SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG SỬ DỤNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Người thực
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NHƯ THANH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG SỬ DỤNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2017
Trang 2MỤC LỤC
1 MỞ ĐẦU 1
1.1 Lý do chọn đề tài 1
1.2 Mục đích nghiên cứu 1
1.3 Đối tượng nghiên cứu 1
1.4 Phương pháp nghiên cứu 1
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2
2.1 Cơ sở lý luận 2
2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 2
2.3 Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề 2
2.3.1 Kiến thức toán và các kỹ năng có liên quan 2
2.3.2 Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải 2
2.3.2.1 Sử dụng liên hợp để giải phương trình vô tỷ 2
Dạng 1: Biểu thức liên hợp xuất hiện ngay trong phương trình 2
Dạng 2: Tìm được một nghiệm đẹp thêm bớt để làm xuất hiện biểu thức liên hợp 5
Dạng 3: Phương trình vô tỷ nhẩm được hai nghiệm đẹp 9
Dạng 4: Các nghiệm của phương trình đều lẻ 10
2.3.2.2 Sử dụng liên hợp để giải bất phương trình 11
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 14
2.4.1 Đối với học sinh 14
2.4.2 Đối với bản thân và đồng nghiệp 14
2.4.3 Đối với nhà trường 14
3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 15
3.1 Kết luận 15
3.2 Kiến nghị 15
Trang 31 MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
Trong những năm qua trường THPT Như Thanh rất coi trọng việc bồi dưỡng, nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học cho giáo viên thông qua nhiều hình thức như: đổi mới sinh hoạt tổ nhóm chuyên môn theo hướng nghiên cứu bài học, ứng dụng công nghệ thông tin trong các tiết dạy, phát động phong trào viết chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy, nghiên cứu các đề tài khoa học sư phạm ứng dụng, tổ chức hoạt động ngoại khoá
Đối với môn Toán có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên phải tích cực trau dồi, bồi dưỡng đổi mới phương pháp thì mới đạt hiệu quả khi truyền tải kiến thức cho học sinh Hiện nay cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia có những câu hỏi phân loại rất khó, vì vậy mỗi giáo viên phải tìm tòi, tìm ra phương pháp mới để học sinh có thể giải quyết các bài toán khó một cách hiệu quả nhất trong các đề thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc Gia
Trong các nội dung thi Đại học – Cao đẳng phần phương trình, bất phương trình vô tỷ đóng vai trò quan trọng Phần phương trình, bất phương trình vô tỷ
có rất nhiều bài tập phong phú, điển hình mà thông qua việc tìm tòi cách giải các bài tập phương trình, bất phương trình vô tỷ giúp hình thành và rèn luyện rất tốt
tư duy Toán học cho học sinh
Mặt khác, trong các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô
tỷ thì phương pháp sử dụng lượng liên hợp để giải là phương pháp tương đối hữu hiệu, vì phương pháp này giải quyết được hầu hết các bài bập của dạng Toán này từ mức độ dễ đến khó
Từ những lý do trên và từ thực tiễn giảng dạy, bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy Tôi đã tổng hợp, đúc
rút thành chuyên đề: ‘‘Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng lượng liên hợp để giải phương trình, bất phương trình vô tỷ’’
1.2 Mục đích nghiên cứu
Giúp cho học sinh rèn luyện, nâng cao kỹ năng giải phương trình, bất phương trình vô tỷ
Cung cấp cho giáo viên thêm tư liệu một cách hệ thống về phần giải phương trình, bất phương trình vô tỷ
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu về các dạng bài tập phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng phương pháp nhân liên hợp để giải phương trình, bất phương trình vô tỷ
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Tự đọc tài liệu nghiên cứu
Tổng hợp, thống kê, phân loại
Trang 42 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận
Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng Tuy nhiên hầu hết chúng
ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn, kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó
Trong hoạt động dạy học môn toán nói riêng thì kỹ năng được thể hiện qua phương pháp dạy - học, kỹ năng trình bày, kỹ năng thuyết trình Trong môn toán ngoài những kỹ năng chung về dạy học nó còn được thể hiện qua những yếu tố đặc thù của bộ môn chẳng hạn: kỹ năng giải toán, kỹ năng tính toán, kỹ năng giải phương trình, bất phương trình …
2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng cách nhân liên hợp tương đối mới lạ đối với đa số học sinh lớp 10 Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian để biến đổi bài toán Một số học sinh
do năng lực tư duy hạn chế chưa biết cách tìm, tách, thêm bớt và nhân lượng liên hợp phù hợp Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán
2.3 Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề
Khi tiếp cận các bài toán, giáo viên phải giúp học sinh phải sử dụng lượng liên hợp nào phù hợp Sau đó giúp học sinh xây dựng phương pháp giải phù hợp
Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán phương trình, bất phương trình vô tỷ, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức về hằng đẳng thức từ đó có thể tự suy ra các biểu thức liên hợp tương ứng thường gặp Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình để học sinh vận dụng
Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài tập tương đối đầy đủ về các bài phương trình, bất phương trình vô tỷ giải bằng phương pháp nhân liên hợp
2.3.1 Kiến thức toán và các kỹ năng có liên quan
- Các biểu thức liên hợp thường sử dụng
- Các phép biến đổi tương đương của phương trình.
