Những định hướng giải toán bằng nhiều cách

Mặc dù hiện nay môn Toán được Bộ Giáo Dục tổ chức thi trắc nghiệm, học sinhkhông có cơ hội thể hiện cách giải đặc sắc của mình nhưng nếu đứng trước mộtbài Toán nói riêng, trước một vấn đ

MỤC LỤC

Nội dung Trang

I MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu ……….………….2

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….……… 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… ……… 3

II NÔI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……… ……… 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ………3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…… 4

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ……… ……… 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ……… ….24

III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ……….……25

3.1 Kết luận ……… … 25

3.2 Kiến nghị ……… …26

Tài liệu tham khảo: ……….28

I MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Giải một bài toán bằng nhiều cách trong “thời buổi này”, “ ở cách thi này” có lẽquá “ xa xỉ” đối với nhiều em học sinh, kể cả những em có học lực Khá – Giỏi Bởi một lý do rất đơn giản là : có tìm được cách giải hay thì khi đi thi cũng có

ai cho thêm điểm vì cách giải hay, cuối cùng cũng chỉ là “ khoanh tròn” một đáp

án Theo tôi những suy nghĩ trên không hề sai, tuy nhiên nó chỉ áp dụng chonhững học sinh học Toán chỉ với mục đích là để “thi” chứ không phải là để “học” để tìm tòi và rèn luyện tư duy sáng tạo, từ đó dẫn đến sự nhàm chán cho họcsinh Chúng ta là những người dạy Toán, chính vì vậy trước hết phải khơi dậyđược niềm vui, niền đam mê học Toán cho học sinh Không cứ phải là giải đượcbài toán khó là hay mà theo tôi cái hay, cái thú vị của bài toán là người làm toánphải biết nhìn bài toán đó dưới nhiều góc độ, phải biết bám vào từng lý do, từngđiều kiện liên quan giả thiết cho để phụ vụ mục đích giải toán của mình, phải

“khám phá” nó rồi mới hiểu được bài toán thì mới khơi dậy niềm đam mê

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Tất nhiên đối với học sinh đi học cuối cùng cũng là để đi thi được kết quả cao,nhưng học với mục đích chỉ để “thi” thì để đạt được kết quả cao là rất khó, mànếu có đạt được thì những học sinh đó cũng chỉ là những “cỗ máy” giải Toán.Điều đó có nghĩa là cần phải hướng cho học sinh một cái “đích” xa hơn và đúngnghĩa hơn cho việc “học”, cho học sinh hiểu học Toán là cả một quá trình tìm tòi,khám phá và rất cần sự “sáng tạo” để phát triển tư duy, còn việc đi thi thì là điềutất yếu sẽ đến, chỉ là sự đánh giá quá trình học hỏi của mình.Thành quả đạt được

sẽ tốt nếu người học nắm vững kiến thức, làm chủ kiến thức

Mặc dù hiện nay môn Toán được Bộ Giáo Dục tổ chức thi trắc nghiệm, học sinhkhông có cơ hội thể hiện cách giải đặc sắc của mình nhưng nếu đứng trước mộtbài Toán nói riêng, trước một vấn đề cần giải quyết nói chung thì nếu các em cónhiều sự lựa chọn thì đó là một lợi thế để các em có cơ hội chiến thắng trongcuộc thi Với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay Một khối lượng bài cần giảiquyết trong 90 phút (50 câu = 50 bài toán khác nhau) thì đó là rất nhiều, đòi hỏicác em không chỉ giải được mà còn phải giải nhanh thì mới xong được điều đóđòi hỏi tính quyết đoán, tính chính xác trong việc xác định phương hướng giảiquyết bài toán: nếu định hướng đúng thì đương nhiên bài toán sẽ được giải quyếtnhanh gọn còn khi định hướng sai thì bài toán không giải quyết được “mất thờigian” ảnh hưởng tâm lí và dẫn đến thất bại!

Mục đích nghiên cứu của đề tài này là dẫn dắt cho học sinh: “Những định hướng trước một bài toán ” để từ đó học sinh có thể tự mình phát hiện thêm

nhiều lời giải cho bài toán Để các em thấy được mặt tích cực của việc học Toán

là phát triển được tư duy, yêu thích môn học này từ cái hay của nó chứ khôngphải chỉ là mục đích “thi” Đó là lí do tôi chọn nghiên cứu đề tài này

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Dưới đây với nội dung có hạn, tôi xin được đề cập đến một phần nhỏ của Toán

học đó là phần Hình học giải tích được giảng dạy ở cuối chương trình hình học

lớp 12 và cũng là nội dung quan trọng không thể thiếu trong đề thi THPT QuốcGia với mục đích cùng với đồng nghiệp, cùng học sinh chia sẻ những kinhnghiệm và tiếp thu những ý kiến góp ý để việc giảng dạy của bản thân có kết quảtốt hơn! Giúp học sinh hiểu , yêu Toán và có kết quả cao trong các kì thi quyếtđịnh của các em!

