Lý do chọng đề tài: Trong chương trình môn toán bậc THPT hiện nay có rất nhiều bài toán có tham số liên quan tới phương trình bậc hai, quy về bậc hai, và trong số đó xuất hiện nhiều và đ
Trang 1MỤC LỤC
2.3
Giải pháp và tổ chức thực hiện 2
Một số dạng toán ứng dụng bài toán 2 5
Danh mục SKKN của tác giả đã được Hội đồng Cấp Sở GD&ĐT đánh giá 17
Trang 2PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọng đề tài:
Trong chương trình môn toán bậc THPT hiện nay có rất nhiều bài toán có tham số liên quan tới phương trình bậc hai, quy về bậc hai, và trong số đó xuất hiện nhiều và đa dạng các bài toán “Tìm điều kiện để một phương trình có một hoặc nhiều nghiệm thỏa mãn điều kiên cho trước” Đây thực chất là các bài toán
so sánh nghiệm của một phương trình bậc hai với một số thực Công cụ để giải bài toán này là định lí đảo về dấu tam thức bậc hai và các hệ quả, nhưng hiện nay vấn đề này được giảm tải Đứng trước vấn đề: Không có công cụ đó thì cần tìm hướng nào để bằng kiến thức các em đang được học trong sách giáo
khoa các em vẫn có thể giải được các dạng toán đó? Với suy nghĩ nhằm giúp các
em tìm tòi, phát hiện, tạo hứng thú trong quá trình học bộ môn Toán, và hơn nữa
là góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy, xuất phát từ nhứng lý do trên tôi
chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Sử dụng định lý Vi-et cho hai bài toán về
phương trình bậc hai và quy về bậc trong chương trình lớp 10 THPT”
1.2 Mục đích nghiên cứu:
Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy các khối lớp ở trường THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy Tôi đã tổng hợp , khai thác và việc sử dụng định lí Vi-ét cho hai bài toán cơ bản trong chương trình sách giáo khoa hiện hành
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một phương pháp hiệu quả khi đứng trước bài toán liên quan đến định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai mà không cần sử dụng định lí đảo về tam thức bậc hai và các hệ quả của nó Hy vọng đề tài nhỏ này giúp các bạn đồng nghiệp cùng các
em học sinh có một cái nhìn toàn mới về các bài toán này
1.3 Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu là các bất đẳng thức có chứa căn bậc hai và biểu thức trong căn bậc hai đưa được về dạng tổng của hai hay ba bình phương hoặc các giả thiết của bài toán biến đổi được về tổng của hai hay ba bình phương áp dụng cho học sinh khối 10 trường THPT Quảng Xương 2
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp:
Nghiên cứu lý luận chung, khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học, tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm
Cách thực hiện:
Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn Liên
hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy
Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 10 trong các năm học gần đây
Trang 3PHẦN 2: NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Cơ sở lý luận:
Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và
hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo
nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ
thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này đặc biệt là phần bất đẳng thức
Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải
có tư duy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh sử dụng hiệu quả định lí Vi-ét để giải hai bài toán thường gặp trong chương trình lớp 10 THPT
2.2 Thực trạng của đề tài:
Đối tượng học sinh tôi trực tiếp giảng dạy có học lực yếu, trung bình và trung bình khá nên khi học phần định lí Vi-ét học sinh rất lúng túng không biết giải quyết vấn đề từ đâu
Qua việc khảo sát, kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường làm không đúng hoặc không làm được
2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện:
Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên theo hướng
dễ tiếp cận đối với học sinh
Kiến thức cơ bản:
a) Định nghĩa.[1]
Phương trình bậc hai đối với ẩn x R là phương trình có dạng:
2
ax bx c 0 1 a 0
b) Cách giải.[1]
Tính b2 4ac
Nếu 0 thì phương trình (1) vô nghiệm
Nếu 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép 1 2
2
b
a
Trang 4Nếu 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
c) Định lý Vi-et [1]
Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x R : ax 2 bx c 0 1 a 0
có hai nghiệm x x1 , 2 thì S x1 x2 b, P x x1 2 c
d) Dấu của hai số thực: [1]
Hai số u và v trái dấu khi và chỉ khi uv 0
Hai số u và v cùng dấu dương khi và chỉ khi
0
0
v u uv
Hai số u và v cùng dấu âm khi và chỉ khi
0
0
v u uv
2.3.1 Bài toán 1: [2]
Tìm điều kiện để phương trình ax2 bxc 0, a 0 ,xR có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn nghiệm này gấp k lần nghiệm kia.
