Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)

Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

HOÀNG THẾ ANH

VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM JENSEN, TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

HOÀNG THẾ ANH

VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM JENSEN, TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS TRẦN XUÂN QUÝ

THÁI NGUYÊN - 2017

Mục lục

Mở đầu

Phương trình hàm là một nhánh của Toán học hiện đại, từ năm

1747 đến 1750 nhà toán học J D’Alembert đã công bố 3 bài báoliên quan về phương trình hàm, đây được xem là các kết quả đầutiên về phương trình hàm Nhiều nhà toán học (tiêu biểu: N.H.Abel, J Bolyai, A.L Cauchy, J D’Alembert, L Euler, M Fréchet,C.F Gauss, J.L.W.V Jensen, A.N Kolmogorov, N.I Lobacevskii,J.V Pexider, và S.D Poisson) đã tiếp cận phương trình hàm theocác mục tiêu nghiên cứu khác nhau, như nghiên cứu định tính (xácđịnh một số đặc trưng cơ bản của hàm số) hoặc nghiên cứu địnhlượng (ước lượng nghiệm, số nghiệm hay dạng cụ thể của nghiệm),nghiên cứu nghiệm địa phương hoặc nghiệm toàn cục, nghiên cứunghiệm liên tục hay nghiệm có tính gián đoạn,

Dựa vào các phương pháp tiếp cận đó, luận văn đã được hoànthành với tên đề tài là: Về phương trình hàm Jensen, tính

ổn định và ứng dụng

Nội dung luận văn sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản vềphương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng Các kết quảnày được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1] và một số tài liệu liênquan

Ngoài mục lục, lời nói đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nộidung chính của luận văn được trình bày trong 2 chương

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này luận văn trình bày một số kiến thức về khônggian định chuẩn và sự hội tụ, không gian Banach và tiêu chuẩn hội

tụ Cauchy, về hàm lồi, hàm cộng tính và một số kết quả.

Chương 2 Phương trình hàm Jensen và tính ổnđịnh

Ở chương này luận văn trình bày về phương trình hàm Jensen,cách tìm nghiệm của phương trình hàm Jensen xác định trên trường

số thực và chỉ ra nghiệm liên tục của nó là affine Sau đó, nghiêncứu nghiệm liên tục của phương trình hàm Jensen trên khoảngđóng và bị chặn Tiếp theo, nghiên cứu nghiệm của phương trìnhhàm kiểu Jensen liên hệ từ bất đẳng thức Popoviciu và một số bàitập áp dụng Và cuối cùng, luận văn trình bày tính ổn định củaphương trình hàm Jensen trong đó có tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias, sự ổn định trên miền giới hạn và phương pháp điểm bấtđộng

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên Tôi xin gửi cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa ToánTin và Phòng Đào tạo của trường Trân trọng cảm ơn các Thầy,

Cô đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạomọi điều kiện thuận lợi nhất trong quá trình học tập Đặc biệt, tôixin gửi lời biết ơn chân thành đến TS Trần Xuân Quý, người Thầy

đã hướng dẫn tôi hoàn thành bản luận văn này Mặc dù rất bậnrộn trong công việc nhưng Thầy vẫn dành nhiều thời gian và tâmhuyết trong việc hướng dẫn, động viên khuyến khích tôi trong suốtthời gian tôi thực hiện đề tài Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, những người không ngừngđộng viên, hỗ trợ tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quátrình học tập và thực hiện luận văn

Thái Nguyên, ngày 05 tháng 5 năm 2017

Tác giả luận vănHọc viên Hoàng Thế Anh

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Với mục tiêu tìm hiểu về phương trình hàm Jensen, tính ổnđịnh và ứng dụng, trong chương này luận văn trình bày một sốkiến thức cơ bản về không gian định chuẩn và sự hội tụ, khônggian Banach và tiêu chuẩn hội tụ Cauchy, về hàm lồi, hàm cộngtính và một số kết quả

Đặt K := R hoặc K := C

K Khi đó, X được gọi là một không gian định chuẩn trên K nếu

và chỉ nếu tồn tại một chuẩn k·k trên X, nghĩa là với mọi u, v ∈ X

và α ∈ K, ta có các khẳng định sau:

(i) kuk ≥ 0 (tức là kuk là một số thực không âm);

