KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP: RÈN LUYỆN KĨ NĂNG BT NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

`2, Mục đích nghiên cứu của khóa luận @ Khóa luận nghiên cứu cơ sở lý luận của phương pháp dạy học tích cực, dạy © giải một số dạng bài tập về: “Nguyên hàm — Tích phân - Ứng dụng của tí

KHOÁ LUẬN TÓT NGHIỆP

REN LUYEN KY NANG GIẢI MOT SO BAI TAP VE

PHAN” CHO HOC SINH LOP 12

THỰ VIÊN |

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

Người hướng dẫn: Tiến sĩ Nguyễn Triệu Sơn

Sơn La, tháng 4 năm 2010

Trong quá trình hoàn thành khóa luận em đã nhận được sự hướng dẫn tận

tình của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Triệu Sơn giảng viên Khoa Toán - Lí - Tin

Trường Đại học Tây Bắc, cùng các thầy cô giáo giảng dạy bộ môn phư

pháp Tôi cũng đã nhận được sự giúp đỡ và ủng hộ nhiệt tình của các hạsinh

viên lớp K47 - Đại học sư phạm Toán — lý Trường Đại học Tây Bắc ;

Em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bạn chủ hiện khoa Toán, các phòng ban, thư viện nhà trường đã tạo điều kiện thuận lợi cho em

Sà

I ecrensrecernn renee nen nnnnnnAereoroerrnarrananaoeg., 1

1;1ý dỡ cHợA để TẢ Ì coessa no go tà bo G05g 0060004650010011ã0013G2135.06/308 081910 -sssseesee 1

2 Mục đích nghiên cứu của khóa luận - - 5 + 5< S2 ve vs ca 2 `

3 Nhiệm vụ nghiên cứu cong 22002021 1E11.1xEeEErerrreee QO

4 Phương pháp nghiÊn COU eeesssseesensenessneensenessensenescenesessssncenseesesenees v

5 Cầu trúc của khóa luận -¿ 22++++22+vetetv2vvrerrrverrrrrreerree a ban 3 Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN s2 eo; cree 4

1.1 Phương pháp dạy học phát huy tính tích cực của học ink soneccnaamnsasat +

E 1.1.1 Khái niệm phương pháp dạy học & ve Kðx0i4)/9446V0263568010A -

2 1.1.2 Các mối quan hệ trong phương pháp dạy họ Fry "Am" +

5 2 ỗ 1.1.3 Tính tích cực trong hoạt động học tập to CB H«eeoueeneaeasenazeen 5

§ 5 3 1.2 Dạy học giải bài tập toán học cm X`“ 13

5 Sẽ 1.2.1 Vai trò của bài tập trong q UV HỘ tua naantiaiand10001060008/0 026 13

Ẹ > 5 1.2.2 Dạy học giải bài tập t ương pháp phát huy tính tích cực của học

= 5 5 SInH «se Oo B99XPIYEEOISSVAVSKELII GA)GNGOS00940000440/58605491010101/0)007607000688 14

3 5 - 1.2.3 Các yêu cầu Sâm Ni QEAL ceeccssssececccssocscccscssssssseescesecesssssessensnsssees 14

~ 5 1.2.4 KHƯỜNG pháp tim COL |Ờ1 ĐIẢẢ Ă S HS ng nrưy 15

= 1.3 Nguyén ham — Tích phân - Ứng dụng tích phân trong chương trình toán

THPT già ko: Sigs 55 aa GG GANS SWANS CS CEG BU CRS T RESUS SSN REO S USNR cs 16

1.3:k\Ÿ] trí, phân phối chương trình: Nguyên hàm ~ Tich phan - Ứng dụng

nu nhá trường phố thông -¿- 2-2 text EEk+kEEkeEEEEkevsxrkkervris L7

` †'4 Thực trạng dạy và học nội dung “ Nguyên hàm — Tích phân - Ung dung

của tích phân” ở một số trường trung học phổ thông ở miền núi 18 1.4.1 Thực trạng dạy học phần “Nguyên hàm — Tích phân - Ứng dụng của tích phân)” - 4 «c1 nọ nọ TT TT nu Tu ngờ 18

