Nghiên cứu một số phương trình tích phân giải được

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Nhiều vấn đề toán học phương trình vi phân với điều kiện ban đầu hay điềukiện biên , cơ học, vật lý dẫn đến các hàm chứa biến nằm dưới dấu tích phân.Những loại phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN QUỐC HƯNG

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

GIẢI ĐƯỢC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Sơn La, năm 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

GIẢI ĐƯỢC

Chuyên ngành: Giải Tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn: TS VŨ VIỆT HÙNG

Sơn La, năm 2017

LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy TS.Vũ Việt Hùng,

người đã định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình em, giúp đỡ em

về tài liệu nghiên cứu cũng như động viên em có nghị lực hoàn thành khóa luận này.

Trong quá trình làm khóa luận, em cũng đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Lý -Tin, đặc biệt là các thầy cô trong

tổ bộ môn Giải tích, Phòng QLKH & QHQT, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, các bạn sinh viên lớp K54 ĐHSP Toán Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để

em hoàn thành đề tài này Nhân dịp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn

về những sự giúp đỡ quý báu nói trên.

Sơn La, tháng 5 năm 2017 Người thực hiện

Sv: Nguyễn Quốc Hưng

Mục lục

1.1 Không gian định chuẩn và không gian Banach 6

1.2 Không gian thương 8

1.3 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 9

1.4 Không gian khả li 9

1.5 Ba nguyên lý cơ bản của Giải tích hàm 10

1.5.1 Nguyên lý bị chặn đều 10

1.5.2 Định lý ánh xạ mở và đồ thị đóng 11

1.5.3 Định lý Hahn-Banach 11

1.6 Một số kiến thức liên quan toán tử tuyến tính liên tục 13

2 Phương trình tích phân 14 2.1 Phân loại 14

2.1.1 Phương trình tích phân Fredholm loại 2 14

2.1.2 Phương trình Fredholm loại 1 15

2.1.3 Phương trình Voltera loại 1 16

2.1.4 Phương trình Voltera loại 2 16

2.1.5 Một số bài toán dẫn tới phương trình tích phân 18

2.2 Toán tử tích phân 20

2.2.1 Toán tử 21

2.2.2 Không gian Hilbert và hệ trực chuẩn 23

2.2.3 Toán tử tích phân Fredholm 25

2.3 Phương trình tích phân hạch đối xứng 30

2.4 Phương trình tích phân với nhân suy biến 32

2.5 Phương trình liên hợp 40

2.6 Phương trình tích phân với nhân tử bé 46

2.6.1 Nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric 46

2.6.2 Phương trình tích phân với nhân tử bé 46

2.6.3 Phương trình tích phân với nhân trực giao 54

2.6.4 Giải phương trình Fredholm ứng dụng liên tục phổ 55

2.7 Phương trình Fredholm với nhân tổng quát 61

2.8 Phương trình Voltera 64 2.8.1 Phương trình Voltera loại 2, phương pháp xấp xỉ liên tiếp 64 2.8.2 Giải phương trình Voltera loại 2 bằng phương pháp toán tử 74

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Nhiều vấn đề toán học ( phương trình vi phân với điều kiện ban đầu hay điềukiện biên ), cơ học, vật lý dẫn đến các hàm chứa biến nằm dưới dấu tích phân.Những loại phương trình đó được gọi là phương trình tích phân Phương trìnhtích phân được xem như là một công cụ toán học hữu ích trong nhiều lĩnh vựcnên được quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau Nó có ứngdụng rộng rãi không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều ngành khoa họckhác, ví dụ như nghiên cứu phương trình tích phân với các điều kiện xác địnhhoặc để giải quyết một số vấn đề vật lý mà phương trình vi phân không thể mô

tả được như hiện tượng khuếch tán, hiện tượng truyền, Vì vậy việc nghiên cứuphương trình tích phân đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học

Với mong muốn nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn các phương trình tích phân.Đồng thời đóng góp thêm một số lời giải cho các bài toán liên quan, tôi mạnh

dạn lựa chọn đề tài " Nghiên cứu một số phương trình tích phân giải được "

để làm khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Khóa luận tập trung nghiên cứu các vấn đề sau:

- Nghiên cứu một số phương trình tích phân có thể giải được

- Vận dụng một số phương pháp giải phương trình tích phân để giải một sốbài tập liên quan

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu một số phương trình tích phân có thể giải được

4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Tìm hiểu khái quát các khái niệm cơ bản của giải tích hàm, các phương trình

tích phân có thể giải được.

