Hướng dẫn học sinh giải bài toán dựng thiết diện

Phần mặt phẳng của P nằm trong T được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do P cắt một số mặt của T được gọi là thiết diện mặt cắt.. Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng

1 MỞ ĐẦU

1.1.Lý do chọn đề tài

Bài toán dựng thiết diện trong môn hình học không gian là bài toán khó đối với học sinh THPT bởi đây là môn học có phần trừu tượng Dạng toán liên quan đến thiết diện cũng khá đa dạng và thường xuyên có mặt trong các đề thi đại học, cao đẳng hàng năm

Việc giải quyết một bài toán dựng thiết diện không hề đơn giản, yêu cầu người giải không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo và phải cần được thực hành nhiều

Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến hình học không

gian, cho rằng rất khó thực hiện được, bằng chứng khi các em đi thi đại học, cao đẳng các em nói rằng bài toán hình không gian thường để cuối nếu có thời gian thì làm còn không còn thời gian thì thôi

Nguyên nhân là các em khó liên hệ giữa hình thật và hình biểu diễn, sự liên hệ logic giữa các yếu tố trong không gian yếu nên nhiều bài toán dễ thành khó đối với các em

Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học chuyên đề hình học không gian, đem lại cho học sinh cách nhìn thấu đáo về bài toán thiết diện, giúp các em định hướng được đường hướng giải cho dạng bài tập này, tôi viết thành chuyên đề riêng về các dạng toán dựng thiết diện

1.2.Mục đích nghiên cứu

Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh lớp 11, 12 học sinh

ôn thi đại học, học sinh ôn thi học sinh giỏi

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán dựng thiết diện giữa mặt phẳng và hình chóp, hình lăng trụ Các bài toán tính toán liên quan đến thiết diện

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

2 Phương pháp điều tra lí luận thực tiễn

3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

4 Phương pháp thống kê

2.NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận:

Để giải quyết một bài toán dựng thiết diện yêu cầu học sinh phải nắm được những kiền thức cơ bản và cần thiết sau đây:

1 Khái niệm thiết diện (mặt cắt): Cho hình T và mặt phẳng (P) Phần mặt phẳng của (P) nằm trong T được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do (P) cắt một số mặt của T được gọi là thiết diện (mặt cắt) [1]

2 Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với hai đường thẳng ấy hoặc trùng với một trong hai đường thẳng ấy.[1]

3 Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với đường thẳng đó.[1]

4 Các cách xác định mặt phẳng:

+ Biết ba điểm không thẳng hàng + Hai đường thẳng cắt nhau

+ Một điểm nằm ngoài một đường thẳng + Hai đường thẳng song song.[2]

5 Một số lưu ý: - Giả thiết mặt phẳng cắt là (P), hình đa diện là T

- Dựng thiết diện là bài toán dựng hình nhưng chỉ cần nêu phần dựng và phần biện luận nếu có

- Đỉnh của thiết diện là giao của mặt phẳng (P) và các cạnh của hình T nên việc dựng thiết diện thực chất là tìm giao điểm của (P) và các cạnh của T

- Mặt phẳng (P) có thể không cắt hết các mặt của T

- Các phương pháp dựng thiết diện được đưa ra tùy thuộc dạng giả thiết của đầu bài

2.2 Thực trạng vấn đề

Khảo sát thực tế trước khi thực hiện đề tài: Cho học sinh lớp 11 (48 em)

làm bài tập sau: Cho hình chóp đều S.ABC , đáy là tam giác đều ABC Qua AB dựng một mặt phẳng (P) vuông góc với SC Xác định thiết diện của hình chóp khi cát bởi mặt phẳng (P)

Kết quả như sau:

+ 27,08% (13/48) học sinh kẻ đồng thời AH ⊥ SC, BK ⊥ SC rồi không biết kết luận thế nào, có em kết luận thiết diện là tứ giác AHKB

+ 33,33% (16/48) học sinh kẻ AH ⊥ SC (hoặc BH ⊥ SC) rồi khẳng định tam giác AHB là thiết diện cần dựng mà không lí luận gì (không biết lí giải tại sao) + 18,75 % (9/48) học sinh kẻ BH ⊥ SC sau đó chứng minh ∆CHB = ∆CHA (cgc) suy ra AH ⊥ SC thiết diện là tam giác AHB

+ 20,84 % (10/48) học sinh biết gọi M là trung điểm AB và chứng minh AB ⊥ (SMC) sau đó dựng MH ⊥ SC được thiết diện là tam giác AHB

