Phân tích các tính chất hình học để giải các bài toán về hình chữ nhật và hình vuông trong hệ oxy

Xuất phát từ những thực tế trên nên trong quá trình dạy lý thuyết cho học sinhtôi đã dùng các ví dụ cụ thể, các mô hình thực tế để học sinh tiếp cận dần dần.Ngoài ra phải bổ trợ các kiến

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Hình học phẳng rất đa dạng và phong phú, nhất là đối với học sinh lớp 9 các

em đã làm quen với rất nhiều tính chất hình học và các loại hình cơ bản như:tam giác, tứ giác, đường tròn, nhưng giải quyết các bài toán đó chỉ ở mức độhình học thuần túy Khi các em được tiếp cận với hình học giải tích thì các bàitoán giải đa dạng và gần gũi hơn, tác động tốt đến tư duy của người học hơn,làm cho người học phát triển được tư duy sáng tạo, tìm tòi và dựa trên cái cũ màphát triển các điều mới đa dạng, sâu rộng và khoa học hơn

Đối với học sinh phổ thông hiện nay các bài toán về tìm tọa độ điểm hay viếtphương trình các đường trong hệ tọa độ oxy đang phổ biển và đa dạng, học sinhtrung bình thì ngại không tiếp cận cho rằng đây là dạng toán khó, đối với họcsinh khá và giỏi thì đam mê giải quyết hơn nhưng đôi khi thiếu định hướng đểbứt phá

Trong những năm gần đây các dạng toán này đều được đưa vào các kỳ thi: thiđại học, thi học sinh giỏi và các yếu tố hình học ngày càng nhiều hơn, phức tạphơn trong khi đó chương trình ở sách giáo khoa chỉ cung cấp kiến thức cơ bản

và các công thức nên đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng, liên hệ những kiếnthức đã học về hình học phẳng để giải quyết Ngoài ra học sinh phải khéo trongquá trình sử dụng các tính chất hình học liên quan với các biểu thức tọa độtương ứng Chính vì vậy học sinh cần phải được bổ trợ kiến thức, tổng hợp dạngtoán cụ thể có thể chuyên sâu một dạng nào đó để rèn kỹ năng và vận dụng cácdạng bài tập liên quan

Xuất phát từ những thực tế trên nên trong quá trình dạy lý thuyết cho học sinhtôi đã dùng các ví dụ cụ thể, các mô hình thực tế để học sinh tiếp cận dần dần.Ngoài ra phải bổ trợ các kiến thức về hình học phẳng đơn thuần, nhưng phải đòihỏi phải có sự kết hợp thật nhuần nhuyễn với biểu thức tọa độ

Với mong muốn giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản hình học phẳng

và khai thác được bằng các biểu thức tọa độ để giải quyết các bài toán về hình

chữ nhật và hình vuông đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiếnthức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau, tôi chọn đề tài:

“ Phân tích các tính chất hình học để giải các bài toán về hình chữ nhật

và hình vuông trong hệ Oxy ”.

Trong đề tài này, tôi trình bày một số bài để các em tham khảo, một số bàihướng dẫn trên lớp và một số bài tập tương tự để các em tự luyện

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Giúp học sinh nắm chắc kiến thức về biểu thức tọa độ, tổng hợp lại các kiến

thức về hình chữ nhật và hình vuông, vận dụng linh hoạt và phát huy tính sángtạo của học sinh, liên hệ và áp dụng được vào các dạng bài tập liên quan

- Hưởng ứng phong trào tự học, tự sáng tạo, nâng cao chuyên môn, học hỏi đồngnghiệp qua đợt viết sáng kiến kinh nghiệm và nghiên cứu khoa học mà nhàtrường và sở phát động

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài hướng tới các đối tượng học sinh khá - giỏi môn toán và học sinh ôn

thi Đại học, nhất là học sinh khối 10 trường THPT Tĩnh Gia 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo,các tài liệu liên quan khác, khai thác trên mạng, các đề thi đại học, các đề thi họcsinh giỏi …

- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT TĩnhGia 2

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy cho học sinh khối 10 sau đókhảo sát các lớp dạy

PHẦN II: NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Xuất phát từ những thực tế trên nên trong quá trình dạy lý thuyết cho họcsinh tôi đã dùng các ví dụ cụ thể, các mô hình thực tế để học sinh tiếp cận dầndần Ngoài ra phải bổ trợ các kiến thức về hình học phẳng đơn thuần, nhưngphải đòi hỏi phải có sự kết hợp thật nhuần nhuyễn với biểu thức tọa độ

Trên thực tế các dạng toán trong hệ oxy rất nhiều và phong phú đòi hỏingười học phải tự chọn cho mình học những dạng nào cho phù hợp, người dạyphải dạy gì cho học sinh, giúp học sinh bổ trợ kiến thức có định hướng, khaithác sâu và chắc chắn

Tôi chọn đề tài này, mong muốn giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơbản hình học phẳng và khai thác được bằng các biểu thức tọa độ để giải quyếtcác bài toán về hình chữ nhật và hình vuông đồng thời biết vận dụng một cáchlinh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Bài toán về hình chữ nhật và hình vuông trong hệ oxy không phải là bàitoán mới nhưng khai thác các tính chất hình học mới là khó nên học sinh lườisuy nghĩ và ngại tư duy, tuy ứng dụng thực tế của nó rất lớn và đó là một trongnhững dạng toán được chọn trong các đề thi, các đợt thi nhưng nhiều học sinhvẫn chưa làm được hoặc làm cũng không làm chọn vẹn Trong quá trình dạyphụ đạo và ôn luyện thi đại học tôi luôn quan tâm đến vấn đề này, dạy cho họcsinh hiểu tường tận lý thuyết, phân tích các tính chất cơ bản của giả thiết hìnhhọc tìm mối liên quan với các biểu thức tọa độ

Qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu cách vậndụng và phân tích, sâu chuỗi vấn đề để đưa ra dạng bài toán liên quan, chưa khaithác triệt để các tích chất của hình chữ nhật, hình vuông để áp dụng sang biểuthức tọa độ Để giải quyết nhanh chóng và ngắn gọn dạng bài toán này các emcần tổng hợp và nắm vững kiến thức về các hình này

2.3 Giải pháp để giải quyết vấn đề

2.3.1 Cơ sở lý thuyết

A VÉCTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN

1 Định nghĩa: Véctơ là một đoạn thẳng có định hướng

● Hai vectơ bằng nhau: có cùng hướng và cùng độ dài

● Hai vectơ đối nhau: ngược hướng và cùng độ dài

2 Các phép toán của vectơ:

;

d Tích vô hướng: a b a b cosa ,b

e Vectơ đồng phẳng:3 vectơ đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song

với một mặt phẳng

a,b,x đồng phẳng  h,kR:x h a k b

f Phân tích một vectơ theo một vectơ không đồng phẳng:

Với a,b,c không đồng phẳng và vectơ e , có duy nhất 3 số thực x 1 , x 2 , x 3 :

c x b x a x

OA OG

GC GB

GA

MB MA

3 1

0 0

Và G là trọng tâm tứ giác, tứ diện ABCD OG  OA OB OC OD

4 1

B HỆ TỌA ĐỘ – TỌA ĐỘ VÉCTƠ – TỌA ĐỘ ĐIỂM

b Tọa độ của vectơ: u  x;y  u x i y j

c Tọa độ của điểm: OM  x;y  Mx;y Trong đó x là hoành độ, y là

● Tích giữa một véctơ với một số thực: k a k a ;k b ,kR

● Tích vô hướng giữa hai véctơ: a b a1b1 a2b2

Hệ quả:  

