Phần này trình bày các bài toán về hệ phương trình tuyến tính và nêu cách giải. Có nhiều cách để giải một hệ phương trình tuyến tính, ở phông thông chúng ta đã học một cách giải thông thường bằng phương pháp cộng, hạn chế của cách giải này chỉ áp dụng đối với hệ 3, 4 phương trình. Lên bậc Đại học chúng ta tiếp cận nhiều cách giải mới, giúp giải quyết nhanh bài toán trong đó có cách dùng phương pháp Gaus mà tôi trình bày sau đây.
Trang 1BÀI TẬP MÔN TOÁN CAO
CẤP Phần một: Giải hệ phương trình tuyến tính
Bài 1
x1−5x2+ 4x3 =−7(1)
2x1−9x2− x3= 4(2)
3x 1 −11x 2 − 7x 3 = 17(3)
Giải
Cách 1 (Phương pháp thông thường)
Nhân hai vế của phương trình (1) lần lượt với - 2, - 3 rồi cộng lần lượt vào phương trình (2) và phương trình (3), ta được hệ:
x1−5x2+ 4x3 =−7(1)
x2−9x3 = 18(4)
4x2− 19x3 = 38(5)
Nhân hai vế của phương trình (4) với - 4 rồi cộng vào phương trình (5) được:
x1−5x2+ 4x3 =−7(1)
x2−9x3 = 18(4)
17x 3 =−34(6)
Trang 2Từ(6) suy ra x3 = −2 Thay x3 = −2 vào phương trình (4) ta tính được x2 = 0 Thay x2= 0, x3 =−2 Vào phương trình (1) ta tìm được x1= 1
Hệ có nghiệm duy nhất (1, 0, -2)
Cách 2: Phương pháp Gauss
1−5 4
2−9−1
3−11−7
−7 4 17
d 2 −2d 1
−−−−→
d 3 −3d 1
1 −5 4
0 1 −9
0 4−19
−7 18 38
d 3 −4d 2
−−−−→
1 −5 4
0 1 −9
−7 18
−34
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
x1−5x2+ 4x3=−7
x2−9x3= 18
17x 3=−34
⇔
x 1= 1
x2= 0
x3=−2
Bài 2
2x1−2x2−1x3 =−1(1)
x2+ x3 = 1(2)
−x1 +x2+ x3 =−1(3)
Cách 1 (Phương pháp thông thường)
Nhân hai vế của phương trình (3) với 2, ta được hệ:
2x1−2x2−1x3 =−1(1)
x 2+ x 3 = 1(2)
−2x1 + 2x2+ 2x3 =−2(4)
Trang 3cộng phương trình (1) vào phương trình (4) ta được:
2x 1 −2x 2 −1x 3 =−1(1)
x2+ x3 = 1(2)
x3 =−3(5)
Từ(5) suy ra x3 = −3 Thay x3 = −3 vào phương trình (2) ta tính được x2 = 4 Thay x2= 4, x3 =−3 Vào phương trình (1) ta tìm được x1= 5
Hệ có nghiệm duy nhất (5, 4, -3)
Giải: Phương pháp Gauss
−1 1 1
−1 1
−1
2d 3 +d 1
−−−−→
2 −2 −1
−1 1
−3
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
2x1−2x2− x3 =−1
x2+x3= 1
x3 =−3
⇔
x1= 5
x 2= 4
x3=−3
Bài 3
x1− x2+x3= 1
2x1+x2+x3 = 2
3x 1 +x 2+ 2x 3 = 0
Trang 4Giải: Phương pháp Gauss
1 2 0
d 2 −2d 1
−−−−→
d 3 −3d 1
1 0
−3
3d 3 −4d 2
−−−−−→
1 0
−9
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
