Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell (LV thạc sĩ)

Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell (LV thạc sĩ)Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell (LV thạc sĩ)Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell (LV thạc sĩ)Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell (LV thạc sĩ)Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell (LV thạc sĩ)Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell (LV thạc sĩ)Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell (LV thạc sĩ)Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell (LV thạc sĩ)Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell (LV thạc sĩ)Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell (LV thạc sĩ)Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell (LV thạc sĩ)Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell (LV thạc sĩ)Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell (LV thạc sĩ)Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell (LV thạc sĩ)Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell (LV thạc sĩ)Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Nguyễn Thị Tuyết Mai

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN ĐÌNH BÌNHThái Nguyên - 2017

Mục lục

1.1 Một số khái niệm và kết quả về phương trình Pell 1

1.1.1 Phương trình Pell Loại I 1

1.1.2 Phương trình Pell Loại II 3

1.1.3 Phương trình Pell với tham số n 4

1.2 Phân số liên tục - Phân số liên tục tổng quát - Phân số liên tục đơn giản 7

1.2.1 Một trường hợp của phương trình Pell 7

1.2.2 Phân số liên tục 18

1.3 Bài toán ứng dụng 29

2 XẤP XỈ DIOPHANTINE, MỞ RỘNG PHƯƠNG TRÌNH PELL VÀ ỨNG DỤNG 35 2.1 Chu kì của phân số liên tục 35

2.1.1 Bổ đề chính 36

2.1.2 Chu kì phân số liên tục 40

2.2 Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục đơn giản 46

2.2.1 Phân số liên tục đơn giản của √ D 46

2.2.2 Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục đơn giản 50

2.3 Về một tiêu chuẩn cho sự tồn tại nghiệm của phương trình Pell 54 2.4 Một số mở rộng của xấp xỉ Diophantine 55

2.4.1 Tiêu chí vô tỷ 55

2.4.2 Bất đẳng thức Liouville 59

2.4.3 Bất đẳng thức Liouville bậc hai 60

2.5 Một ứng dụng giải phương trình Pell âm 62

LỜI CẢM ƠN

Được sự phân công của khoa Toán- Tin, trường Đại học Khoa Học TháiNguyên và sự đồng ý của thầy giáo hướng dẫn TS Nguyễn Đình Bình, tôi đãthực hiện đề tài "Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phươngtrình Pell"

Để hoàn thành luận này, tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, khoaToán - Tin và phòng đào tạo của trường Đại học Khoa Học Thái Nguyên.Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo đã tận tình hướng dẫn, giảng dạytrong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và rèn luyện ở trường Đại học KhoaHọc Thái Nguyên

Xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn TS Nguyễn Đình Bình đãtận tình, chu đáo hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này Dù rất bận rộntrong công việc, song thầy vẫn dành nhiều thời gian và tâm huyết hướng dẫn,động viên, khuyến khích tôi trong quá trình nghiên cứu đề tài

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn đến gia đình, bạn bè, những ngườikhông ngừng động viên, hỗ trợ tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốtthời gian học tập và nghiên cứu luận văn

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày tháng năm

Tác giảNguyễn Thị Tuyết Mai

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong lịch sử phát triển của Số học, phương trình Pell được biết đến làmột phương trình nổi tiếng trong dạng toán về phương trình nghiệm nguyên.Phương trình Pell được phát minh cách đây 1000 năm ở Ấn Độ cổ đại bởiBrahmaguta Trong nhiều năm sau đó, các nhà toán học bắt đầu nghiên cứutìm lời giải cho phương trình này Đến năm 1770, Lagrange đã phát triển líthuyết tổng quát về phương trình dựa trên phân số liên tục Bên cạnh đó, cácnhà toán học lớn như Legendre(1798), É Borel(1903) cũng quan tâm nghiêncứu và có nhiều đóng góp cho việc hoàn thiện và phát triển phương trìnhPell Ngày nay rất nhiều tài liệu nghiên cứu sâu về phương trình Pell ra đờinhư: Computational aspects of number theory( H Cohen, 2001), The higherarithmetic (H Davenport, 2008), Solving the Pell equation (M.J.Jacobson,

Jr and H.C.Williams, 2009) tham khảo trong tài liệu [4] Tuy có rất nhiềucông trình nghiên cứu về phương trình Pell cũng như phương trình nghiệmnguyên, song đó vẫn còn là một ẩn số thách thức các nhà toán học cũng nhưcác bạn trẻ yêu thích môn toán

