Phương pháp giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian (LV thạc sĩ)

Phương pháp giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian (LV thạc sĩ)Phương pháp giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian (LV thạc sĩ)Phương pháp giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian (LV thạc sĩ)Phương pháp giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian (LV thạc sĩ)Phương pháp giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian (LV thạc sĩ)Phương pháp giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian (LV thạc sĩ)Phương pháp giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian (LV thạc sĩ)Phương pháp giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian (LV thạc sĩ)Phương pháp giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian (LV thạc sĩ)Phương pháp giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian (LV thạc sĩ)Phương pháp giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

VŨ XUÂN SANG

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

VŨ XUÂN SANG

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI

THÁI NGUYÊN - 2017

Mục lục

1.1 Bài toán quỹ tích 3

1.1.1 Khái niệm 3

1.1.2 Quỹ tích cơ bản 5

1.2 Véc tơ và tọa độ 6

1.2.1 Véc tơ trong không gian 6

1.2.2 Tọa độ trong không gian 7

1.3 Sơ lược về các phép biến hình 10

1.3.1 Phép dời hình 10

1.3.2 Phép vị tự và phép đồng dạng 11

1.3.3 Một số ví dụ mở đầu 12

2 Các phương pháp giải toán quỹ tích trong không gian 16 2.1 Phương pháp quỹ tích cơ bản 16

2.2 Phương pháp quỹ tích phẳng trong không gian 19

2.2.1 Quỹ tích phẳng trong không gian 19

2.2.3 Quỹ tích hình chiếu của điểm lên mặt phẳng 27

2.3 Phương pháp véc tơ và tọa độ 31

2.3.1 Tìm quỹ tích nhờ véc tơ 31

2.3.2 Tìm quỹ tích nhờ tọa độ 33

2.4 Phương pháp biến hình 37

2.4.1 Ứng dụng các phép dời hình 38

2.4.2 Ứng dụng phép vị tự và phép đồng dạng 41

2.5 Một số bài toán quỹ tích nâng cao 44

2.5.1 Kết hợp các phương pháp giải 44

2.5.2 Một số cách giải đặc biệt 49

Danh mục hình

1.1 Bài toán mở đầu 12

1.2 Quỹ tích các điểm M, N, G 15

2.1 Quỹ tích cơ bản 17

2.2 Quỹ tích I, H, E, F 18

2.3 Quỹ tích trung điểm I 20

2.4 Quỹ tích I,K,H 21

2.5 Bài toán A: Quỹ tích H, E 23

2.6 Bài toán A: quỹ tích E, N, H 25

2.7 Bài toán B: Quỹ tích hình chiếu H của A 28

2.8 Bài toán B: Quỹ tích hình chiếu N của A 29

2.9 Quỹ tích hình chiếu của A 31

2.10 Mặt phẳng trung trực và mặt cầu 32

2.11 Phương pháp tọa độ 35

2.12 Đối xứng tâm SD 38

2.13 Đối xứng trục SBC 40

2.14 Quỹ tích M0 41

2.15 Quỹ tích trọng tâm Q 42

2.16 Quỹ tích A0, B0, C0, G 43

2.17 Hai phương pháp 45

2.18 Quỹ tích S 47

2.19 Quỹ tích A, B, C, D 50

2.20 M nhìn mặt cầu dưới góc vuông 52

2.21 Quỹ tích trọng tâm tam giác 53

2.22 Quỹ tích H 55

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn BGH trường Đại học Khoa học - ĐạiHọc Thái Nguyên, các thầy cô thuộc phòng Đào tạo sau đại học, cáccán bộ thuộc Trung tâm Nhiên cứu Giáo dục-Đào tạo Hải Phòng, đãtạo điều kiện tốt nhất để hoàn thành khóa học Tôi xin chân thành cảm

ơn quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K9B (2015 - 2017) nhà trường

đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiệncho tôi hoàn thành khóa học

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhậnđược sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS Nguyễn Việt Hải,Giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phòng Tôi xin chân thành bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đốivới những điều thầy đã dành cho tôi

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, nhữngngười đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốtquá trình học tập và thực hiện luận văn

Xin trân trọng cảm ơn!