Phương pháp giải:
Phương trình 2 0
bx c
ax , a 0 ,xR có hai nghiệm phân biệt x1, x2
thỏa mãn nghiệm này gấp k lần nghiệm kia khi và chỉ khi 0và
x1 kx2x2 kx1 0 2 1 1 2 1 22 2 1 2 0
Nhận xét: Thông thường học sinh sẽ chia bài toán thành hai trường hợp x 1 kx2
và x 2 kx1 sau đó vận dụng định lí Vi-et để giải Với cách làm đó bài toán trở nên phức tạp hơn
Ví dụ: Tìm m để phương trình 2 2 2 1 0
mx m
x , (1) có hai nghiệm thỏa mãn nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
Lời giải:
Hai nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn nghiệm này gấp đôi nghiệm kia nên hai nghiệm này phải phân biệt Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
) (
Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn định lí Vi-et nên
1 2
2
2
1
2 1
m x
x
m x
x
Hai nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn nghiệm này gấp đôi nghiệm kia khi
và chỉ khi
x1 2x2x2 2x1 0 5x1x2 2 x1x22 2x1x2 0
Suy ra
2 3 4
3 0
9 18 8
0 1 2 2 2
2 1 2
m
m m
m m
m
Trang 5( thỏa mãn m 1 )
Vậy m43 và m23 thỏa mãn yêu cầu bài toán
2.3.2 Bài toán2: [3]
Cho phương trình: ax 2 bx c 0 1 a 0,x R
a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa một nghiệm nhỏ hơn
nghiệm kia lớn hơn
b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn cả hai nghiệm đó đều lớn hơn
c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn cả hai nghiệm đó đều nhỏ hơn
d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm x .
e) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm x.
Phương pháp giải:
a) Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn một nghiệm nhỏ hơn nghiệm kia lớn hơn nghĩa là x1 x2 hoặc x2 x1, điều này xảy ra khi và chỉ khi
2 1 2 1 2
Chú ý : (*) 2 0 b2 4acb2 4ab 4a2b2 b 2a2 0
b
a a
c
nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn cả hai nghiệm đó đều lớn hơn
điều này xảy ra khi và chỉ khi
0 2
0 0
0 0
0
2 1
2 2 1 2 1
2 1
2 1
2
1
x x
x x x x x
x
x x x
x
c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn cả hai nghiệm đó đều nhỏ
hơn
điều này xảy ra khi và chỉ khi
0 2
0 0
0 0
0
2 1
2 2 1 2 1
2 1
2 1
2
1
x x
x x x x x
x
x x x
x
d) Phương trình (1) có nghiệm x
Trường hợp 1: Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2
Trường hợp 2: Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2
e) Phương trình (1) có nghiệm: x
Trường hợp 1: Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2
Trường hợp 2: Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1x2
Nhận xét: Đây là là bài toán so sánh các nghiệm của phương trình bậc hai với
một số thực nhưng phần định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai đã giảm tải trong chương trình nên khi gặp bài toán này học sinh rất lúng túng, kể cả khi lên lớp 12 sử dụng công cụ đạo hàm cũng không thể giải quyết được bài toán
Trang 6này khi không thể đưa được phương trình đã cho về dạng f x g m , với m là
tham số.
( Các trường hợp xảy ra dấu “=” giải quyết tương tự ).
