy nhất của tôi, các phépươtng tự đã giúp tôi khám phá ra các bíậmtcủa tự nhiên,đã giúp tôi v ượt qua mọi trởngại" (dẫn theo [18, tr.148])

Trên ơc sở cácđịnh nghĩa và các luận điểm vừa nêu, có thể thống nhất rằng

Tương tự hóa là quá trình dùng trí óc để kết luận về sự giống nhau của cácđối tượng ở một số dấu hiệu, thuộc tính khác ừt sự giống nhau của cácđối tượng ở một

số dấu hiệu, thuộc tính nào đó nh ằm mục đích tạo ra một kết quả mới, vượt qua một trở ngại.

Ví dụ 1.7: Cho n  N * , hãy tính các tổng sau:

n 1 

1

n n 1n 

2

GV có th ể hướng dẫn HS tìm tổng S1 bằng các câu hỏi gợi ý nh ư sau: Tổng

S1 được rút gọn bằng cách nào? Cácốs hạng trong tổng có m ối quan hệ ra sao? Sốhạng tổng quát ủca tổng là gì? Có th ể phân tích s ố hạng tổng quátđó nh ư thế nào?

25

Với những câu h ỏi dẫn dắt như trên, HS ẽs chỉ ra được số hạng tổng quát ủca1

tổng là  , sốhạng nàyđược phân tích nhưsau:

Từ đó, HS có th ể tính tổng S1 dễ dàng b ằng cách phân tích mỗi số hạng của

tổng thành hi ệu của hai số hạng, trong đó s ố trừ của số hạng thứ k trùng với số bị trừ của số hạng thứ k+1, do đó chúng triệt tiêu ẫln nhau.

26

Ở bài toán tính tổng S1 ở trên, HSđã tách mỗi số hạng thành hi ệu của hai số,vậy đối với tổng S3 , để tách mỗi số hạng thành hi ệu của hai số, HS thử ghépđôi t ừnhững số ở mẫu Mẫu số của số hạng đầu có ba s ố 1, 2, 3, HS thử ghép thành (1,2)

và (2,3), có ngh ĩa là: 1  1  1 Hãy ki ểm tra lại kết quả xem!

1.2.3 1.2 2.31

việc tách này lại không có tính ch ất số trừ của số hạng thứ k trùng với số bị trừ của

số hạng thứ k+1, nên không rút gọn được tổng S3

Sau khi HS biết cách tính cácổngt S1 , S 2 , S3 , bằng thao tác ươtng tự hóa, GV yêu ầcu HS tính các ổtng sau:

Bằng cách ươtng tự, HS có th ể tính được tổng S5 ở trên như sau:

1.2.5 Trừu tượng hóa - Khái quát hóa

1.2.5.1 Có nhi ều định nghĩa về trừu tượng hóa và khái quát hóa, chẳng hạn:

G Polya cho rằng: "Khái quát hóalà chuy ển từ việc nghiên ứcu một tập hợp

đối tượng đã cho đến việc nghiên ứcu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp banđầu" [77, tr 18]

Theo M N Sácđacôp: "S ự phát triển của việc trừu tượng hóa c ủa HS đượcbiểu hiện trong việc hình thành kh ả năng tách ra và trừu xuất các dấu hiệu, các mốiliên hệ và các mối quan hệ chung và b ản chất khỏi các ựs vật và hi ện tượng riêng

ẻl, cũng như biết phân bi ệt các dấu hiệu và các mối liên hệ không b ản chất của các

ựs vật hoặc hiện tượng này và bi ết trừu xuất khỏi chúng" [82, tr 3]

Tác giả Đào V ăn Trung đã vi ết: "Từ trong những sự vật khác nhau, tìm ranhững tính chất chung của chúng và quy kết lại, phương pháp ưt duy này g ọi là kháiquát" [103, tr 169]

"Trừu tượng hoálà quá trình dùng trí óc gạt bỏ những mặt, những thuộc tính,

những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không c ần thiết và ch ỉ giữ lại những yếu tố cần

thiết cho tư duy Khái quát hóalà quá trình dùng trí óc để hợp nhất nhiều đối tượng

khác nhau thành một nhóm, m ột loại theo những thuộc tính, những liên hệ, quan hệchung nhất định" [107, tr 117]

"Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không b ản chất Khái quát hóalà chuy ển từ một tập hợp đối tượng sang một tập

hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêuậbt một số đặc điểm chung của cácphần tử trong tập xuất phát" [54, tr 46]

Theo Hoàng Chúng: "Khái quát hóalà dùng trí óc tách ra cái chung trong

cácđối tượng, sự kiện hoặc hiện tượng Muốn khái quát hóa, thường phải so sánh nhiều đối tượng, hiện tượng, sự kiện với nhau" [8, tr 23] "Khi khái quát hóa, chúng tatách ra cái chung trong cácđối tượng nghiên ứcu, chỉ khảo sát cái chung này, ạgt qua một bên những cái riêng phân biệt đối tượng này v ới đối tượng khác, không chú ý t ớinhững cái riêng này Chẳng hạn, khi xem xét hình dáng ủca các vật, ta gạt qua một bên kích thước, màu s ắc, chất liệu, công d ụng, … c ủa các vật đó Đó là tr ừu tượng hóa" [8, tr 27]

28

Trong [33], các tác ảgicho rằng trừu tượng hóa bi ểu thị khả năng tách những mối liên hệ nào đó t ừ mạng những sợi dây liên kết chằng chịt cácđối tượng và hi ện tượng Có ba lo ại trừu tượng hóa c ơ bản, đó là tr ừu tượng hóa đồng nhất, trừu tượng hóa gi ải tích (còn g ọi là lý t ưởng hóa), tr ừu tượng hóa kh ả hiện Khái quát hóa là thao tác chuyển từ khái niệm có ngo ại diên hẹp sang khái niệm có ngo ại diên ộrng, còn được gọi là m ở rộng khái niệm.

Trên ơc sở cácđịnh nghĩa vừa nêu, có thể cho rằng Trừu tượng hóa là quá trình dùng trí óc tách (trừu xuất) những đặc điểm bản chất ra khỏi đối tượng, đưa những đặc điểm đó vào quá trình t ư duy nhằm giải quyết vấn đề Khái quát hóa quá trình dùng trí óc chuy ển một tập đối tượng vào m ột tập đối tượng lớn hơn chứa tập ban đầu bằng cách nêuậbt một số đặc điểm bản chất của các phần từ trong tập hợp ban đầu.

1.2.5.2 Mối quan hệ giữa trừu tượng hóa và khái quát hóa

Trong quá trình nghiênứcu các ựs vật và hi ện tượng riêng ẻl ban đầu ta tách

ra và tr ừu xuất các thuộc tính và các mối liên hệ chung, bản chất, nghĩa là tr ừu tượng hóa kh ỏi các dấu hiệu và các mối liên hệ không b ản chất Sau đó, nh ờ khái quát hóa các thuộc tính và các mối liên hệ chung và b ản chất đó ta thu được các tri thức khái quát,ừtru tượng dưới hình thức những khái niệm, những định lý, quy t ắc Như vậy, mọi tri thức khái quát có tính chất lý lu ận dưới hình thức các khái ệnim, cácđịnh lý, quy t ắc mà HS đã ti ếp nhận được trong quá trình học tập đều đạt được bằng trừu tượng hóa

Mỗi sự vật và hi ện tượng đều có nh ững dấu hiệu, thuộc tính bản chất và không bản chất Chỉ khi các dấu hiệu và các mối liên hệ chung, bản chất của một nhóm những

sự vật, hiện tượng nhất định nào đấy được khái quát hóa, ta mới thu được các tri thức có tính ch ất lý lu ận khái quátềvnhóm các sự vật hay hiện tượng đó

"Khái quát hóa có mối quan hệ mật thiết với trừu tượng hóa Tr ừu tượng hóa

là s ự nêu bật và tách những đặc điểm không b ản chất ra khỏi cácđặc điểm bản chất.Trừu tượng hóa là điều kiện ắt có nh ưng chưa đủ để khái quát hóa" [52, tr 10] "Sựtrừu tượng hóa là m ột thành ph ần không th ể táchđược của quá trình khái quát hóa"[83, tr 5] "Trừu tượng hóa và khái quát hóa liên ệh chặt chẽ với nhau Nhờ trừutượng hóa, ta có th ể khái quát hóaộrng hơn và nh ận thức sự vật sâu h ơn Không cókhái quát hóa và trừu tượng hóa thì không th ể có khái niệm và tri th ức lý thuy ếtđược" [8, tr 27]