2.1.1 Một số chú ý khi day học giải bài toán tìm nguyên hàm 22 `

2.1.2 Hướng dẫn giải bài tập tìm nguyên NBeessmssennnsoniÐ)

2.2.1 Một số chú ý khi dạy học tính tích phân - số

2.2.2 Hướng dân giải bài tập tính tích phân Z2 Ne cia cassis 37

2.3 Dạy học ứng dụng của tính phân vào việc tính diện tích hì sáng và thê

E tích vật thể vo sessssssssesssssssesssssssssssssssssesssssesssssssseee <8 Per nagtuarsuSriaoo 50

8 2.3.1 Diện tích hình . - cac 51

SE Ễ 2.3.2 Thê tích các vật hỗ» eseeoossesaei NT ai 56

s 35 3.2 NOi dung thyrc nghi€m ccsccceuesvecssessssesseessecssseesseccucssesssessssenseeneeesneen 59

š 8 s 5:4, TỦ chủudigrnpiiEmg TEoue eeeeensroericeeoecsevrneroooreotoeasonrmotoennl 59

: 82 GIÁO ẤN THỰC NGNỀ Na ngagagngonoaninononodonnaonaaaoe 61

7 ễ Bài 2: PHƯƠNG PHAP TICH PHAN TỪNG PHÀN 5 61

<— ~ Vv 2 - ~

3.6 Kết juga rit ta ty ĐiữE HENIÔHfsguangdoattboadQSGNaANAGgtasatsgiasuag 71

KET EUAN CHUNG CUA KHOA LUAN veccccsscsccccssssssssssssssssecsssscscenssesaseses 71

TÀÍ LIỆU THAM KHẢO

2 3 Š phương pháp dạy học đã được ấp dụ (hồng nhiều năm qua Cho tới nay việc

2 FE cải cách giáo dục THPT đã được tiền ành đến lớp 12 Với những nội dung và

g 3 2 phương pháp mới được đưa Nước đầu không tránh khỏi những khó khăn

Tôi hy vọng đê tài nghiên cứu này sẽ là tài liệu tham khảo cho các giáo viên ở

Sotrvong THPT va cua các sinh viên sư phạm toán

`2, Mục đích nghiên cứu của khóa luận

@ Khóa luận nghiên cứu cơ sở lý luận của phương pháp dạy học tích cực, dạy

© giải một số dạng bài tập về: “Nguyên hàm — Tích phân - Ứng dụng của tích

phân” - Giải tích 12 theo hướng tích cực hóa hoạt động cuaur học sinh, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học của giáo viên, học sinh

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Nghiên cứu một số vấn đề về lý thuyết của phương pháp dạy học tích cực và

định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở trường THPT + Nghiên cứu vị trí vai trò của Nguyên hàm — Tích phân - Ứng dụng của tích phân trong chương trình toán học ở THPT

+ Dạy giải một số bài tập chương Nguyên ham — Tích phân - Ứng dụng củ © tích phân - Giải tích 12 theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh ly

+ Tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung “Nguyên hàm — Tich phận - Ứng dụng của tích phân” trong chương trình giải tích 12 ở một số trườấg THPT + Tìm hiểu việc dạy giải bài tập “Nguyên ham — Tích phận, - Jng dụng của

+ Tiến hành thực nghiệm sư phạm để thẩm định KS G98

`

+ Phương pháp nghiên cứu lí luận >

+ Phương pháp điều tra — Quan sát t

&) Chương 2: Dạy giải một số bài tập chương “Nguyên hàm — Tich phân - Ứng

œ dụng của tích phân” trong nhà trường THPT

‹S Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CO SO LY LUAN VA THUC TIEN

1.1 Phương pháp dạy học phát huy tính tích cực của học sinh

= Phuong phap thudng dugc hiéu là con đường, là cách thức đề đạt những NS

" Phương pháp dạy học là cách thức hoạt động và giao lưu của tỳ bay nên

những hoạt động và giao lưu cần thiết của trò nhằm đạt được mụế tiêu dạy học

1.1.2 Các mối quan hệ trong phương pháp dạy học O

a, Quan hé giita day va hoc ) Thuật ngữ dạy và học (dạy cách học, dạy việc joey vén được dùng để phản ánh hoạt động của người dạy Nhưng đối tượng bủà hoạt động dạy là người học