Nguyên nhân: Ít em học sinh nghĩ đến việc gọi M là trung điểm AB để tạo ra

mặt phẳng phụ chứng minh AB ⊥ SC từ đó kẻ MH ⊥ SC suy ra thiết diện bởi vấn đề thiết diện không được cung cấp kiến thức một cách bài bản để học sinh

có định hướng phát hiện vấn đề (sách giáo khoa phần lí thuyết đề cập rất ít về vấn đề này)

2.3 Các giải pháp giải quyết vấn đề

Từ thực trạng trên tôi đã nghiên cứu để phân loại thành các dạng bài toán về dựng thiết diện, mỗi dạng bài có phương pháp giải cụ thể để các em dễ tiếp thu hơn, từ đó các em sẽ vận dụng linh hoạt vào việc giải các dạng bài tập này

Một số dạng toán và phương pháp dựng thiết diện

I Mặt phẳng (P) cho dạng tường minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai đường thẳng cắt nhau hoặc một điểm nằm ngoài một đường thẳng….

1 Phương pháp giải

Trước tiên ta tìm cách xác định giao tuyến của (P) với một mặt của T

(thường được gọi là giao tuyến gốc) Trên mặt phẳng này của T ta tìm thêm giao

điểm của giao tuyến gốc và các cạnh của T nhằm tạo ra thêm một số điểm chung Lặp lại quá trình này với các mặt khác của T cho tới khi tìm được thiết diện

2 Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD, AB > CD).

Gọi I, J là trung điểm SB, SC Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (AIJ).[3]

Giải:

Ta có mặt phẳng cắt qua ba điểm

không thẳng hàng A, I, J Có 2 giao

tuyến gốc là AI, IJ

Kéo dài AD cắt BC tại K, kéo dài

IJ cắt SK tại E ta có E là điểm chung

của (AIJ) và (SAD)

Nối AE cắt SD tại F ta có AF, FJ

là các đoạn giao tuyến tiếp theo

Thiết diện là tứ giác AIJF.

Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ các điểm M, N nằm trong các đoạn

thẳng AD, AB Dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (MNC’)

Giải: Ta có MN là đoạn giao tuyến gốc Ta tìm thêm giao điểm của MN và các

cạnh hình bình hành ABCD

Kéo dài MN cắt CB CD tại E, F ta có thêm 2 giao điểm mới Nối C’E cắt BB’ tại I, nối C’F cắt DD’ tại J

Ta được thiết diện là ngũ giác MNIC’J.

Nhận xét: Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm thấy ngay, thì để dựng nó

thường phải giải bài toán phụ: Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trong các

tam giác DAB, DBC, ABC Dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP).[4]

Giải:

Chưa có giao tuyến gốc giữa

mặt phẳng cắt và tứ diện Mặt

phẳng(MNP) có điểm chung P với

mặt phẳng (ABC) nên để tìm điểm

chung nữa ta tìm giao điểm O của

MN với (ABC) Kéo dài DM cắt AB

tại M1, kéo dài DN cắt BC tại N1

mặt phẳng (DM1N1) chứa MN cắt

(ABC) theo giao tuyến M1N1 nên O

là giao điểm của MN và M1N1

⇒ OP là giao tuyến gốc Nối OP cắt

AB BC tại E, F

Tùy theo vị trí OP trong tam giác

ABC ta có thiết diện là tứ giác EFIK

(hình a) hoặc tam giác EFI (hình b)

Khi MN // M1N1 thì giao tuyến gốc

là đường thẳng qua P song song với

M1N1

Hình a

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng

(ABCD) sao cho d song song với BD, M là trung điểm cạnh SA Hãy xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (M, d) trong các trường hợp:

a Đường thẳng d không cắt cạnh nào của đáy ABCD

b Đường thẳng d đi qua điểm C.[3]

Giải:

a) d là giao tuyến gốc ta tìm

thêm giao điểm của d với các

cạnh tứ giác ABCD Gọi H, E, F

là giao điểm của AB AC, AD

với d

Xét (M, d) và (SAB) có M, H

chung nối MH cắt SB tại N ta có

một đoạn giao tuyến MN Tương

tự nối ME cắt SC tại P, nối MF

cắt SD tại Q

Thiết diện là tứ giác MNPQ.

b) Tương tự phần a lúc này

E C≡ thiết diện là tứ giác

MNCQ.

.