Có thể nói, phương trình Pell khá phong phú và đa dạng về lịch sử ra đời,định nghĩa, trong phương pháp giải và cả ứng dụng của nó trong Số học Bảnthân nó đóng góp nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán về Số học hay

và khó Nhiều bài toán về phương trình Pell qua các kì thi Olimpic toán quốc

tế, khu vực và trong nước ngày càng mới lạ thu hút sự quan tâm cũng nhưthách thức trí tuệ, sáng tạo của mỗi bạn trẻ Và để giải nó không những cầnnắm được lí thuyết mà còn cần các kĩ năng Tuy nhiên hiện nay các bạn họcsinh, đặc biệt là các bạn học sinh lớp chuyên, lớp chọn còn biết rất ít về dạngphương trình Pell Đặc biệt, chúng ta có rất ít sách về phương trình Pell vàứng dụng của nó, chủ yếu là tham khảo các tài liệu, bài báo nước ngoài.

Do vậy, dưới sự góp ý của thầy hướng dẫn TS Nguyễn Đình Bình, tác giảchọn đề tài “Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trìnhPell” Do phương trình Pell không còn là đề tài mới nên trong luận văn tácgiả sẽ trình bày ngắn gọn các kết quả và ví dụ về phương trình Pell cơ bản,xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell Đồngthời luận văn cũng phân tích mở rộng phương trình và ứng dụng của nó Dothời gian có hạn và trình độ còn hạn chế nên luận văn chỉ dừng lại ở việctrình bày kết quả nghiên cứu về xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục tronggiải phương trình Pell, giới thiệu ứng dụng giải phương trình Pell âm

2 Mục tiêu nghiên cứu của luận văn

Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu về phương trình Pell cơ bản, nghiêncứu xấp xỉ Diophantine, phân số liên tục trong giải phương trình Pell Đồngthời luận văn cũng phân tích mở rộng của phương trình Pell và ứng ụng củanó

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu của luận văn là phương trình Pell

- Phạm vi nghiên cứu của luận văn là giới thiệu xấp xỉ Diophantine vàphân số liên tục trong giải phương trình Pell, ứng dụng giải phương trìnhPell âm

4 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc sách liên quan đến đề tài và tìm kiếm tài liệu

- Đọc, hiểu và dịch tài liệu từ tiếng Anh sang tiếng Việt

- Sử dụng phương pháp tổng quát để hệ thống và trình bày các kết quảchính trong các tài liệu tham khảo

5 Bố cục luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn chia thành 2 chương:

- Chương 1 trình bày một số khái niệm và kết quả của phương trình Pell

cơ bản, hệ thống lí thuyết về phân số liên tục

- Chương 2 trình bày về xấp xỉ Diophantine, phân số liên tục đơn giản tronggiải phương trình Pell và ứng dụng trong giải phương trình Pell Chương 2

là chương trọng tâm của luận văn

1.1 Một số khái niệm và kết quả về phương trình Pell

Trong mục này, tác giả sẽ đưa ra hệ thống các định nghĩa và định lí vềcông thức nghiệm của phương trình Pell cơ bản, cùng một số ví dụ có kèm lờigiải cho từng loại phương trình Pell Nội dung chính được tham khảo trongtài liệu [1], [3]

1.1.1 Phương trình Pell Loại I

Phương trình Pell loại I là phương trình có dạng:

x2− Dy2 = 1, ( trong đó D là số nguyên dương) (1.1)Định lí 1.1

1 Nếu D là số chính phương, D = m2, m ∈ Z thì (1.1) không có nghiệm

nguyên dương.

2 Nếu D là số nguyên âm thì (1.1) không có nghiệm nguyên dương

3 Phương trình (1.1) có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi D là số nguyêndương và không chính phương

Định lí 1.2 Giả sử (a, b) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình x2−Dy2 =

1 nghĩa là b là số nguyên bé nhất để 1 + Db2 là số chính phương Xét dãy xn

và yn cho bởi hệ thức truy hồi sau:

Nếu r chẵn thì tất cả các nghiệm của phương trình Pell là:

x = pkr−1, y = qkr−1.Nếu r lẻ thì tất cả các nghiệm của phương trình Pell là:

x = p2tr−1, y = q2tr−1, t ∈ N∗.Lưu ý

Vậy tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình xác định theo công thức:

1.1.2 Phương trình Pell Loại II

Phương trình Pell loại II có dạng:

với D là số nguyên dương Cũng giống như khi xét phương trình Pell loại I,

ở đây ta chỉ quan tâm nghiệm nguyên dương của phương trình loại II

Định lí 1.4 Phương trình Pell loại II không có nghiệm nguyên dương khi

Định lí 1.7 (Điều kiện để phương trình Pell loại II có nghiệm)

Gọi (a, b) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell loại I liên kết với phươngtrình Pell loại II Khi đó phương trình Pell loại II có nghiệm khi và chỉ khi

có nghiệm nguyên dương

Định lí 1.8 Công thức nghiệm của phương trình Pell loại II

Xét phương trình Pell loại II (1.3) Cùng với đó xét phương trình Pell loại I(1.1) liên kết với nó Giả sử (a, b) là nghiệm nguyên bé nhất của (1.1) Xét

hệ phương trình (I) Khi đó lấy hai phương trình trong hệ (I) trừ vế với vế

có nghiệm và (u, v) là nghiệm duy nhất của nó Xét hai dãy số nguyên dương{xn}, {yn} sau đây:

Khi đó (xn, yn) là ngiệm nguyên dương của phương trình Pell loại II

Định lí 1.9 Phương trình x2 − Dy2 = −1 có nghiệm khi và chỉ khi chu

kì r của biểu diễn phân số liên tục của √

D là số lẻ Trong trường hợp ấy cácnghiệm của nó là x = p(2tr−r−1), y = q(2tr−r−1) với t = 1, 2, 3

Dễ dàng thấy (u, v) = (1; 1) là nghiệm dương bé nhất của nó Theo công thứcnghiệm ở định lí 1.8, thì phương trình Pell loại II x2 − 2y2 = −1 có nghiệmlà:

1.1.3 Phương trình Pell với tham số n

Xét phương trình x2 − Dy2 = n, ở đây D là số nguyên dương và khôngchính phương, còn n là số nguyên Phương trình này gọi là phương trình Pell

với tham số n Nếu n = 1 hoặc n = −1 thì ta có phương trình Pell loại I vàloại II.

Định lý 1.10 Xét phương trình Pell với tham số n:

Phương trình (1.5) hoặc vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm

Vậy để tìm ra công thức tổng quát tất cả các nghiệm của phương trình Pell

Ví dụ 1.4 Giải phương trình Pell x2 − 5y2 = −4

Lời giải

Xét phương trình Pell với tham số n = −4 sau đây

Nếu y = 1 ⇒ x = 1; y = 2 ⇒ x = 4; y = 3; 4; 7; 8 thì (i) không dẫn đến xnguyên; y = 5 ⇒ x = 11

Như thế bằng cách thử trực tiếp nói trên, ta thấy có 3 nghiệm (1, 1); (4, 2);(11, 5) của phương trình (i) thỏa mãn điều kiện:

β2 ≤ max{nb2;−na2

D }Theo định lý 1.12, phương trình Pell ứng với n = −4 có 3 dãy nghiệm:

Ba dãy này vét hết tất cả các nghiệm của phương trình (i)

Kết luận: Tác giả đã trình bày một cách hệ thống khái niệm và một số kếtquả của phương trình Pell cơ bản Mỗi dạng của phương trình Pell, tác giả

đã giới thiệu một vài ví dụ để làm sáng tỏ công thức nghiệm, từ đó ta có thể

mở rộng các bài toán khó từ bài toán tìm nghiệm thông thường

1.2 Phân số liên tục - Phân số liên tục tổng quát - Phân

số liên tục đơn giản

Trong mục này tác giả sẽ trình bày hệ thống về lí thuyết phân số liên tục,

cụ thể hơn là phân số liên tục tổng quát, phân số liên tục đơn giản liên quanđến phương trình Pell Nội dung chính được tham khảo trong tài liệu [4].1.2.1 Một trường hợp của phương trình Pell

Cho D là một số nguyên dương không chính phương √

D là số vô tỉ.Phương trình Diophantine có dạng:

trong đó ẩn x, y ∈ Z được gọi là phương trình Pell

1.2.1.1 Ví dụ về phân số liên tục đơn giản

Ví dụ 1.5 Cho D = a2b2 + 2b, ở đó a, b là các số nguyên dương Mộtnghiệm của

x2 − (a2b2 + 2b)y2 = 1,

là cặp (x, y) = (a2b + 1, a)

Ta thấy dạng khai triển phân số liên tục đơn giản của √

D làp

Ví dụ 1.6 Đặt D = a2b2 + b, ở đó a, b là các số nguyên dương Mộtnghiệm của

x2 − (a2b2 + b)y2 = 1,

là cặp (x, y) = (a2b + 1, 2a)

Dạng khai triển phân số liên tục của √

D làp

a2b2+ b = [ab, 2a, 2ab]

a2 + 1 = [a, 2a]

Vậy t = √

a2 + 1 ⇔ t = a + 1

t + a.