(ii) kuk = 0 nếu u = 0;

(iii) kαuk = |α| kuk;

(iv) ku + vk = kuk + kvk

Không gian định chuẩn tương ứng trên K = R hoặc K = Cđược gọi là không gian định chuẩn thực hoặc phức Số ku ư vkđược gọi là khoảng cách giữa 2 điểm u và v Đặc biệt, kuk làkhoảng cách giữa điểm u và điểm gốc v = 0 Vì ưu = (ư1)u, nên

từ (iii) của định nghĩa trên ta có kưuk = kuk với mọi u ∈ X

Từ (iv) ta có k(u + v) ư wk ≤ ku + vk + kwk ≤ kuk + kvk + kwk Tổng quát, bằng quy nạp ta có

với mọi u ∈ R, với |u| là một giá trị tuyệt đối của u Khi đó,

X = R được gọi là một không gian định chuẩn thực

kuk := |u|

với mọi u ∈ C, với |u| là một module của số phức u Khi đó, Xđược gọi là một không gian định chuẩn phức

Mệnh đề 1.1.4 Cho X là một không gian định chuẩn Khi

đó, với mọi u, v ∈ X, ta có bất đẳng thức sau

|kuk ư kvk| ≤ ku ± vk ≤ kuk + kvk

Mệnh đề 1.1.6 Cho X là một không gian định chuẩn trên K.

ta có các khẳng định sau

n → ∞

n → ∞

Mệnh đề 1.1.8 Trong không gian định chuẩn, mọi dãy hội tụđều là dãy Cauchy

Banach nếu và chỉ nếu mọi dãy Cauchy của nó đều hội tụ

với chuẩn

kuk := |u|

với mọi u ∈ K

Ví dụ 1.2.3 Với N = 1, 2, Không gian X := KN là không

gian Banach với chuẩn Euclide k·k, với

không gian Banach với chuẩn

với mọi x, y ∈ R.(xem hình vẽ dưới đây).

Hàm lồi lần đầu tiên được giới thiệu bởi J.L.W.V.Jensen năm 1905,mặc dù hàm số thỏa mãn điều kiện (1.1) đã được nghiên cứu bởiHadamard (1893) và Holder (1889)

(a) f (x) = ax + b trên R với mọi a, b ∈ R

(d) f (x) = |x| trên R với mọi α ≥ 1

2

Tổng hữu hạn các hàm lồi là một hàm lồi Tuy nhiên, tích cáchàm lồi chưa chắc lồi Ví dụ,

Định lý 1.3.1 Cho X, Y là các không gian Banach Hàm

với σ > 0, p ∈ [0, 1) và với mọi x, y ∈ X Khi đó tồn tại duy

Bổ đề 1.3.3 Cho X là không gian Banach và N là số nguyên

bất đẳng thức

kf (x + y) − f (x) − f (y)k 6 σ

kf (x) − A(x)k 6 (5N − 1)σ

X là toán tử co chặt với hằng số Lipschitz L < 1 Nếu tồn tại

x ∈ X thì có các khẳng định sau:

từ bất đẳng thức Popoviciu và một số bài tập áp dụng Các kếtquả và bài tập áp dụng được trích dẫn từ tài liệu [6] Cuối cùng lànghiên cứu về tính ổn định của phương trình hàm Jensen cụ thể

là tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias, sự ổn định trên miền giới hạn

và phương pháp điểm bất động Các kết quả được trích dẫn từ cáctài liệu [7, 10, 11]

Định nghĩa 2.1.1 Một hàm f : R → R được gọi là hàm Jensennếu nó thỏa mãn

Cho A : R → R là một hàm số xác định bởi

Từ phương trình (2.3), ta suy ra

A(x + y) = A(x) + A(y) hay A là hàm cộng tính

Do đó ta suy ra

f (x) = A(x) + avới A : R → R là một hàm cộng tính

Định lý 2.1.4 Mọi phương trình hàm Jensen liên tục đềuaffine

Định lý 2.1.6 Nghiệm liên tục của

Ta chứng minh F thỏa mãn (JE) Thật vậy, từ

suy ra F thỏa mãn phương trình hàm Jensen trên [0,1] Thay x = 0

và y = 1 vào (JE), ta được

Vậy (2.7) thỏa mãn tất cả các giá trị của x trong khoảng [0,1] Do

đó F liên tục và tập tất cả các số hữu tỉ dyadic trong [0, 1] là trùmật trên [0, 1], ta có