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi Gọi M, N là trọng tâm các

tam giác SAB và SAD; E là trung điểm CB Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNE) [3]

Giải:

Gọi I là trung điểm SA

Ta có M thuộc BI, N thuộc DI Từ

1

/ / 3

Xét mặt phẳng (MNE) và mặt

phẳng (ABCD) có E chung và MN //

BD nên (MNE) cắt (ABCD) theo

giao tuyến EF // BD (F ∈ CD)

Ta có EF là giao tuyến gốc Gọi G là giao điểm EF và AD ta có G là điểm

chung của (MNE) và (SAD) Nối GN cắt SD, SA tại P, Q, nối QM cắt SB tại K,

nối KE, PF Ta có thiết diện là ngũ giác EFPQK

Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng tính chất: Nếu 2 mặt phẳng lần

lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó.

II Mặt phẳng (P) được cho bởi các tính chất song song

1 Mặt phẳng (P) đi qua d và song song với đường thẳng d, chéo nhau với đường thẳng l.

a Phương pháp

Trên (P) mới có đường thẳng d, để (P) xác định ta dựng đường thẳng d’ cắt d

và d’ // l.

Cách dựng: Ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao điểm A của d và

(Q) dựng được ngay Trong mặt phẳng (Q) ta dựng d’ qua A và d’ // d khi đó (P) xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau d và d’

b Ví dụ

Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, H là điểm

thuộc cạnh SC Dựng thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) chứa AH và song song với BD [4]

Giải:

Chọn mp (SBD) chứa BD Gọi O là

giao điểm AC và BD Đường thẳng AH

cắt mặt (SBD) tại I là giao điểm của AH

và SO Trong mp (SBD) kẻ qua I đường

thẳng song song với BD, gọi M, N là giao

điểm của đường thẳng đó và SB SD Mặt

phẳng (P) là mặt phẳng chứa AH và MN.

Thiết diện là tứ giác AMHN.

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh

CD không trùng với C và D Mặt phẳng (P) chứa MN và song song với BC

a Hãy xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P)

b Xác định vị trí N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành

Giải:

a Chọn mặt phẳng (ABC) ⊃ BC ta có M là giao điểm của MN và (ABC)

Qua M kẻ ME // BC (E thuộc AC) thì (P) xác định bởi MN, ME.

(P) và (BCD) có N chung và chứa

hai đường thẳng song song nên

(P) ∩ (BCD) theo giao tuyến NF //

BC (F ∈ BD), nối MF, EN

Thiết diện là tứ giác MENF.

b Theo cách dựng thiết diện ở phần

a) thiết diện là hình thang MENF

(ME // NF) ta có 1

2

ME= BCnên để MENF là hình bình hành thì

1

2

NF = BChay N là trung điểm CD

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tứ diện, E là điểm thuộc cạnh BC.

Hãy dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua EG và song song với AD

Giải:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC, AD thì G là trung điểm IJ Ta có mặt phẳng (IAD) chứa G và AD // (P) ⇒ (IAD) cắt (P) theo giao tuyến qua G và song song với AD cắt AI, ID tại M và N

Nối EM cắt AC tại F, nối EN cắt CD tại K

nếu E trùng với I thì thiết diện không tồn tại

nếu E không trùng với I thì thiết diện là tam giác EFK

Tuỳ theo E thuộc IB hay I thuộc IC ta có cách vẽ theo H.1 hoặc H.2.

2 Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M song song với hai đường thẳng chéo nhau d và l.

a Phương pháp

Ta xét 2 mặt phẳng (M, d) và (M, l) mỗi mặt phẳng này chứa một đường thẳng qua M song song với d và l Mặt phẳng (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng vừa dựng.

b Ví dụ

Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trọng

tâm tam giác SBD Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M song song với SB AC [4]

Giải:

Gọi O là giao điểm AC và

BD Ta có trọng tâm M thuộc

SO Mặt phẳng (M,SB) là (SBD)

trong mp này kẻ qua M đường

thẳng song song với SB cắt SD,

DB tại N, K

Mặt phẳng (M, AC) là mặt

phẳng (SAC) nên qua M kẻ

đường thẳng song song với AC

cắt SA SC tại P, I vậy (P) chứa

NK, PI.

Xét mp (P) và mp (ABCD) có

điểm K chung và (P) // AC nên (P) cắt đáy (ABCD) theo giao tuyến qua K và song song với AC cắt AB BC tại E, F

Ngũ giác EFINP là thiết diện cần dựng.