- Làm rõ các phương pháp giải các phương trình tích phân có thể giải được

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức

- Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày cũng như seminar với

tổ bộ môn

6 TÍNH MỚI VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA KHÓA LUẬN

6.1 Tính mới mẻ của khóa luận:

Đây là một vấn đề khá mới đối với bản thân trong giải tích Đồng thời đây cũng

là một vấn đề còn chưa được tiếp cận nhiều đối với các bạn sinh viên ĐHSP Toánhiện nay

6.2 Hướng phát triển của khóa luận:

Nghiên cứu và tổng hợp, thống kê các phương trình tích phân có thể giải được

7 NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN

Khóa luận đã nêu ra được các phương pháp giải cho một số loại phương trìnhtích phân và các bài tập liên quan

8 CẤU TRÚC KHÓA LUẬN

Với mục đích như vậy khóa luận này được chia thành 2 chương với nhữngnội dung chính sau đây:

Chương 1: Nội dung chương này em trình bày một số kiến thức quan trọngcủa giải tích hàm như các khái niệm về không gian định chuẩn, không gianBanach, không gian thương, không gian hữu hạn chiều Ba nguyên lí cơ bảncủa giải tích hàm: Nguyên lí bị chặn đều, Định lí ánh xạ mở và đồ thị đóng,Định lí Hahn - Banach cùng với các kết quả liên quan được sử dụng cho chứngminh chương 2

Chương 2:Trình bày nội dung chính của đề tài, trình bày một số loại phươngtrình tích phân giải được và phương pháp giải các phương trình đó Đồng thời

là một số bài toán có liên quan

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày một số kiến thức quan trọngcủa giải tích hàm như không gian định chuẩn, không gian Banach, không gianhữu hạn chiều, , ba nguyên lí cơ bản của giải tích hàm cùng với một số kết quảquan trọng phục vụ chương 2

1.1 Không gian định chuẩn và không gian Banach

Định nghĩa 1.1. Hàm ρ xác định trên không gian vector E được gọi là một chuẩn trên E nếu ρ thỏa mãn các điều kiện sau:

1) ρ(x) >0 với mọi x ∈Evà ρ(x) =0⇒x=0,

2) ρ(λx) = |λ|ρ(x)với mọi λ∈K và với mọi x∈E,

3) ρ(x+y) 6ρ(x) +ρ(y)với mọi x, y∈ E

Khi ρ thỏa mãn các điều kiện 2) và 3), còn điều kiện 1) thay bởi điều kiện: 1’)

ρ(x) >0 với mọi x∈ E, thì ρ được gọi là một nửa chuẩn trên E

Định nghĩa 1.2. Không gian vector E cùng với chuẩn ρ xác định trên E được gọi

là một không gian tuyến tính định chuẩn

Một không gian tuyến tính định chuẩn thường gọi ngắn gọn là không gianđịnh chuẩn

Khi E là không gian định chuẩn với chuẩn ρ thì với mỗi x∈ Eta viết

ρ(x) = ||x||và gọi số||x||là chuẩn của vector x.

Định nghĩa 1.3. Không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là không gianBanach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gian metricđầy

Định nghĩa 1.4. Tập con X trong không gian định chuẩn E được gọi là:

Tập con hữa hạn A⊂Ethỏa mãn b) được gọi là một ε- lưới hữu hạn của X.

c) Tập compact nếu mọi dãy {xn} ⊂ X có một dãy con {xnk} hội tụ tới mộtphần tử x∈ X

Mệnh đề 1.5 Nếu F là không gian con của không gian định chuẩn E thì bao đóng F

của F cũng là không gian con của E.