x1− x2+x3= 1
3x 2 − x 3= 0
x3=−9
⇔
x1= 7
x2=−3
x3=−9
Bài 4
2x1− x2− x3 = 4
3x1+ 4x2−2x3 = 11
3x 1 −2x 2+ 4x 3 = 11
Giải
4 11 11
2d 2 −3d 1
−−−−−→
d 3 −d 2
4 10 0
11d 3 +6d 2
−−−−−−→
4 10 60
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
2x1− x2− x3= 4
11x2− x3= 10
60x3 = 60
Trang 5
x 1= 3
x2= 1
x3= 1
Bài 5
3x1+ 2x2+x3= 5
2x1+ 3x2+x3= 1
2x1 +x2+ 3x3 = 11
Giải
5 1 11
3d 2 −2d 1
−−−−−→
d 3 −d 2
5
−7 10
5d 3 +2d 2
−−−−−→
5
−7 36
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
3x1+ 2x2+x3 = 5
5x 2+x 3 = −7
12x3 = 36
⇔
x1= 2
x2=−2
x3= 3
Bài 6
x1+x2+x3 = 1
x1+ 2x2+ 3x3=−1
x 1 + 4x 2+ 9x 3 =−9
Giải
Trang 6
1
−1
−9
d 2 −d 1
− −−− →
d 3 −d 2
1
−2
−8
d 3 −2d 2
−−−−→
1
−2
−4
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
x1+x2+x3 = 1
x2+ 2x3 = −2
2x3=−4
⇔
x1= 1
x2= 2
x3=−2
Bài 7
2x 1+ 5x 2 −8x 3 = 8
4x1+ 3x2−9x3 = 9
2x1 + 3x2− 5x3 = 7
Giải
8 9 7
d 2 −2d 1
−−−−→
d 3 −d 1
8
−7
−1
7d 3 −2d 2
−−−−−→
8
−7 7
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
2x1+ 5x2−8x3 = 8
−7x2+ 7x3 = −7
7x3 = 7
Trang 7
x 1= 3
x2= 2
x3= 1
Bài 8
x1+x3 = 2
−x1+ 2x2+x3= 2
2x1 − x2+ 2x3 = 3
Giải
−1 2 1
2 2 3
d 2 +d 1
−−−−→
d 3 −2d 1
2 4
−1
2d 3 +d 2
−−−−→
2 4 2
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
x 1+ 0x 2+x 3 = 2
2x2+ 2x3 = 4
2x3= 2
⇔
x1= 1
x2= 1
x3= 1
Bài 9
x1+ 2x3= 3
2x 1+ 3x 2 −4x 3 = 1
7x1 −2x2− 5x3 = 0
Giải
Trang 8
3 1 0
d 2 −2d 1
−−−−→
d 3 −7d 1
3
−5
−21
3d 3 +2d 2
−−−−−→
3
−5
−73
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
x1+ 0x2+ 2x3 = 3
3x2−8x3 = −5
−73x3 =−73
⇔
x1= 1
x2= 1
x3= 1
Bài 10
3x 1+x 2 −5x 3 = 11
x1+ 7x2−13x3 = 15
x1 −3x2+ 4x3 = 2
Giải
11 15 2
3d 2 −d 1
−−−−→
3d 3 −d 1
11 34
−5
2d 3 +d 2
−−−−→
11 34 24
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
3x1+x2−5x3 = 11
20x2−34x3= 34
0x3= 24
Trang 9Phương trình vô nghiệm.
Các bài tập tham khảo:
Bài 11
Giải hệ phương trình tuyến tính sau
− 3 x 1 − x 2 + 5 x 3 = 1
x 1 + 7 x 2 − 13 x 3 = 15
2 x 1 − 6 x 2 + 8 x 3 = 4 Bài 12
Giải hệ phương trình tuyến tính sau
3 x 1 + x 2 − 5 x 3 = 11
x 1 + 7 x 2 − 13 x 3 = 15
−x 1 + 3 x 2 + − 4 x 3 = − 2 Bài 13
Giải hệ phương trình tuyến tính sau
Trang 10
− 3 x 1 − x 2 + 5 x 3 = 1
−x 1 − 7 x 2 + 13 x 3 = − 15
2 x 1 − 6 x 2 + 8 x 3 = 4