0

; cos

2 2 1 1

2 2 2 1 2 2 2 1

2 2 1 1

2 2 2 1

b b a a

b a b a b

a

a a a

1 1

b a

b a b

a

● a , b cùng phương

2

2 1

1 :

a

b a

b a k b R

x AB

B A M

y y y

x x x

● Trọng tâm của tam giác (giao các đường trung tuyến) :

G là trọng tâm tam giác ABC :

C B A G

y y y y

x x x x

4 Kiến thức về hình chữ nhật và hình vuông:

Cho Ax A;y A,Bx B;y B,Cx C;y C,Dx D;y D

a Hình chữ nhật (là tứ giác có 3 góc vuông) :

● I là trung điểm của hai đường chéo AC và BD

● Nếu hình bình hành ABCD có một góc bằng 90 0 hay hai đường chéo AC =

BD thì là hình chữ nhật

● SAB.AD 2S ABC  2S ABD  4S ABI

● Luôn có một đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật với tâm là I

● Chú ý đến tính chất đối xứng qua tâm I (Ví dụ như trong hình vẽ nếu biết

tọa độ M và I ta tìm được toa độ N thuộc CD)

b Hình vuông (là tứ giác có hai đường chéo vuông góc và bằng nhau) :

● HV mang đầy đủ các tính chất của hình chữ nhật

● Nếu hình thoi có một góc bằng 90 0 hay hai đường chéo AC và BD bằngnhau thì là Hình vuông

● Nếu hình chữ nhật có hai cạnh bên bằng nhau hay hai đường chéo AC và

BD vuông góc nhau thì là Hình vuông

● Có đến hai đường tròn ẩn mình bên trong hình vuông ABCD )

2 Phương trình tham số của :

at x x

1 1

2 2

1

B

B A

1 2

1

C

C B

B A

1 2

1

C

C B

B A

A



 thì hai đường thẳng trùng nhau

4 Góc giữa hai đường thẳng:  

2 2 2 2 2 1 2 1

2 1 2 1 2

1 , cos

B A B A

B B A A

C By Ax

6 Đường tròn có tâm Ia;b, bán kính R có phương trình :

x a2 x b2 R2

2.3.2 Các dạng bài tập minh họa

A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

- Dựa vào tính chất vuông góc và độ dài các cạnh bằng nhau của hình vuông đểtìm ra độ dài cạnh hình vuông, từ đó tìm ra tọa độ các đỉnh hình vuông cũng nhưphương trình các cạnh

- Vận dụng tính chất song song, vuông góc của đường thẳng

- Các điểm cùng thuộc một đường tròn, điểm đối xứng qua tâm, điểm đối xứngqua đường chéo

- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng kết hợp với góc và diện tích tam giác,

tứ giác

Chú ý:

- Đường cao bằng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và độ dài cạnh đáy

- Diện tích theo công thức sin: S ab C bc A acsinB

2

1 sin 2

1 sin 2

Ta xét hình vuông ABCD có độ dài cạnh a, với giả thiết bài toán cho hai điểmtrên các đường thẳng sinh bởi hình vuông (cạnh, đường chéo) ta hoàn toàn tínhdựa vào mối liên hệ giữa 2 điểm đó và tính được độ dài cạnh hình vuông đã cho.

Từ đó tìm tọa độ các đỉnh hình vuông theo công thức độ dài đoạn thẳng nối 2điểm

+ Tam giác vuông theo Pitago

+ Tam giác thường tính theo định lý hàm số Cosin

Dấu hiệu nhận biết: Khi giả thiết cho các điểm trên cạnh, đường chéo có tỷ lệ độdài

Ta xét ví dụ sau đây:

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có tâm I(0; -3), đỉnh

D(2;-4) Tìm tọa độ đỉnh A biết A có hoành độ âm

Giải

Phân tích tìm lời giải: Với hai điểm có tọa độ cho trước D và I ta xác định

đươc tọa độ điểm B Xác định tọa độ đỉnh A theo hệ phương trình:

ID IA

Lời giải:

Do I là tâm hình vuông nên I là trung điểm của BD Suy ra: B(-2; -2)

