Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)

Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)Tích ngoài của véc tơ và ứng dụng (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

PHẠM TRUNG LÂM

TÍCH NGOÀI CỦA VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS TRỊNH THANH HẢI

THÁI NGUYÊN - 2017

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Phó Giáo sư - Tiến

sĩ Trịnh Thanh Hải Tác giả xin trân trọng bày tỏ lòng kính trọng và biết

ơn sâu sắc tới thầy, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, động viên khích

lệ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập vànghiên cứu luận văn

Qua bản luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệutrường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoaToán - Tin, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy và tạo mọi điềukiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu trong suốt thời gian qua.Tác giả cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và tất cả mọingười đã quan tâm, động viên và giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thànhluận văn của mình

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2017

Tác giả luận văn

Phạm Trung Lâm

Mục lục

1.1 Định nghĩa 3

1.2 Tính chất 3

1.3 Biểu thức tọa độ của tích ngoài hai véc tơ 4

1.4 Hướng và diện tích đại số của tam giác 4

1.5 Hướng và diện tích đại số của đa giác lồi 6

1.6 Mối liên hệ giữa độ dài đại số và diện tích đại số 7

2 Một số ứng dụng tích ngoài véc tơ 9 2.1 Mở rộng định lí Gergaune 9

2.2 Ứng dụng của tích ngoài véc tơ vào giải toán 10

2.3 Vấn đề tỉ số kép của chùm đường thẳng 13

2.4 Một số bài toán 15

2.5 Một số bài tập đề nghị 44

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

(−→a ,−→b ) Góc lượng giác giữa hai véc tơ −→a ,−→b

S[XY Z] hoặc S[XY Z] Diện tích đại số của 4XY Z

S(XY Z) hoặc SXY Z Diện tích hình học của 4XY Z

−

→a ↑↑−→b (−→a ↑↓ −→b ) Hai véc tơ −→a ,−→b cùng hướng (ngược hướng).

Danh mục các hình vẽ

Hình 2.1: 10

Hình 2.2: 11

Hình 2.3: 15

Hình 2.4: 16

Hình 2.5: 17

Hình 2.6: 17

Hình 2.7: 19

Hình 2.8: 21

Hình 2.9: 23

Hình 2.10: 24

Hình 2.11: 25

Hình 2.12: 27

Hình 2.13: 28

Hình 2.14: 29

Hình 2.15: 30

Hình 2.16: 32

Hình 2.17: 33

Hình 2.18: 34

Hình 2.19: 35

Hình 2.20: 36

Hình 2.21: 38

Hình 2.22: 41

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong các đề thi học sinh giỏi, ngoài các bài tập áp dụng tính chất củatích vô hướng, thì đã có rất nhiều bài có lời giải liên quan đến tích ngoàicủa hai véc tơ Tuy nhiên trong chương trình, sách giáo khoa môn toán ởTHPT không trình bày nội dung tích ngoài của hai véc tơ nên việc vậndụng tích ngoài của hai véc tơ vào giải toán là một vấn đề khó đối vớinhiều học sinh Với mong muốn đưa ra một cách hệ thống kiến thức vềtích ngoài của hai véc tơ và việc vận dụng các kiến thức đó vào giải toántrung học phổ thông, tác giả đã lựa chọn đề tài "Tích ngoài của hai véc

tơ và ứng dụng"

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu và trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ bản về tíchngoài của hai véc tơ đồng thời trình bày ứng dụng tích ngoài hai véc tơvào giải toán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn có nhiệm vụ:

a Tìm hiểu về tích ngoài của hai véc tơ: Định nghĩa, tính chất, biểu thứctọa độ tích ngoài hai véc tơ

b Sưu tầm và trình bày việc ứng dụng tích ngoài của hai véc tơ vào giảimột số bài toán dành cho học sinh giỏi, đề thi chọn học sinh giỏi trongnước và quốc tế

c Đưa ra lời giải chi tiết, đầy đủ cho bài toán mà trong các tài liệu thamkhảo chỉ có lời giải tóm tắt hoặc gợi ý

4 Nội dung luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trìnhbày ngắn gọn trong hai chương

Luận văn văn gồm hai chương như sau:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Một số ứng dụng tích ngoài véc tơ

Một cách cụ thể, luận văn sẽ trình bày các kết quả chính trong các tàiliệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [5]

iii) (k−→a ) ∧ (l−→b ) = (kl)(−→a ∧−→b ).