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trong đề tài này, tôi chọn phương pháp nghiện cứu xây dựng cơ sở lý thuyết Từcác bài toán cụ thể, căn cứ vào yêu cầu của bài toán kết hợp với điều kiện mà từ

đó định hình cho học sinh phương hướng giải quyết bài toán trước mắt từ dễ đếnkhó Hình thành cho học sinh một “phản xạ” có điều kiện phát hiện được nhanh

và chính xác ít nhất một hướng giải quyết bài toán.

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Đối với hình học nói chung và với hình học tọa độ trong không gian nói riêng,

các đối tượng cơ bản mà học sinh cần phải xác định đó là Điểm – Đường thẳng – Mặt phẳng và Mặt cầu.

Trong các dạng toán, chủ yếu học sinh phải làm là dựa vào giả thiết để: Xácđịnh điểm, viết phương trình đường thẳng,viết phương trình mặt phẳng, viếtphương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước Và khó hơn một chút nữa làcác bài toán thể hiện mối quan hệ giữa các đối tượng hình học trên với nhau

Để làm được các bài toán đó, theo tôi học sinh khi bắt đầu giải một bài toán thìcần phải nắm được các nguyên tắc cơ bản sau:

- Phải biết đề bài cho những gì, phân tích cụ thể từng điều kiện đề cho

- Phải xác định rõ yêu cầu đề bài

- Tìm mối liên hệ giữa các đại lượng đã có và đại lượng cần tìm

(Học sinh có thể phải suy luận một bài toán ngược)

Từ đó định hướng cách giải bài toán một cách chính xác

Khi thực hiện được diều đó, học sinh có thể :

1) Giải quyết nhanh một vấn đề đặt ra

2) Có thể tìm ra được nhiều cách giải cho một bài toán

Trong chương trình Sách giáo khoa THPT, khối lượng kiến thức của phần hìnhhọc này thì không nhiều và được trình bày một cách độc lập với nhau Tuy nhiênmức độ khó của phần hình học này cũng không kém gì so với phần hình học tổnghợp, vì vậy cũng đòi hỏi học sinh biết kết hợp cả kiến thức hình học không giantổng hợp để giải

Ví dụ: Trong hình học không gian tổng hợp, có các cách xác định mặt phẳng:

1) Ba điểm không thẳng hàng

2) Một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng

3) Hai đường thẳng cắt nhau

4) Hai đường thẳng song song

5) Một điểm và một phương vuông góc

Thì tương ứng trong hình học tọa độ, học sinh cũng phải viết phương trình mặtphẳng trong các trường hợp như vậy

Và vấn đề đặt ra ở đây là làm như thế nào để học sinh có thể định hướng chính xác cách giải quyết bài toán một cách nhanh nhất và lời giải gọn nhất Vấn đề đó tôi xin được trình bày trong phần nội dung của đề tài này

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Trước khi SKKN được áp dụng, tôi thấy đa số các em học sinh khi giải một bài

toán thì theo kiểu “ tù mù” không định hướng rõ được cách giải của mình, thậmchí có em giải xong bài toán rồi, khi được hỏi tại sao lại giải quyết bài toán theohướng đó thì cũng chẳng biết lý do vì sao, đơn giản chỉ là “cảm thấy” giải nhưvậy rồi thử và may mắn giải được

Và như vậy học sinh sẽ đánh mất phương hướng, mất nhiều thời gian cho mộthướng giải quyết mù mịt (không biết có ra hay không) dẫn đến mất niền tin vàkhả năng của mình và từ đó cảm thấy không còn hứng thú trong việc học Toán

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Trên cơ sở kiến thức cơ bản về hình học giải tích đã được trình bày trong sách

giáo khoa Hình học 12 Kiến thức cơ bản về hình học không gian lớp 11 Tôi đã

chia thành các dạng toán cơ bản sau và trên cơ sở đó để thực hiện mục đích của

mình đó là hình thành cho học sinh tính định hướng.

Yêu cầu học sinh phân tích kỹ đề bài, phải xác định được lí do đề bài áp đặt điềukiện của bài toán để làm gì, để giải quyết yêu cầu đề bài thì cần phải từng bướcthực hiện các yêu cầu “phụ” liên quan nào và từ đó hình thành cho mình các giảimột bài toán

Trước hết tôi phân chia thành một số dạng cơ bản sau:

Dạng 1 Xác định tọa độ điểm

Kiến thức cơ bản: Ở dạng này học sinh cần lưu ý đó là cách cấu tạo điểm:

1) Với một điểm cho trước, tồn tại duy nhất một điểm thứ hai để có một vectơbằng một vectơ cho trước

2) Hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một điểm

3) Đường thẳng cắt mặt phẳng xác địng duy nhất một điểm

Cho ABCDA B C D là hình hộp: các cạnh bên 1 1 1 1

song song và bằng nhau, hai đáy là hai hình

bình hành bằng nhau, các đường chéo cắt nhau

tại trung điểm của mỗi đường.