Ví dụ: [4] Cho phương trình: x2 2mx m 2 m 1 0 1
a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn một nghiệm nhỏ hơn 1, nghiệm kia lớn hơn 1
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đều lớn hơn 1
c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn x 1
Lời giải:
Phương trình (1) có một nghiệm nhỏ hơn 1, nghiệm kia lớn hơn 1 ,điều này xảy
ra khi và chỉ khi x1 1x2 1 0 x1x2 x1x2 1 0 Theo định lí Vi-et
1
2
2
2
1
2
1
m
m
x
x
m x
x
suy ra m2 m 1 2m 1 0 2 3 2 0 1 2
m
Vậy với 1 m 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán
a) Phương trình (1) có hai nghiệm ' m 1 0 m 1 Do hai nghiệm của phương trình (1) đều lớn hơn 1, nghĩa là
0 2
0 1 0
1 1
0 1 1 0
1
0
1
2 1
2 1 2 1
2 1
2 1
2
1
x x
x x x x x
x
x x x
x
Theo định lí Vi-et
1
2
2 2 1
2 1
m m x x
m x x
, Suy ra
2 0
2 2
0 2 3 2
m m
m m
, Kết hợp điều kiện m 1ta được m 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán
b) Phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn x 1khi
Trường hợp 1: Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn một nghiệm nhỏ hơn
hoặc bằng 1, nghiệm kia lớn hơn hoặc bằng 1
Theo câu a) suy ra 1 m 2
Trường hợp 2: Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn cả hai nghiệm đều
lớn hơn hoặc bằng 1
Theo câu b) suy ra m 2 hoặc m 1
Vậy m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán
2.3.3 Một số dạng toán áp dụng bài toán 2.
Dạng 1 [4] Cho phương trình: ax 2 bx c x 1
a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm
b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất
Phương pháp giải
Phương trình (1)
2 , 0 2
c x b x a
x
a) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm x
Trang 7b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng
c) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (2) có duy nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng
Ví dụ: Cho phương trình: 2x 2 2m 1x m 2 m x 1 1
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất
Lời giải:
Phương trình (1)
(2) , 0 1 2
1
2
2 mx m m x
x
a) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm x 1
Trường hợp 1:
Phương trình (2) có hai nghiệm thỏa mãn một nghiệm nhỏ hơn hoặc bằng 1, nghiệm kia lớn hơn hoặc bằng 1, điều này xảy ra khi và chỉ khi
x1 1x2 1 0 x1x2 x1x2 1 0 Theo định lí Vi-et
1
2
2 2 1
2 1
m m x x
m x x
suy ra m2 m 1 2m 1 0 m2 m 0 0 m 1
Trường hợp 2:
Phương trình (2) có hai nghiệm thỏa mãn cả hai nghiệm đều lớn hơn hoặc bằng
1, điều này xảy ra khi và chỉ khi
0 2
0 1
0 ' 0
1 1
0 1 1
0 ' 0
1
0
1
0
'
2 1
2 1 2 1 2
1
2 1 2
1
x x
x x x x x
x
x x x
1
2
2
2
1
2
1
m
m
x
x
m x
x
0 2 2
0
0 1
2
m m
m m m
Vậy với m 0;1 thì phương trình (1) có nghiệm
b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn hoặc bằng 1, điều này xảy ra khi và chỉ khi
0 2
0 1
0 ' 0
1 1
0 1 1
0 ' 0
1
0
1
0
'
2 1
2 1 2 1 2
1
2 1 2
1
x x
x x x x x
x
x x x
1
2
2
2
1
2
1
m
m
x
x
m x
x
m m
m m m
0 2 2
0
0 1
2
Vậy không tồn tại m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
c) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (2) có đúng
1 nghiệm thỏa mãn nghiệm đó lớn hơn hoặc bằng 1, điều này xảy ra khi và chỉ khi
Trường hợp 1:
Trang 8Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn một nghiệm nhỏ hơn 1, nghiệm kia lớn hơn 1, điều này xảy ra khi và chỉ khi
x1 1x2 1 0 x1x2 x1x2 1 0
Theo định lí Vi-et cho phương trình (2):
1
2
2 2 1
2 1
m m x x
m x x
suy ra m2 m 1 2m 1 0 m2 m 0 0 m 1
Trường hợp 2:
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn một nghiệm nhỏ hơn 1, nghiệm kia bằng 1, điều này xảy ra khi và chỉ khi
0 2
0 1
0 ' 0
1
1
0 1
1
0
'
2 1
2 1 2 1 2
1
2
1
x x
x x x x x
x
x
x
Theo định lí Vi-et cho phương trình (2):
1
2
2 2 1
2 1
m m x x
m x x
0 2 2
0
0 1
2
m m
m m
m
Trường hợp 3:
Phương trình (2) có hai nghiệm kép lớn hơn hoặc bằng 1, điều này xảy ra khi và chỉ khi
0 2
0 ' 0
1 1
0 '
2 1 2
x
Theo định lí Vi-et cho phương trình (2):
1
2
2 2 1
2 1
m m x x
m x x
, suy ra
1 0
2
2
0
1
m m
m
Vậy với m 0;1 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất
Dạng 2 [4] Cho phương trình: x a x b x c x d k 1 với a c b d a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm
b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
Phương pháp giải
Ta biến đổi phương trình (1) x2acxac x2 bdxbdk
2 2
2 2
2
x c a x c a
x
t
Khi đó phương trình (1) trở thành:
2 2
2
2 2
2 2
ac bd a c t ac a c bd a c k
a) Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t 0
Trang 9b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ta xét 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu.