Chứng minh. Thật vậy, rõ ràng F 6= ∅ Cho x, y∈ F, α, β ∈K Khi đó, tồn tại các

dãy{xn} ⊂ F,{yn} ⊂ Fđể xn → x, yn → y Suy ra dãy{αxn+βyn}là dãy phần

tử của F hội tụ đến αx+βy nên αx+βy∈F

Định lý 1.6 Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính trên không gian định chuẩn E Khi đó

f liên tục khi và chỉ khi ker f là không gian con đóng của E.

Chứng minh. Điều kiện là tầm thường Ngược lại, giả sử ker f là đóng Vì f 6=0

nên tồn tại e∈E sao cho f(e) =1 Do ker f là đóng và e /∈ker f , tồn tại r>0 để

B(e, r) ∩ker f = ∅, ở đây B(e, r)z= {x∈ E :kx−ck<r} =e+B(0, r) Khi đó

sup{|f(x)|:k xk6r} 61 Điều này mâu thuẫn với|f(x0)| >1 Suy ra

sup{|f(x)|:kxk61} 6 1

r < +∞Chứng tỏ f liên tục trên E

Định nghĩa 1.7. Cho E, F là các không gian định chuẩn trên trường K Khi đó

E, F vừa là không gian vector vừa là không gian metric sinh bởi chuẩn trên E, E

1.2 Không gian thương

Cho E là không gian định chuẩn và M là không gian con đóng của E Ký hiệuE/M là tập thương của E theo quan hệ∼xác định bởi:

Định nghĩa 1.9 Không gian định chuẩn E/M được gọi là không gian thương

của không gian định chuẩn E theo không gian con đóng M

1.3 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều

Định lý 1.10 Mọi không gian định chuẩn n chiều trênK,(n>1), đều đẳng cấu với không gian Euclide n- chiềuKn.

Chứng minh. : Xem[1]

Hệ quả 1.11 Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều là không gian Banach.

Chứng minh. Cho E là không gian định chuẩn m chiều, m∈N Khi đó, theo định

lý 1.10 tồn tại phép đẳng cấu ϕ : E→ Km Giả sử {xn}n>1 là dãy Cauchy bất kỳ

trong E, khi đó với mọi số ε>0 cho trước , tồn tại số tự nhiên n sao cho:

(∀k, l∈N∗)(k, l>N ⇒kxk−xl k<ε),suy ra với mọi k, l∈N∗:

1.5 Ba nguyên lý cơ bản của Giải tích hàm

Trong mục này trình bày ba định lí quan trọng xem như những nguyên lí củaGiải tích hàm Đó là nguyên lí bị chặn đều, định lí ánh xạ mở và đồ thị đóng vàquan trọng nhất phải kể đến định lí Hahn- Banach và một số hệ quả quan trọngcủa nó

1.5.1 Nguyên lý bị chặn đều

Định lý 1.13. (Nguyên lý bị chặn đều) Mọi nửa chuẩn liên tục trên không gian

Banach E nếu bị chặn điểm thì bị chặn đều.

Chứng minh. Cho {pα}α∈J là họ nửa chuẩn liên tục, bị chặn điểm trên không

Pα(x) = 1

rpα(rx) 6 1

r[pα(x0+rx) +pα(x0)] 6 n0+C(x0)

rVậy

sup

α∈ J

||pα|| 6 n0+C(x0)

r < +∞

Chứng tỏ họ{pα : α∈ J}bị chặn đều Định lý được chứng minh.

1.5.2 Định lý ánh xạ mở và đồ thị đóng

Định nghĩa 1.14. Giả sử f : X →Ylà ánh xạ giữa các không gian metric X và Y

Ta nói f là ánh xạ mở nếu ảnh f(G) của mọi tập mở G trong X là tập mở trongY

Định lý 1.15. (Định lý ánh xạ mở) Mọi toàn ánh tuyến tính liên tục f : E→ F từ

không gian Banach E lên không gian Banach F đều là ánh xạ mở.