Hải Phòng, tháng năm 2017

Tác giả

Vũ Xuân Sang

Mở đầu

Trong hình học phổ thông ta đã biết các bài toán quỹ tích đượcgọi là bài toán tìm tập hợp điểm Khi có kiến thức về tọa độ và cácphép biến hình thì loại toán này được gặp thường xuyên hơn Luận vănnày muốn nghiên cứu một cách hệ thống các bài toán tìm quỹ tích điểmtrong không gian (đương nhiên có liên quan đến các quỹ tích trong mặtphẳng) Ngoài cách phát biểu bài toán quỹ tích, nội dung chủ yếu củaluận văn là nêu các phương pháp hay dùng khi giải các bài toán quỹtích trong không gian Đó là các phương pháp cơ bản và có hiệu quảnếu biết sử dụng đúng chỗ

đề liên quan

- Các kiến thức về hình học không gian cũng như các kỹ thuật giảitoán hình học không gian được hệ thống và nâng cao qua các bài toánquỹ tích hay và khó trong các kỳ thi học sinh giỏi

- Người nghiên cứu có thêm kiến thức và năng lực bồi dưỡng học sinhgiỏi về các vấn đề khó của Hình học

2 Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết

Trình bày hệ thống cách giải bài toán quỹ tích trong không gian.Phần lý thuyết trình bày tóm tắt những cơ sở khoa học của các phươngpháp Phần trọng tâm ở chương 2 nêu các kỹ thuật chi tiết khi áp dụng

các phương pháp giải Đồng thời đưa ra các ví dụ điển hình để chứng

tỏ các phương pháp giải là thực sự hiệu quả

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Nhắc lại về bài toán quỹ tích, véc tơ và tọa độ trong không gian

và những vấn đề cơ bản của phép biến hình trong không gian Nội dungcác phần này được chọn lọc đủ để áp dụng trong chương hai, bao gồmcác mục sau:

1.1 Bài toán quỹ tích trong mặt phẳng và trong không gian

1.2 Các quỹ tích cơ bản

1.3 Véc tơ, các phép toán trên các véc tơ

1.4 Tọa độ trong không gian

1.5 Sơ lược về các phép biến hình

Chương 2 Các phương pháp giải toán quỹ tích trong khônggian

Lần lượt trình bày các phương pháp giải bài toán quỹ tích trongkhông gian, mở đầu là phương pháp quỹ tích cơ bản Mỗi phương phápđều có phân tích và bình luận về cách sử dụng, các ví dụ và các bài toánmẫu được chọn lọc Lưu ý cách giải các bài toán quỹ tích ở mức độ khó.chương hai chia thành các mục sau:

2.1 Phương pháp quỹ tích cơ bản

2.2 Phương pháp quỹ tích phẳng trong không gian

2.3 Phương pháp véc tơ, tọa độ

2.4 Phương pháp biến hình

2.5 Một số bài toán quỹ tích nâng cao

Tác giả

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Bài toán quỹ tích là bài toán khó không những đối với người học màngay cả đối với người dạy bởi bản thân nó là bài toán về chuyển động,bài toán về hàm trong hình học Về bản chất đây là bài toán về tậphợp: "Tìm tập hợp (hay dựng tập hợp) khi cho biết tính chất đặc trưngcủa các phần tử của nó" Về thuật ngữ chúng tôi chọn thuật ngữ "quỹtích" để thể hiện rõ bài toán đang nghiên cứu là bài toán hình học màkhông dùng thuật ngữ chung chung là "tập hợp" Hơn nữa, ở đây chỉxét phương pháp giải các bài toán quỹ tích điểm, các quỹ tích khác sẽđược nghiên cứu ở một đề tài khác

1.1.1 Khái niệm

Bài toán quỹ tích(điểm): Tìm tất cả những điểm (trên mặt phẳng haytrong không gian) có chung tính chất α nào đó và chỉ những điểm ấy.Nghiệm của bài toán là một hình (tập hợp điểm) gồm và chỉ gồm cácđiểm có tính chất α Nếu ta gọi H(α) là tập hợp tất cả các điểm M cótính chất α, còn Φ là một hình nào đó Ta nói hình Φ là nghiệm của bàitoán tức là ta phải chứng minh đẳng thức tập hợp

H(α) = Φ ⇐⇒ H(α) ⊆ Φ và Φ ⊆ H(α)