F (x) = c + x(d − c)với mọi x ∈ [0, 1] Hay

f (x) = α + βx,với α, β là các hằng số tùy ý

F xác định bởi F (x) = f ((b − a)x + a) thỏa mãn phương trìnhhàm Jensen trên đoạn [0, 1] Theo chứng minh của Định lí (JE),thì hàm số F (x) = A(x) + α, với A : [0, 1] → R là hàm cộng tính

và α là hằng số tùy ý Như vậy, theo kết quả về phương trình hàmCauchy, F có thể mở rộng từ [0, 1] tới R Vì vậy, nghiệm tổng quát

f : [a, b] → R của phương trình hàm Jensen có thể cho bởi

với A : R → R là hàm cộng tính

Vì vậy, ta có định lí sau

Định lý 2.1.8 Nghiệm tổng quát của phương trình

2.1.2 Một số phương trình hàm liên quan

Popoviciu (1965) chứng minh rằng nếu I là một khoảng khácrỗng và f : I → R là một hàm lồi, thì f thỏa mãn bất đẳng thức

3

+ f (x) + f (y) + f (z)

3

+ f (x) + f (y) + f (z)

với mọi x ∈ R, với A : R → R là một hàm cộng tính và b làmột số thực tùy ý.

nghiệm của phương trình hàm (2.9)

Ta sẽ chứng minh điều ngược lại Nghĩa là, mọi nghiệm của (2.9)đều có dạng (2.10) Trước tiên, ta xác định một hàm số A : R → Rxác định bởi

với mọi x ∈ R Từ (2.14), (2.15) và (2.17) ta được

trình hàm

2



2với mọi x, y ∈ C

Bài toán 4 Tìm tất cả các hàm f : C → C thỏa mãn phươngtrình hàm

f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)với mọi x, y ∈ C

phương trình hàm f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) với mọi x, y ∈ Rthì nó cũng thỏa mãn phương trình hàm

f (x + y + z) + f (x) + f (y) + f (z) = f (x + y) + f (y + z) + f (z + x)

Bài toán 9 Cho n > 3 và n nguyên dương Tìm tất cả các hàm

là một hàm lồi thì khi đó hàm hợp f (A(x)) cũng là một hàm lồi

Có nhiều biến thể của phương trình hàm Cauchy cộng tính, ví

dụ phương trình Cauchy cộng tính dạng tổng quát, phương trìnhHosszú, phương trình thuần nhất, phương trình hàm tuyến tính,

vv Tuy nhiên, phương trình hàm Jensen là phương trình đơngiản nhất và quan trọng nhất trong số đó Những vấn đề về tính

ổn định Hyers-Ulam-Rassias của phương trình Jensen được chứngminh trong mục 2.2.1 dưới đây, và những vấn đề về tính ổn địnhHyers-Ulam của phương trình này trên miền giới hạn sẽ được thảoluận trong mục 2.2.2 Hơn nữa, kết quả tính ổn định trên miền giớihạn sẽ được áp dụng để nghiên cứu về tính tiệm cận của hàm cộngtính Trong mục cuối của phần này 2.2.3, chúng tôi sẽ trình bàymột cách tiếp cận khác để chứng minh tính ổn định, đó là phươngpháp điểm bất động

Bằng phương pháp quy nạp theo n, ta chứng minh

Ta đặt

A(x) = lim

||A(x + y) − A(x) − A(y)|| =

(c) suy ra bất đẳng thức đầu tiên trong (2.21).

mãn bất đẳng thức đầu tiên trong (2.21) Từ đó suy ra

hay A là duy nhất

Với trường hợp p > 1 và δ > 0 thỏa mãn bất đẳng thức (2.20),

ta có thể chứng minh bất đẳng thức tương tự sau

Cho p ∈ [0, 1) Thay x + y bằng x và y = 0 vào (2.20), ta được

với mọi x, y ∈ E1.Theo (Định lí 2.3 và 2.5, S-M.Jung[163]), tồn tại

2.2.1 không thể áp dụng để chứng minh tính ổn định của (2.20)với trường hợp p < 0 Một bước quan trọng trong việc chứng minhĐịnh lí 2.2.1 là đặt y = 0 trong bất đẳng thức (2.20), điều khôngthể làm được trong trường hợp p < 0 Bài toán về tính ổn địnhHyers-Ulam-Rassias trong trường hợp p < 0 hiện nay vẫn là bàitoán mở