Ví dụ 1.7 Cho a, b là hai số nguyên dương sao cho b2 + 1 chia 2ab + 1

Ví dụ b = 2 và a ≡ 1 (mod 5) Viết 2ab + 1 = k(b2 + 1) và đặt D = a2+ k.Dạng khai triển phân số liên tục của √

D là [a, b, b, 2a] Suy ra t = √

Dthỏa mãn

√

5 = [1, 2]

Ba ví dụ trên đây là những trường hợp đặc biệt bởi O.Per-ron và liên quanđến các trường bậc hai thực dạng Richard - Degert.

1.2.1.2 Sự tồn tại của nghiệm nguyên

Cho D là số nguyên dương không chính phương Ta cần chứng minh rằngphương trình Pell (1.6) có một nghiệm không nhỏ (x, y) ∈ Z × Z, đó là mộtnghiệm 6= (±1, 0)

Mệnh đề 1.1 Cho D là số nguyên dương không chính phương, tồn tại(x, y) ∈ Z2 với x > 0 và y > 0 sao cho x2 − Dy2 = 1

Chứng minh

Bước đầu tiên của chứng minh là chỉ ra rằng tồn tại một số nguyên khác không

k sao cho phương trình Pell x2 − Dy2

= k có vô số nghiệm (x, y) ∈ Z × Z,liên hệ các nghiệm nguyên của phương trình Pell với xấp xỉ hữu tỷ x/y của

√

D − xy

< 1

y2.Đối với mỗi cặp (x, y) như vậy ta có:

Một trong số các dạng của chúng là x2 − Dy2 có vô số cặp (x, y)

Bước thứ hai nhận thấy, các tập con của (x, y) (mod k) trong (Z/kZ)2 làhữu hạn, là một tập con vô hạn E ⊂ Z × Z của các nghiệm cho x2− Dy2 = k

có cùng (x (mod k), y (mod k)) Cho (u1, v1) và (u2, v2) là hai thành phầnriêng biệt trong E Xác định (x, y) ∈ Q2 bởi

x + y√

D = u1 + v1

√D

−u1v2 + u2v1 ≡ −u1v1+ u1v1 ≡ 0 (mod k)

√D)(u2 + v2

√D)

Một trình tự tự nhiên cho các nghiệm nguyên dương của phương trình Pell

có thể xác định bằng nhiều cách: sắp xếp chúng bằng cách tăng giá trị của xhoặc tăng giá trị của y hoặc tăng giá trị x + y√

D - ta dễ dàng kiểm tra rằng

đó là các cách như nhau

Một nghiệm nguyên dương tối thiểu (x1, y1) được gọi là nghiệm cơ bản củaphương trình Pell (1.6) Trong cách tương tự ta có một nghiệm cơ bản củaphương trình Pell (1.1)

Mệnh đề 1.2 Giả sử (x1, y1) là nghiệm cơ bản cho phương trình Pell(1.6) Từ đó tất cả các nghiệm nguyên dương cho kết quả là dãy (xn, yn)n≥1,khi đó xn và yn được cho bởi

xn + yn

√

D = (x1 + y1

√D)n, (n ∈ Z, n ≥ 1)

Trong các điều kiện khác, xn và yn được xác định bởi công thức phép truytoán:

1 = −1, thì (x1, y1) là nghiệm cơ bản của phương trìnhPell loại(II) (1.3), và nghiệm nguyên của phương trình Pell loại (I)(1.1) là(x2, y2) Tập hợp các nghiệm nguyên dương của phương trình Pell loại(I)(1.1) là {(xn, yn); n ≥ 2 chẵn }, trong đó tập hợp các nghiệm nguyên dương

của phương trình Pell (1.3) là {(xn, yn); n ≥ 1 lẻ } Tập hợp tất cả các nghiệm(x, y) ∈ Z × Z của phương trình Pell (1.6) là tập hợp (±xn, yn)n∈Z khi xn và

yn cho bởi công thức

xn+ yn

√

D = (x1+ y1

√D)n, (n ∈ Z)