Giả sử A(x; y) ta có hệ phương trình:

ID IA

x

l y x x

y

x y

x y

x

y

x

5 1 1 1 3

2

1 4

2 2

2

4 3 2

0

2 2

2 2

2 2

2 2

Vậy A(-1; -5)

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng

16 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC biết điểm M(-1; -1) Đườngthẳng AN có phương trình là : 3x + 5y + 4 = 0 Tìm tọa độ điểm A biết A cóhoành độ âm

Giải

2

2

1 4 4

34

4 5 3 4 2

1

2 4 34

4

16 2 2

b

a b

a ab

x x

AM

17 29

3 8

1 5

3 4 1

0

0 2

0 2

0

2

Vậy điểm A cần tìm là A(-3; 1)

Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 16, phương trình đường thẳng AB: x – y + 3 = 0,điểm I(1; 2) là giao điểm của hai đường chéo Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết A có hoành độ dương

Giải

1 1

2

a

a a

a IA

Suy ra: A(2; 5); B(-2; 1)

Do I là trung điểm của AC, BD nên C(0; -1), D(4; 3)

Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diệntích bằng 30 và điểm M (1;4),N(-4;-1) lần lượt nằm trên hai đường thẳng AB và

AD Phương trình đường chéo AC là 7x + 4y – 13 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C của

hình chữ nhật ABCD biết điểm A có hoành độ âm

Lời giải

I

Gọi , 0

4

7 13

3 7 4



Phương trình đường thẳng AB đi qua A và M: x +2y -9 = 0

Phương trình đường thẳng AD đi qua A và N: 2x - y+7=0

1 30

5

15

0 0

0

x

x x

x x

3

; 1

17

; 3

I Suy ra C 5 ; 12

2 Phương pháp đối xứng qua tâm

Nhắc lại: Cho hình bình hành ABCD có tâm I gọi M là một điểm thuộc đường

thẳng chứa cạnh AB khi đó M’ là điểm đối xứng với M qua I thì M’ thuộcđường thẳng CD

Tức điểm thuộc đường thẳng chứa một cạnh lấy đối xứng điểm đó qua tâm thìđiểm đối xứng thuộc đường thẳng chứa cạnh đối diện

Dấu hiệu nhận biết: Giả thiết bài toán cho tọa độ tâm và tọa độ một điểm trên

cạnh (có thể là tâm hoặc điểm thuộc một đường thẳng cho trước)

Bài 1 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, tâm I(1;1) Đường

thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm M (- 1;2), đường thẳng chứa cạnh CD đi quađiểm N(2;1) Viết phương trình đường thẳng BC

Giải

Gọi E là điểm đối xứng của M qua I ta có:  

E

CD E

Đường thẳng CD đi qua hai điểm E và N nên có phương trình: x + y - 3 = 0

Ta có  

2

1 2

3 1 1

0 1 :

1

1 2

1 2

1 1

, ,

y x BC

y x BC c

c c

d

d I CD I CB

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là BC: x - y + 1 = 0 hoặc BC:

x - y – 1 = 0

Bài 2.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(6;2),

điểm M(11;-1) nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB và trung điểm E của cạnh

CD thuộc đường thẳng x - y – 1 = 0 Viết phương trình đường thẳng AB

Giải

Phân tích tìm lời giải

Giả thiết bài toán gồm tọa độ tâm I(6;2), điểm M(11;-1) nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB Vì vậy ta lấy điểm N đối xứng với M qua I  N  CD

Kết hợp tính chất của hình chữ nhật có: IE CD  IE NE  0

Từ đó dễ tìm được tọa độ điểm E và phương trình đường thẳng AB đi qua M và nhận IE làm véc tơ pháp tuyến.

