Một trong những nội dung rất cơ bản của môn Toán lớp 6 đó là toán chia hết.Toán chia hết là một dạng toán quan trọng, xuyên suốt quá trình học Toán từ lớp 6 đến lớp 9 và các cấp cao hơn.
Trang 1MỤC LỤC Trang
1 Lời mở đầu 01
1.1 Lí do chọn đề tài 01
1.2 Mục đích nghiên cứu 01
1.3 Đối tượng nghiên cứu 01
1.4 Phương pháp nghiên cứu 01
2 Nội dung 02
2.1 Cơ sở lí luận của vấn đề 02
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 02
2.3.Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề 03
2.3.1 Giải pháp 1 03
2.3.2 Giải pháp 2 03
2.3.3 Giải pháp 3 04
2.4 Hiệu quả 18
3 Kết luận và kiến nghị 19
Trang 21 MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học có ứng dụng trong mọi lĩnh vực của cuộc sống.Từ xaxưa con người ta đã biết đến toán học thông qua đo đạc và tính toán Trong nhàtrường môn toán giữ vai trò quan trọng bởi môn toán có tính trừu tượng, tínhlogic, tính chính xác và có tính thực nghiệm cao.Vì vậy làm thế nào để học giỏitoán, đó là câu hỏi đặt ra cho nhiều thế hệ học sinh
Một trong những nội dung rất cơ bản của môn Toán lớp 6 đó là toán chia hết.Toán chia hết là một dạng toán quan trọng, xuyên suốt quá trình học Toán từ lớp
6 đến lớp 9 và các cấp cao hơn Bởi vậy các em học sinh cần phải trang bị chomình kiến thức vững vàng về “Dạng Toán chia hết”
Kỹ năng giải Toán và biết vận dụng kiến thức đã học của học sinh vào giải bàitập là vấn đề mà giáo viên nói chung luôn phải quan tâm Thực tiễn dạy và họccho thấy kỹ năng giải toán, các phép biến đổi cơ bản, phương pháp giải Toán chiahết của học sinh còn rất yếu Nhận thức về vấn đề trên, tôi muốn truyền đạt chocác em nhiều dạng Toán để cung cấp cho các em những kiến thức, phương pháp,
kỹ năng để giải Toán
Là một giáo viên nhiều năm được nhà trường phân công nhiệm vụ dạy độituyển và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6 tôi luôn suy nghĩ làm thế nào để vừađáp ứng được các kiến thức cơ bản theo chương trình chuẩn của BGD đồng thờiphát triển tư duy ở trình độ cao phù hợp với khả năng và trí tuệ của các em họcsinh Từ những băn khoăn trăn trở đó tôi đã tìm tòi nghiên cứu tài liệu để viết nên
đề tài “Rèn luyện kĩ năng giải toán chia hết nhằm nâng cao hiệu quả bồi dưỡnghọc sinh giỏi lớp 6 ở trường THCS Thạch Quảng"
Nhằm tìm ra biện pháp hữu hiệu nhất để có một phương án đúng đắn giúp họcsinh tiếp cận với các bài toán chia hết một cách chủ động, có hứng thú trong quátrình học
1.2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích viết đề tài này nhằm giúp học sinh giỏi lớp 6 rèn luyện kĩ năng giảitoán chia hết đạt hiệu quả góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy và học Mặtkhác giúp các em học sinh giỏi nắm chắc các phương pháp giải dạng Toán “chiahết”, hình thành cho các em các kỹ năng suy luận, biến đổi, nhận dạng và thể hiệntốt lời giải bài toán
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Các dạng toán chia hết trong chương trình lớp 6
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu chương trình Toán lớp 6
- Phương pháp nghiên cứu tư duy, khả năng nhận thức của học sinh
- Phương pháp thống kê sử lí số liệu
Trang 32 NỘI DUNG
2.1.Cơ sở lí luận:
Trong chương trình THCS nói chung và bộ môn toán học nói riêng mục tiêuđặt ra là không chỉ truyền đạt cho học sinh kiến thức theo yêu cầu mà phải hìnhthành ở các em những kiến thức tổng quát để từ đó các em có thể vận dụng trongmọi trường hợp, các em có thể giải quyết được những vấn đề đặt ra
Vì lẽ đó mà mỗi giáo viên cần truyền đạt cho học sinh các phương pháp, để từnhững phương pháp được học các em vận dụng vào những vấn đề cụ thể
Đề tài được nghiên cứu thực hiện trên thực tế tiết dạy về các bài tập thể hiệndạng toán “chia hết” Và trong những năm gần đây phương pháp dạy học mônToán đã có một số cải tiến mới nhằm phát huy tính tích cực của học sinh bằngcách tăng cường hệ thống câu hỏi và bài tập có yêu cầu phát triển tư duy trong quátrình giảng dạy bài mới Vì vậy hệ thống bài tập thể hiện dạng toán “chia hết”cũng có một vai trò quan trọng trong giải toán Nó giúp học sinh phát triển khảnăng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giảitoán, trình bày lời giải chính xác và lôgic
Học sinh muốn có kiến thức toán sâu thì phải luyện tập và thực hành nhiều đểtích luỹ vốn kiến thức toán học của mình Đây cũng là vấn đề khó đối với ngườihọc, chính vì vậy thì đòi hỏi người dạy cần truyền đạt cho các em sự ham thíchhọc toán bằng những phương pháp, kĩ năng giải toán và ứng dụng của mỗi dạngtoán
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Dạng toán chia hết được đề cập trong SGK ngay từ đầu lớp 6.Thông
thường khi dạy dạng toán này giáo viên lại phải nhắc lại các kiến thức cơ bản đãhọc làm mất rất nhiều thời gian của tiết dạy Bên cạnh đó kỹ năng biến đổi để làmxuất hiện các yếu tố chia hết trong biểu thức số hay biểu thức đại số của các emcòn chưa linh hoạt, có những bài toán rất đơn giản mà các em biến đổi rất dàidòng và rất phức tạp, thực chất nêú các em nắm chắc các phương pháp giải dạngtoán chia hết thì rất đơn giản.Trong quá trình giảng dạy nhiều GV không hay để ýtới dạng toán này vì dạng toán này thường được đặt dưới bài toán cụ thể trongSGK nên không nghĩ đó là trọng tâm của bài Bên cạnh đó nếu có giải thì cũngchưa yêu cầu học sinh làm thêm trong sách bài tập hoặc ngoài phạm vi sách giáokhoa để rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy của HS Mặt khác tài liệu thamkhảo viết về dạng toán này hầu như không có ở thư viện của trường Từ nhữngsuy nghĩ đó và thực tế giảng dạy tôi đã mạnh dạn viết đề tài này
Từ thực trạng trên với mục đích khảo sát cụ thể để đánh giá và từ đó có biệnpháp giảng dạy có hiệu quả tôi đã tham khảo nhiều tài liệu và tiến hành khảo sát 7
em trong đội tuyển học sinh giỏi
Bài tập 1: Tìm tất cả các số x;y để có số 34x5 y chia hết cho 36
Bài tập 2: Tìm số tự nhiên n để n n153 là số tự nhiên
Bài tập 3: Cho n N chứng minh rằng 5n- 1 chia hết cho 4
Trang 4
Kết quả thu được sau khi các em làm 3 bài tập trên như sau:
( Kết quả khảo sát đầu năm học 2016 – 2017)
Điểm < 5 Điểm 5 <6,5 Điểm 6,5 < 8 Điểm 8 10
Trong khi chấm khảo sát tôi còn phát hiện thấy phần đa số các em chưa cóphương pháp giải, lời giải dài dòng, lập luận không chặt chẽ, thiếu tính lo gic Ởmột số em còn thử và ngộ nhận kết quả Chính vì vậy sau thời gian đắn đo suynghĩ tôi đã mạnh dạn chọn đề tài này để nghiên cứu và xin giới thiệu với đồngnghiệp cùng tham khảo
2.3.Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề
Để giúp học sinh học tốt, làm tốt được dạng toán “chia hết” này tôi đã trang
bị cho học sinh nội dung kiến thức sau, đó là nền tảng, là cơ sở để áp dụng giảicác bài tập dạng này
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA
Cho 2 số nguyên a và b trong đó b 0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và
r duy nhất sao cho:
a = bq + r Với 0 r b
Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư.
Khi a chia cho b có thể xảy ra b số dư
r {0; 1; 2; …; b}
Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a
Ký hiệu: ab hay b\ a
Vậy:a b Có số nguyên q sao cho a = bq
Trang 515 Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!
III MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT
2 Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9
+ N 3 (hoặc 9) a0+ a1+…+an 3 (hoặc 9)
a Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương Nếu hai số nguyên a và b cho cùng số
dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m
Ký hiệu: a b (mod m)
Vậy: a b (mod m) a – b m
b Các tính chất
1 Với a a a (mod m)
2 Nếu a b (mod m) b a (mod m)
3 Nếu a b (mod m), b c (mod m) a c (mod m)
4 Nếu a b (mod m) và c d (mod m) a+c b+d (mod m)
5 Nếu a b (mod m) và c d (mod m) ac bd (mod m)
6 Nếu a b (mod m) an bn (mod m) (n N*)
V.NGUYÊN TẮC ĐIRICHLÊ
Nội dung quy tắc này được phát biểu dưới dạng một bài toán sau: Nếu nhốt
n thỏ vào m lồng(n > m) thì ít nhất có một lồng nhốt không ít hơn hai con thỏ
2.3.3.Giải pháp thứ ba: Phân dạng các dạng toán cơ bản trong chuyên đề toán chia hết lớp 6.
Trong phần này tôi chia theo từng dạng để dễ dàng cho người dạy và người học
tham khảo, lựa chọn một số bài cho HS làm từ dễ đến khó Một bài có thể vậndụng theo nhiều cách khác nhau, phát triển cho HS tính linh hoạt trong quá trình
giải toán
Trang 61.Dạng 1: Tìm các chữ số chưa biết của một số
Bài toán 1: Tìm các chữ số a và b sao cho 19ab chia hết cho 5 và 8
Nhận xét: Để tìm được a và b ta phải thấy được hai dấu hiệu cơ bản đó là số đó
chia hết cho 5 và 8
Giải
Vì 19ab chia hết cho 5 nên b = 0 hoặc b = 5 và 19abchia hết cho 8 nên
suy ra b = 0
Mặt khác, 19a0 chia hết cho 8 nên 19a0chia hết cho 4 khi a0chia hết cho 4 suy
ra a {0;2;4;6;8} Ta có 19a0 chia hết cho 8 khi 9a0chia hết cho 8 nên a=2 hoặc a=6 Vậy nếu a=2 thì b=0 và nếu a=6 thì b=0 nên số cầm tìm là 1920 và 1960
Bài toán 2: "Tìm các chữ số a và b sao cho 56a3 b chia hết cho 2 và 9" 1
Nhận xét: Để tìm được a và b ta phải thấy được hai dấu hiệu cơ bản đó là số đó
chia hết cho 2 và 9
Giải
Vì số 56a3 b 2 nên b = 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8
Số 56a3 b 9 5 + 6 + a + 3 + b = 14 + a + b 9
+ Với b = 0 và 0 a 9ta được a = 4 thoả mãn
+ Với b = 2 và 0 a 9ta được a = 2 thoả mãn
+ Với b = 4 và 0 a 9ta được a = 0 thoả mãn
+ Với b = 6 và 0 a 9 ta được a = 7 thoả mãn
+ Với b = 8 và 0 a 9 ta được a = 5 thoả mãn
Vậy các số (a;b) thoả mãn là: (a;b) = (0;4) ; (2;2) ; (4;0) ; (5;8) ; (7;6)
Bài toán 3: "Tìm các chữ số a và b sao cho a2017 b chia hết cho 90". 2
Nhận xét: Để tìm được a và b ta phải thấy được số 90 = 9.10 mà (9;10) = 1 nên
Bài toán 4: "Tìm các chữ số x, y sao cho 2014xy 42 " 3
Nhận xét: Để tìm được x và y ta phải phân tích được số
Trang 7Nhận xét: Nếu A chia hết cho 2 và 5 thì y = 0 nhưng theo đề bài A = x183y chia
cho 2; 5 đều dư 1 nên ta tìm được y = 1
A = x183y chia cho 9 dư 1 x1831 – 1 9 từ đó dựa vào dấu hiệu chia hết cho
9 ta tìm được x
Giải
Do A = x183y chia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1.Ta có A = x1831
Vì A = x1831 chia cho 9 dư 1 x1831 – 1 9 x1830 9
x + 1 + 8 + 3 + 0 9 x + 3 9, mà 0< x 9 nên x = 6
Vậy x = 6; y = 1
Bài toán 6 : Chữ số a là bao nhiêu để aaaaa96 chia hết cho cả 3 và 8
Nhận xét: aaaaa96 chia hết cho cả 3 và 8 mà ba chữ số tận cùng là a96 nên ta sẽchọn dấu hiệu chia hết cho 8 để tìm a rồi sau đó thử lại với trường hợp chia hếtcho 3
Kết luận: Vậy số phải tìm là 6666696
Bµi to¸n 7 : Tìm các chữ số a ; b sao cho a – b = 4 và 7a5b1 chia hết cho 3
Giải
Ta có số 7a5b1 3 7 + a + 5 + b + 1 3 a + b + 13 3 (1)Mặt khác a – b = 4 mà 0 b 9 0 < a 9 nên ta có
Từ (1) và (2) ta được các giá trị (a;b) thoả mãn là (a;b) = (6;2) ; (9;5)
2.Dạng 2: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số
Bài toán 8 : "Cho A = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 60
Chứng minh rằng: A chia hết cho 3; 7 và 15" 5
Nhận xét: Với dạng toán này ta thường nhóm các số hạng thành các nhóm để đặt
thừa số chung rồi áp dụng tính chất chia hết của một tích
Giải
Ta có: A = 2 + 22 + 23+…+ 260
= 2(1+2)+ 23 (1+2)+…+ 259 (1+2) = 3 (2 + 23 + 25+…+ 259)
= 3 (2 + 23 + 25+…+ 259) 3
Ta có A = 2 + 22 + 23+…+ 260
= 2 (1 + 2 + 22) + 24 (1 + 2 + 22) + … + 258 (1 + 2 + 22)
= 2 7 + 24.7 + … + 258.7
Trang 8= 7 (2 + 24 + …+ 258) 7
Ta có A = 2 (1 + 2 + 22 + 23) + 25(1 + 2 + 22 + 23) + … +257(1 + 2 + 22 + 23) = 2 15 + 25.15 + …+ 257.15
= 15( 2 + 25 + … + 257) 15
KL: Vậy A chia hết cho 3,7 và 15
Bài toán 9: "Cho A = 3 + 32 + 33+ … + 390 Chứng minh rằng A chia hết
cho 11 và 13" 6
Nhận xét: Dãy số của A có 90 số hạng ta nhóm thành các nhóm mỗi nhóm 5 số
hạng rồi đặt thừa số chung sẽ xuất hiện thừa số chia hết cho 11.Nhóm mỗi nhóm 3
số hạng rồi đặt thừa số chung sẽ có thừa số chung chia hết cho 13
Kết luận : Vậy A chia hết cho 11 và 13
Bài toán 10: Chứng minh rằng 4343 – 1717 chia hết cho 5
4343 có tận cùng là chữ số 7 Vậy 4340.433 có tận cùng là chữ số 7 hay 433 có tậncùng là chữ số 7
Ta có 1717 = 1716 .17 = (174)4 17
Vì 174 có tận cùng là 1 nên ( 17 4 ) 4cũng có tận cùng là 1 hay 176 cũng có tận cùng
là 1 Do đó 1716.17 có tận cùng là 7
Hai số 4343 và 1717 có chữ số tận cùng giống nhau nên 4343-1717 có chữ số tận cùng
là 0, Suy ra 4343-1717 chia hết cho 5
Giải
Trang 9 139+ (–1)21
0 (mod 20)Như vậy 2139 + 3921 20; do đó 2139 + 3921 5
Tương tự ta chứng minh 2139 + 3921 9 mà (5;9) = 1 nên 2139 + 3921 5.9
2139 + 3921
45Kết luận: Vậy 2139 + 3921 chia hết cho 45
Bài toán 12: "Cho 1 20122015 9294
A (7 3 ) 2
Chứng minh A là số tự nhiên chia hết
Trang 10DÔ thÊy 7 2012 2015 3 92 94> 0 mµ 7 2012 2015 3 92 94 10 suy ra 1 20122015 9294
A (7 3 ) 5.k; k N 2
Suy ra A là số tự nhiên chia hết cho 5
Bài toán 13:"Cho A 10 2012 10 2011 10 2010 10 2009 8
Chứng minh rằng A chia hết cho 24" 8
8 chia cho 3 dư 2
Vậy A chia cho 3 có số dư là dư của phép chia (1 + 1 + 1 + 1 + 2) chia cho 3
Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có số dư bằng 0)
Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 8.3 = 24
08
111100
Số A có 3 chữ số tận cùng 008 chia hết cho 8
Lại có tổng các chữ số của A là 12 chia hết cho 3
Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 8.3 = 24
Bài toán 14: Chứng minh rằng số
0
100
+ 8 =
0 sè 1994
08
100
Vì số
0 sè 1994
08
Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức chứa chữ
Bài toán 15: Chứng minh rằng:
a)Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2
b)Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3
c) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4
Giải
a) Trong 2 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn
Số chẵn đó chia hết cho 2
Vậy tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2
b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n; n + 1; n + 2
Trang 11Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là n(n+1)(n+2)
Một số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số dư 0; 1; 2
Vậy n.(n +1).(n +2) 3 với mọi số tự nhiên n
c) Chứng minh tương tự ta có n.(n +1).(n +2).(n +3) 4 với mọi số tự nhiên n
Tổng quát: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n
Bài toán 16: Chứng minh rằng n3– n chia hết cho 6 với n nguyên
Giải
Ta chứng minh n3 – n chia hết cho 2 và chia hết cho 3
Nếu n 0 (mod 2) thì n3 – n 03 – 0 0 (mod 2)
Nếu n 1 (mod 2) thì n3 – n 13 – 1 0 (mod 2)
Như vậy với n nguyên, n3 – n 0 (mod 2) nghĩa là n3 – n chia hết cho 2
Mặt khác
+ Nếu n 0 (mod 3) thì n3 – n 03 – 0 0 (mod 3)
+ Nếu n 1 (mod 3) thì n3 – n 13 – 1 0 (mod 3)
+ Nếu n 2 (mod 3) thì n3 – n 23 – 2 0 (mod 3)
Với n nguyên n3 – n 0 (mod 3) nghĩa là n3 – n chia hết cho 3
Kết luận: Vậy n3 – n 6 với n nguyên
Bài toán 17: Chứng minh rằng 2n +
nchuso
1
11 – n chia hết cho 9
Ta có: 2n +
nchuso
1
11 = 3n + (
nchuso
1
11 – n) chia hết cho 3
Bài toán 18: Chứng minh rằng A = 10n + 18n – 1 chia hết cho 27
Trang 12Giải
Ta có A = 10n + 18n – 1 = 10n - 9n + 27n – 1 =
nchuso
9
99 – 9n + 27n
= 9(
nchuso
1
11 – n) + 27n
Mà 27n chia hết cho 27 nên (
nchuso
1
11 – n) chia hết cho 9 suy ra 9(
nchuso
1
11 – n)chia hết cho 27
Vậy 10n + 18n – 1 chia hết cho 27
Bài toán 19 : Cho abc deg 7 CMR: abcdeg 7
Giải
Ta có: abcdeg = abc000 deg
= 1000abc deg
= 1001abc abc deg vì 1001abc 7
Do đó nếu (abc deg) 7 thì abcdeg 7
Bài toán 20: "Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a;b N) chứng minh rằng
10a + b chia hết cho 13" 9
Nhận xét: Đặt x = a + 4b y = 10a + b
Ta biết x 13 ta cần chứng minh y =10a + b 13
+ Hệ số của a ở x là 1,hệ số của a ở y là 10 nên
- Xét biểu thức 10x – y nhằm khử a tức là làm cho hệ số của a bằng 0
- Xét biểu thức 3x + y nhằm tạo ra hệ số của a = 13
+ Hệ số của b ở x là 4 hệ số của b ở y là 1 nên