Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ... Từ thực tế nhiều năm ra đề thi của Bộ GD&ĐT và sự né tránh của học sinhkhi gặp bài toán giải hệ phương

MỤC LỤC

A ĐẶT VẤN ĐỀ Trang 2

I Lời mở đầu Trang 2

II Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trang 3

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trang 3

I Các giải pháp thực hiện Trang 3

II Biện pháp tổ chức thực hiện Trang 3

1 Kiến thức chuẩn bị Trang 3

2 Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải Trang 3

3 Bài tập vận dụng……… …Trang18

C KẾT QUẢ Trang 22

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG

TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lời mở đầu.

Căn cứ vào đường lối, chủ trương chính sách của Đảng và Pháp luật củaNhà nước Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môn củatrường THPT Hoàng Lệ Kha năm học 2016 – 2017

Trong quá trình giảng dạy môn Toán, tôi được nhà trường giao cho dạycác lớp có đối tượng học sinh chủ yếu là học sinh trung bình, trung bình khá vàmột số ít học sinh khá Chính vì nhiệm vụ trọng tâm của tôi là giúp các em họcsinh nắm chắc kiến thức cơ bản của các vấn đề theo định hướng của BộGD&ĐT, của Sở GD&ĐT Thanh Hóa Mục tiêu đặt ra là giảng dạy học sinh thiTốt nghiệp THPT môn Toán hầu hết phải đạt từ 5 đến 8 điểm trở lên là vấn đềkhó khăn với đối tượng học sinh của mình

Trong các nội dung thi Đại học – Cao đẳng và gần đây là thi tốt nghiệpTHPT Quốc gia phần Hệ phương trình đóng vai trò quan trọng trong việc phânloại học sinh ở mức độ vận dụng cao Hầu hết học sinh lớp tôi giảng dạy thường

né tránh câu này, thậm chí khi làm bài thi nhiều em học sinh đã chấp nhận bỏqua ngay từ đầu khi gặp bài toán giải hệ phương trình vì nghĩ rằng đây là vấn đềkhó Từ thực tế nhiều năm ra đề thi của Bộ GD&ĐT và sự né tránh của học sinhkhi gặp bài toán giải hệ phương trình, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu và mạnh dạndẫn dắt học sinh tiếp cận với bài toàn giải hệ phương trình để đạt được kết quảtốt nhất

Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi, cùng với kinhnghiệm trong quá trình giảng dạy Tôi đã tổng hợp, khai thác thành chuyên đề:

‘‘Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán Hệ phương trình bằng phương pháp hàm số’’ Trong chuyên đề này tôi chỉ xây dựng bài toán giải hệ phương

trình bằng cách phân tích, sử dụng các điều kiện của bài toán kết hợp với nhữngtính chất và phép toán cơ bản để xuất hiện phương trình dạng f(u(x)) = f(v(x)) từ

đó xét tính đơn điệu của hàm số f(t)

Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho học sinh một sốphương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể tự tin khi tiếp cận với bàitoán giải hệ phương trình Từ đó có thể giải quyết được một số bài toán về hệphương trình Hy vọng rằng đề tài này sẽ giúp các bạn đồng nghiệp và các emhọc sinh có cái nhìn linh hoạt và chủ động khi gặp một số bài toán về hệ phươngtrình

II Thực trạng vấn đề nghiên cứu

1 Thực trạng vấn đề

Hiện nay khi gặp một số các bài toán giải hệ phương trình trong đề thi Đạihọc-Cao đẳng và thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia, một số học sinh đặc biệt lànhững học sinh ở mức độ trung bình, trung bình khá chưa tìm ra cách giải hoặcnếu có tìm ra cách giải thì mới chỉ giải quyết được một phần Hầu hết học sinhvẫn chưa giải xong được bài toán .

2 Hệ quả của thực trạng trên

Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thờigian để biến đổi bài toán, hoặc không giải được Một số học sinh do năng lực tưduy hạn chế chưa biết cách chọn phương pháp cho phù hợp Chính vì vậy ngườidạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bàitoán

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Các giải pháp thực hiện.