Định lý 1.16. (Định lý đồ thị đóng) Mọi ánh xạ tuyến tính có đồ thị đóng giữa các

không gian Banach đều liên tục.

Chứng minh. Cho f : E → F là ánh xạ tuyến tính có đồ thị đóng từ không gianBanach E vào không gian Banach F Do E×F là không gian Banach vàΓ(f) làđóng trong E×FnênΓ(f)cũng là không gian Banach Xét các ánh xạ tuyến tínhliên tục

p :Γ(f) →E

(x, f(x)) 7→xvà

Định lý 1.17 Giả sử F là không gian vector con của không gian vector thực E và p là

nửa chuẩn trên E Khi đó đối với phiếm hàm tuyến tính f : F→R thỏa mãn

f(x) 6 p(x)với mọi x∈ F

đều tồn tại phiếm hàm tuyến tính f : E→R sao cho

ˆf(x) = f(x)với mọi x ∈F và ˆf(x) 6 p(x)với mọi x∈ E

Định lí Hahn - Banach phức.

Định lý 1.18. (Hahn-banach) Giả sử F là không gian vector con của không gian

vector phức E và p là một nửa chuẩn trên E Khi đó, với mọi phiếm hàm tuyến tính phức f : F→C thỏa mãn

|f(x)| 6 p(x)với mọi x∈ FSau đây là một số hệ quả quan trọng của các định lí Hahn - Banach:

Hệ quả 1.19 Giả sử F là không gian con của không gian định chuẩn ( thực hoặc phức

) E và f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên F Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục ˆf trên sao cho

1.6 Một số kiến thức liên quan toán tử tuyến tính liên tục

Định nghĩa 1.22. Giả sử E và F là hai không gian vector trên cùng một trường

K Ánh xạ T : E→Fgọi là tuyến tính nếu:

T(αx+βy) =αT(x) +βT(y),∀x, y∈ E,∀α , β∈ K Định nghĩa 1.23. Cho E là không gian định chuẩn xn → x◦ gọi là hội tụ mạnh

⇔ ||xn−x◦|| −→0

Định nghĩa 1.24. Cho không gian định chuẩn E, f là ánh xạ xn→ x◦ gọi là hội

tụ yếu⇔Với mọi f liên tục, f(xn) −→ f(x◦)

Định lý sau cho phép ta khẳng địnhL(E, F)là một không gian định chuẩn

Định lý 1.25. L(E; F)là không gian định chuẩn với chuẩn||f||xác định bởi công thức:

||f|| =sup{||f(x)||: x∈E,||x|| 61}

Ngoài ra, nếu F là không gian Banach thìL(E, F)cũng là không gian Banach.

Định nghĩa 1.26. Cho E là không gian định chuẩn trên trường K Ta kí hiệu

E0 =L(E,K) và gọi E0 là không gian liên hợp tôpô của E Mỗi phần tử của E0gọi là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E.

Định lý 1.27 Không gian định chuẩn E là đầy nếu mọi chuỗi trong nó hội tụ tuyệt đối

là hội tụ.

Chương 2

Phương trình tích phân

Chương này chúng tôi trình bày nội dung chính của khóa luận Trước hết trongphần đầu chương, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về các phương trìnhtích phân, phân loại phương trình tích phân Tiếp sau đó chúng tôi trình bàymột số dạng phương trình tích phân giải được cùng phương pháp giải của nó

2.1 Phân loại

Trong mục này chúng tôi trình bày các định nghĩa và phân loại các phương trìnhtích phân thường gặp

2.1.1 Phương trình tích phân Fredholm loại 2

Định nghĩa 2.1. Phương trình tích phân Fredholm loại 2 là phương trình tíchphân có dạng

được gọi là phương trình thuần nhất của phương trình tích phân Fredholm loại2.

2.1.2 Phương trình Fredholm loại 1

Định nghĩa 2.5. Phương trình Fredholm loại 1 là phương trình tích phân códạng

là phương trình Fredholm loại 2.