Lời giải

Gọi N đối xứng với M qua I  N1 ; 5

Giả sự tọa độ điểm Ee; e 1d :x y 1  0

6 1

3 6 0

e

e e

e e

e NE

Nhận xét: Qua 2 ví dụ trên bạn đọc phần nào hiểu rõ được tính chất cơ bản đối

xứng qua tâm do vậy lưu ý quan trọng khi giả thiết liên quan đến tâm hình chữ nhật, hình vuông các bạn lưu ý tính chất này.

B BÀI TẬP HƯỚNG DẪN TRÊN LỚP

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có tọa độ đỉnh

A(1;1) và điểm M(5;3) là trung điểm cạnh BC Tìm tọa độ đỉnh D biết nó cótung độ âm

Phân tích tìm lời giải: Với hai điểm có tọa độ cho trước A và M ta tính được

khoảng cách giữa chúng rồi suy ra độ dài cạnh hình vuông đã cho là a Xác

định tọa độ đỉnh D theo hệ phương trình:

MD MA

Do D có tung độ âm nên 

Phân tích tìm lời giải:

Đặt độ dài cạnh hình chữ nhật ABCD là AB = a, AD = b, (a, b > 0)

Ta có: S ABCD ab 2 2  1

4

2 3 8

S S

S AMN ABCD ADN ABM CMN

2 2

Từ (1) và (2) ta tìm đươc: a 2 ;b 2.Từ đó ta tính được độ dài AM  3.

Gọi Aa; 4  2 2a, với AM  3, Ta tìm được

2

a a

Vậy điểm A tìm được

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng

12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d1 :x y 3  0 và đường thẳng

0 6

:

d Trung điểm một cạnh là giao điểm của (d1) với trục hoành.Xác định tọa độ bốn đỉnh hình chữ nhật

Phân tích tìm lời giải:

- Vì I là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2 nên ta tìm được tọa độ I

- Do vai trò các đỉnh A, B, C, D là như nhau, nên ta giả sử đó là trung điểm M của cạnh AD Ta tìm được tọa độ M

- Khi đó ta tính được AB = 2IM ; Dựa vào diện tích của hình chữ nhật ta tìm được độ dài AD

- Vì M, I cùng thuộc (d1), do vậy AD đi qua điểm M và vuông góc với (d1)

- Từ độ dài MAMDAD2 Ta tìm được tọa độ A và D

- Và suy ra tọa độ B, C (các điểm C, B lần lượt đối xứng với A, D qua I)

Vậy tọa độ bốn điểm cần tìm là: (2;1), (4;1), (7;2),(5;4)

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm 

1

; 2

3

Đường thẳng chứa các cạnh AB, CD lần lượt đi qua các điểm M( - 4; - 1),

N(- 2; - 4) Tìm tọa độ đỉnh B, biết B có hoành độ âm

Phân tích tìm lời giải:

- M1, N1, lần lượt là điểm đối xứng

của M, N qua điểm I , khi đó M1(7;2) và N1(5;5)

- Vì MN1 AB AB: 2x – 3y + 5 = 0

3

5 2

b

B Do IB 2dI,AB  b  1 Suy ra tọa độ B

C BÀI TẬP TỰ LÀM

Bài 1:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh

5 ; 1

D Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm thuộc đường chéo AC sao cho

AC = 4AN Tìm tọa độ điểm C biết phương trình đường thẳng MN là

0 4

3x y  và M có tung độ dương

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện

tích bằng 6, đường chéo AC có phương trình x 2y 9  0 Điểm M0 ; 4nằm trên BC, đường CD đi qua điểm N2 ; 8 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữnhật biết C có tung độ là một số nguyên

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD với điểm

2 ; 2

M là trung điểm của AB, đường thẳng đi qua đỉnh C và trung điểm cạnh

AD có phương trình là 7x y 46  0 Tìm tọa độ A, B,C,D của hình vuôngbiết C có tung độ âm

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật có hai đường chéo

lần lượt có phương trình là d1 : 7xy 4  0 ; d2 :x y 2  0 Viết phươngtrình đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật biết nó đi qua điểm

 3 ; 5