Ví dụ 10: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có M là điểm thuộc AD Dựng thiết

diện của hình hộp cắt bởi (P) qua M song song với BD và AC’ [2]

Giải:

Nhận xét: Mặt phẳng (M, BD) là

(ABCD) còn mặt phẳng (M, AC’)

khó xác định hơn

Vậy ta chỉ cần mặt phẳng (M,

BD) (P) cắt (ABCD) theo giao

tuyến qua M và song song với BD

cắt AB CB CD lần lượt tại N, F, E

(P) sẽ là mặt phẳng qua E, F và

song song với AC’ (trở thành bài

toán 1)

EF cắt AC tại I nên (P) ∩ (ACC’A’) theo giao tuyến qua I và song song với AC’ nó cắt CC’ tại J Nối JE cắt DD’ tại G, JF cắt BB’ tại H

Thiết diện là ngũ giác MNHJG

Chú ý: Nếu mặt phẳng (M, l) khó xác định thì ta chỉ cần xét mặt phẳng (M, d)

(gọi là mặt phẳng (P) Trong mặt phẳng (P) này dựng d’ qua M và song song với l thì (P) là mặt phẳng chứa d’ và song song với l.

Ví dụ 11: Cho lăng trụ OAB.O’A’B’ Gọi M, E, F lần lượt là trung điểm OA.

OB OE, H là điểm thuộc AA’ sao cho AH = 2 HA’ Dựng thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) trong các trường hợp:

a Qua F song song với B’E và A’O

b Qua M song song với A’E và OH

Giải:

a Ta có mặt phẳng (OBB’O’) mặt phẳng qua F và song song B’E, mặt phẳng qua F và song song với A’O khó xác định hơn

Trong mp (OBB’O’) qua F kẻ đường thẳng song song với B’E và cắt O’B’ tại K (P) là mặt phẳng chứa FK và song song A’O

Kéo dài FK cắt OO’ tại I, khi đó ta được OO' 2= OI =2 'A J nên 'A JIO

là hình bình hành Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua I đường thẳng d song song OA’ thì d cắt OA AA’ lần lượt tại M, J là trung điểm của OA AA '

Mặt phẳng (P) cắt (OAB) theo giao tuyến FM nên sẽ cắt (O’A’B’) theo giao tuyến KQ // FN (Q thuộc B’A’) Thiết diện là ngũ giác FKQJM (H1)

b Mặt phẳng qua M và song song với OH là mp (OAA’O’) còn mặt phẳng qua

M và song song với A’E khó xác định hơn Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua

M đường thẳng song song với OH cắt AA’ tại L (P) là mặt phẳng chứa ML và song song với A’E.

Trong mặt phẳng (A’AE) kẻ LT // A’E (T thuộc AE)

Khi đó T là điểm chung của (P) và (OAB)

Nối MT cắt AB tại G

Thiết diện là tam giác MLG (H2).

3 Mặt phẳng (P) qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q).

a Phương pháp

Dựa vào tính chất: Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì phải cắt mặt phẳng còn lại và giao tuyến của chúng song song.

Chọn mặt phẳng (R) chứa M có giao tuyến với (Q) là a

Khi đó (P) ∩ (R) = a’,a’ // a a’ qua M

Ta tìm thêm giao điểm của a’ với các cạnh của đa giác trong (R)

Tiếp tục quá trình với các giao điểm mới cho tới khi dựng được thiết diện.

b Ví dụ

Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD) Điểm M

thuộc cạnh BC không trùng với B và C Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (SAB) Thiết diện là hình gì? [3]

Giải:

Ta có (ABCD) chứa M, (ABCD) ∩ (SAB) = AB nên (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến MN // AB (N∈AD)

Mặt phẳng (SAD) chứa N, (SAD) ∩ (SAB) = SA nên (P) cắt (SAD) theo giao tuyến NE // SA (E∈SD)

Mặt phẳng (SCB) chứa M và

(SCB) ∩ (SAB) = SB

Nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến

MF // SB (F ∈SC) Nối EF, ta được

thiết diện là tứ giác MNEF.

Ta có (P) và (SCD) có MN // CD

(CD // AB) mà (P) ∩ (SCD) = EF

Suy ra EF // MN

Thiết diện MNEF là hình thang

III Mặt phẳng (P) cho bởi các yếu tố

vuông góc

1 Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M và

vuông góc với một đường thẳng d.

a Phương pháp

Tìm hai đường thẳng a và a’ cùng vuông góc với d khi đó (P) là mặt phẳng qua M song song với a và a’

(Dựa vào tính chất: Nếu (P) và đường thẳng a cùng vuông góc với một đường thẳng d thì a // (P) hoặc a ⊂ (P)).

b Ví dụ

Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SAB là

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, M là trọng tâm tam giác BCD Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M vuông góc với AB [4]