Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 12 giải quyết các bài toán trắc nghiệm thực tế

Bởi vậy, việc tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học môn Toán là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của Toán học.. Việc d

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống Toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn Bởi vậy, việc tăng

cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học môn Toán là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của Toán

học

Việc dạy học Toán học ở trường phổ thông phải gắn bó mật thiết với thực tiễn nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng và giáo dục họ có ý thức ứng dụng Toán học một cách có hiệu quả trong các lĩnh vực của cuộc sống như: khoa học

kỹ thuật, kinh tế, sản xuất

Tuy nhiên, việc ứng dụng của Toán học vào thực tiễn trong chương trình SGK, cũng như trong việc dạy học môn Toán chưa được quan tâm đúng mức Hơn nữa những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động và sản xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông Mặt khác, trong thực tế giảng dạy môn toán ở phổ thông các giáo viên chưa thường xuyên rèn luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn.[3]

Trong những năm gần đây, bài toán có liên quan thực tế đã có mặt trong các

đề thi THPT Quốc gia Đặc biệt, năm học 2016- 2017, lần đầu tiên Bộ giáo dục đào tạo chuyển hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm đối với môn Toán, và

số lượng bài toán thực tế đã xuất hiện nhiều hơn qua các đề minh họa và thử nghiệm của Bộ Điều đó không chỉ gây lúng túng, khó khăn cho học sinh mà còn gây trăn trở cho giáo viên trong việc giảng dạy các dạng toán thực tế này Bởi

vậy, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh Lớp 12 giải quyết các bài toán trắc nghiệm thực tế’’.

2 Mục đích nghiên cứu.

Xây dựng một số bài tập trắc nghiệm có nội dung thực tiễn, đề xuất một phương án khai thác trong dạy học, nhằm góp phần tăng cường thực tiễn của môn Toán ở trường THPT, góp phần gây hứng thú trong học tập, thấy

được ứng dụng thực tế của Toán học, qua đó giúp học sinh hiểu rõ được mối quan hệ chặt chẽ giữa Toán học với các môn học khác và thực tiễn

3 Đối tượng nghiên cứu.

Khai thác các bài toán có liên quan thực tiễn trong đời sống vào giảng

dạy cho học sinh Lớp 12

4 Phương pháp nghiên cứu.

4.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các sách, báo, tư liệu, các công trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài

4.2.Phương pháp điều tra thực tế:

+ Điều tra GV và HS THPT về tình hình thực tiễn có liên quan

1 Trong trang này: Mục 1 có tham khảo trong TLTK[3]

+ Tham khảo ý kiến của giáo viên Toán về kinh nghiệm xây dựng và khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn

4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Sử dụng phương pháp thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đề ra

B NỘI DUNG

1 Cơ sở lí luận.

+ Bài toán thực tế: Là bài toán mà trong giả thiết hay kết luận có chứa những nội dung liên quan đến thực tế.

Để một tình huống thực tế trở thành một bài toán thực tế, phải xác định

được yêu cầu cần phải giải quyết từ tình huống và xác định được các dữ kiện của khách thể làm giả thiết của bài toán

Thực ra trong dạy học toán ở phổ thông, thường các tình huống thực tế được phát biểu ngay dưới một bài toán thực tế, tức là học sinh thường được yêu

cầu giải ngay các bài toán thực tế mà rất ít khi phải toán học hóa tình huống để

có bài toán

2 Thực trạng.

Trong thực tế dạy học ở trường phổ thông, giáo viên thường chỉ quan tâm, chú trọng việc hoàn thành những kiến thức lý thuyết quy định trong chương trình và sách giáo khoa, sao nhãng việc thực hành, đặc biệt là những bài toán có nội dung thực tiễn nên học sinh thường lúng túng thậm chí còn không hoàn chỉnh được những bài toán có nội dung thực tiễn

Giảng dạy Toán còn thiên về sách vở, hướng việc dạy Toán về việc giải nhiều loại bài tập hầu hết không có nội dung thực tiễn Việc dạy học Toán ở trường phổ thông hiện nay đang rơi vào tình trạng bị coi nhẹ thực hành và ứng dụng toán học vào đời sống Mối liên hệ giữa Toán học và thực tế còn yếu

3 Các giải pháp

Qua tổng hợp và phân tích, tôi thấy các bài toán lớp 12 có liên quan đến thực tế thường là các bài toán kinh tế; tìm phương án tối ưu( tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất); xác định thời gian, số tiền, số dân; hoặc vận tốc quãng đường, tính diện tích, thể tích của hình , thông qua việc sử dụng đạo hàm hoặc áp dụng các công thức tính toán( có suy luận tư duy)

Như vậy ta có thể mô tả quy trình mô hình hóa dưới đây

Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của quá trình mô hình hóa như sau:

Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình

Toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ Toán học” cho mô hình mô phỏng thực tiễn Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể

có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ giữa chúng được xem là quan trọng ta đi đến việc biểu diễn chúng dưới dạng các biến số, tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũng như sự ràng

2 Trong trang này: Mục 1 có tham khảo trong TLTK[3], mục 3 mô hình có tham khảo TLTK[6]

buộc, liên hệ với các giả thiết của đề bài

Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong

kinh tế, đời sống, trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học, Ta thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến (Ở đây trong nội dung đang xét ta chỉ xét với tính huống 1 biến) hoặc thiết lập phương trình, tích phân…

Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm để khảo sát hàm số hoặc áp dụng

công thức, giải phương trình, tính tích phân…và giải quyết bài toán hình thành ở bước 2 Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa

3.1 Một số kiến thức cơ sở:

3.1.1 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Phương pháp GTLN – GTNN của yf x  bằng đạo hàm trên đoạn

;

Da b

Bước 1: Tính đạo hàm f x' 

Bước 2: Tìm các điểm tới hạn (nếu có) x ia b i; ,  1 ,n sao cho f x '  0 (hoặc không có đạo hàm)

Bước 3: Tính

 

 

 

i

f x

f a fb













?

?

Bước 4: So sánh và kết luận              

             

n D

n D







Lưu ý: Trường hợp tập Da b;  (hoặc Da b D; ; a b;  ) thì ta làm tương tự như bước 1 và bước 2 Đến bước 3 thì ta “lập bảng biến thiên” để từ đó đưa ra kết luận

Ngoài cách sử dụng đạo hàm như đã trình bày ở trên, đôi khi để giải quyết

nhanh bài toán ta có thể sử dụng thêm các kiến thức về cực trị của hàm số bậc hai hay các bất đẳng thức đã học như Cauchy hay bất đẳng thức trong tam giác.

3.1.2 Bài toán về lãi suất, số dân:

* Công thức tính lãi kép

Vốn gốc ban đầuP0 với mong muốn đạt được lãi suất rmỗi kì theo hình thức

lãi kép trong thời gian n kì Vào cuối mỗi kì ta rút tiền lãi và chỉ để lại vốn Tính

n

P tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì

Sau n kì, tổng giá trị đạt được là P n P01 rn

3 Trong trang này: Mục 3.1 có tham khảo TLTK[4]

Trong đóP n là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.

P0 là vốn gốc

r là lãi suất mỗi kì

Ta cũng tính được số tiền lãi thu được sau n kì là : P n  P0

*Bài toán về dân số.

Gọi: P0là dân số của năm lấy làm mốc tính

n

P là dân số sau nnăm

rlà tỉ lệ tăng (giảm) dân số hàng năm

Khi đó sự tăng dân số được ước tính bằng 1 trong 2 công thức sau

Công thức 1: nr

n

P P e0 dùng công thức tăng trưởng(suy giảm ) mũ.

Công thức 2: P n P01 rn dùng công thức tính lãi kép.

3.1.3 Thể tích một số hình không gian thường gặp.

a Khối chóp: Thể tích V  1.B.h

3

Diện tích xung quanh của một khối chóp bằng tổng diện tích các mặt bên Diện tích toàn phần của một khối chóp bằng tổng của diện tích xung quanh

và diện tích đáy

b Khối lăng trụ: Thể tích V B.h

Diện tích xung quanh của một khối lăng trụ bằng tổng diện tích các mặt bên Diện tích toàn phần của một khối lăng trụ bằngtổng của diện tích xung quanh và diện tích hai đáy

c Khối hộp chữ nhật: Thể tích Va.b.c với a,b,c là kích thước hình hộp

Khối lập phương: Thể tích Va3

d Khối nón:

Cho hình nón có bán kính đáy r, đường cao h, đường sinh l

Thể tích V của khối nón: V  1.B.h 1 .r h 2

Diện tích xung quanh của hình nón: S xq  .r.l

Diện tích toàn phần của một hình nón bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy: S tpS xqB .r.l .r2

e Khối trụ

Thể tích V của khối trụ: V B.h .r h2

Diện tích xung quanh của hình trụ: S xqC.h2 r.h

với C là chu vi hình tròn đáy

Diện tích toàn phần: S tpS xqB 2 r.h 2 .r2

f Khối cầu: Cho một khối cầu có bán kính r.

