Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một số phương pháp giải bất phương trình

Thứ hai, sách giáo khoa, sách bài tập trình bày một số hệ phương trìnhkhá đơn giản, các tài liệu tham khảo xuất bản ồ ạt, các tài liệu đều đề cập đếnphần này khá nhiều song sự phân loại,

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC I

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10

Người thực hiện: Nguyễn Văn Trình Chức vụ: Tổ phó chuyên môn

SKKN thuộc lĩnh vực (môn) : Toán

THANH HOÁ NĂM 2017

2.3 Khai thác một số kĩ năng giải hệ phương trình nhằm nâng cao

hiệu quả giải hệ phương trình cho học sinh lớp 10

1 MỞ ĐẦU

1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Hệ phương trình đại số là mảng kiến thức lớn và quan trọng trong chương trìnhtoán học phổ thông,ta thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10; tuyểnsinh đại học, cao đẳng; thi học sinh giỏi Mặc dù học sinh được cọ sát phần nàykhá nhiều song phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình tìm racách giải.Trong quá trình giảng dạy tôi đã tìm ra một số nguyên nhân chính sau:

Thứ nhất, phải khẳng định rằng hệ phương trình là mảng kiến thức phongphú và khó, đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, nhanh nhạy trong việcnhìn nhận hướng đi, đồng thời phải có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khácnhau, có trong quỹ kiến thức nhiều phương pháp khác nhau

Thứ hai, sách giáo khoa, sách bài tập trình bày một số hệ phương trìnhkhá đơn giản, các tài liệu tham khảo xuất bản ồ ạt, các tài liệu đều đề cập đếnphần này khá nhiều song sự phân loại, cũng như phân tích, định hình bài toánchưa rõ ràng , lời giải thì vắn tắt, dẫn đến sự bị động trong học sinh về hướnggiải quyết.Chỉ số ít học sinh đọc và hiểu được vấn đề mà tài liệu tham khảo đềcập đến

Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc nên không nhớ đượclâu, bị động trong tiếp thu kiến thức, chưa có ý thức cao trong việc tìm tòi,hìnhthành cách giải tổng quát, đúc rút kinh nghiệm chưa nhiều

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

Với đề tài này tôi mong muốn:

- Nhằm giúp học sinh khai tác một số kĩ năng thông thường khi giải hệ phươngtrình, từ đó hình thành kĩ năng giải hệ phương trình, trên cơ sở đó có được nềntảng kiến thức để giải được những hệ phương trình không mẫu mực và khó hơn

- Rèn luyện tư duy toán học, tư duy logic

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Với đề tài này, tôi đề cập đến các lớp bản

thân đã trực tiếp giảng dạy các lớp 10A3 năm học: 2014 -2015; 10A4 năm học2015-2016

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Trong quá trình nghiên cứu và viết đề tài này, tôi sử dụng một số phươngpháp như: so sánh, phân tích, thống kê, thu thập thông tin, xử lí số liệu, nghiêncứu xây dựng cơ sở lí thuyết

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN :

Để nghiên cứu , học tập sâu phần hệ phương trình đại số, trước hết người học cần nắm vững các dạng phương trình cơ bản và cách giải chúng mà sách giáo khoa đã trình bày

- Nếu D 0 + D  x 0 hoặc : Hệ phương trình vô nghiện

+ D x D y  0: Hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tậpnghiệm của phương trình ax by c 

2.1.2 Hệ phương trình đối xứng kiểu I

a Định nghĩa Hệ phương trình đối xứng kiểu I là hệ pt có dạng ( ; ) 0

- Bước 3 Giải hệ mới theo hai ẩn S và P

- Bước 4 Với S và P tìm được thì x và y là hai nghiệm của phương trình

X  SX P

2.1.3 Hệ phương trình đối xứng kiểu II

a Định nghĩa Hệ phương trình đối xứng kiểu II là hệ phương trìn có dạng

- Bước 1 Trừ vế cho vế hai pt ta được: ( ; )f x y  f y x( ; ) 0 (*)