-Yêu cầu đề bài :Xác định tọa độ điểm

Định hướng: Từ đó ta có hai định hướng sau:

1 Các cặp cạnh song song và bằng nhau suy

ra có các vectơ bằng nhau

2 Công thức trung điểm

Như vậy với hai hướng trên, ta có thể giải bài toán này bằng hai cách.

Tương tự:

D Cuuuur uuur1 1 = AB⇒D1(3;4; 6− ), uuuur uuurAC1 1 =AC⇒ A1(3;5; 6− ) ,

uuuur uuurA B1 1 = AB⇒B1(4;6; 5− )

Cách 2 Gọi I là giao điểm của các đường chéo hình hộp, suy ra:

+) I là trung điểm của AC nên: 1 5 5; ; 2

+) Tương tự I là trung điểm của DB , suy ra: 1 B1(4;6; 5− )

Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra O là trung điểm của BD, suy ra:

+) O là trung điểm của AC, suy ra: C(2;0;2) .

+) I là trung điểm của CA , suy ra: 1 A1(3;5; 6− )

Bài 2(SBT hình học12 nâng cao/tr 119 )

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0) , B(0;0;1), C(2;1;1) Xác

định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Sai lầm:

Cũng như đã nói ở trên khi gặp bài toán này, hầu

hết các em học sinh đều khẳng định là mình giải

được với điều kiện:

( ) ( ) ( )

1 2 3

Tuy nhiên các em đã không thể làm được, bởi hệ trên chỉ cho ta hai phương

trình, nếu để ý thì dễ dàng thấy (3) là hệ quả của (1) và (2).

Với hệ đó, học sinh tìm được vô số điểm cách đều ba đỉnh A, B, C Tập hợp các điểm đó là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

I

C B

A

Theo tính chất của hình học phẳng, thì tâm I là giao của ba đường trung trực,

còn trong hình học không gian thì nó nằm trên các mặt phẳng trung trực của các

cạnh và nằm trên mặt phẳng (ABC).

Từ hai định hướng trên, ta có thể giải bài toán bằng hai cách sau:

Cách 1: Gọi I x y z là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó:( ; ; )

Ta có: uuurAB(−1;0;1 ,) uuurAC(1;1;1) ⇒uuur uuurAB AC; = −( 1;2; 1− ) , uurAI x( −1; ;y z)

Vậy hệ (*) tương đương với:

nhận uuurAB(−1;0;1) làm vectơ pháp tuyến có phương trình: x z− =0 (1)

Mặt phẳng trung trực của đoạn AC đi qua 3 1 1; ;

Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến:

Tương tự như vậy, cũng từ một bài toán quen thuộc trong hình học phẳng:

Cho đường thẳng d và hai điểm A, B.

1)Tìm trên d điểm M sao cho MA MB+ nhỏ nhất

2) Tìm trên d điểm N sao cho NA NB− lớn nhất

Với bài toán đó trong không gian, thì lại hoàn toàn khác, ta xét bài toán sau:

Cũng như trong hình học phẳng, rất nhiều em học sinh đã làm như sau:

+) Lấy A đối xứng với 1 A qua d.

+) Điểm M là giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng BA1

Tuy nhiên khi các em bắt tay vào giải một cách cụ thể thì lại không có điểm M?

Với cách làm trên rõ ràng không có điểm M thỏa mãn vì hai đường thẳng d và

1

BA chéo nhau Vậy có hay không điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán!

Định hướng giải:

Đề bài cho hai điểm không thuộc đường

thẳng, vậy đường thẳng d và điểm B xác

định cho ta một mặt phẳng ( )α Trên mặt

phẳng ( )α luôn tồn tại điểm A sao cho2

với mọi điểm M thuộc d thì MA2 =MA,hay

B

α

Và như vậy, bài toán chuyển sang tìm điểm A Tìm được điểm 2 A thì coi như2giải quyết xong vì lúc này bài toán trong không gian đã trở thành bài toán trongmặt phẳng.

Từ đó ta có thể giải bài toán trên theo cách sau:

1) Viết phương trình mặt phẳng ( )α đi qua B và chứa d.