1.3 Biểu thức tọa độ của tích ngoài hai véc tơ

Để có thể chứng minh được các tính chất của tích ngoài, trước hết ta

có định lí sau:

Định lí 1.1 Trên mặt phẳng tọa độ cho hai véc tơ −→a (x

1; y1),−→

b (x2; y2).Khi đó

−

→a ∧−→b = x

1y2 − x2y1

1.4 Hướng và diện tích đại số của tam giác

a) Hướng của tam giác

Cho tam giác ABC, ta thấy các hướng quay từ A đến B đến C, từ Bđến C đến A, từ C đến A đến B trùng nhau và gọi là hướng của tam giácABC Như thế các tam giác ABC, BCA, CAB có cùng hướng

Nếu hướng của tam giác ABC trùng với hướng của mặt phẳng thì tanói tam giác ABC có hướng dương

Nếu tam giác ABC có hướng ngược với hướng của mặt phẳng thì ta nóitam giác ABC có hướng âm

b) Tam giác suy biến

Theo định nghĩa thông thường, ba đỉnh của một tam giác phải là bađiểm không thẳng hàng Tuy nhiên, khi xét các bài toán về diện tích, yêucầu này đôi khi trở nên không cần thiết mà còn gây trở ngại cho việc làmtoán Vì vậy, ta đưa ra khái niệm Tam giác suy biến, tức là tam giác mà

ba đỉnh thẳng hàng Để cho thuận tiện, ta thay thuật ngữ tam giác suybiến bởi thuật ngữ tam giác

c) Diện tích đại số của tam giác

Diện tích đại số của tam giác ABC là một số đại số (có thể dương, âmhoặc bằng không), kí hiệu S[ABC] (hoặc S[ABC]) và được xác định như

Từ định nghĩa trên, ta có ngay hệ quả là

S[ABC] = S[BCA] = S[CAB]

Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức thứ nhất, còn đẳng thức thứ hai đượcrút ra một cách tương tự

S(ABC) = S(BCA) = S(CAB)

Tuy nhiên khi cần phân biệt khái niệm diện tích (thường dùng) và diệntích đại số thì người ta thường thay từ diện tích bởi cụm từ diện tích hìnhhọc

Đối với một tam giác có hướng thì diện tích đại số và diện tích hình họccủa nó liên hệ bởi định lí sau đây

Định lí 1.2 (Trích [1])

1) Nếu tam giác ABC có hướng dương thì S[ABC] = S(ABC)

2) Nếu tam giác ABC có hướng âm thì S[ABC] = −S(ABC)

Hệ quả 1.1 Trên mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC Biết rằng −→

AB =(x1, y1),−→

AC = (x2, y2) Khi đó SABC = 1

2|x1y2 − x2y1|

e) Tính chất

Diện tích đại số của tam giác có hai tính chất cơ bản sau:

i) Cho tam giác ABC, với mỗi điểm M ta có

S[ABC] = S[M AB] + S[M BC] + S[M CA]

(hệ thức Chasles về diện tích)

ii) Cho tam giác ABC, với mỗi điểm M thuộc đường thẳng BC ta có

S[ABC] = S[M AB] + S[M BC] + S[M CA] = 1

1.5 Hướng và diện tích đại số của đa giác lồi

Có thể mở rộng khái niệm hướng và diện tích đại số từ tam giác đến đagiác lồi Với sự mở rộng này, khái niệm tích ngoài trở nên có hiệu lực hơnnhiều trong việc giải các bài toán hình học

a) Định nghĩa

Diện tích đại số của đa giác lồi A1A2 An là một số, kí hiệu S[A1A2 An]

và được định nghĩa như sau

• Nếu đa giác có hướng dương (trùng với hướng của mặt phẳng) thì

S[A1A2 An] = S(A1A2 An)

• Nếu đa giác có hướng âm (ngược với hướng của mặt phẳng) thì

S[A1A2 An] = −S(A1A2 An)

Từ định nghĩa trên, ta dễ dàng thấy rằng

S[A1A2 An] = S[A2A3 AnA1] =

= S[AnA1 An−2An−1]

Định lí sau đây rất quan trọng Nó cho phép ta khai triển diện tích đại

số của một đa giác lồi thành tổng các diện tích đại số của các tam giác vàthường gọi là hệ thức Chasles tổng quát về diện tích