- Kỹ năng nhẩm nghiệm của phương trình
- Kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của phương trình
- Kỹ năng đánh giá để chứng minh phương trình vô nghiệm
2.3.2 Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải.
2.3.2.1 Sử dụng liên hợp để giải phương trình vô tỷ.
Dạng 1: Biểu thức liên hợp xuất hiện ngay trong phương trình.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x 5 x 1 2x 8
Trang 5Phân tích
Sử dụng máy tính ta tìm được nghiệm của phương trình x 4
Và ngay trong phương trình ta thấy:
( 2 5 ) 2 ( 1 ) 2 4
2x 8 2 (x 4 )
Giải
Điều kiện:
2
5
x
Phương trình: 2x 5 x 1 2x 8
) 1 ( 2 1 5
2 1 4
0 ) 2 1 5
2
1 )(
4 (
) 4 ( 2 1 5
2
4
x x
x
x x
x
x x
x x
1 5
2
1 1
1 5
2 2
5
x x
x x
x
Nên phương trình (1) vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 4
Ví dụ 2: Giải phương trình: 10x 1 3x 5 9x 4 2x 2
Phân tích
Sử dụng máy tính ta có phương trình có nghiệm x 3
Từ các biểu thức có trong phương trình ta thấy:
(10x 1) (9 x 4) x 3
(3x 5) (2 x 2) x 3
Như vậy ở đây ta phải chuyển vế sau đó mới nhân lượng liên hợp tương ứng
Giải
Điều kiện 5
3
x
10 1 3 5 9 4 2 2
10 1 9 4 3 5 2 2 0
0
10 1 9 4 3 5 2 2
10 1 9 4 3 5 2 2 3
0 (1)
10 1 9 4 3 5 2 2
x
x
Dễ có phương trình (1 ) vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3
Trang 6Nhận xét
Nếu chỉ quan sát phương trình ta cũng có
(10x 1) (3 x 5) 7 x 6
(9x 4) (2 x 2) 7 x 6
Nên nếu ta không chuyển vế mà nhân liên hợp luôn thì cũng xuất hiện nhân tử chung là 7x 6, đưa được phương trình về phương trình tích Nhưng ta chưa giải quyết xong bài toán vì nghiệm của phương trình nằm trong phương trình còn lại Như vậy việc sử dụng máy tính tìm nghiệm góp phần xác định hướng giải đúng
và ngắn gọn hơn
Ví dụ 3: Giải phương trình: 4x2 ( 2x 8 )( 1 1 2x) 2
Phân tích
Ta có ( 1 1 2x) 2 ( 1 1 2x) 2 4x2
Giải
Điều kiện x 21
Ta có phương trình đã cho: 4x2 ( 2x 8 )( 1 1 2x) 2
) 1 ( 8 2
) 2 1 1
(
0
4 ) 8 2
( )
2 1 1
( 4
2
2 2
2
x x
x
x x
x x
Giải (1):
4
3 2 1
8 2 ) 2 1 1
x
x
x x
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S 0 ; 4
Bài tập tương tự
Giải các phương trình sau:
1) 2x 3 x 2x 6
2) x 2x 1 2 x 1
3) 3(2 x 2) 2 x x 6
x
5) 2 4 2 2 6 2 4
4
x
x
2x (x 9)(3 9 2 ) x
7) 3x 2 x 1 2x2 x 3
8) 3 x 2 3 x 1 3 2x2 3 2x2 1
Dạng 2: Tìm được một nghiệm đẹp thêm bớt để làm xuất hiện biểu thức liên hợp
Trang 7Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x 1 6 x 3x2 14x 8 0
Phân tích
Nếu ta nhân liên hợp thì ta có 3 1 6 4 5
3 1 6
x
nhưng biểu thức còn lại khi phân tích không thể xuất hiện nhân tử 4x 5
Sử dụng máy tính cầm tay ta có một nghiệm x 5.( Nếu không sử dụng máy tính cầm tay ta có thể nhẩm nghiệm là một số sao cho các biểu thức dưới căn là
số chính phương)
Phương trình (1) có nghiệm x 5 có thể phân tích phương trình về dạng
(x 5).g( ) 0x Như vậy cần làm xuất hiện nhân tử chung là x 5
Tại x 5 ta có: 3x 1 4; 6 x 1, từ đó ta xác định được lượng thêm, bớt là
3x 1 4 và 6 x 1
Giải
Điều kiện: [- ;6]1
3
Ta có phương trình đã cho:
2
2
( 3 1 4) ( 6 1) (3 14 5) 0
( 5)(3 1) 0.