Thể tích V của khối cầu: V 4 .r 3

3

Diện tích của mặt cầu: S 4 .r2

phẳng.

cong (C) và trục hoành

 

 

( )

: 0

y f x C

x a x b a b

 









Diện tích được tính theo công thức

( )

b

a

Sf x dx

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra do hình (H) xoay quanh trục Ox

2 

b a

V  f x dx

3.2 Sau đây tôi xin trình bày một số ví dụ minh họa

Từ ví dụ 1 đến ví dụ 7, là các bài toán thực tế có sử dụng đạo hàm vào

các bài toán kinh tế, hình học

Từ ví dụ 8 đến ví dụ 11, là các bài toán thực tế sử dụng công thức mũ

và logarit

Ví dụ 12, là bài toán thực tế sử dụng công thức tích phân

Ví dụ 1: Công ty du lịch Tây Nguyên dự định tổ chức tua du lịch “Thăm lại

chiến trường xưa” lộ trình Thanh Hóa- Nghệ An- Hà Tĩnh- Quảng Bình- Quảng Trị Công ty dự tính nếu giá tua là 2 triệu đồng thì sẽ có khoảng 150 người tham gia Lợi nhuận càng lớn khi càng nhiều người tham gia Do đó để thu hút mọi người tham gia, công ty quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá tua 100 ngàn đồng thì sẽ có thêm 20 người tham gia Hỏi công ty phải định giá tua là bao nhiêu để doanh thu từ tua du lịch là lớn nhất ?

A 1 800 000 . (đồng) B 1 375 000 . (đồng)

C 1 600 000 . (đồng) D 1 475 000 . (đồng)

Phân tích: Đây là một chiến lược kinh doanh, giảm giá để hút khách, nhưng

giảm đến mức nào mà vẫn đem lại lợi nhuận cao nhất

Như vậy ta sẽ gọi giá tua là x, biểu diễn doanh thu theo x, coi đây là 1 hàm số

và ta phải đi tìm giá trị lớn nhất của nó.

Lời giải:

Gọi x (triệu đồng) là giá tua (0 x 2 )

Giá đã giảm so với ban đầu là 2  x

Số người tham gia tăng thêm nếu giá bán x là  x

x ,



400 200

0 1

Số người sẽ tham gia nếu bán giá x là 150 400 200   x 450 200  x

4 Trong trang này: Ví dụ 1 là “của” tác giả.

Tổng doanh thu là f x  x550 200  x  200x2  550x

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x  với 0 x 2

f ' x  x , f ' x   x 11

8

Lập bảng biến thiên ta có:

x

0 118 2

 

f' x  0 

 

f x

30258

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy

   



 

  

 

0 2

11

378 125 8

Vậy công ty cần đặt giá tua là 1 375 000 . (đồng) thì tổng doanh thu sẽ cao nhất là

378 125 000(đồng) Đáp án B.

Nhận xét: Để tìm giá trị lớn nhất của f x , ta cũng có thể làm theo cách lớp 10( hàm số bậc hai), tuy nhiên trong nhiều trường hợp hoành độ đỉnh của

đồ thị hàm số bậc 2 không thõa mãn điều kiện, sẽ gây lúng túng cho các em.

Ví dụ 2: Tìm chiều dài bé nhất( lấy gần đúng sau dấu “,’’ 4 chữ số) của cái thang

để nó có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua giá đỡ cao 4 m, song song và cách tường 0,5m kể từ gốc của cột đỡ( hình vẽ dưới)

A 5 4902, m B.5 6020, m

C 5 5902, m C.6 5902, m

Phân tích: ● Trước tiên, ta có thể minh họa mô hình trên bằng hình vẽ sau Để

xác định được độ dài ngắn nhất của AC thì ta thử suy nghĩ xem nên phân tích

độ dài AC theo hướng nào ? Để từ đó định hướng cách đặt ẩn thích hợp Đối với hình vẽ trên và các quan hệ về cạnh , ta nhận thấy có 2 hướng phân tích tốt là: hướng thứ nhất là phân tích 2 2

AC AB AC và hướng thứ hai là

AC AMMC

5 Trong trang này: Ví dụ 2 được trích dẫn trong TLTK[5]

● Nếu phân tích theo hướng thứ nhất, ta có thể thử đặt HC   x 0 , đến đây chỉ cần tính được AB theo x là đã có thể lập được hàm số f x  biểu diễn độ dài

AC Nhưng bằng cách nào đây ? MH 4 

   Ta sử dụng đến quan hệ tỉ lệ trong định lý Thales thuận (MH / /AB) nên ta có: HC MH x

BC  AB x 0 5, Bài toán trở thành tìm min f x  ?

● Nếu phân tích theo hướng thứ hai, nếu ta đặt HC   x 0 thì khi đó ta sẽ biểu diễn độ dài AC  P x   Q x  (việc khảo sát hàm này không đơn giản chút nào) Do đó ta chuyển hướng sang tìm quan hệ giữa góc và cạnh tam giác và nhận thấy   MCH AMK Đến đây ta thấy hướng phân tích tiếp là hoàn toàn thuận lợi vì khi đó MCMH sin và AMMK cos Khi đó bài toán trở thành tìm ming  ?