Định lí 1.3 Cho đa giác lồi A1A2 An Với mỗi điểm M ta có

S[A1A2 An] = S[M A1A2] + S[M A2A3] + + S[M AnA1] (∗)Chứng minh

Định lí được chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Theo hệ thức Chasles ta thấy (*) đúng khi n = 3

Giả sử (*) đã đúng với n = k (k ≥ 4) Xét đa giác lồi A1A2 AkAk−1.Theo giả thiết quy nạp và theo hệ thức Chasles ta có

S[A1A2 An] = S[M A1A2]+S[M A2A3]+ +S[M Ak−1Ak]+S[M AkA1];S[AkAk+1A1] = S[M AkAk+1] + S[M Ak+1A1] + S[M A1Ak]

Chú ý rằng S[M AkA1] = S[M A1Ak] = 0

Ta thấy (*) đúng khi n = k + 1 Định lí đã được chứng minh

Hệ thức (*) thường được gọi là Hệ thức Chasles về diện tích đại số

1.6 Mối liên hệ giữa độ dài đại số và diện tích đại số

Trong mục này, một định lí quan trọng được giới thiệu và chứng minh,

nó cho thấy mối liên hệ giữa các khái niệm: độ dài đại số, diện tích đại số;

nó chính là sự mở rộng mối liên hệ quen biết giữa các khái niệm: độ dàihình học, diện tích hình học; Định lí và hệ quả sẽ được sử dụng nhiều lầntrong các bài toán trình bày sau đây

Định lí 1.4 Cho tam giác ABC Các điểm B’, C’ nằm trên đường thẳng

BC Ta có

BC

B0C0 = S[ABC]

S[AB0C0].Chứng minh

Gọi −→e là véc tơ chỉ phương của đường thẳng BC Lấy điểm M bất kìtrên BC Ta có

S[ABC]

S[AB0C0] =

12

−→

M A1

−−→

B0C0(−→e ∧−−→M A) =

BC

B0C0.

Hệ quả 1.2 Cho tam giác ABC và điểm O Giả sử các đường thẳng AO

và BC cắt nhau tại điểm M (khác B, C) Ta có

M B

S[OBA]

S[OCA].Chứng minh

Gọi −→e là véc tơ chỉ phương của đường thẳng BC, ta có.

Chương 2

Một số ứng dụng tích ngoài véc tơ

Các ví dụ, bài tập được trình bày trong chương 2 được luận văn tríchdẫn từ một số bài báo của tác giả Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Thúc Hàođăng trên tạp chí Toán học tuổi trẻ [1], [4] và tài liệu tham khảo số [3],Một số nội dung và bài tập đề nghị được lấy từ tài liệu tham khảo khác.Tích ngoài của hai véc tơ là một công cụ mạnh để giải quyết nhiều bàitoán hình học Để minh họa cho nhận định trên, trong mục này, tôi sẽ sửdụng tích ngoài của hai véc tơ để mở rộng, chứng minh và chính xác hóamột vài kết quả cổ điển

Định lí 2.2 (Gergaune mở rộng) Cho tam giác ABC và điểm M khôngthuộc các đường thẳng BC, CA, AB, AM, BM, CM theo thứ tự cắt BC,

CA, AB tại A’, B’, C’ Khi đó:

C

M

B0

Hình 2.1

2.2 Ứng dụng của tích ngoài véc tơ vào giải toán

Định lí Ceva dạng lượng giác xuất hiện nhiều trong các tài liệu toán sơcấp như một công cụ quan trọng để giải quyết bài toán ba đường thẳngđồng quy Dưới đây, tác giả sẽ giới thiệu một phương pháp chứng minhcho định lí này dựa vào khái niệm tích ngoài của hai véc tơ

Định lí 2.3 (3) Cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P thỏa mãn điềukiện: M /∈ (AB) ∪ (AC), N /∈ (BC) ∪ (BA), P /∈ (CA) ∪ (CB) Chứngminh rằng: AM, BN, CP đồng quy hoặc đôi một song song khi và chỉ khi

sin(−−→

AB)sin(−−→

AC).sin(

−−→

BN ,−→BC)sin(−−→

BN ,−→

BA).sin(

−→

CP ,−→

CA)sin(−→

CP ,−→CB)

= −1

Giải Chứng minh điều kiện cần

Trường hợp 1: AM, BN, CP đồng quy (tại O)

−−→

BN ,−→BC

.12CP.CA sin

−→

CP ,−→CA

Tóm lại, điều kiện cần đã được chứng minh.