3 1 4 1 6
3 1 4 1 6
5
x
Vì biểu thức còn lại luôn dương với điều kiện xác định
Vậy tập nghiệm của phương trình là S= 5
Ví dụ 5: Giải phương trình: 3 3 2 8 3
Phân tích
+ Ta nhẩm được một nghiệm của phương trình là x 1
+ Với x 1 thì ta có: x 3 1 ; 3 x2 8 2
Giải
Điều kiện: x 3
Ta có phương trình đã cho:
3 3 2 8 3
x
0 4 8 2
) 8 (
) 4 )(
4 ( 1
3
4
0 ) 2 8 (
)
1
3
(
x x
x x x
x
x x
Trang 8) 1 ( 0 4 8 2
) 8 (
4 1
3
1
4
3 2
x x
x x
x
Vì vế trái (1) luôn dương vớix 3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1
Ví dụ 6: Giải phương trình x2 91 x 2 x2
Phân tích
+ Nhẩm được nghiệm x 3
+ Ta có vớix 3 thì x2 91 10 ; x 2 1
Giải
Điều kiện: x 2
Ta có phương trình đã cho:
x2 91 x 2 x2
( 2 91 10 ) ( 2 1 ) ( 2 9 ) 0
) 1 ( 0 )
3 (
1 2 1 10
91 3 3
0 )
3 (
3 (
1 2 ) 3 (
10 9
) 3 )(
3 (
(
2 2
x x
x
x x
x x
x x x
x x
1 2
1 , 1 10 91
3 2
x x
x
nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3
Nhận xét: Trong bài toán này công đoạn khó đó là chứng minh phương trình (1)
vô nghiệm Để có thể chứng minh (1) vô nghiệm mà cần dựa vào điêu kiện xác định ( có thể là cả điều kiện cần để phương trình có nghiệm ), ở bài này dựa vào điều kiện xác định x 2
Ví dụ 7: Giải phương trình: 3 x2 1 x x3 2 (1)
Phân tích
Sử dụng máy tính ta có phương trình có nghiệm x 3
Giải
Điều kiện: x 3 2
Trang 9
3
3
2
3
3
2
3
3
3
3
x
x
x
Giải (2)
Ta có với x 3 2 1 thì 3(x2 1) 2 x 1 Thật vậy
2 2 3
4 3 2
3
3
3 2 0 ( 1) ( 1)( 2) 0
Suy ra 3 2 2 3 2
1
1 4 ( 1) 2 1 4
x
Mặt khác
3 9 2 6 18 2( 2 10) 2( 1)
2 1 (4)
5 2
x
Từ (3) và (4) ta có phương trình (2) vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình S {3}
Nhận xét
Ta thấy với số liệu của phương trình trên ta không thể sử dụng biến đổi tương đương để giải
Khi sử dụng phương pháp nhân liên hợp ta có thể dễ dàng tìm được nghiệm
3
x Nhưng khâu khó nhất trong bài toán này đó là chứng minh phương trình (2) vô nghiệm
Ví dụ 8: Giải phương trình 5 32 2 4 382 x
x x
Phân tích
Trang 10+ Nhẩm được nghiệm x 4.
+ Ta có với x 4 thì 5 1 , 32 2 4 16
x x x
Giải
Điều kiện: : 4 2 x 5(*)
4 ) 16 32
( ) 1 5
(
)
1
x x
x
) 2 ( 0 2
1 5
1 16
32
) 4 )(
4 (
4
0 ] 2
1 1 5
1 16
32
) 4 )(
4 (
)[
4 (
4 2
2
4 2
2
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
0 ] ) 1 5 ( 2
1 16
32
) 4 ( )[
4
(
)
2
(
4 2
2
x x
x
x x
) 3 ( 0 ) 1 5
( 2
1 16
32
) 4 (
4
2
2
x x
x
x
Ta có : 4 2 x 5 thì vế trái của phương trình (3) luôn dương nên phương trình (3) vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 4
Nhận xét: Trong bài toán này, nếu vội vàng đi chứng minh phương trình (2) vô nghiệm thì ta sẽ bị “ vướng” vì x 4là nghiệm kép của phương trình
Bài tập tương tự
Giải các phương trình sau:
1) x 2 4 x 2x2 5x 1
2) 5x 1 3 9 x 2x2 3x 1
3) x 6 x 1 x2 1
4) x2 12 5 3 x x2 5
5) x 2 4 x 2x 5 2 x2 5x
6) 2x2 11x 21 3 4( 3 x 1) 0
7) x2 3 x 6 7 x 1
8) 3 x2 4 x 1 2 x 3
Dạng 3: Phương trình vô tỷ nhẩm được hai nghiệm đẹp.