Hướng dẫn giải.

● Đặt HC x 0  BC x 0 5, Theo định lý Thales ta có HC MH x

BC  AB x 0 5,

Do đó ta có x , 

AB

x



 4 0 5

Do ABC vuông tại B AC AB BC x ,  x , 

x



2 2

2

16 0 5

0 5

● Hay x ,  x 

AC

x



2 2 2

2

x

2

65

16 4

Bài toán trở thành tìm min f x  ? với x  0

Ta có

 

f ' x

x



4

f ' x

x

4 3 3

 

x





2

0 2

Lập bảng biến thiên ta có:

x 0 2 

 

f' x  0 

 

f x

 f 2

Dựa vào bảng biến thiên ta có min f x x   f 

0

125 2

4

Do đó ta có min AC 125  5 5  ,

5 5902

nhưng ta có thể sử dụng MTBT để tìm nghiệm

Với cách thi trắc nghiệm ta có thể thử 4 phương án từ đáp án để tìm nghiệm (bằng chức năng CALC của máy tính cầm tay) sau đó kiểm tra qua

 

f' x 0

- Có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 3: Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không

nắp có thể tích bằng 500m3

3 Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Đơn giá xây là 500 000. đồng/m2 Hãy tính chi phí thấp nhất để xây hồ

A 74 triệu đồng B 75 triệu đồng.

C 76 triệu đồng D 77 triệu đồng.

Phân tích: Với thể tích V cho trước và quan hệ giữa chiều rộng của đáy và

chiều cao của hình hộp ta hoàn toàn có thể biểu diễn được độ dài chiều dài theo

1 biến.

● Như vậy ta cần hiểu yêu cầu bài toán “tiết kiệm nguyên vật liệu nhất là gì ?”

Đó chính là làm sao cho phần bao phủ bên ngoài hình hộp có diện tích nhỏ nhất

Lời giải:

Gọi x là chiều rộng của đáy hình chữ nhật và y là chiều cao của khối hộp chữ nhật.Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, ta cần thiết kế sao cho diện tích toàn phần của khối hộp là nhỏ nhất

Ta có S xq  2x2  2xy 2 2 xy 2x2  6xy

Do V x y y V

x

 2 2   2

2

x x

2

3

2

6 Trong trang này: ví dụ 3 là “của” tác giả.

Do S, xphải luôn dương nên ta tìm giá trị nhỏ nhất của S trên 0; 

Ta có : S' x  x V ,S' x  x V

x

2

4 Lại có S'' x  , x  ; 

x

3

6

4 0 0 Do đó minS S  V   V

2 3

3

Và khi đó chiều cao là

y

3

16 2 9

2 16 Vậy, yêu cầu bài toán tương đương với chiều rộng đáy hình hộp là 5m, chiều dài

là 10 m, chiều cao hình hộp là 40

3 m và khi đó diện tích toàn phần nhỏ nhất sẽ là

m2

150

Do đó chi phí thấp nhất sẽ là 150 500000.   75 000 000 . (đồng) Đáp án B

Nhận xét: Ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất bằng bất đẳng thức Cauchy:

2

Ví dụ 4: Huyện X muốn làm con đường

đi từ địa điểm A đến địa điểm B ở hai

bên bờ một con sông, các số liệu được

thể hiện trên hình vẽ, con đường được

làm theo đường gấp khúc AMNB Biết

rằng chi phí xây dựng 1 km đường bên

bờ có điểm B gấp 1,3 lần chi phí xây

dựng 1 km đường bên bờ có điểm A, chi

phí làm cầu MN tại địa điểm nào cũng

như nhau Hỏi phải xây cầu tại điểm M cách điểm H bao nhiêu km để chi phí làm đường là nhỏ nhất ?

A 2 63, km B 1 28, km C 3 14, km D 2 56, km

Phân tích: ● Ta thấy rằng đây không phải bài toán tìm vị trí điểm M để tổng

khoách cách giữa 2 thành phố là nhỏ nhất.Mà nó còn liên quan đến chi phí xây dựng, liên quan đến độ dài của AM và NB, sao cho chi phí là thấp nhất Như vậy ta cũng phải tính chiều dài AM và NB, rồi biểu thị chi phí trên từng quãng đường, từ đó tìm ra giá trị nhỏ nhất.

Lời giải.

Đặt xHM0  x 4 1, 



 



2 2

1 44

7 Trong trang này: Ví dụ 4 được tham khảo trong TLTK[6]

Gọi a là số tiền để làm 1 km đường bên bờ có điểm A Khi đó chi phí để làm hai đoạn AM và BN là:f x  a x2  1 44,  1 3, a 4 1,  x2  2 25,