Khi tiếp cận các bài toán, giáo viên phải giúp học sinh biết phải sử dụngkiến thức nào phù hợp Sau đó giúp học sinh xây dựng phương pháp giải phùhợp

II Biện pháp tổ chức thực hiện.

Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức về tính đơn điệu của hàm số và một số tính chất, phép toán cơ bản

về giải phương trình, hệ phương trình Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình để học sinh vận dụng

Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài toán tương đối đầy đủ về cácbài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

1 Kiến thức toán có liên quan

- Định nghĩa và tính chất của hàm số

- Tính đơn điệu của hàm số

- Các phép biến đổi tương đương phương trình, hệ phương trình.

Phân tích bài toán Nhận thấy phương trình thứ nhất có thể làm xuất hiện

hai biến x, y ở hai vế khác nhau bằng cách chia hai vế cho y2 (với đk y≠ 0) đểhai vế là hai ẩn tách biệt Từ đó ta xét hàm số

(1) (2)

y y

x + ) và ( y2 + − 4 y) nên ta khai thác phương trình này để đưa

về phương trình có hai vế là hai ẩn tách biệt Sử dụng hàm số để tìm mối liên hệgiữa x và y từ đó thế vào phương trình (2) để giải

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là (x;y)= { ( ) (1;1 , 13;13) }

phương trình có hai biến tách biệt

(1)

Phân tích bài toán: Phương trình (1) dễ dàng rút y theo x để thế vào

phương trình (2) và dẫn đến phương trình chứa căn thức và đa thức bậc ba kháphức tạp Vì vậy ta dễ thấy ở phương trình (2) có thể biến đổi về phương trìnhtách biệt với hai biến x, y Ta có thể thêm bớt 2y=2y-1+1 thì phương trình (2)xuất hiện dạng phương trình f( 2 −x) = f( 2y− 1)

3 (1) ⇔ 2(2x+ 1) + (2x+ = 1) 2(y− 2) y− + 2 y− 2 (*)

2 2

Phân tích bài toán: Nhận thấy phương trình hai có khả năng liên hợp

giống dạng hàm số thường gặp Với x≠ 0 đưa phương trình hai về dạng

2 (1y (2 )y 1) (1 ( ) 1)

+ + = + + sau đó xét hàm số f t( ) =t(1 + t2 + 1) từ đóđược 2y 1

x

=

(1) (2)

Lời giải

Điều kiện: x≥ 0

Nếu x= 0 thay vào phương trình (2) được 1=0 vô lý, Loại

Nếu x≠ 0 , chia hai vế phương trình (2) cho 2

Phân tích bài toán: Nếu xét từng phương trình trong hệ thì chưa có dấu

hiệu dùng hàm số Tuy nhiên từ phương trình (1) có dấu hiệu hai biểu thức chứacăn ở hai vế của phương trình nên ta làm xuất hiện hàm số f(t) bằng cách lấy vếcộng với vế của phương trình (1) và phương trình (2) để đưa về dạng:

x y

x y

Phân tích bài toán : Mới nhìn hệ phương trình ta thấy cả hai phương

trình đều khá phức tạp, việc phân tích đưa về phương trình tích ở mỗi phươngtrình đều khó khăn Tuy nhiên ở phương trình (2) với y≠ 0 ta có thể đưa về

phương trình hai ẩn x, y nằm về hai vế riêng biệt bằng cách chia hai vế cho 3

3 2 3 2 ( 2 x) 3 2 x ( ) 3( )

6 5

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; ) ( ; 5)6

Với điều kiện ( ,x y∈ ¡ )

Phân tích bài toán: Từ hai phương trình trong hệ ta có thể đưa về

phương trình tách biệt hai ẩn x, y tuy nhiên từ phương trình (1) dễ thấy làm xuấthiện hàm số 3

f t = t + > với ∀ ∈ ⇒t ¡ hàm số f(t) đồng biến trên ¡

Phương trình (*) ⇔ f x( + = 1) f y( ) ⇔ = +y x 1 thế vào phương trình (2)