Th M Rassias và P Semrl đã xây dựng một hàm liên tục nhậngiá trị thực để chứng minh bất đẳng thức hàm

kf (x + y) − f (x) − f (y)k ≤ θ (kxk + kyk) không ổn định theo nghĩa của Hyers, Ulam, và Rassias Theo kếtquả này, S M Jung(1998) đã chứng minh được rằng hàm số xâydựng bởi Rassias và Serml cho ta phản ví dụ của Định lí 2.2.1 trongtrường hợp p = 1 như sau:

Định lý 2.2.3 Giả sử f là hàm liên tục có giá trị thực, đượcxác định bởi

Chứng minh Theo giả thiết hàm f là hàm số liên tục, hàm số lẻ

và hàm lồi trên (0, ∞) Cho x và y là hai số dương Vì f là hàmlồi trên (0, ∞) nên từ

|x| > |y| Bởi tính lẻ và lồi của f và từ (a) ta có

≤ |x| + |y|

với x, y ∈ R Từ đây kết hợp với (d) ta suy ra (2.22) Ta biếtrằng nếu một hàm cộng tính A : R −→ R là liên tục tại mộtđiểm thì A(x) = cx tại đó c là một số thực Hiển nhiên rằng

|f (x) − cx| / |x| → ∞ khi x → ∞ với mọi số thực c và tập ảnhcủa |f (x) − A(x)| / |x| với x 6= 0 không bị chặn với mọi hàm cộngtính A : R −→ R không liên tục bởi vì đồ thị hàm A trù mật

2.2.2 Sự ổn định trên miền giới hạn

Bổ đề 2.2.4 Cho E là một không gian Banach thực và N là

với mọi x ∈ An và n ∈ N bất kì.

Từ bất đẳng thức này, thay x bởi x/2, ta được

Tương tự, ta có

thức tam giác và tổng các bất đẳng thức trong (b) tương ứng với

mãn

với x ∈ (−c, c)N Xét hàm J : RN → E cho bởi J(x) = A(x) +

Định lý 2.2.5 [Kominek] Cho E là một không gian Banach

với mọi x, y ∈ D với (1/2)(x + y) ∈ D.

với mọi x, y ∈ D Nếu dấu bất đẳng thức ” ≤ ” được thay bằng

” ≥ ” trong bất đẳng thức trên, thì f được gọi là hàm J - lõm

chỉ khi mọi hàm J -lồi xác định trên tập mở và lồi D ⊃ T bị chặntrên T là liên tục trên D

Kết quả tiếp theo đã được đưa ra bởi Kominek như sau:

ϕ(x) = f (x) − g(x)với mọi x ∈ D Rõ ràng ϕ là một hàm J -lồi bị chặn trên T Vì

D, tức là tồn tại một hằng số M > 0 sao cho

với mọi x ∈ D1 Từ định nghĩa của ϕ, tính J -lõm của g, tính J -lồicủa f , và (a) suy ra

nguyên không âm n thỏa mãn

hàm lồi vì nó liên tục và J -lồi Hơn nữa, f (x) = A(x) + F (x) vàg(x) = A(x) + G(x) mọi x ∈ D

S.-M.Jung đã chứng minh được tính ổn định của phương trìnhhàm Jensen trên một miền bị giới hạn và không bị chặn, và ápdụng kết quả để nghiên cứu hình dáng đường tiệm cận của hàmcộng tính

Định lý 2.2.7 (Jung) Cho E1 và E2 tương ứng là không gian

với kxk ≥ kyk hoặc z = (1 + d/kyk)y với kxk < kyk Khi đó

Từ (2.23) và (b), hàm f thỏa mãn bất đẳng thức (b) với mọi x, y ∈

cộng tính A : E1 → E2 thỏa mãn bất đẳng thức (2.24) với mọi

Từ kết quả của Định lý 2.2.7, Jung đã chứng minh được dángđiệu tiệm cận của các hàm cộng tính

thực và không gian Banach thực Hàm f là cộng tính khi và chỉkhi

2



hàm cộng tính Khẳng định ngược lại là hiển nhiên

2.2.3 Phương pháp điểm bất động

Sử dụng phương pháp điểm bất động (Định lý 1.3.4) L dariu và Radu đã chứng minh tính ổn định Hyers-Ulam-Rasias củaphương trình hàm Jensen Kết quả được trích dẫn từ tài liệu [10]