Chứng minh điều kiện đủ

Trường hợp 1: AM, BN, CP đôi một song song Khi đó, ta có ngay điềucần chứng minh

Trường hợp 2: AM, BN, CP không đôi một song song Khi đó, tồn tại haitrong ba đường thẳng AM, BN, CP cắt nhau Không mất tính tổng quát,giả sử BN và CP cắt nhau, gọi giao điểm của chúng là O Khi đó, ta có

AO, BN, CP đồng quy Nhờ kết quả đạt được trong phép chứng minh điềukiện cần, ta có

sin−→

ABsin

−→

CP ,−→CB

AO

+

−−→

AO



Vậy AM, BN, CP đồng quy (tại O)

Tóm lại, điều kiện đủ đã được chứng minh

2.3 Vấn đề tỉ số kép của chùm đường thẳng

Khái niệm tỉ số kép của chùm đường thẳng thường được định nghĩathông qua khái niệm tỉ số kép của hàng điểm Tuy nhiên, bằng nhiều cáchkhác nhau, ta vẫn có thể định nghĩa khái niệm tỉ số kép của một chùmđường thẳng mà không thông qua khái niệm tỉ số kép của hàng điểm.Định lí sau đây cho ta một cách định nghĩa như vậy

Định lí 2.4 [3] Với bốn đường thẳng đồng quy (tại O) OA, OB, OC, OD:

O(ABCD) =

sin−→

OAsin

−→

OC,−→OB

 :

sin−−→

OAsin

−−→

OD,−→OB

Ở đây, kí hiệu O(ABCD) là tỉ số kép của chùm đường thẳng OA, OB,

OC, OD

Chứng minh Vẽ đường thẳng 4 không đi qua O, theo thứ tự cắt các đườngthẳng OA, OB, OC, OD tại X, Y, Z, T.

OZ,−−→

OX)sin(−−→

OZ,−→

OY ): sin(

−→

OT ,−→

OA)sin(−→

OT ,−→

OY )

OA thìsin(−→

OT,−→

OY )

= − sin(−−→OZ,−→

OA)sin(−−→

OZ,−→

OY )

: − sin(−−→OT,−→

OA)sin(−−→

OZ,−→

OY ): sin(

−−→

OT,−→

OA)sin(−−→

OT,−→

OY ).Vậy trong cả hai trường hợp, ta đều có

sin(−−→

OZ,−−→

OX)sin(−−→

OT,−→

OY ).Tiếp tục như trên:

sin(−−→

OZ,−−→

OX)sin(−−→

OZ,−→

OY ): sin(

−−→

OT,−−→

OX)sin(−−→

OZ,−→

OY ): sin(

−−→

OT,−→

OA)sin(−−→

OZ,−→OB): sin(

−−→

OT,−→

OA)sin(−−→

OT,−→OB)

= sin(

−−→

OC,−→

OA)sin(−−→

OC,−→OB): sin(

−−→

OT,−→

OA)sin(−−→

OT,−→OB)

= sin(

−−→

OC,−→

OA)sin(−−→

OC,−→OB): sin(

−−→

OA)sin(−−→

OD,−→OB)

OC,−→OB

 :

sin−−→

OAsin

−−→

OD,−→OB

Bài toán 2.3 [1] Cho tam giác ABC, M là điểm bất kì, một đường thẳng

4 qua M cắt các đường thẳng BC, CA, AB tại A1, B1, C1 Chứng minhrằng

−−−→

M B1 ∧−→CA

12

−

→e ∧−→0 = 0.

Bài toán 2.4 [2] Cho lục giác lồi ABCDEF Các điểm M, N, P, Q, R, Stheo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, DE, CD, FA, EF, BC Chứngminh rằng: MN, PQ, RS đồng quy khi và chỉ khi S(AEC) = S(BF D)

Vậy MN, PQ, RS đồng quy ⇔ O thuộc RS ⇔ −→

Bài toán 2.6 [1] Cho tứ giác A1A2A3A4, Các điểm H1, H2, H3, H4 theo

thứ tự là trực tâm của các tam giác A2A3A4, A3A4A1, A4A1A2, A1A2A3

⇒ S[OA2A3] − S[OH2H3] = −−→

OA2 ∧−−→OH2 −−−→OA3 ∧−−→OH3 (2.3)

Từ (2.5) và (2.7) với chú ý rằng A2, A4 nằm về hai phía của A1A3.