2)Xác định điểm A trên mặt phẳng 2 ( )α sao choA và B nằm khác phía so với d.2

3) Điểm M là giao điểm của d và A B 2

Nhân xét: trong cách giải trên, ta cũng có thể tìm điểm A theo hai cách sau:2

Cách 1:

+) Viết phương trình mặt phẳng ( )β đi qua A và vuông góc với d.

+) Điểm A nằm trên 2 ∆ =( ) ( )α ∩ β đồng thời d A d( 2; ) =d A d( ; )

+) Ta tìm được hai điểm A như vậy, tuy nhiên cần lưu ý điểm M phải nằm2giữa A và B 2

Cách 2:

+)Xác định hình chiếu A B lần lượt của A và B trên đường thẳng d.1, 1

+)Điểm A cần tìm thỏa mãn: 2 uuuur uuurA A1 2 =BB1

Mặt phẳng ( )α chứa d và đi qua B có VTPT (véctơ pháp tuyến)

Đặt x t= ta có phương trình tham số của ∆: 9 2

Suy ra:uuuurA N2 (−t t;2 −9;t) ⇒u A Nuur uuuurd; 2 = −(9 3 ;0;9 3t − t),

uuurAN(−9;0;0) ⇒u ANuur uuurd; =(0; 9; 9− − ) ,

uur uuuur uur uuur

uur uuuur uur uuur

Gọi B là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng d Điểm 1 B1∈d , suyra: B t t1( ; ;9−t) và uuurBB t1( −12;t+6;12−t)

Vì: BB1⊥d nên: BB uuuur uur1 d = ⇔ −0 (t 12) + + + − = ⇔ =6 t t 12 0 t 6

Tương tự trên cho đường thẳng A B giao với đường thẳng d ta có 2 M(4;4;5) .

Ta chứng minh điểm M trên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

2) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và cách 1 d một khoảng bằng 22

+) Hướng giải quyết

1)Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song

Định hướng 1 Nếu lấy hai véctơ chỉ phương nhân có hướng với nhau thì ta được

một véctơ_không, vậy phải chọn một véctơ không cùng phương với phương củahai đường thẳng

Định hướng 2 Vì đề bài cho rất nhiều điểm đi qua nên ta có thể chọn ra ba điểm

không thẳng hàng mà mặt phẳng đi qua

2) Mặt phẳng chứa đường thẳng d vậy có vô số điểm đi qua thẳng hàng, mặt1khác yêu cầu bài toán lại liên quan đến khoảng cách nên cần có phương trình mặtphẳng để tính khoảng cách

Từ đó ta có thể giải bài toán trên theo các cách sau:

Giải

1)Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng d và 1 d 2

Đường thẳng d đi qua điểm 1 M1(2;2; 1− ) và có VTCP uur1(1;1; 3− )

Đường thẳng d đi qua điểm 2 M2(4;3;0) và có VTCP uuur2(1;1; 3− )

Vì d và 1 d song song với nhau nên ba điểm 2 M M M không thẳng hàng.1; 2; 3 Gọi mặt phẳng cần tìm có phương trình: ax by cz d+ + + =0 (a2 + + ≠b2 c2 0) Mặt phẳng đi qua ba điểm M M M nên ta có hệ:1; 2; 3

ax by cz+ + −2a−2b c+ =0 ( )α

Vì mặt phẳng chứa d nên: 1 n ur⊥ ⇔ur1 n ur ur 1 = ⇔ + − = ⇔ =0 a b 3c 0 a 3c b− ( )1 Mặt khác:

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài ra:

+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm: M(1;2;3)

+) Mặt phẳng ( )α ⇔ có tọa độ của các điểm thuộc mặt phẳng và véctơpháp tuyến nuurα(2; 3;1− )

+) Quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆

Giải

Cách 1:

Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng ( )α nên song song hoặc trùng vớigiá của véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )α Vậy ∆ nhận nuurα(2; 3;1− ) làmVTCP nên có phương trình:

Hệ (I) là phương trình dạng tham số của đường thẳng ∆.

(Cách giải thứ 2 được đề xuất từ học sinh).

(P) ⇔ có véc tơ pháp tuyến nuurP(3;1; 5− )

(Q) ⇔ có véc tơ pháp tuyến nuurP(2; 1;1− )

+) Quan hệ: Đường thẳng ∆ song song với cả hai mặt phẳng, suy ra nó có phương vuông góc với hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng

2) Cần xác định véc tơ chỉ phương của đường thẳng ∆

Cách giải: Từ mối quan hệ giữa đường thẳng ∆ với hai mặt phẳng (P) và (Q) dẫn

đến đường thẳng ∆ có một chỉ phương là: ur =n nuur uurP; Q= − − −( 4; 13; 5) .

Vậy đường thẳng có phương trình: : 1 2 5