1NEUƠI HC VUIđ 14 HƠI tHUUIIE, CƯUA Mua uv aax,y Ud ila VLU VIIC CƯỚC 1IƯỢCU VỤ11* 11C;

nếu người học không có cách học tốt ó có thể đạt kết quả mong muốn Bởi

ˆ Spat bên trong là cách tổ chức hoạt động nhận thức của học sinh, là con đường Oeia giáo viên dẫn dắt học sinh lĩnh hội nội dung dạy học như: tìm tòi, phát hiện

&` và giải quyết vấn đề Mặt bên trong phụ thuộc khách quan vào nội dung dạy học

1 aa 12a 1Á eel »* 1 z a8: CN ki 22/20 03999 eMites wiiccetew 4Á j8

Ta ¬1

+ Học sinh thắc mắc, đòi hỏi giải thích cặn kẽ những vấn đề gid Yen trinh

+ Học sinh chủ động vận dung linh hoạt những kiến thức ki năng đã học dé

a có

+ Học sinh mong muốn được đóng góp với thầy với Bạn những thông tin mới lấy từ những nguồn khác nhau, có khi vượt ra ngbài phạm vi bài học, môn học

+ Về mặt xúc cảm: có những biểu hiện nhừ:hào hứng hay thờ ơ, hứng thú hay

buổồn chán đối với một nội dung nào a bài học hoặc khi tìm ra lời giải cho

bai tap, khéng nan tri ie Những tình huống khó khăn hoặc có thái độ phản

ứng khi có thái độ bá nat tiết

1.1.3.3 Các mức độ của tính tích cực học tập

X/

a, Các mức độ

+ Bắt chước: học sinh tích cực bắt chước hoạt động của giáo viên, của bạn bè,

trong fort động bắt chước cũng có sự gắng sức của thần kinh và cơ bắp

¬ Stim tòi: học sinh tìm cách độc lập giải quyết vẫn đề nêu ra mò mẫm những

Cách giải khác nhau để tìm ra những lời giải hợp lý nhất

® + Sáng tạo: Học sinh nghi ra cách giải mới độc đáo hoặc cấu tạo những bài tập

mới, lắp đặt những thí nghiệm để chứng minh bài học

b, Các trình độ tư duy tương ứng

+ Tư duy tích cực: Học sinh chăm chú nghe giảng, cô gắng đề hiểu được kiến thức

+ Tư duy độc lập: Giáo viên yêu cầu học sinh tự xây dựng khái niệm, phân

tích định lý, tìm cách chứng minh thay vì giải thích cho học sinh + Tư duy sáng tạo: Học sinh tự khám phá vấn đề, tự tìm ra cách chứng minh,

1.1.3.4 Mối quan hệ giữa tính tích cực học tập và hứng thú nhận thứ YO Hứng thú là một trong những con đường chủ yếu để làm cho học tập —

Hứng thú là yếu tố dẫn tới sự tự gidc Hig thi va ty gidc 1a nhimg yéu t6 tam

lý bảo đảm tính tích cực, độc lập, sáng tạo trong học tập, n kĩ phong cách

học tập tích cực, độc lập, sáng tạo, có ảnh hưởng tới ở t triển hứng thú của

Điều kiện phát triển hứng thú của học sinh `

+ Tiến trình dạy học ở mức độ thích hợp-thất với trình độ phát triển của học

sinh Một nội dung quá dễ và quá không gây được hứng thú cho học

sinh Cần biết đẫn dắt để học Bò thấy cách mới từ đó có thể tự lực đành lẫy

+ Tao ra khang khí có lợi cho lớp học, làm cho học sinh thích thú đến lớp,

mong đợt đền giờ học Muốn vậy phải tạo ra sự giao tiếp thuận lợi giữa thầy —

tro, Altre trò — trò Bằng trình độ khoa học và sư phạm của mình, giáo viên tao

Yc uy tin cao, bằng tác phong gần gũi than mật, giáo viên chiếm được sự gần

©) gũi của học sinh, bằng cách tổ chức và điều khiển hợp lý các hoạt động của từng

oS cá nhân với tập thê học sinh, giáo viên tạo được hứng thú cho cả lớp và niềm vui

học tập đối với từng học sinh 1.1.3.5 Mối quan hệ giữa trí sáng tạo và tính tích cực

Trí sáng tạo: Thường được hiểu là khả năng sản sinh ra ý tưởng độc đáo, hữu

ích, phù hợp với hoàn cảnh Sáng tạo thường lien quan đến tư duy tích cực, chủ

động, độc lập, tự tin Người có trí sáng tạo không chịu suy nghĩ theo lề lối

chung, không bị giàng buộc bởi những quy tắc, hành động cứng nhắc đã làm

được, ít chịu ảnh hưởng của người khác

Muốn phát triển trí sáng tạo của học sinh giáo viên phải áp dụng kiểu dạy tích `

cực tức là giáo viên phải biết tổ chức, hướng dẫn cho học sinh tự mình O

phá kiến thức mới, dạy cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương phá

học, trong đó cốt lõi là phương pháp tự học Chính trong các hoạt adie ty hoc

được giao cho từng cá nhân hoặc cho nhóm nhỏ mà tiềm năng sang fạo của mỗi học sinh được bộc lộ và phát huy Giáo viên phải biết luyệrí tập cho các em có

thói quen nhìn nhận sự việc đưới nhiều góc độ khác nhau) iết đặt ra nhiều giả

thuyết khi lý giải một hiện tượng, biết đề xuất những ia pháp khác nhau khi

phải xử lý một tình huống, phải giáo dục cho ¡nh không vội và bằng lòng với giải pháp đầu tiên đã nêu ra, không suy hghĩ cứng nhắc theo nhưng quy tắc

lý thuyết đã học trước, không máy mớ€`vận dụng những mô hình đã gặp để ứng xử trong những tình huồng mới;

1.1.4 Phương pháp dạy he tie cực

1.1.4.1 Khái niệm: trồng pháp dạy học tích cực là nói đến một nhóm

www.daykemquynhon.ucoz.com phương pháp giáo dục theo hướng phát huy tính tích cực,chủ động,sáng tạo của

hoc sinh Co thể hiểu rằng: Phương pháp dạy học tích cực là một hệ thống các phương pháp tàè động của giáo viên nhằm khêu gợi tư duy của học sinh, tổ chức hoạt độ ân thức của học sinh theo quy trình

Phitong pháp dạy học tích cực không chỉ giáo dục cho học sinh tư duy tích cực

- hu yếu la tư duy độc lập, chuẩn bị cho tư duy sáng tạo, học sinh tiếp cận

ede kiến thức, qua làm việc cá nhân và theo nhóm, qua trao đổi, hợp tác với bạn

@ bè

© 1.1.4.2 Những đặc điểm cơ bản của phương pháp đạy học tích cực

a Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động của học sinh Phương pháp dạy học tích cực dựa trên cơ sở cho rằng: Cách tốt nhất để hiểu

là làm việc Trong phương pháp dạy học tích cực, người học - chủ thể của hoạt

Suu tâm bởi GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.facebook.com/daykem.quynhon

Trong cach day hoc truyén thong, viéc danh gia con phién diện, một chiều,

Ps

giáo viên giữ vai trò độc quyển trong việc đánh giá học sinh, học sinh là đôi tượng đánh giá, nhưng trong dạy học theo hướng phát huy tính tích cực của học

sinh thì giáo viên phải hướng dẫn học sinh phát triển kỹ năng tự đánh giá tự điều :%`

1.1.4.3 Phương pháp dạy học phát huy tính tích cực học tập aoe

Trong dạy học, hai nhân vật trực tiếp quyết định chất Iuong «fay học là giáo

viên và học sinh Giáo viên là chủ thể tổ chức, điều khiển tiến tình dạy học, học

sinh vừa là đối tượng vừa là chủ thể tự giác, tích cực trong quá trình nhận thức

và rèn luyện kỹ năng Hai nhân vật này tồn tại son ng, hoạt động phối hợp nhịp nhàng với nhau, thiếu một trong hai thì h ống đạy học bị phá vỡ Giáo viên cần tạo điều kiện thuận lợi nhất c ơ:học sinh học tập, lựa chọn phương

pháp dạy học phù hợp với nhu cầu ping lực và điều kiện cụ thể của từng cá

nhân, lây mục tiêu cuôi cùng là châflượng học tập của học sinh đê phân đâu

Phương pháp dạy học phat hy tính tích cực của hoc sinh là tổ chức dạy học Produced

: nguyenthanhtuteacher@hotmail.com trên sức lực và trí tuệ học sinh để mỗi học sinh tự nghiên cứu, thực hành và tìm

—WWw:daykemquynhon.ucoz.com ra kiến thức, hình thành bác kĩ năng trong nhận thức cũng như trong hành động

Tính tích cực ở đây là tích cực một cách chủ động nghĩa là người học được chủ động trong toàn 6ộ quá trình tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ nhận thức

| | dưới sự tổ-èhức, hướng dẫn của giáo viên

| Các yếu cầu cơ bản của phương pháp dạy học phát huy tính tích cực chủ động

l vibe tập của học sinh:

© + Mọi đối tượng học sinh giỏi, khá, trung bình, yếu đều được tích cực hoạt

| ow động tư duy

| + Học sinh được tự lực tiếp cận kiến thức với những mức độ khác nhau

| + Hoc sinh được hướng dẫn hoạt động nhận thức, giải quyết vấn đề theo quy

3il.com

+ Giáo viên giữ vai trò chủ đạo, tổ chức các tình huống học tập hướng dẫn học

sinh giải quyết vấn đề, khẳng định vốn kiến thức mới trong vốn tri thức của học sinh

+ Học sinh là chủ thể nhận thức, chủ động hoạt động trí óc, biết tự học, ta chiếm lĩnh trỉ thức từ nhiều nguồn khác nhau `

1.1.4.4 Phát huy tính tích cực học tập của học sinh với quan aay

Phát huy tính tích cực được xem như một nguyên tắc của quá trinh dạy học bảo

đảm chất lượng và hiệu quả dạy học, đã được đề cập nghiến tứu và phát triển

mạnh mẽ trên thế giới và được xác định là một trong nhirn 'phương hướng của

# nal nhah wthn Awan 4s hay ta 1l fax nXena ON ana +hâ trau Xe

Dựa vào định nghĩa nguyên hàm và các tính chất của đạo ham, ta có thé chúng )

minh được một số tính chất quan trọng của nguyên hàm như: `

- Nếu F(x) là một nguyên hàm của ƒ(); a là một hằng số thì ofc một

- F(x) + G(x) + C€ là họ các nguyên hàm của ƒ(x) + a(n F(x) 1a mét

nguyén ham cua f(x); G(x) là một nguyén ham cua g(x V>

Dựa vào các tính chất đó và bảng đạo hàm các ham(s6 sơ cấp cơ bản ta có thể

ham Vi vay phai gidi thiệu thềm cho học sinh biết phương pháp tìm nguyên

hàm từng phần qua nhimg vi du cu thé va phương pháp tìm nghuyên hàm bằng

cách đổi biến số Nếu học sinh nắm được những điểm cơ bản của hai phương

pháp này thì sau nay khi tính tích phân sẽ có nhiều thuận lợi hơn

Việc tim nguyen hàm các hàm số hữu tỉ tuy không giúp học sinh củng cố được

nhiề GỀ thức về mặt lý thuyết nhưng lại có tác dụng khá lớn trong việc rèn

luyện kĩ năng tính toán

OX Vì vậy, cũng nên cho học sinh làm quen với việc tìm nguyên ham các hàm số

V hữu tỉ qua các ví dụ

Khái niệm nguyên hàm một mặt có liên quan với khái niệm đạo hàm, mặt khác

có liên quan với khái niệm tích phân Vì vậy khi dạy học tìm nguyên hàm cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng các kiến thức để sau này tính tích phân

tốt hơn

21

được rằng: mọi hàm số liên tục đều có nguyên hàm

+ Không có quy trình tìm nguyên hàm dựa vào định nghĩa vì định nghĩa nguyên ; >

+ Dựa vào bang nguén hàm và các tính chất của nguyên hàm, ta có thể tìm được

nguyên hàm của một số hàm số đơn giản Khi tìm nguyên hàm của những hàm

số phức tạp, người ta thường dùng phương pháp đổi biến số (dựa-vào tính chất của đạo hàm của hàm số hợp) và phương pháp lấy nguyên bàn Ying phần (dựa

Vv:

of

2.1.2.1 phương pháp 1 : Các bài tập nhằm củ có các kiến thức lý thuyết

vào đạo hàm của tích hai hàm sô)

2.1.2 Hướng dẫn giải bài tập tìm nguyên hàm

về định nghĩa, tính chất của nguyên hàm w 2.1.2.1.1 Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa

_> Bài toán 1 Chirng minh rằng F(x) à một nguyên hàm của hàm số f(x)

Phuong pháp hung: Ta thực hiện các bước sau

Bước 1: Xác định F“(œ)rên (a; b)

Bước 2: Chứng mith rang F'(x) = f(x) voi Vx € (a;b)

22 www.facebook.com/daykemquynhonofficial

Bước 2: Ta thấy F”(x) = ƒ() với Vxe R

Vậy F(z) = ln(x + Vx2+ avới a > 0 là một nguyên hàm của hàm số

c) F(x) = 5 + 2sin?x và G(x)=1-—cos2x ©

5 Hướng dẫn: Ching minh F’(x) = G'(x) + C ‹*

= Ễ > Bài toán 2: Xác định các giá trị của tham ae là một nguyên hàm

N € 5 của hàm s6 f(x) trén (a; b) es

5 a 2 Phương pháp chung : Ta Shien theo các bước sau

q So Bước 1: Xác dinh F’(x) trén [a, b] eo

HS Bước 2: Để (+) là một nguyên(flầm của hàm số ƒ (2) trên (4; b) điều kiện là

š 3 = F'(x) = f (x) với Vx € (a; bys) ra giá trị của tham số

3 5 2 Chú ý: Néu thay (a; by bang [a, b] thì phải thực hiện chỉ tiết hơn, như sau:

=| % ặ Bước 1: Xác định trên (a; b)

_{xzˆ khi x < 1

Là một nguyên hàm của hàm sô:

23 www.facebook.com/daykemquynhonofficial

> Bài toán 3: Nguyên ham cia ham so dang [ f(x) + f’(x)]e*

Phuong pháp chung: Ta thực hiện theo các bước sau

Bước 1: Xét ham s6 F(x) = f(x)e*

Nhận xét rằng: F'(x) = ƒ'(x)e* + ƒ()e* =[ƒŒ) + ƒ'@)]e* `

Bước 2: Vậy F(x) = ƒ(x)e* + C€ là họ nguyên hàm của hàm số đã cho 20

Chú ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các hàm số dạng ~~

1 Ham sé [ f’(x) — f(x) Je* co ho nguyén ham 1a F(x) = f(x 5s

2 Ham sé [ f’(x) + af (x) Je%**?” cé ho nguyén ham F(x) cành tỷ

3 Hàm số [ƒ'(x) + #'ƒ(z) ]e#* có họ nguyên hàm là Fx) = faye"

Ví dụ 4: Xác định nguyên hàm của hàm số sau: ‹ỲŸ

a) — Ta biến đổi ƒ(+) về dạng: `

f(x) = [(2x+ 1) + (x27 +x4+ De” +x+ 1} +(x?+x+1)]e Xét hàm số F(%) = (x?+x+ Des

Nhận xét rằng ws

F'(x) = (x2 +x +1)e* > + 1)e* = (x* + 3x + 2)e* = f(x)

Ví dụ 5: Xác định nguyên hàm của các hàm sô sau

DS Bài toán 4 toán 4: Nguyên hàm của hàm số dang uv + vu

Phuong pháp chung: Ta thực hiện theo các bước sau

F'(x) =ư + tu

Bước 2: Vậy F(x) = uv + C la ho nguyén ham của hàm số đã cho

25 www.facebook.com/daykemquynhonofficial

Ta biến đổi f(x) vé dang

st

Vay F(x) = xV4—x +C la ho nguyén ham cua ham sé đấ cho

2.1.2.1.2 Xác định nguyên hàm bằng việc sử dụng jie các nguyên hàm cơ

> Bài toán : Chứng minh rằng nếu ƒ ƒ() đề" F(x) + C thi

[roars wy ax= irae) +c via 6

Sưu tâm bởi GV Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 2 (Ví dụ 1/ Phương pháp giải toán tích phân/trang 26): Tính nguyên

hàm của các hàm sô sau:

Phương pháp chung: Ta thực hiện thee bte bước sau

Bước 1: Chọn x = ¢(t), trong đó @(£) là hàm số meta on cho thich hop

Bước 2: Lấy vi phân dx = g'(t)dt 5

Bước 3: Biểu thị ƒ(x)dx theo tvà dt .*

Giả sử rằng ƒ(x)dx = g(t)d w®

Bước 4: Khi đó :I = [g(t)dt “\

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ân phụ kiêu trên thông thường là

Dấu hiệu nO Cách chọn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính ¡ = |

Giải Bước 1 Dat: x =

of

wate

1— x?

na ; Sử dụng phương pháp đỗi biến số dang 2 tính nguyên hàm

| | Phương pháp chung: Ta thực hiện theo các bước

| Hine 1: Chọn t = g(x), trong d6 g(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp,rồi

c xác định x = w(t) (néu cé thé)

Bước 3: Biểu thị ƒ(x)dx theo t va dt Gia su rang f(x)dx = g(t)dt

Bước 4: Khi đó I = f g(t)dt

28 www.facebook.com/daykemquynhonofficial

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới sự lựa chọn ấn phụ kiểu trên thông thường là

Bước2) Suy ra: dt = — sinx dx

h Buse 3 cos3x sinxdx = —t3dt

Phương pháp chung: Ta dựa vào định lý sau:

Nếu hai hàm số = u(x) va v = (+) có đạo hàm liên tục trên K thì

29 www.facebook.com/daykemquynhonofficial

| u(x)v' (x) dx = u(x)v(x) - | u'(x)v(x) dx

Vi du 1 (Bai 4/ Giai tích 12/ Trang 101): Sử dụng nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) ƒxln(1 +x)dx a b) ƒ(1 — x) cosx dx ss

u=1-x gS (du = —dx

> Bai toan 1: Tinh I = ƒ P(x) sna (hoặc ƒ P(x) cosơxdx) với P là một đa thức thuộc R[X] và eR

Phuong phap chung: Ta thực hiện theo các bước sau:

> Bài toán 2: I = ƒ e°* cos(bx) dx (hoặc ƒ e^* sin(bx) ới a,b # 0

Phương pháp chung: Ta lựa chọn một to hai cách sau

ne —e™ sin(bx) —— | e™ cos(bx) dx = Si ^* sin(bx) — =i (2)

Bust 3: Thay (2) vào (1), ta được:

I = f e™ cos(bx) dx = [A cos(bx) + B sin(bx)]e% + C€ (3)

Trong đó 4, B là các hằng só

Bước 2: Lấy đạo hàm hai về của (3) ta được:

= [(Aa + Bb) cos(bx) + (Ba — Ab) sin(bx)]e%* , <>

A=—— Q:

|ae+ss=+_ | SP" h o~es

I, = ƒ e** cos(bz) dx và lạ = ƒ e““ sin( + ta lựa chọn cách trình bày sau:

Sử dụng tích phân từng phần chit, nhu sau:

www.daykemquynhon.ucoz.com Khi do: /, =—¢ cos(0) +o fem sin(bx) dx = ae cos(bx) +7 | 1 „ ON.» | 1 b (3)

: Sử dụng tiềh phân từng phan cho ï;„ như sau:

` đó: l¿ = 2s” sin(bx) — =| e™ cos(bx) dx = se sin(bx) — sh (4)

Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được:

2 Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các nguyên hàm:

i= e™ sin*(bx) dx va J, = | e™cos* (bx) dx

Vi du 3: Tinh nguyén ham :/ = f e*cos?x dx

Khi dé: K = e* sin — 2 f e* cos(2x) dx =e* sin(2x) — 2] (3)

Thay (3) vao 2), ta duoc:

1=5 | e*(1 + cos2x) dx =(a+bcos2x+csin2x)e*+C (5)

Lẫy đạo hàm hai về của (5), ta được:

33 www.facebook.com/daykemquynhonofficial

2 Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các nguyên hàm:

je = { e™ sin*(bx) dx va Jz = | e* cos? (bx) dx

Ví dụ 3: Tính nguyên hàm : I = f e*cos?x dx

Cách 1: Viết lại I dưới dạng xs

Thay (3) vao 2), ta được:

=[a + (2c + b) cos 2x + (c — 2b) sin 2x]e* (6)

“ÊY ta, J =5xe — | se" dx =—xe?* ——e3“ +C

‹* Bài toán 4: Tính I = ƒ x*“lnxdx, với œ e R\{—1)

Trong một số trường hợp cần phối hợp cả ba phương pháp Dùng trực tiếp định

lý Newton-Leibnitz, đôi biến số, tích phân từng phần và có trường hợp phải sO

Cũng nên chú ý rằng nếu nắm vững ý nghĩa hình học của tích phân SS một

số trường hợp ta có thê tính các tích phân bằng phương pháp đơn giấn lon thông

Để tính tích phân xác định của hàm sof) trén [a, b] ta thường tìm nguyên

hàm F(z) của nó và công thức Neut ibnitz

Trong những trường hợp cản thiết, khi sử dụng định lý Neuton-Leibnitz,

người ta còn phải dựa vào phirong pháp đổi biến số và phương pháp nguyên

hàm từng phần để tính tíÈh' phân Cách tính như vậy gọi là tính tích phân bằng cách đôi biến số ha tích phân từng phần

Trong nhiều, bài toán việc tìm nguyên hàm rất phức tạp và khó khăn Thậm

chí khôn “được nguyên hàm dưới dạng hiện Vì vậy, nhu cầu tính tích phân

xác định được khảo sát chỉ tiết Trong những trường hợp đó, nếu biết dựa vào

VÀ tính chất đặc biệt của hàm dưới dấu tích phân và những biến đổi thích

ore ta có thé tính được một số dạng tích phân xác định

>

Ww 2.2.2 Hướng dẫn giải bài tập tính tích phân 2.2.2.1 Phương pháp 1 Tính tích phân bằng phương pháp phân tích

* Kiến thức cơ bản: Bằng việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức đưới dấu tích phân thành các hạng tử mà nguyên hàm của mỗi hạng tử đó

có thê nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản

36 www.facebook.com/davkemauvnhonofficial

Sưu tâm bởi GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

đã biết, từ đó ta xác định được giá trị cuả tích phân Phương pháp này được áp

dụng trong hầu hết các dạng tích phân, bao gồm:

Sưu tâm bởi GV Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+

anr= | cos*xdx b)(ĐHBK HN - 98): ï = | cos2x(cos*x + sin*x)dx

0 0

2.2.2 Phuong phap 2 Tinh tich phan bang phwong phap déi bién sé

>_ Bài toán I: Sử dụng phương pháp đổi biến dạng | tinh tích phân Sà

Bước 1: Chọn x = g(t), trong d6 y(t) la ham sé ma ta chemeho thích hợp

Bước 3: Tính các cận ø và ổ tương ứng theo a va C2 Bước 4: Biểu thi f(x)dx theo t va đt Giả sử ƒ()dx = g(t)dt

Lưu ý: Chúng ta cần nhớ lại cấc ấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ấn phụ kiểu trê

a2 — Sử x = |a| sint Với — < t <—~ 2 2

Mv Hoặc x = |a| cos t với 0 < t < 7

xy

d ng Hoặc x = —— với t € lai

‘yy ặc x = ——_ voit € [0, ant }

x = |altant véi—<t<— = voi — =

1

i

Bước 2 Khi đó: dx = cos tdt `

Bước 3 Đôi cận: với x = Ö > £ =0

1

V1—x?dx = J1— sín?t cos tdt = |cos nền) = 5 + cos 2t)dt