Chúng tôi thống nhất với tác giả Nguyễn Bá Kim có hai dạng khái quát hóa thường gặp trong môn Toán có thể biểu diễn bằng sơ đồ sau [52, tr 5]:

Khái quát hóa

Khái quát hóaừt cái riêngẻ l

- Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà C ường có

3 con đường đi Do đó, để đi từ nhà An đến nhà C ường có t ất cả 3.4  12 cáchđi; từ

nhà An đến nhà Bình có m con đường đi, từ nhà Bình đến nhà C ường có n con đường đi Do đó, có m n cáchđi từ nhà An đến nhà C ường;

- Giả sử một công vi ệc nào đó g ồm hai công đoạn A và B Côngđoạn A có

thể làm theo n cách, với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có m cách Khiđó công vi ệc có th ể thực hiện theo n.m cách.Đó là m ột kết quả tổng quát.

- Chúng ta tiếp tục đi đến một kết quả tổng quát hơn từ kết quả tổng quát trên:

Giả sử một công vi ệc nào đó bao g ồm k công đoạn A1,A2, , A k Công đoạn

A1có thểthực hiện theo n1cách, côngđoạn A2có thểthực hiện theo n2cách, , công đoạn A k có th ể thực hiện theo n k cách Khiđó công vi ệc có th ể thực hiện theo n1 n2 n k

30

Ví dụ 1.8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm s ố y  x3

3x2

2 tại

điểm M1; 0

Để làm bài toán cụ thể này, HS ph ải liên hệ đến phương trình tiếp tuyến của

đồ thị hàm s ố tổng quát y  f x tại điểm M x0 ;fx0 là:

y  f 'x0x  x0 f x0,đó chính là khái quát hóa

Có th ể thực hiện khái quát hóađến cái ổtng quátđã bi ết mang tính quy trìnhnhư sau:

Khái quát hóađến cái ổtng quátđã bi ết.

Bước 1: Xácđịnh vấn đề cần giải quyết;

Bước 2: Lựa chọn, xácđịnh những thuộc tính, quan hệ của đối tượng gắn với bản chất vấn đề cần giải quyết;

Bước 3 Đưa đối tượng vào m ột lớp đối tượng theo thuộc tính, quan hệ đã xácđịnh Xácđịnh những nguyên ắtc, quy luật, công th ức tổng quát của lớp đối tượng đó có liên quan đến việc giải quyết vấn đề.

Ví dụ 1.9: Tìm giới hạn của dãy s ố u n, với u n  4n 2  5n  8  n

Có nhi ều hành động tham gia vào quá trình giải bài toán trên, ựd kiến rằng vìchưa có m ột quy tắc, định lý nào v ề tìm giới hạn của dãy s ố cho phép ta áp ụdngđược trực tiếp để tìm lim 4n 2 5n  8  ncho nên HSẽs biếnđổi dãy số cần tìmgiới hạn trên theo hai hướng như sau:

Nếu HS không t ự mình biến đổi thì thầy giáo có thể gợi ý b ằng câu h ỏi:

- Có quy t ắc, định lý nào v ề tìm giới hạn của dãy s ố cho phép ta áp ụdng được trực tiếp để tìm lim 4n 2

 5n  8  nhay không?

- Hãy tìm cách biến đổi 4n2  5n  8 nvềdạng quen thuộc!

Lúc này, khái quát hóa ẽs là m ột thành ph ần tham gia tiếp vào quá trình giải bài toán

Bước 1: Xácđịnh vấn đề cần giải quyết.

31

5 8

4   2

Tìm lim n

n n 1 Bước 2: Lựa chọn, xácđịnh những thuộc tính, quan hệ của đối tượng gắn với bản chất vấn đề cần giải quyết.

GV có th ể đặt câu h ỏi sau cho HS:

Có quy t ắc, định lý nào v ề tìm giới hạn của dãy s ố cho phép ta áp ụdng được

GV có th ể đặt câu h ỏi sau cho HS:

- Nếu limu n , limv n 1 thì limu n v n sẽ như thế nào?

Dự kiến HS trả lời: limu n v n (Ở đây, HS đã đặt tình huống cụ thể trênvào tình hu ống tổng quát, đó là: N ếu limu n, lim v nL 0 , v n0 , thì

lim(u n v n )  )

- Hãy trình bày l ại lời giải!