Ví dụ 2.7. Phương trình Fredholm loại 1

2.1.3 Phương trình Voltera loại 1

Định nghĩa 2.8. Phương trình Voltera loại 1 là phương trình tích phân có dạng

trong đó ϕ(s)là hàm chưa biết, K(x, s), f(x)là các hàm cho trước; phương trình

mà f(x) =0 được gọi là phương trình thuần nhất λ là tham số.

2.1.4 Phương trình Voltera loại 2

Định nghĩa 2.10. Phương trình Voltera loại 2 là phương trình tích phân có dạng

trong đó ϕ(x)là hàm chưa biết, K(x, s), f(x)là các hàm cho trước Phương trình

mà f(x) =0 được gọi là phương trình thuần nhất, λ là tham số.

Nhận xét 2.13. i) Các phương trình tích phân trên còn được gọi là các phương

trình tích phân tuyến tính là bởi tính chất tuyến tính của nó, hàm ϕ chưa biết

chứa trong đó là tuyến tính

Một loạt các bài toán đưa đến phải xét các phương trình tích phân phi tuyến,chẳng hạn phương trình dạng

ii) Rõ ràng các phương trình Voltera loại 1, loại 2 có thể xem là trường hợp đặcbiệt của phương trình Fredholm loại 2, loại 1 tương ứng Khi các phương trìnhsau này ta cho thêm điều kiện

K(x, s) =0,∀s>x

ta thu được phương trình Fredholm chính là phương trình Voltera

iii) Lý thuyết các phương trình loại 1 phức tạp hơn lý thuyết các phương trìnhloại 2 mà lại không có nhiều ý nghĩa, vì vậy ta chỉ xét các phương trình loại 2.Mặt khác ta xét phương trình Voltera thành lớp riêng biệt bởi chúng có một sốtính chất khác biệt mà các phương trình Fredholm tùy ý không có

iv) Trong khóa luận này, chúng tôi chủ yếu xét các phương trình Fredholm loại

2 vì phương trình loại 1 không có nhiều ý nghĩa

2.1.5 Một số bài toán dẫn tới phương trình tích phân

a) Bài toán 1 " Cân bằng của thanh có tải trọng".

Cho thanh (hoặc dây) vật chất nào đó có độ dài l có thể uốn tự do, nhưng tạo raphản lực của sức căng, tỉ lệ với độ lớn của sức căng ấy

Các điểm nút của thanh được gắn chặt tại vị trí cân bằng x=0; x=l

Tại x=sđặt lực thẳng đứng p=ps hình dạng của thanh như hình vẽ

u(x) = psG(x, s),với

Ngược lại, xét bài toán: Tìm cách phân bố tải trọng khi thanh có dạng u(x)đã cho

ta thu được với hàm cần tìm p(x), ta thu được phương trình tích phân Fredholm

b) Bài toán 2 "Dao động tự do và cưỡng bức của thanh".

Giả sử thanh dao động mà không ở trạng thái tĩnh như Bài toán 1

Giả sử thanh dao động, u(x, t) là vị trí của thanh tại thời điểm t ở vị trí x ρ là

mật độ (tuyến tính) của thanh

Tại mỗi yếu tố độ dài dx, thanh có tác dụng một lực quán tính là

c) Đưa phương trình vi phân về phương trình tích phân.

Một loạt các trường hợp giải các phương trình vi phân được đưa về giải phươngtrình tích phân

Chúng ta biết rằng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phươngtrình vi phân

y00+ρ2y=σ(x)yVậy nghiệm phương trình đã cho là nghiệm của phương trình tích phân

2.2.1 Toán tử

a) Không gian Lp Cho không gian E, µ là một độ đo trên một σ đại số và các tập

con của E Họ tất cả các hàm f(x) có lũy thừa bậc p(1≤ p≤ +∞) của modunkhả tích trên E, tức là

Z

E

|f|pdµ< +∞được gọi là không gian Lp(E, µ) Đây là không gian định chuẩn với chuẩn

Khi E là tập đo được Lebesgue trênRk, µ là độ đo Lebesgue trên Rkta viết gọnlà

Lp(E)

Khi E= [a, b] ⊂R1, µ là độ đo Lebesgue trênR, ta viết

Lp(a, b)hay L[pa,b]hay là L nếu E= [0, 1]