- Bước 2 Đưa phương trình (*) về dạng tích (x y g x y ) ( ; ) 0

- Bước 3 Xét hai trường hợp

TH 1 x = y thế vào một trong hai phương trình của hệ và giải tiếp

TH 2 g x y ( ; ) 0 kết hợp một trong hai phương trình ban đầu ta được hệ mới

Chú ý: Nếu g x y ( ; ) 0 phức tạp ta sẽ tìm cách chứng minh nó vô nghiệm x hoặc vô nghiệm y

2.1.4 Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp:

Hệ phương trình 2 ẩn có vế trái là đẳng cấp là hệ phương trình mà ở mỗi

phương trình tổng số mũ của x và y của mỗ số hạng là bằng nhau Chẳng hạn:

Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai là hệ có dạng

- Bước 2 Trừ vế cho vế của hai phương trình ta được Ax2 Bxy Cy 2 0 (*)

- Bước 3 Giải phương trình (*) ta sẽ biểu diễn được x theo y

- Bước 4 Thế vào một trong hai phương trình của hệ và giải tiếp

* Chú ý

- Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn

- Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt y tx x , 0 hoặc đặt x ty y , 0

2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:

Qua một số năm dạy lớp 10, mặc dù các em đa số các em đều có lực học khátrở lên ở THCS, song khi gặp hệ phương trình thời gian đầu các em vẫn khálúng túng, nhiều em không định hình ra cách giải.Nếu chỉ dạy học sinh nhữngbài tập trong sách giáo khoa cũng như sách bài tập thì các em không đủ kiếnthức để thi đại học, cũng như thi học sinh giỏi các cấp Đây là mảng kiến thứcgây khó khăn cho mọi đối tượng học sinh, từ những khó khăn của học sinh,tôi

đã trăn trở và tìm tòi, đúc rút được sáng kiến kinh nghiệm: “KHAI THÁC MỘT

SỐ KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢGIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10” Trong sáng kiến tôi đã

hệ thống một số kĩ năng thông thường để giúp học sinh có những định hình cơbản, từ đó hình thành phản xạ khi gặp hệ phương trình Bên canh đó tôi đã xâydựng hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao và được phân loại khá hay, phù

hợp với tư duy của học sinh,để giúp các em tiếp cận, làm quen và hình thành kĩnăng giải hệ phương trình ngay từ lớp 10.

2 3 KHAI THÁC MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10

3.1 KĨ NĂNG THẾ:

a.Cơ sở lí luận : Ta rút một ẩn ,hay một biểu thức, hoặc một số thực từ một

phương trình trong hệ và thế vào phương trình còn lại

b Nhận dạng Kĩ năng này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương

trình là bậc nhất đối với một ẩn , (hay chứa một biểu thức, hoặc số) mà khi thế vào phương trình kia thì phương trình đó là phương trình một ẩn

Phân tích: Quan sát hệ học sinh sẽ phát hiện ngay phương trình (1) là bậc nhất

đối với x và y nên có thể rút x hoặc y đều được, tôi định hướng cho học sinh rút

Do x 0 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; )x y  17

2 2

ngay cho x dẫn đến bài toán không chặt

Hướng 1: Quan sát nhanh học sinh phát hiện phương trình (1) là bậc nhất đối với

y nên ta rút y thế vào (2) để giải theo x

Phân tích: Nhận thấy phương trình thứ 2 có bậc nhất đối với x nên học sinh có

thể rút x rồi thế vào pt thứ nhất để tiếp tục giải Song cách này dẫn đế phương trình khá phức tạp dẫn đến việc tính toán nhầm lẫn

Nếu tinh tế một chút ta thấy số 7 ở phương trình thứ nhất khá quan trọng

Lời giải

Từ pt (1)  7 x2 y2  2(x y ), thế vào phương trình(2) ta được:

Phân tích : Ta thấy ngay hệ phương trình trên không cùng dạng với hai hệ

phương trình ở các ví dụ trên Tuy nhiên, quan sát kỹ một chút, ta nhận thấyphương trình (1) có vế trái là đẳng cấp bậc 2, vế phải là hằng số; phương trình(2) có vế trái là đẳng cấp bậc 3, vế phải là đẳng cấp bậc nhất, do vậy nếu xem(2) 1.(2 )

VT  y x ta thực hiện thế số 1 2y 2  x2 từ phương trình(1) vào ta đượcmột phương trình có vế trái là đẳng cấp bậc 3 Cụ thể:

Lời Giải:

Nếu 2y - x = 0  x = 2y, thế vào hệ phương trình  vô nghiệm

Khi đó 2y - x  0 Thế 1 2y 2  x2từ phương trình (1) vào (2), ta được:

2x3 - y3 = (2y2 - x2)(2y - x)  x3 + 2x2y + 2xy2 - 5y3 = 0 (3)Đặt x = ky (k  0)  Phương trình (3 ) trở thành:

0

2

k y

Nếu y = 0  x = 0, thế vào hệ  Hệ phương trình không có nghiệm (0; 0)Nếu k3 + 2k2 + 2k - 5 = 0  (k - 1)(k2 + k + 5) = 0  k = 1

Với k = 1  xy thay vào (1) ta được y2   1 y 1  x = ± 1

Vậy hệ đã cho có nghiệm là 1;1 , 1; 1   

Chú ý:Vì ta đã nhân vào vế trái pt(2) một hàm chứa biên nên ta phải xét 2

trường hợp để không làm thay đổi tập nghiệm của hệ

Có nhiều hệ phương trình mà việc thế ẩn hay số hay biểu thức ta chưa thể nhìn thấy ngay mà qua một vài bước biến đổi cơ bản ta sễ thấy được, chẳng hạn.

xy x y

đk để hai vế không âm dẫn đến bài toàn thừa nghiệm

Có nhiều hệ phương trình mà trong hệ có một phương trình mà có thể giải x theo y hoặc y theo x từ đó thế vào pt còn lại, chẳng hạn:

Phân tích: Từ 2 pt trong hệ không thể rút x hặc y do đó chưa thể thế được ngay

nhưng nếu xem pt(2) là phương trình bậc hai theo y thì có thể giải y theo x

5



3.2 KĨ NĂNG CỘNG ,TRỪ, NHÂN ĐẠI SỐ.

a.Cơ sở lí luận: Nếu cộng, trừ hoặc nhân vế với vế của hai phương trình

trong hệ ta được một phương trình mà có thể giải được ẩn này theo ẩn kia

b.Nhận dạng: Ta thường áp dụng cách này cho hệ phương trình đối xứng

kiểu 2 và hệ phương trình đẳng cấp hoặc hệ có thể đưa về đẳng cấp

4

x y

 Vớix 4y thế vào pt thứ 2 ta được:13y 2 6

- Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn

- Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt y tx x , 0 hoặc đặt x ty y , 0

3.3 KĨ NĂNG ĐẶT ẨN PHỤ

1 Cơ sở lí luận:

Biến đổi đưa hệ phương trình về dạng mà chỉ phụ thuộc vào 2 biểu thức,

từ đó ta đặt ẩn phụ.Đây là một mảng lớn và rất quan trọng, hay và khó nên tôi dạy cho học sinh phần này kĩ hơn

- Xuất phát từ hệ bậc nhất 2 ẩn tôi xây dựng một số hệ phương trình mới cùng xuất phát từ hệ gốc