Suy ra H2, H4 nằm về hai phía củaH1H3 (2.9)

Từ (2.6) và (2.8) với chú ý rằng A1, A3 nằm về hai phía của A2A4

Suy ra H1, H3 nằm về hai phía của H2H4 (2.10)

Từ (2.9) và (2.10) suy ra H1H2H3H4 là tứ giác lồi và đương nhiên, ta có

S[A1A2A3A4] = S[H1H2H3H4]

Bài toán 2.7 [2] Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) M là điểmbất kì, H, I, K là hình chiếu của M trên các đường thẳng BC, CA, AB.Chứng minh rằng

AB1, AM

+

AM1,−−→

AC1

+ k2.3600

AM2 sin 2A + BM2 sin 2B + CM2 sin 2C

= (R2 + OM2)(sin 2A + sin 2B + sin 2C)

= 4(R2+ OM2) sin A sin B sin C

= 21 + OM

2

R2

2R2sin A sin B sin C

Nhận xét Hệ thức (*) được tìm bởi Ơ-le Từ (*) ta thấy H, I, K thẳnghàng ⇔ S[HIK] = 0 ⇔ 1 − OM2

R2 = 0 ⇔ M ∈ (O; R)

Ta nhận được kết quả quen thuộc về đường thẳng Sim-Sơn

Bài toán 2.8 [2] Cho tam giác ABC, đường cao AH Về phía ngoài tamgiác ta dựng các tam giác đồng dạng ABE, ACF sao cho [ABE = [ACF =

900 Chứng minh rằng AH, BF, CE đồng quy

Không mất tính tổng quát, giả sử tam giác ABC có hướng dương

Đặt K = BF ∩ AC, L = CE ∩ AB Dễ thấy AH, BF, CE không thể đôimột song song

Do đó AH, BF, CE đồng quy khi và chỉ khi HB

= −1

−→

CF )sin(−→

AF ).sin(

−→

AE)sin(−→

BC,−→BE)

B

C D

−→

BC,−→BF

+ k2.3600

Bài toán 2.10 [1] Trên ba đường thẳng a, b, c theo thứ tự cho các điểm

A, B, C chuyển động đều theo một hướng xác định, với cùng một vận tốc

và cùng một thời điểm ban đầu Biết rằng, tại thời điểm ban đầu A, B, Ckhông thẳng hàng Chứng minh rằng, không tồn tại quá hai thời điểm màtại đó A, B, C thẳng hàng

t kể từ thời điểm ban đầu, ta kí hiệu A, B, C là At, Bt, Ct

Với các kí hiệu trên, ta có

Bài toán 2.11 [2] Cho ngũ giác ABCDE Các điểm X, Y, Z, T, U theothứ tự là trung điểm của các cạnh CD, DE, EA, AB, BC Chứng minhrằng nếu bốn trong năm đường thẳng AX, BY, CZ, DT, EU đồng quy thì

cả năm đường thẳng đó đồng quy

A

B

C

D E

X U

T

Z

Y O

OT +−→

OU = 0

Suy ra nếu AX, BY, CZ, DT đồng quy tại O thì −→

Vậy AX, BY, CZ, DT, EU đồng quy (tại O)

Bài toán 2.12 [2] Cho hình bình hành ABCD Các điểm M, N theo thứ

tự thuộc các cạnh AB, BC Các điểm I, J, K theo thứ tự là các trung điểmcủa các đoạn DM, MN, ND Chứng minh rằng AI, BJ, CK đồng quy

Giải

C D

Vậy AI, BJ, CK đồng quy 

Bài toán 2.13 [2] Cho tam giác ABC, các điểm A0, B0, C0 theo thứ tựthuộc các cạnh BC, CA, AB Các điểm A”, B”, C” theo thứ tự là các điểmđối xứng của các điểm A, B, C qua các điểm A0, B0, C0 Chứng minh rằng

S(A”B”C”) = 3S(ABC) + 4S(A0B0C0)

Không mất tính tổng quát, giả sử 4ABC có hướng dương Từ đó, với chú

ý rằng A’, B’, C’ theo thứ tự thuộc cạnh BC, CA, AB, ta có: 4A0B0C0 và4A”B”C” cũng có hướng dương

AA1, BB1, CC1 không thể đôi một song song (1)

Giả sử tam giác ABC có hướng dương, ta có