Nhận xét 2.14. i) Cần chú ý rằng trong Lp(E, µ) với chuẩn nói trên cần phảikhông phân biệt các hàm tương đương với nhau

2i) Hơn nữa Lp(E, µ)là không gian định chuẩn đủ, tức là không gian Banach.3i) Không gian Lp(E, µ) trong đó E đo được Lebesgue trongRk, µ là độ đo trên

Rk là tách được

b) Toán tử tuyến tính

Định nghĩa 2.15. Cho hai không gian vectơ X, Y trên cùng trường K Ánh xạ

A : X→Y được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu

A(x+y) = Ax+Ay, ∀x, y∈ X

A(αx) =αAx, ∀α∈K, x∈ X

Định nghĩa 2.16. Toán tử A : X → Y từ không gian định chuẩn X vào khônggian định chuẩn Y được gọi là liên tục nếu xn →x0 thì kéo theo Axn → Ax0.Toán tử A được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số k>0 để

Ngược lại rõ ràng nếu tồn tại k như trên thì A liên tục

Định nghĩa 2.18. Cận dưới lớn nhất của các số k thỏa mãn điều kiện bị chặntrong Định lý 2.17 nói trên được gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là kAk.Như vậy ta có

kAxk ≤ kAk.kxk,∀x∈X;

NếukAxk ≤k.kxk,∀x∈X thìkAk ≤k

Định nghĩa 2.19. Ta gọiL(X, Y)là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từkhông gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Khi đóL(X, Y) là mộtkhông gian định chuẩn với chuẩn của toán tử xác định trong Định nghĩa 2.18

Chú ý 2.20. i) Nếu Y là Banach thì L(X, Y)là Banach

2i) Không gian các hàm bình phương khả tích L2[a, b]là không gian định chuẩnvới chuẩn đã cho (p=2)

Định nghĩa 2.21. Toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào khônggian định chuẩn Y được gọi là compact nếu A biến hình cầu đơn vị trong Xthành tập compact tương đối trong Y

Như vậy, nếu A là toán tử compact, A(B[0, 1])bị chặn nên A liên tục, vì thế Acòn được gọi là hoàn toàn liên tục

Hơn nữa, nếu A là toán tử compact, sẽ biến tập bị chặn thành tập compacttương đối

Chú ý 2.22. i) Nếu A là hữu hạn chiều thì A là compact;

2i) Nếu A=lim An trongL(X, Y)thì A là compact nếu An là compact

2.2.2 Không gian Hilbert và hệ trực chuẩn

Định nghĩa 2.23. Cho không gian vectơ E, hàm

Định nghĩa 2.25. Không gian tiền Hilbert E được gọi là không gioan Hilbert nếu

Ecùng với một chuẩn sinh bởi tích vô hướng trên E là một không gian đầy

Ví dụ 2.26. Trong L2[a, b]ta xét hàm

hx, yi =

Z b

a x(t)y(t)dt

Khi đó L2[a, b]là một không gian Hilbert (thực) với tích vô hướng nói trên

Định nghĩa 2.27. Hai phần tử x, y thuộc không gian tiền Hilbert E được gọi làtrực giao nếuhx, yi =0 Ki hiệu x⊥y

Định lý 2.28. {xn}n∈N∗ là hệ độc lập tuyến tính trong không gian tiền Hilbert E, tồn tại hệ{yn}

y1 =x1

=y2 =x2+α21x1

yn =xn+αn,n−1xn−1+ +αn,1x1

với αij = −hxi, yji

kyjk2 là hệ trực giao (thủ tục trực giao hóa Gram-Schmidf).