2 2 2

Phân tích bài toán

Từ phương trình (1) tách hằng số 2 ta được (2x+ = 2) (2x− + 1 3) và phá ngoặc ta

Với y x= − 1 thế vào (**) ⇔ 2x− = −1 x 1

(1) (2)

Phân tích bài toán Nhận thấy phương trình (1) có dấu hiệu là hai vế

chứa hai ẩn x, y riêng biệt Ta chỉ cần biến đổi phương trình này xuất hiện hàm

số f(t) và chỉ ra tính đơn điệu của nó để đưa ra điều kiện ràng buộc giữa hai biến

3 3

x x

Phân tích bài toán:

Nhận thấy phương trình (1) có hai vế là hai ẩn x, y riêng biệt với điều kiệnxác định y≥ 0 thì y3 + 3y2 =y y+ = 3 (y+ 3) y+ − 3 3 y+ 3 ta phân tích phươngtrình (1) xuất hiện hàm số 3

(*)

3 2

0

1 1

0

x x x

x= ta được y= 2 (t/m điều kiện)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x y; ) ( ) ( )={ 0;1 , 1; 2 }

Phân tích bài toán:

Nhận thấy phương trình (1) khá phức tạp cho việc biến đổi do đó ta xem xétphương trình (1) có dấu hiệu đưa về xét hàm số thường gặp bằng cách biến đổi:

⇔ + = + + + + + (*)Xét hàm số ( ) 2

Phương trình (**) ⇔ f x( + = 1) f (3 x3 + +x2 2) ⇔ + =x 1 3 x3 + +x2 2

2

3 11 4

3 11 4

Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x y; ) (= − 1; 2)

Bài 4: Đề thi tuyển sinh đại học năm 2010 - khối A

Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x y; ) ( )= 2;1

Bài 8 Giải hệ phương trình:

Đáp số: Hệ phương trình có hai nghiệm: (x y; ) ={ (1 − 2; 2 , 1 4 ) ( − 2; − 4 2) }

Bài 9 : Giải hệ phương trình:

Đáp số: Hệ phương trình có hai nghiệm: (x y; ) ( ) (={ 0;1 , 1; 2 − − ) }

Bài 10 : Giải hệ phương trình:

C KẾT QUẢ

I Kết quả nghiên cứu

Thông qua hệ thống các bài toán giải hệ phương trình, ta thấy khi gặp cácvấn đề trở nên đơn giản hơn rất nhiều, dễ vận dụng, không quá phức tạp với họcsinh

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra hệ thống bàitập trên, học sinh đã biết vận dụng một cách linh hoạt, vào các bài toán khácnhau, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh không còn tâm lý e ngại khi gặp cácbài toán này nữa Mặt khác, hiệu quả áp dụng tương đối cao, bài giải trở nênsáng sủa, ngắn gọn

II Kiến nghị

Thứ nhất: Hằng năm, những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thựctiễn, thiết thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo,nhất là các sáng kiến đổi mới phương pháp giảng dạy cần được tập hợp trongmột kỷ yếu khoa học của Sở GD& ĐT và tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh

và phụ huynh được tham khảo

Thứ hai: Ngoài việc đánh giá và xếp giải các SKKNbộ phận chuyên môncủa Sở GD& ĐT cần bổ xung thêm những hạn chế của từng đơn vị để giáo viênrút kinh nghiệm cho việc nghiên cứu lần sau

XÁC NHẬN

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

Nguyễn Văn Hà

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Sách giáo khoa Đại số 10 Nâng cao

[2] Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao

[3] Sách bài tập Đại số 10 Nâng cao

[4] Sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

[5] Hàm số Tác giả: Lê Hồng Đức

[6] Các đề thi đại học môn toán từ 1996 - 2015

[7] Các đề thi thử của các trường THPT

[8] Nguồn khác: Internet

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HOÀNG LỆ KHA



SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Người thực hiện: Nguyễn Văn Hà Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA, NĂM 2017