Mệnh đề "nếu M ∈ H(α) thì M ∈ Φ" được gọi là mệnh đề thuận; cònmệnh đề "nếu M ∈ Φ thì M ∈ H(α)" được gọi là mệnh đề đảo Haimệnh đề này được gọi là cặp thuận-đảo

Áp dụng quy tắc lô gic, ngoài cặp "thuận-đảo" đó ta còn có thể giảibài toán quỹ tích với các cặp mệnh đề tương đương sau:

iii Kỹ thuật lập mệnh đề đảo Bản chất của chứng minh mệnh đề đảo

là chứng minh "từ M ∈ H(α) kéo theo M ∈ Φ" theo đúng nghĩachứng minh bao hàm thức H(α) ⊆ Φ Trên thực tế tính chất α làhội của các tính chất, chẳng hạnα1, α2, α3, trong phần đảo ta phảilấy bất kỳ M ∈ Φ và thỏa mãn α1, α2 rồi chứng minh M thỏa mãn

α3 Chính vì thế sau khi lấy M ∈ Φta phải tiến hành bài toán dựnghình Ở đây cần đến kỹ thuật táchα thành các tính chấtα1, α2, α3

Từ đó cũng thấy có nhiều cách lập mệnh đề đảo, nếu khéo léo ta

có thể nhận được phép chứng minh phần đảo đơn giản hơn

Để bắt đầu với bài toán quỹ tích ta phải liệt kê các quỹ tích cơ bản(Xem chi tiết [2])

1.1.2 Quỹ tích cơ bản

Các quỹ tích sau (thường đã chứng minh trong các sách giáo khoa)được gọi là các quỹ tích cơ bản Sau này các quỹ tích phải tìm sẽ đượcquy về các quỹ tích cơ bản

Quỹ tích 3: Quỹ tích những điểm cách đều 2 cạnh của một góc làđường phân giác của góc đó

Quỹ tích 4: Quỹ tích những điểm mà hiệu bình phương khoảng cách

từ đó đến hai điểm A, B bằng k2 là một đường thẳng vuông góc với ABtại điểm H thỏa mãn: IH = k

2

2AB, với I là trung điểm của AB.

Quỹ tích 5: Quỹ tích những điểm cách đều một điểm O cho trước mộtkhoảng bằng R cho trước là đường tròn tâm O, bán kính R

Quỹ tích 6: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc

γ là cung chứa góc γ dựng trên đoạn thẳng đó (hai cung đối xứng nhauqua AB) Khi γ = 900 quỹ tích là đường tròn đường kính AB

Quỹ tích 7: Quỹ tích những điểm mà tổng bình phương khoảng cách

từ đó đến hai điểm A, B bằng k2 là đường tròn tâm I, bán kính ρ với I

là trung điểm AB, ρ = 1

b Trong không gian:

Quỹ tích 9: Quỹ tích những điểm cách đều 2 điểm A,B là mặt phẳngtrung trực của đoạn thẳng AB

Quỹ tích 10: Quỹ tích những điểm mà khoảng cách từ đó đến một mặtphẳng P cho trước bằng h không đổi là hai mặt phẳng P0, P00 song songvới P và cách P một khoảng bằng h

Quỹ tích 11: Quỹ tích những điểm cách đều 2 nửa mặt phẳng của nhịdiện là mặt phẳng phân giác trong của nhị diện đó

Quỹ tích 12: Quỹ tích những điểm mà hiệu bình phương khoảng cách

từ đó đến hai điểm A, B bằng k2 là một mặt phẳng vuông góc với ABtại điểm H thỏa mãn: IH = k

2

2AB, với I là trung điểm của AB.