Định nghĩa 2.29. Hệ {xn}trực giao được gọi là hệ trực chuẩn nếukxnk =1,∀n

Định lý 2.30 Nếu{en}là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert E, chuỗi

hệ{en}được gọi là hệ cơ sở trực chuẩn đếm được hay hệ trực chuẩn đếm được đầy đủ Khi đó

Là một hệ cơ sở trực chuẩn đếm được

2.2.3 Toán tử tích phân Fredholm

Trong mục này ta sẽ toán tử hóa phương trình tích phân Fredholm để thuận tiệntrong quá trình giải phương trình này cũng như ứng dụng lý thuyết toán tử đểgiải

Xét phương trình tích phân Fredholm loại 2

với Aϕ xác định như sau trên[a, b]

=K(x)kϕk

Chứng tỏ Aϕ∈L2[a,b], hay A là toán tử trong L[a,b]

Hiển nhiên A là tuyến tính

Hơn nữa, theo trên

kAϕk2 = hAϕ, Aϕi =

b

Z

a

|Aϕ(x)|2dx,

Vậy A là toán tử liên tục trong không gian Hilbert L2[a,b]

Định lý 2.35 Toán tử Fredholm là toán tử compact trong L2[a,b].

Chứng minh. Xét trường hợp K(x, s)là nhân suy biến, tức là K(x, s)có dạng

Chọn{ei} là hệ cơ sở trực chuẩn đầy đủ của L2[a, b] Khi đó xét hệ{ei(x)ej(s)}

trong L2[a,b]×[a,b] Rõ ràng khi đó hệ {ei(x)ej(s)} là hệ trực chuẩn, hơn nữa hệ làđầy đủ Thật vậy, nếu

∀j, do tính đầy đủ của{ej} ⇐ f =0 hầu khắp nơi.

Vậy f =0 trong L2[a,b]×[a,b] Do đó hệ {ei(x)ej(s)} là hệ trực chuẩn đầy đủ củakhông gian này Suy ra từ tính chất đầy đủ của hệ ta được biểu diễn

Nhận xét 2.36. i) Như vậy, mỗi toán tử tích phân Fredholm có thể biểu diễn nhưgiới hạn (hội tụ theo chuẩn trong không gian Hilbert L2[a,b]) dãy toán tử hữu hạnchiều (do đó compact vì chúng liên tục)

2i) Giả sử A1, A2 là các toán tử tích phân có nhân tương ứng k1, k2 Nếu A1=A2

Vậy k1(x, s) =k2(x, s)hầu khắp nơi trên[a, b] × [a, b]

Như vậy, nếu không phân biệt các hàm tương đương nhau có thể nói sự tươngứng giữa toán tử tích phân và nhân của chúng là tương ứng một-một

3i) Chúng ta đã xét các toán tử tích phân trên L2[a,b] Tuy nhiên những điều chỉxảy ra ở trên vẫn đúng cho các kết quả được chuyển (không cần thay đổi gì) vàotrường hợp khi[a, b]thay bởi một không gian bất kì có độ đo

Định nghĩa 2.37. Cho không gian Hilbert, E⊂ L(E)(không gian các ánh xạ liêntục trong E) Toán tử A được gọi là tự liên hợp nếu

hAx, yi = hx, Ayi,∀x, y∈E

Nhận xét 2.38. i) Trrong không gian Hilbert

0≤ hx−αy, x−αyi = hx, xi −2αhx, yi +α2hy, yiM≤0

Acùng với~vlập thành một không gian con đóng bất biến của A

4i) Các giá trị riêng của toán tử tự liên hợp trực giao với nhau

5i) Nếu A tự liên hợp compact trong không gian Hilbert E tách được thì tồn tại

hệ cở sở trực chuẩn đầy đủ gồm những vectơ riêng, hơn thế λn→0, n→ +∞

2.3 Phương trình tích phân hạch đối xứng

Xét toán tử tích phân Fredholm Khi đó ta có

Định lý 2.39 Toán tử tích phân Fredholm với nhân đối xứng, tức: K(x, s) =K(s, x)

Với f(x), K(x, s) = K(s, x); K(x, s) ∈L2[a,b]×[a,b], f ∈ L2[a,b]