Că-Định lý 2.2.9 (Cădariu và Radu) Cho E1 và E2 tương ứng làkhông gian véctơ và không gian Banach (thực hoặc phức) Giả

Khi đó, (X, d) không gian metric đầy đủ

Tiếp theo ta xét toán tử Λ : X → X xác định bởi

Với mọi g, h ∈ X, d(g, h) ≤ C suy ra

k g(x) − h(x) k≤ Cϕ(x, 0)

Giả sử rằng i = 0 Nếu đặt x = 2t và y = 0 trong (2.26), thi theo(2.27) ta có

k f (t) − (1/2)f (2t) k≤ (1/2)ϕ(2t, 0) ≤ Lϕ(t, 0)

Với i = 1, đặt y = 0 trong (2.26) thu được

k2f (x/2) − f (x)k ≤ ϕ(x, 0)

Cả hai trường hợp chúng ta ứng dụng Định lý 1.3.4 và chỉ ra được

với mọi x ∈ E1 Cũng từ Định lý 1.3.4(iii) thu được

điều này suy ra (2.29)

được

cuối cùng, thì ta thu được

A(x + y) = A(x) + A(y)

Kết luận

Luận văn trình bày về phương trình hàm Jensen, tính ổn định

và ứng dụng Cụ thể trong luận văn, tác giả đã trình bày được cácvấn đề sau:

• Trình bày một số kiến thức về không gian định chuẩn và sựhội tụ, không gian Banach và tiêu chuẩn hội tụ Cauchy và cuốicùng là về hàm lồi, hàm cộng tính và một số kết quả

• Trình bày về phương trình hàm Jensen Tìm nghiệm của phươngtrình hàm Jensen xác định trên trường số thực và chỉ ra nghiệmliên tục của nó là affine Nghiên cứu nghiệm liên tục của phươngtrình hàm Jensen trên khoảng đóng và bị chặn Nghiên cứunghiệm của phương trình hàm kiểu Jensen liên hệ từ bất đẳngthức Popoviciu và một số bài tập áp dụng

• Trình bày tính ổn định của phương trình hàm Jensen trong đó

có tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias, sự ổn định trên miền giớihạn và phương pháp điểm bất động

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] Nguyễn Văn Mậu (1997), Phương trình hàm, NXB Giáo dục.[2] Nguyễn Văn Nho, Lê Hoành Phò (2013), Tuyển tập Olympictoán học tại các nước Châu Á- Thái Bình Dương, NXB Đạihọc Quốc gia HN

[3] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho (2001), Tuyển tập 40 nămOlympic Toán học quốc tế, NXB Giáo dục

Tiếng Anh

[4] J Aczél (1966), Lectures on Functional Equations and theirapplications

[5] Christopher G Small (2007), Functional Equations and How

to solve them, Springer

[6] P K Sahoo, P Kannappan (2011), Introduction to tional Equations, Chapman & Hall/CRC

[7] S M Jung (2010), Hyers–Ulam–Rassias Stability of tional Equations in Nonlinear Analysis, Springer

Func-[8] S M Jung, B Kim (2003), Local stability of the additivefunctional equation and its applications, IJMMS, Issue 1, pp15–26

là hàm lồi hàm hợp f (A(x)) hàm lồi

Có nhiều biến thể phương trình hàm Cauchy cộng tính, ví

dụ phương trình Cauchy cộng tính dạng tổng qt, phương trìnhHosszú, phương trình. .. nhất, phương trình hàm tuyến tính,

vv Tuy nhiên, phương trình hàm Jensen phương trình đơngiản quan trọng số Những vấn đề tính

ổn định Hyers-Ulam-Rassias phương trình Jensen chứngminh... luận

Luận văn trình bày phương trình hàm Jensen, tính ổn định

và ứng dụng Cụ thể luận văn, tác giả trình bày cácvấn đề sau:

• Trình bày số kiến thức khơng gian định chuẩn sựhội