Nghiệm tầm thường (1, 0) là (x0, y0), nghiệm (−1, 0) là một phần tử xoắnbậc hai trong nhóm các đơn vị của vành Z[D]

Chứng minh

Cho (x, y) là một nghiệm nguyên dương của phương trình Pell x2−Dy2 = ±1

Kí hiệu n ≥ 0 là số nguyên lớn nhất sao cho

Từ u2 − Dv2 = ±1 và 1 ≤ u + v√

D < x1 + y1√

D, ta suy ra u = 1 và v = 0

1.2.1.4 Trên nhóm các đơn vị của Z[√D]

Cho D là số nguyên dương không chính phương Vành Z[√D] là vành concủa R sinh bởi √D Ánh xạ σ : z = x + y√

D 7−→ x − y√

D là tự đẳng cấuGalois của vành này Quy tắc N : Z[√D] −→ Z xác định bởi N (z) = zσ(z)

Do đó

N (x + y√

D) = x2 − Dy2.Hạn chế của N với nhóm của đơn vị Z[√D]× của vành Z[√D] là mộtđồng cấu từ nhóm nhân Z[√D]× đối với nhóm của đơn vị Z× của Z Từ khi

Z× = {±1} ta thấy rằng:

Z[

√D]× = {z ∈ Z[√D]; N (z) = ±1}

Do vậy Z[√D]× không khác tập của x + y√

D khi (x, y) chạy qua tập cácnghiệm số nguyên của phương trình Pell (1.6)

Mệnh đề 1.1 nghĩa là Z[√D]× không giảm tại một nhóm con ±1, trong khimệnh đề 1.2 đưa ra rất nhiều thông tin chính xác rằng nhóm Z[√D]× là một(nhân lên) nhóm Abelian bậc 1: Ở đó tồn tại đơn vị cơ bản u ∈ Z[√D]× saocho

Z[

√D]× = {±un; n ∈ Z}

z 7−→ (log |z|, log |z0|)

là riêng biệt trong R2 và chứa trong giới hạn t1+ t2 = 0 của R2 Cách chứngminh này là không thực sự khác biệt so với cách chứng minh ta đưa ra ởmệnh đề 1.2 Chứng minh rằng nhóm con rời rạc của R có bậc nhỏ hơn hoặcbằng 1 dựa vào sự phân chia của Euclid

Chú ý 1.1 Cho d là số nguyên không hữu tỉ nhưng không là bình phươngcủa số nguyên Thì d không là bình phương của số hữu tỉ và trường k = Q(√d)

là một phần mở rộng bậc hai của Q (nghĩa là một không gian vectơ Q haichiều) Một yếu tố α ∈ k là một số nguyên đại số nếu và chỉ nếu nó thỏa mãncác điều kiện tương đương sau:

(i) α là nghiệm của một đa thức lồi với các hệ số nguyên

(ii) Đa thức lồi không thu gọn của α trên Q có hệ số nguyên

(iii) Đa thức không thu gọn của α trên Z là lồi

(iv) Vành Z[√α] là modul Z được tạo ra một cách hữu hạn

(v) Vành Z[√α] được chứa trong một vành con của k là phần tử được tạo raZ- modul

Tập Zk của các số nguyên đại số của k là vành

Biệt thức Dk của k là biệt thức của vành số nguyên k

2 0

0 2d

= 4d nếu d ≡ 2 hoặc 3 (mod 4)det

... thuyết phân số liên tục, đồng thờiứng dụng lí thuyết phân số liên tục giải phương trình Pell kết hợpvới xấp xỉ hữu tỷ

Trong mục này, tác giả trình bày số tập sưu tập qua

số kì thi... data-page="36">

1.2.2.2.2 Phân số liên tục vô hạn đơn giản số vô tỷ

Cho số nguyên a0 dãy vô hạn số nguyên dương a1, a2, , phân

số liên tục

[a0,... gọi nghiệm củaphương trình Pell (1.6) Trong cách tương tự ta có nghiệm củaphương trình Pell (1.1)

Mệnh đề 1.2 Giả sử (x1, y1) nghiệm cho phương trình Pell( 1.6) Từ