2 Nhận dạng: Hệ đối xứng kiểu 1 và các dạng có thể đưa mỗi pt về dạng

Phân tích: Đối với hệ này không thể giải theo các cách ở trên, song học sinh dê

dàng nhận dạng hệ pt này, từ đó đưa ra cách giải

- Do tính đối xứng nên nếu hệ pt có nghiệm là ( ; )x y thì hệ cũng có nghiệm

là ( ; )y x Vì vậy, để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x y

- Không phải lúc nào hệ đối xứng kiểu I cũng giải theo cách trên Đôi khi việc thay đổi cách nhìn nhận sẽ phát hiện ra cách giải ngắn gọn hơn.Chẳng hạn

Phân tích: Đây là hệ phương trình đối xứng kiểu I nên có thể giải theo cách

thuần túy, song để ý ta thấy nếu biến đổi một vài bước ta sẽ phát hiện ra cách giải đặt hay hơn, cụ thể

y y

y y

Phân tích Đây là hệ đối xứng kiểu I

( Đề thi đại học khối A năm 2008)

Phân tích: Hệ phương trình trên không thể rút ẩn, tuy nhiên quan sát thấy pt(2)

x y xyta phải biến đổi pt(1) đê làm xuấtt hiện x2 y xy;

Lời giải Hệ phương trình

4 5 4

4 5

25 4

16

x

x y xy

3 3

2 2

x

x y

y xy

x y

x y

(Đề thi đại học khối A năm 2012)

Phân tích: Các biểu thức x3  3x2 và y3  3y2 gợi cho ta liên tưởng đến các hằng đẳng thức

đổi quan trọng mà học sinh phải chú ý đó là kĩ năng chia 2 vế của

phương trình cho x x x, , , 2 3 hoặc y y y, , , 2 3 cũng như chia cho một biểu thức xy x y, 2 2 ,

(Đề thi đại học khối B năm 2009)

Phân tích: Phương trình (1) trong hệ có x, y là bậc nhất, do đó ta có thể rút x

hoặc y thế vao pt(2) trong hệ Tuy nhiên khi đó ta được phương trình bậc cao nếu không có nghiệm hữu tỉ thì việc giải gặp nhiều khó khăn Nếu chia 2 vế của (1) cho y và pt(2) cho y2rồi biến đổi một bước nữa ta được cách đặt ẩn phụ đơn giản, cách giải cụ thể

Đặt

1

a x

y x

( ) 12

1 1

3

x x

y

x x x

1

2 2

1 2

2 2

 tương tự do tính đối xứng nên nghiệm là hoán vị của x và y ở trên

Vậy hệ pt đã cho có các nghiệm là:

của phương trình (1) đối xứng, nên có thể đặt nhân tử chung

Đề thi đại học khối A năm 2012

Phân tích: Đối với này ta đã giải bằng cách đặt ẩn phụ ở trên , tuy nhiên ta có

thể biến đổi vế trái thành 2 biểu thức đối xứng từ đó có thể đưa về tích.Cụ thể:

Ví dụ 12: Giải hệ phương trình:

4 4

Đề thi đại học khối A-2013

Lời giải: Từ pt(2),để hệ có nghiệm x thì  'x (y 1) 2  (y2  6y 1) 4  y  0 y 0Đặt a 4 x 1 ;(a 0), khi đó pt(1) trở thành:

3.4.KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI MỘT PHƯƠNG TRÌNH THÀNH TÍCH

a.Cơ sở lí luận: Hệ phương trình không thể rút thế và việc biến đổi để dặt ẩn

phụ gặp phải khó khăn, làm thế nào để xử lí trong một thời gian ngắn, để có thêm quỹ kiến thức cho học sinh tôi giới thiệu một kĩ năng biến đổi 1 trong hai

pt về tích Tức là, từ một phương trình trong hệ sử dụng hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử… đưa phương trình về dạng tích từ đó tìm được mối

liên hệ gữa x và y thuận lợi hơn cho việc giải hệ.