Từ định nghĩa của toán tử tích phân Fredholm, ta có

(1) ⇔ϕ = f +Aϕ

Như vậy, A là toán tử tự liên hợp, compact

Do A là tự liên hợp compact trên không gian Hilbert tách được L2[a,b] nên tồntại một hệ cơ sở trực chuẩn đầy đủ (đếm được) của E gồm toàn những vectơ

riêng của A ứng với mỗi giá trị riêng λn, λn→0

(ở đây−∑0hf , eii =∑hf , eii; vì với mọi j :−∑00hf , eji =0)

Và Aϕ00 =∑00

ξiAei =∑00

ξiei =ϕ00.Suy ra

Aϕ= Aϕ0+Aϕ00

= −f +ϕ0 +ϕ00

= −f +ϕ

⇔ ϕ= Aϕ+ f Chứng tỏ ϕ là nghiệm của phương trình.

Định lý 2.40 Nếu A có các giá trị riêng khác 1, phương trình đã cho sẽ có nghiệm duy

nhất với mọi f Nếu A có giá trị riêng bằng 1 thì phương trình đã cho chỉ có nghiệm khi

f trực giao với không gian con riêng ứng với giá trị riêng bằng 1, trong trường hợp này

nghiệm là vô số.

Nhận xét 2.41. i) Ta đã xét phương trình: Với toán tử A là liên hợp, compact và

ứng với tham số λ =1, vì vậy không cần có sự thay đổi các K vẫn đúng cho

trường hợp λ bất kì (Lúc này thay cho λ ta xét 1

Vấn đề:Ta biết rằng bất kì hạch nào (miễn là thuộc L2[a, b]) cũng có thể xấp xỉvới độ chính xác tùy ý bởi hạch suy biến, tức là dạng

Dựa vào đó, một phương trình tích phân với hạch bất kì (không nhất thiết đốixứng) có thể thay thế gần đúng bởi một phương trình tích phân hạch suy biến,

Vì vậy, đấu tiên ta sẽ xét các phương trình tích phân với hạch suy biến

Ta dùng phương pháp khảo sát sau đây

Xét phương trình (2.4) với nhân suy biến, tức là nhân K(x, s)có dạng

Ta nhận thấy rằng, các hàm {a1, a2, , an} là độc lập tuyến tính với nhau Nếukhông có hàm aj biểu diễn qua các hàm còn lại; cứ tiếp tục như thế, hệ còn lại sẽ

là các hàm độc lập tuyến tính Như thế luôn có thể giả thiết hệ của ta là độc lậptuyến tính (đồng thời{bj}độc lập tuyến tính)

Thay biểu thức trong (2.5) vào (2.4) cho ta

Ta xác định các hệ số xj, j=1, n

Thay biểu thức (2.8) vào biểu thức (2.6) cho ta

Ta xác định được các hệ số xj, j =1, n qua hệ (2.9) Do aj, j =1, n độc lập tuyếntính nên từ (2.9) ta có

(1−λa11)x1 + (−λa21)x2+ (−λa31)x3+ + (−λan1)xn = f1

(−λa11)x1+ (1−λa21)x2+ (−λa31)x3+ + (−λan1)xn = f2

(−λa11)x1+ (−λa21)x2+ (−λa31)x3+ + (1−λan1)xn = fn

Định thức của hệ phương trình tuyến tính nói trên đối với các ẩn x1, x2, , xn

D(λ) =

1−λa11 −λa21 −λan1

−λa12 1−λa22 −λan2

−λa1n −λa2n 1−λann

... phương trình (2.9) nhỏ n, hệ phương trình thuầnnhất (2.9) có n− p nghiệm độc lập tuyến tính phương trìnhthuần có vô số nghiệm

Nếu rank A6=rank Abshệ vô nghiệm, phương trình cho... ta mộtnghiệm phương trình phương trình (2.8) cho Mỗi nghiệmnày gọi nghiệm riêng nhân K(x, s)

Khi trường hợp này, λ giá trị riêng D(λ), hạng ma trận hệ sốrank A phương. .. data-page="40">

là nghiệm phương trình tích phân (2.6) cho

- Xét trường hợp 2: D(λ) =0 Khi xảy khả Hệ (2.9) cónghiệm rank A =rank Abs, A ma trận hệ số h? ?phương trình tương ứng (2.9);