Ví dụ 9: Giải phương trình 4 8 x 12 8 x 4x2 4x 1
Phân tích
Trang 11+ Sử dụng máy tính cầm tay ta có 2 nghiệm 1; 3
x x Ta dự đoán sau khi phân tích sẽ có nhân tử (2x 1)(2x 3). Vậy ta phải thêm bớt đại lượng nào để sau khi nhân liên hợp ta có được nhân tử chung là 2
4x 4x 3. Dựa vào các biểu thức
đã có trong phương trình ta có lượng thêm bớt không phải là một số mà là một biểu thức dạng ax b
+ Giả sử ta thêm bớt các lượng như sau: 4 8 x (ax b ); 12 8 x (cx d ) Các
hệ số a b c d, , , được xác định bằng cách như sau Ta thay các giá trị 1; 3
x x
vào các phương trình 4 8 x (ax b ) 0; 12 8 x (cx d ) 0 ta được hai hệ
1
2
2
b
a b
1
2
0
2
d
c d
Giải
Điều kiện: 1 3
2 x 2
2
2
2
2
(1) 4 8 (2 1) 12 8 (3 2 ) 4 4 3
4 8 2 1 12 8 3 2
4 8 2 1 12 8 3 2
4 4 3 0
1
2
3
2
x x x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x
x
Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 3;
2 2
S
Bài tập tương tự
Giải các phương trình sau:
1) 3x 1 5x 4 3 x2 x 3
x
3) 2x2 x 3 21x 17 x2 x 0
4) 2 3x 4 3 5x 9 x2 6x 13
5) x 2 5x 6 2 8x 9 4 x2
x
Dạng 4: Các nghiệm của phương trình đều lẻ
Trang 12Ví dụ 10: Giải phương trình 2
x xx x
Phân tích:
+ Dùng máy tính tìm nghiệm của phương trình ta có nghiệm của phương trình là
2,618033989
x Nếu nhẩm nhanh ta có 2,618033989 3 5
2
2
x
là nghiệm của phương trình x2 3x 1 Như vậy ta phải làm xuất hiện nhân tử chung là x2 3x 1
+ Để xuất hiện nhân tử chung là 2
3 1
x x lượng thêm bớt phải có dạng ax b Giả sử ta biến đổi phương trình như sau:
x ax b x cx d x x ax b cx d
Xét vế phải ta thấy bậc của x2 bằng 1 nên suy ra
( ) ( ) 2 3 (1)
Ta có
x ax b
Xét k 1; 2; để tìm a b, Trong bài này ta thấy với k 1 ta tìm được a b, Thật vậy x (ax b ) 2 x2 3x 1 (ax b ) 2 (x 1) 2 ax b x 1 (2)
Ta có thể tìm c d, bằng cách giống tìm a b, Nhưng có thể suy ra từ (1) và (2)
2
cx d x
Giải
Điều kiện: 0 x 3
Từ phương trình ta có 2 2
2 0
1
x
x
Suy ra 2 x 3
Phương trình đã cho tương đương với
x (x 1) 3 x (x 2) x2 3x 1
2
3 1
2
2
3 1 0
3 5 2
3 5
2 ( )
x
3 5
Trang 13Bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
1) x2 6x 2 x 8
2) 2x2 x 3 2 x
3) x3 3x 3 8 3 x2
4) 2 6 6 ( 1 ) 14 13 10 1 0
x
2.3.2.2 Sử dụng liên hợp để giải bất phương trình
Ví dụ 11: Giải bất phương trình 4
) 1 1
2
x
x
Phân tích
Ta có ( 1 1 x) 2 ( 1 1 x) 2 x2
Giải
Điều kiện:x 1 ; \ 0
Với điều kiện trên ta có bất phương trình đã cho tương đương với
( 1 1 ) 2 4
1 2 1 x 1 xx 4
4
2 1
x
x
Kết hợp điều kiện ta tập nghiệm của bất phương trình là S 1 ; 4 \ 0
Ví dụ 12: Giải bất phương trình 1 3 1
10 3
3
x
x
(1)
Phân tích
Ta có ( 1 3x 1 )( 1 3x 1 ) 3x
Giải
Điều kiện: x 31
( 1 )
1 1 3
3 10
3
3
x x
x
1 1 3
1 10
3
1
x x
x 0
Kết hợp điều kiện ta tập nghiệm của bất phương trình là S 0 ;
(x 1) x 2 (x 6) x 7 x 7x 12 (1) (Đề đại học khối D năm 2014)
Phân tích