Đề thi đại học khối D năm 2008

Phân tích: Hệ phương trình này không thể rút thế và việc biến đổi để dặt ẩn phụ

gặp phải khó khăn, song nếu quan sát kĩ ta thấy nếu tách 2y2  y2  y2 và gép các cặp với nhau thì pt(1) đưa được về tích

0

x

x y y

Phân tích: Nhận thấy pt thứ nhất trong hệ có 2 vế đối xứng, do đó pt này có thể

1 5 2

này hệ vô nghiệm

Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm: 1; 1 5; 1 5

3.HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

Trong các năm học vừa qua tôi vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này giảng dạy

cho lớp 10A3, 10A4 , với thời lượng 3 buổi bằng 9 tiết học và thu được kết quả sau :

Minh chứng

1.Trước khi áp dụng sáng kiến: Vì các em học sinh của lớp phần lớn là học

sinh giỏi ở THCS nên các em đã được bồi dưỡng khá nhiều phần hệ phương

trình, nên sau khi dạy xong bài “Một số hệ phương trình bậc hai hai ẩn” tôi

tiến hành cho các em làm 1 bài kiểm tra năng lực 45 phút, kết quả thu được:Lớp Sĩ

các em có điểm TB và yếu giảm mạnh , không còn điểm kém Với lớp 10A4 đã

có những điểm giỏi, điểm khá tung bình tăng, yếu kém giảm rõ rệt

Sau khi được bồi dưỡng phần này, với việc xác định hệ pt là một mảng lớn, khó

và quan trọng nên tôi đã biên soạn thêm khá nhiều bài tập và yêu cầu các em về

ôn tập, giải chi tiết, do thời lượng bài viết nên tôi chỉ đề cập đến một số bài tập

- Một số em có lực học khá giỏi không những đã nắm được kĩ năng, các em còn

có thể tổng quát hóa một số bài toán gốc, bài toán tổng quát Một số em có lực học yếu hơn cũng có thể giải được các bài đơn giải

- Khi được giáo viên thổi hồn vào bài toán, thách thức sự tìm tòi, tư duy sáng tạotrong cách giải thì tinh thần học tập, khí thế học tập được nâng lên rất nhiều Có nhiều bài các em đã giải được theo nhiều cách khác nhau, đó là một minh chứng lớn cho sự phát triển tư duy sáng tạo cho người học trong sáng kiến của tôi, đó

là một yêu cầu lớn trong việc học bộ môn toán

Mặc dù đã có sự đầu tư và thu được những thành công khá lớn song vì điềukiện thời gian còn hạn chế nên sự phân loại có thể chưa được triệt để và chỉmang tính chất tương đối, rất mong được các bạn bè đồng nghiệp góp ý kiếnchỉnh sửa để đề tài này được hoàn thiện hơn

Kiến nghị và đề suất với trường THPT Hậu Lộc 1,với Sở GD & ĐTThanhHóa về những sáng kiến kinh nghiệm được xếp loại từ cấp trường trở lên cầnđược nhân rộng trên toàn tỉnh, toàn trường để những kinh nghiệm quý báu đó,những tâm huyết bao năm của giáo viên được đi áp dụng thực tế giảng dạy,nâng cao giá trị của một sáng kiến kinh nghiệm cấp tỉnh, cấp trường.Từ đó nângcao chất lượng giảng dạy nói chung và chất lượng bộ môn toán nói riêng

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Xác nhận của thủ trưởng đơn vị Thanh hóa, ngày 16 tháng 5 năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Nguyễn Văn Trình

TÀI LIỆU THAM KHẢO

- SGK 10 Nâng cao, nhà xuất bản giáo dục, XB 2006

- Sách BT Đại số 10 nâng cao, nhà xuất bản giáo dục, XB 2006

- INTERNET, Tuyển tập 30 năm tạp chí THTT

- Các chuyên đề ôn thi đại học của ĐẶNG THÀNH NAM