Với cách biến đổi thứ hai, khái quát hóa tham gia ớvi trật tự tương tự như

u trên, ứtc là HS đã đặt tình huống cụ thể lim u n  3, lim v n  0, v n  0 để tìm lim n

v n

vào tình hu ống tổng quát,đó là: N ếu limu nL (L0), limv n0,v n0 kể từ số hạng nào đó thì limun



v n

Khái quát hóađến cái ổtng quát chưa biết.

Dạng khái quát nàyđi đến kiến thức mới, có th ể là m ột khái niệm, một định

lý hay m ột bài t ập nào đó mà ta mu ốn hình thành ho ặc mở rộng

Bước 1: Xácđịnh vấn đề cần khái quát;

Bước 2: Xácđịnh cácđặc điểm của cácđối tượng riêng ẻl;

32

Bước 3: So sánh cácđặc điểm đó để tìm ra đặc điểm giống nhau và khác nhau;

Bước 4: Trong cácđặc điểm giống nhau đó gi ữ lại cái bản chất và tr ừu xuất chúng ra khỏi đối tượng;

Bước 5: Chuyển từ việc nghiên ứcu cácđối tượng riêng ẻl sang nghiên ứcu một tập lớn hơn chứa cácđối tượng riêng ẻl đó;

Bước 6: Chứng minh các đặc điểm vừa tách ra ở bước 4 cũng thỏa mãn trong tập lớn hơn ở bước 5;

Bước 7: Phát biểu kết quả tổng quát vừa chứng minh được.

Dạng khái quát hóa nàyđi đến kiến thức mới, chẳng hạn như hình thành kháiniệm theo con đường quy nạp, mở rộng một khái niệm, mở rộng một định lý, m ởrộng một bài toán,

Ví dụ 1.10: Tính các tích phân sau và tìm bài toán tổng quát cùng với phương

GV hướng dẫn HS giải các bài tập trên, chẳng hạn câu a) v ới các gợi ý nh ư sau:

- Hãy quan sát cận của tích phân! V ới cận như thế thì có th ể chọn phép đổi biến như thế nào?

Tích phân cu ối cùng được tính một cách dễ dàng.

- Tương tự, hãy tính các tích phân I2 ,I3 ,I4 !

Sau khi hướng dẫn HS tính các tích phân trên, cácướbc trong quy trình kháiquát hóa được tiến hành nh ằm mục đích tìm được tích phân t ổng quát và phương pháp tính

Bước 1: Xácđịnh vấn đề cần khái quát.

- Hãy tìm tích phân t ổng quát cùng với phương pháp tính!

Bước 2: Xácđịnh các dấu hiệu, cácđặc điểm, các thuộc tính, các mối liên ệh của cácđối tượng riêng ẻl.

- Hãy tìm các đặc điểm của các tích phân vừa tính!

Tích phân I1 lấy trênđoạn 1;1, hàm l ấy tích phân

tích phân là th ương của hàm l ượng giáccosx và 2 x  1; tích phân I3 lấy trênđoạn

 2; 2, hàm lấy tích phân là thương của hàm trịtuyệt đối x và 3 x  1; tích phân

I4 lấy trênđoạn 3; 3, hàm l ấy tích phân là th ương của hàm h ữu tỷ

1và

3  x 2

4 x  1

Bước 3: So sánh các ấdu hiệu, cácđặc điểm, các thuộc tính, các mối liên ệh

đó để tìm ra dấu hiệu giống nhau và khác nhau.

So sánh cácđặc điểm trên chúng ta thấy rằng:

Khác nhau: Cận khác nhau, hàm lấy tích phân khác nhau

Giống nhau: Cận đối xứng, hàm l ấy tích phân là th ương của một hàm ch ẵn

và hàm s ố có d ạng m x 1

Bước 4: Giữ lại đặc điểm: Cận lấy tích phân đối xứng, hàm l ấy tích phân là

thương của một hàm ch ẵn và hàm s ố có d ạng m x 1

Bước 5: Chuyển từ việc tính các tích phân cụ thể trên về việc tính tích phân

chỉ chứa đặc điểm vừa tách raở bước 4: Tính I

Bước 6: Chứng minh các thuộc tính, dấu hiệu, đặc điểm, mối liên ệh vừa tách raở bước 4 cũng thỏa mãn trong t ập lớn hơn ở bước 5.

34