Quỹ tích 13: Quỹ tích những điểm cách đều một điểm O cho trướcmột khoảng cách R là mặt cầu tâm O, bán kính R

Quỹ tích 14: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một gócvuông là mặt cầu đường kính AB

Quỹ tích 15: Quỹ tích những điểm mà tổng bình phương khoảng cách

từ đó đến hai điểm A, B bằng k2 là một mặt cầu tâm I, bán kính ρ với

I là trung điểm AB, ρ = 1

2

p

2k2 − AB2.Quỹ tích 16: Quỹ tích những điểm mà tỷ số khoảng cách từ đó đếnhai điểm A, B bằng m là một mặt cầu đường kính CD sao cho C, D chiađiều hòa AB (Mặt cầu Apololiut)

MI, I là trung điểm của AB

Tổng hợp véc tơ theo quy tắc hình hộp

Phép nhân véc tơ với một số thực:~b = k~a ⇐⇒ ~b k ~a, |~b| = |k||~a|;

~b,~a cùng chiều nếu k > 0,~b,~a ngược chiều nếu k < 0

Không gian véc tơ Euclid: Một không gian véc tơ E trên trường số thực

R được gọi là một không gian véc tơ Euclid thực nếu có một dạng

song tuyến tính đối xứng (~a,~b) : E × E → R thỏa mãn điều kiện:(~a, ~a) > 0 với mọi véc tơ ~a 6= ~0.

Dạng song tuyến tính đối xứng này được gọi là tích vô hướng của E.Nói cách khác, tích vô hướng của hai véc tơ ~a,~b ∈ E là số thực (~a,~b),

ký hiệu đơn giản là~a.~b, thỏa mãn 4 điều kiện:

(1) ~a.~b = ~b.~a; (2) (~a + ~b).~c = ~a.~c + ~b.~c; (3) k.(~a.~b) = (k.~a).~b với mọi

1.2.2 Tọa độ trong không gian

a Tọa độ của điểm và véc tơ:

α~a ± β~b = (αa1 ± βb1, αa2 ± βb2, αa3 ± βb3)

b Kỹ thuật chọn gốc tọa độ Để giải bài toán hình học bằng phươngpháp tọa độ thì kỹ thuật chọn gốc tọa độ là kỹ thuật quan trọng nhất,

nó quyết định các tính toán về sau Nhiều trường hợp bài giải khá dễ

dàng nếu ta chọn hệ toa độ phù hợp, các tính toán, các biểu diễn đơngiản nhưng ta cũng sẽ gặp bế tắc trong tính toán và không xác địnhđược phương trình quỹ tích nếu ta chọn hệ tọa độ không phù hợp Sauđây là một số cách chọn hệ tọa độ khi đã có sẵn các hình không gian:

•Hình lập phương: Chọn hệ tọa độ sao cho A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0),D(0,a,0), A0(0, 0, a), B0(a, 0, a), C0(a, a, a), D0(0, a, a) Tương tự cho hìnhhộp chữ nhật Tam diện vuông là một nửa hình hộp chữ nhật nên cáccạnh của tam diện cũng được chọn làm các trục tọa độ

• Hình hộp đứng có đáy là hình thoi: Gốc tọa độ lấy trùng với giaođiểm O của hai đường chéo hình thoi ABCD Trục Oz đi qua hai tâmcủa đáy Lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân cũng được đặt hệ tọa độtương tự

• Hình chóp đều Giả sử hình chóp S ABC, AB=a, SH=h

Cách 1 Chọn gốc O là trung điểm của BC, A∈ Ox, B∈ Oy

Cách 2 Chọn gốc O là trực tâm H, OxkBC, A∈ Oy, S∈ Oz

• Hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD), SA=h Nếu đáy là hình chữnhật ta chọn A=O, B∈Ox, D∈Oy,S∈Oz Nếu đáy là hình thoi ta chọn

O là tâm của đáy, B∈Ox, C∈Oy, OzkSA

• Hình chóp S.ABCD có (SAB)⊥(ABC), đường cao ∆SAB là đườngcao của chóp Nếu ∆ABC vuông tại A ta chọn hệ tọa độ mà A=O,

B∈Oy, C∈ Ox, Ozk SH (đường cao chóp) Nếu vuông tại B ta chọnB=O, vuông tại C chọn C=O Nếu tam giác ASB cân tại S, ∆ABC cântại C ta chọn H=O, C∈ Ox, B∈ Oy, S∈ Oz

c Tích vô hướng và độ dài

~a.~b = |~a||~b| cos(~a,~b) = a1b1 + a2b2 + a3b3

a2 a3

b2 b3

,

, cặp véc tơ chỉ phương~a,~b; ∀u, v ∈ R

• Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 6= 0

Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm, có cặp véc

tơ chỉ phương ~a,~b:

a3 a1

b3 b1

(y − y0) +

a1 a2

b1 b2