Trường hợp 2: Phương trình (2) có nghiệm kép dương.
c) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm dương và nghiệm kia bằng 0
d) Phương trình (1) có bốn nghiệm phận biệt phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương
(Xét tương tự cho phương trình dạng ax4 bx2 c 0)
Ví dụ:
Cho phương trình: x x m 1 x m 1 x 2 m 3m 2 1 , với tham số m 0
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
Lời giải
Phương trình (1) 2 2 2 2 1 3 5
a) Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t 0
Trường hợp 1: Phương trình (2) có nghiệm t1, t2 thỏa mãn một nghiệm nhỏ hơn hoặc bằng 0, nghiệm kia lớn hơn hoặc bằng 0 nghĩa là
2
5 0
5 2
0
2
1t m m
Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm không âm khi và chỉ khi
2
5 55
6 1
2
519 0 12
0 0
2
1
2
m m
m
m m
t
t
t
Vậy với m 6 55; thì phương trình (1) có nghiệm
b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ta xét 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Phương trình (2) có nghiệm trái dấu m25
Trường hợp 2: Phương trình (2) có nghiệm kép dương khi và chỉ khi
55 6 0
1
0 19 12 0
2
1
m m
m m t
t
Vậy với 5; 6 55
2
m
thì phương trình (1) có hai nghiệm
c) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0, khi và chỉ khi
Trang 105 0
1
0 5 2
0 19 12 0
0
2
1
2
m m
m
m m t
t
t
Vậy với 5
2
m thì phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt
d) Phương trình (1) có bốn nghiệm phận biệt phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương điều này xảy ra khi và chỉ khi
2
5 55
6 0
1
0 5 2
0 19 12 0
0
2
1
2
m m
m m t
t
t
Vậy với 6 55;5
2
m
thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
Dạng 3 [4] Cho phương trình: ax 4 bx3 cx2 bx a 0 1 a 0
a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm dương
b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm âm
c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm
d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
Phương pháp giải
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (1), chia cả hai vế phương trình (1) cho x 2 0, ta được phương trình tương đương
0 2 1
1 2
x x b x
x
x x
t 1 với t 2 thì (1) trở thành
0 2
2
bt c a
a) Phương trình (1) có nghiệm x 0 thì phương trình (2) có nghiệm t 2
b) Phương trình (1) có nghiệm x 0 thì phương trình (2) có nghiệm t 2 c) Phương trình (1) có nghiệm thì hoặc phương trình (2) có nghiệm t 2hoặc
2
t
( Đây chính là kết quả tổng hợp của phần a và b)
d) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt ta xét các trường hợp sau
Trường hợp 1: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn 2
Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn -2
Trường hợp 3: Phương trình (2) có hai nghiệm một lớn hơn 2 nghiệm kia nhỏ
hơn -2
Nhận xét: Với cách tiếp cận này học sinh cũng có thể dễ dàng giải quyết các
bài toán như: Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm, 3 nghiệm.
Ví dụ:
Cho phương trình: x4 2mx3 m2 3m 4x2 2mx 1 0 1
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm
c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
d) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt