Phát huy năng lực tự học môn toán cho học sinh thông qua nghiên cứu các bài toán lãi suất ngân hàng 2

Chính vì vậy trong những năm qua, trường THPT Như Thanh rất coi trọng việc bồi dưỡng nâng cao năng lực nghiên cứu và hướng dẫn, tập dượt nghiên cứu khoa học cho đội ngũ giáo viên của nhà

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1 Lý do chọn đề tài

Nghiên cứu và hướng dẫn học sinh tự học là những nhiệm vụ trọng tâm của mỗi giáo viên Chính vì vậy trong những năm qua, trường THPT Như Thanh rất coi trọng việc bồi dưỡng nâng cao năng lực nghiên cứu và hướng dẫn, tập dượt nghiên cứu khoa học cho đội ngũ giáo viên của nhà trường thông qua nhiều hình thức như: Đổi mới sinh hoạt tổ, nhóm chuyên môn; phát động phong trào viết chuyên đề; sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy; nghiên cứu các đề tài khoa học sư phạm ứng dụng; tổ chức ngoại khoá

Đổi mới PPDH phải gắn liền với đổi mới hình thức tổ chức dạy học Hình thức tổ chức dạy học phù hợp sẽ cuốn hút HS tham gia vào nội dung bài học, từ đó

HS có thể phát huy được tính tích cực, chủ động trong quá trình học, tạo điều kiện cho việc tiếp thu kiến thức có hiệu quả hơn

Hình thức tổ chức dạy học phù hợp không chỉ tạo điều kiện cho GV và HS giao lưu, tranh luận với nhau mà còn tạo ra sự tranh luận giữa HS với HS, giữa các nhóm HS với nhau để từ đó đạt được mục đích về kiến thức một cách tự nhiên hơn

Môn toán là môn khoa học cơ bản, và có vai trò quan trọng trong sự phát triển

tư duy, kỹ năng, tính sáng tạo của HS, do đó vấn đề cốt lõi của đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT là: hướng dẫn HS học tập tích cực, chủ động, phát huy tính sáng tạo, rèn luyện kỹ năng giải toán, phát triển tư duy toán học Để làm được điều này đòi hỏi mối GV trước hết phải có trình độ chuyên môn vững vàng, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực, chủ động, lấy học sinh làm trung tâm trong quá trình dạy học

Trong chương trình toán THPT, các bài toán liên hệ với thực tế đóng một vai trò rất quan trọng đối với học sinh, không chỉ ở khía cạnh thi cử, mà còn giúp các

em tạo nền móng về kiến thức cho những cấp học cao hơn, và năng động hơn trong công việc, cuộc sống sau này “Lãi suất ngân hàng” là một chủ đề mà hầu như ai cũng đã được nghe, được tham gia tuy nhiên bài toán lãi suất ngân hàng thì không phải ai cũng đã được nghiên cứu, thậm chí là giáo viên

Với những lý do trên, tôi đã chọn đề tài “Phát huy năng lực tự học môn toán cho học sinh thông qua nghiên cứu các bài toán lãi suất ngân hàng”.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Rèn luyện tư duy sáng tạo, năng lực tự học- tự nghiên cứu trong dạy- học toán

- Rèn luyện kỹ năng giải, và xây dựng các bài toán lãi suất ngân hàng

1.3 Phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu tài liệu

1.4 Phạm vi nghiên cứu của đề tài.

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về phương pháp dạy học tự học- tự nghiên cứu

- Nghiên cứu các bài toán tổng quát về lãi suất ngân hàng, các bài toán thực tế

1.5 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu.

- Áp dụng phương pháp dạy học tự học- tự nghiên cứu thông qua nghiên cứu các bài toán thực tiễn

- Nghiên cứu các bài toán tổng quát về lãi suất ngân hàng, các bài toán lãi đơn, lãi kép , từ đó làm cơ sở cho việc hướng dẫn HS tự học- tự nghiên cứu

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận

2.1.1 Khái niệm PPDH hướng dẫn HS tự học tự nghiên cứu

Tự học là một hình thức hoạt động nhận thức của cá nhân nhằm nắm vững hệ thống tri thức và kỹ năng do chính bản thân người học tiến hành ở trên lớp hoặc ở ngoài lớp

Có hai hình thức tự học:

- Tự học có hướng dẫn (GV hướng dẫn ở trên lớp hoặc là hướng dẫn các hoạt động ngoại khoá)

- Tự học không có sự hướng dẫn của GV (HS tự học với sách, tự mình xây dựng

kế hoặch học tập)

- Đối với học sinh phổ thông, tập dượt nghiên cứu khoa học thông qua bài tập nghiên cứu Đó là những bài làm, những công trình nghiên cứu mang tính chất thực hành sau một bài học hoặc một chương học, nhằm đào sâu, mở rộng tri thức, hoặc làm căn cứ bước đầu để học một chủ đề nào đó để làm phong phú thêm bài giảng bằng những tài liệu trong sách báo hay trong thực tế điều tra, tiến hành thử nghiệm Bài tập nghiên cứu này do GV nêu ra và HS tiến hành tự học, tự nghiên cứu dưới hướng dẫn của GV

2.1.2 Các bước thực hiện dạy học tự học- tự nghiên cứu

Trên cơ sở về khái niệm PPDH tự học, tự nghiên cứu ta có thể đưa ra các bước

cơ bản sau để thực hiên việc dạy học tự học, tự nghiên cứu:

- Xác định vấn đề cần nghiên cứu

- GV hướng dẫn học sinh thực hiện nhiệm vụ

- Học sinh thực hiện nhiệm vụ và báo cáo kết quả.

- Đánh giá

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Trong giảng dạy lâu nay tại trường THPT Như Thanh đa số GV tổ toán đã thực hiện rất tốt công tác chuyên môn như: Đổi mới sinh hoạt tổ, nhóm chuyên môn; phát động phong trào viết chuyên đề, đề tài ngiên cứu khoa học Tuy nhiên

chuyên đề “ Hướng dẫn Học sinh tự học- tự nghiên cứu” còn chưa được quan tâm

một cách đúng mức Trong dạy học phần các bài toán thực tế, trong đó có bài toán lãi suất ngân hàng là phần khó và phức tạp, cần nhiều kỹ năng trong việc xây dựng các bài toán đó, do vậy đa số GV còn chưa nghiên cứu sâu và kỹ phần này

Đối với HS chỉ có một số ít có ý thức tự học, phần còn lại học tập thụ động, không sáng tạo, dựa chủ yếu vào thầy-cô giáo Đa số HS còn chưa có ý thức đúng đắn về tầm quan trọng của việc nghiên cứu toán học Trong học toán phần lớn HS còn rất yếu về phần toán ứng dụng nói chung và bài toán lãi suất ngân hàng nói riêng, các hoạt động của HS ở phần này chủ yếu là giải các bài tập có sẵn trong SGK, mà chưa tìm tòi thêm các bài toán ứng dụng khác Đó là những điều hạn chế trong cách học của HS tại trường THPT Như Thanh nói riêng và tại các trường THPT nói chung Để một phần khắc phục điều này tác giả mạnh dạn áp dụng phương pháp dạy học tự học- tự nghiên cứu vào một số đối tượng HS khá, giỏi tại trường

2.3 Giải quyết vấn đề

Để hướng dẫn HS tự học- tự nghiên cứu có hiệu quả tác giả sẽ trình bày hai

nội dung trong phần này Phần thứ nhất nghiên cứu một số các bài toán tổng quát

về lãi suất ngân hàng, các bài toán được xây dựng logic, chứng minh chặt chẽ dựa trên cơ sở kiến thức về toán học cấp THPT mà học sinh đã được học, như cấp số cộng, cấp số nhân, phương pháp quy nạp toán học và các ví dụ áp dụng

các bài toán tổng quát đó

Phần nội dung thứ hai là kế hoạch hướng dẫn học sinh tự học tự nghiên cứu chủ

đề các bài toán về lãi suất ngân hàng.

Phần1: Nghiên cứu xây dựng một số bài toán cơ bản về lãi suất ngân hàng

Bài toán1: Bài toán lãi đơn

Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra

Các ký hiệu

T : số tiền cả gốc lẫn lãi sau n kỳ hạn

M : số tiền gửi ban đầu

n: số kỳ hạn tính lãi

r: lãi suất định kỳ, tính theo %

Trước hết ta dự đoán công thức tổng quát

Sau kỳ hạn thứ nhất, ta có số tiền: T1 M Mr

Sau kỳ hạn thứ hai, ta có số tiền: T2 M Mr Mr M   (1 2 )  r

Sau kỳ hạn thứn, ta có số tiền: T n M(1 rn) (1)

Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp:

Ta dễ thấy (1) đúng khi n 1,n 2 Giả sử (1) đúng đến n k  1,tức là

(1 )

k

T M rk Ta chứng minh (1) đúng đến n k  1, tức là T k1 M 1 k 1r

Thật vậy, ta có T k1 T k Mr M 1 rkMr M 1 rk r  M 1 k 1r

Vậy ta đã chứng minh được công thức

(1 )

n

T M rn (1)

Ví dụ 1: Một người gửi vào ngân hàng số tiền là 500 triệu đồng, với lãi đơn 6%

một năm Hỏi sau 5 năm người đó nhận được cả vốn lần lãi là bao nhiêu?

Hướng dẫn

Nhận xét:

Áp dụng công thức (1) với 8

5.10 , 0,06, 5

Ta có số tiền lãi là T  5 5 10 1 5 0,068     650.106

Vậy A đã nhận được số tiềnà 650 triệu đồng

Ví dụ 2: Bà A mang 350 triệu gửi vào ngân hàng loại kỳ hạn 3 tháng với lãi suất

6% một năm, sau mỗi kỳ hạn Bà đều ra ngân hàng rút tiền lãi Hỏi Bà cần phải gửi tối thiểu bao nhiêu tháng để được số tiền lãi lớn hơn 30 triệu

Hướng dẫn

Kỳ hạn 3 tháng nên mỗi năm có 4 kỳ hạn  lãi suất mỗi kỳ hạn là 0,6 0,15

4

Kỳ thứ nhất Bà rút được số tiền lài là 350.0,15 5, 25  triệu đồng Vậy 6 lần rút Bà

sẽ có số tiền lãi là 31,5 triệu Bà phải rút tối thiểu 6 lần, tương ứng với 24 tháng

để được số tiền lãi lớn hơn 30 triệu

Bài toán 2: Bài toán lãi kép, gửi một lần

Các ký hiệu

n

T : số tiền cả gốc lẫn lãi sau n kỳ hạn

M : số tiền gửi ban đầu

n: số kỳ hạn tính lãi

r: lãi suất định kỳ, tính theo %

Dự đoán công thức tổng quát

Sau kỳ hạn thứ nhất, ta có số tiền: T1 M Mr M  1 r

Sau kỳ hạn thứ hai, ta có số tiền: T2 M(1 r) M1 r r M  1 r2

Sau kỳ hạn thứn, ta có số tiền: (1 )n

n

Ta chứng minh (2) bằng phương pháp quy nạp:

Ta dễ thấy (2) đúng khi n 1,n 2 Ta giả sử (2) đúng đến n k  1, tức là

(1 )k

k

T M r Ta chứng minh (2) đúng đến n k  1, tức là T k 1 M1 rk1

   Thật vậy, ta có T k 1 T k rT k M1 rk M1 rk.r M1 rk1

Vậy ta chứng minh được công thức

(1 )n n

T M r (2)

Ví dụ 3: Chị C gửi tiết kiệm 500 triệu đồng với lãi suất 0,48% năm, biết rằng cứ

sau mỗi tháng thì lãi sẽ được cộng dồn vào vốn gốc Hỏi sau 2 năm chị rút cả lãi,

lẫn gốc thì số tiền chị rút được là bao nhiêu?

Hướng dẫn

Nhận xét: Cứ sau một tháng ( tức một kỳ hạn ), tiền lãi lại được cộng dồn vào gốc, vậy chị C đã gửi ngân hàng theo hình thức lãi kép và gửi một lần, tiền lãi nhận

một lần cuối kỳ hạn.

Do lãi suất 0,46% năm nên lãi suất mỗi kỳ hạn là 0, 48 0,04

12

Áp dụng công thức (2) với M  5.10 , 8 r  0,04,n 24

Ta có số tiền A rút là T  5 10 1 0,04 8  24  550.274.150, 2

Ví dụ 4: Anh A đem gửi ngân hàng với lài suất 8% năm Biết rằng cứ sau mỗi quý

thì lãi sẽ được cộng dồn vào vốn gốc Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm thì anh nhận lại được số tiền (bao gồm cả gốc lẫn lãi) gấp đôi số tiền ban đầu

Hướng dẫn

Nhận xét: Cứ sau một quý ( tức ba tháng ), tiền lãi lại được cộng dồn vào gốc, vậy anh A đã gửi ngân hàng theo hình thức lãi kép, ở bài toán này ta phải tìm n.

Do một năm có 12 tháng nên lãi suất mỗi kỳ hạn là 0,08 0,02

4

Áp dụng công thức (2), ta có T M1 0,02  n

Để A nhận được số tiền gấp đôi số tiền gốc ban đầu tức là

2 2 1 0,02 n 1,02n 2

T  M      Từ đó ta tìm được n 36 Vậy sau tối thiểu 9 năm thì A nhận được lại số tiền gấp đôi ban đầu

Để tìm n trong phương trình 1,02n 2

 , ta có hai cách

- Đối với HS lớp 11 ta sử dụng MTCT để dò nghiệm, từ đó suy ra n=36

- Đối với HS 12 ta viết nghiệm dưới dạng logarit ( n log 1,02 2 35,00278878  )

Ví dụ 5: Một người dân đi gửi tiết kiệm với lãi suất 0,6% tháng Biết rằng nếu

không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng thì số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu Hỏi sau một năm người đó nhận được số tiền 500 triệu thì họ phải gửi vào ngân hàng bao nhiêu tiền?

Hướng dẫn

Nhận xét: Đây cũng là bài toán lãi kép, với kỳ hạn một tháng và ta phải tìm số tiền gốc phải gửi.

Ta có r 0,006,T  500.10 , 6 n 12

Áp dụng công thức (2), ta có

8 12

6

12

5 10

1,006

Vậy A phải gửi số tiền gốc là 465.365.556 đồng

Ví dụ 6: Một Bác nông dân gửi tiết kiệm 100 triệu đồng loại kỳ hạn 3 tháng Biết

rằng sau mỗi kỳ hạn tiền lãi được cộng dồn vào tiền gốc Hỏi Bác phải chọn ngân hàng có lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trên năm, để sau hai năm Bác nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là 120 triệu đồng

Hướng dẫn

Nhận xét: Đây cũng là bài toán lãi kép, với kỳ hạn 3 tháng, ta phải tìm lãi suất

tiền gửi

Trên thực tế thì lãi suất ngân hàng (cả cho vay, và gửi tiết kiệm) được ngân hàng nhà nước quy định chung, tuy nhiên các ngân hàng vẫn có những quy định riêng

về lãi suất với biên độ cho phép Vậy trên thực tế Bác nông dân hoàn toàn có thể chọn một ngân hàng phù hợp với yêu cầu của mình.

Ta có Ta có T  130 10 ,  6 M  100 10 ,  6 n 3

Áp dụng công thức (2), ta có

130 10   100 10 1  r  1 r  1,3  r 1,3 1 0,09  

Vậy A phải chọn ngân hàng có lãi suất tiên gửi khoảng 9% năm

Bài toán 3: Bài toán lãi kép, gửi định kỳ

a Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng

Các ký hiệu

n

T : số tiền cả gốc lẫn lãi sau n kỳ hạn

M : số tiền gửi ban đầu

n: số kỳ hạn tính lãi

r: lãi suất định kỳ, tính theo %

Dự đoán công thức tổng quát

Cuối kỳ thứ nhất, ta có số tiền: T1 M( lúc đó ta bắt đầu gửi)

Cuối kỳ thứ hai, ta có số tiền:

 

Cuối kỳ thứ hai, ta có số tiền:

Sau kỳ hạn thứn, ta có số tiền: T n M 1 rn 1

Tương tự như trên ta cũng chứng minh được (3) bằng phương pháp quy nạp vậy ta có:

1 n 1

n

M

  (3)

b Tiền được gửi vào đầu mỗi tháng

Dự đoán công thức tổng quát

Cuối tháng thứ nhất, ta có số tiền: T1 M Mr

Đầu tháng thứ hai, ta có số tiền:

 

Cuối tháng thứ hai, ta có số tiền:

Cuối kỳ hạn thứn 1, ta có số tiền: T n M 1 rn 1 1 r

Tương tự như các bài toán trên ta chứng minh được công thức bằng phương pháp quy nạp vậy:

1 n 1 1 

n

M

Ví dụ 7: Tiền lương của một công chức mỗi tháng là 4 triệu đồng, và được gửi vào

ngân hàng vào cuối mối tháng, với lãi suất 1,2% trên một tháng, sau 24 tháng

người đó rút toàn bộ số tiền đó (cả gốc lẫn lãi) Hỏi họ rút được tổng cộng bao

nhiêu tiền?

Hướng dẫn

Ta có M   4 10 , 6 n 24, r 0,012

Do tiền được gửi vào cuối tháng nên áp dụng công thức (3), ta có

6

24

1 0,012 1

0,012

Vậy sau 24 tháng công chức đó nhận được số tiền là 110.490.934 đồng

Ví dụ 8: Đầu mỗi tháng anh Nam gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi kép 1%

tháng Hỏi sau 2 năm anh có bao nhiêu tiền?

Hướng dẫn

Ta có M  10 10 ,  6 n 24,r  0,01

24 6

24

1 0,01 1

0,01

Vậy anh Nam nhận được số tiền là 272.431.995 đồng

Ví dụ 9: Đầu mỗi tháng thầy An gửi gửi vào ngân hàng 8 triệu đồng, với lãi kép

0,8%/tháng Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thầy An có số tiền cả gốc lẫn lãi từ

500 triệu đồng trở lên?

Hướng dẫn

8 10 , 0,008, 5 10

Áp dụng công thức (4), ta có

1,008

n

n

Vậy thầy An phải gửi tối thiểu 51 tháng để có số tiền 500 triệu đồng

Bài toán 4: Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng

Các ký hiệu

n

T : số tiền còn lại sau n kỳ hạn

M : số tiền gửi ban đầu

X : số tiền rút ra sau mỗi kỳ

n: số kỳ hạn tính lãi

r: lãi suất định kỳ, tính theo %

Từ bài toán lãi kép gửi một lần và bài toán lãi kép gửi định kỳ ta dễ suy ra công thức:

(1 )n 1 n 1

n

X

Ví dụ 10: Chị Hoa gửi ngân hàng 2 tỷ đồng với lãi suất 0,7% tháng Mỗi tháng

vào ngày ngân hàng tính lãi, chị Hoa đến ngân hàng rút 15 triệu đồng để tiêu Hỏi sau 2 năm số tiền còn lại của chị trong ngân hàng là bao nhiêu?

Hướng dẫn

Áp dụng (5) với M  2.10 , 9 X  15.10 , 6 n 24, r 0,007 Ta có số tiền còn lại

24 24

24

1 0,007 1

0,007

Vậy sau hai năm chị Hoa còn số tiền là 1.973.965.075 đồng

Ví dụ 11: Anh A vay trả góp mua oto số tiền 300 triệu đồng với lãi suất 0,8%

tháng, mỗi tháng trả 10 triệu Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh trả hết nợ?

Hướng dẫn

Nhận xét:Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toán gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng

3.10 , 10 , 0,008

Để trả hết nợ thì

1,008

n

n

Vậy anh A phải trả trong vòng 48 tháng (4 năm) thì hết nợ

Ví dụ 12: Anh Tùng mua một ngôi nhà và sau khi trả trước 800 triệu đồng anh còn

nợ lại 300 triệu, và anh chọn cách trả góp hàng tháng Nếu anh Tùng muốn trả hết

nợ trong vòng 5 năm, với lãi suất 6% năm, thì mỗi tháng anh phải trả bao nhiêu

tiền?

Hướng dẫn

12

60 60

0,005

Vậy mỗi tháng anh Tùng phải trả ngân hàng số tiền là 5.799.840 đồng

Bài toán 5: Bài toán tăng lương

Các ký hiệu

S: tổng số tiền lương được nhận

M : số tiền lương khởi điểm

n: số kỳ hạn tăng lương

k: số tháng hưởng lương trong một kỳ hạn

r: phần trăm tăng lương

Dự đoán công thức tổng quát

Khi chưa tăng lương, số tiền nhận được là T1 M k

Sau đợt tăng lương thứ nhất, số tiền nhận được là T2 M k  1 r

Sau đợt tăng lương thứ hai, số tiền nhận được là T3 M k  1 r2

Sau đợt tăng lương cuối cùng, số tiền nhận được là T n M k 1 rn1

Vậy tổng số tiền nhận được sau n k tháng là

1 2

n n

r

r

Tương tự như trên ta cũng chứng minh được công thức bằng phương pháp quy nạp vậy ta có:

1 n 1

kn

r

r