Rèn kỹ năng giải phương trình vô tỷ cho học sinh lớp 9

Phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS được đề cập đến ở lớp 9 , mặc dù sách giáo khoa đại số 9 không có một tiết lí thuyết nào để dạy về phầnnày nhưng bài tập thì rất đa dạng v

1 MỞ ĐẦU

1.1.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS được đề cập đến ở lớp

9 , mặc dù sách giáo khoa đại số 9 không có một tiết lí thuyết nào để dạy về phầnnày nhưng bài tập thì rất đa dạng và phong phú Phương trình vô tỉ thường xuấthiện trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 PTTH và thi vào cáctrường chuyên trong tỉnh cũng như quốc gia

Thực tế qua theo dõi các kỳ thi HSG cấp huyện, cấp tỉnh , thi vào chuyên

có rất nhiều bài toán giải phương trình vô tỉ rất khó ,học sinh thường khó xácđịnh được cách giải hoặc giải một cách thiếu chặt chẽ và không chính xác Vì vậy

mà việc giúp các em định hướng được cách giải các phương trình vô tỉ và rèn khảnăng linh hoạt sáng tạo trong giải toán là việc làm thật sự quan trọng và cần thiết

Với những lí do đã nêu ở trên tôi đã viết đề tài “Rèn kỹ năng giải phương

trình vô tỉ cho học sinh lớp 9 trường THCS Lý Tự Trọng-TPTH ” Thông qua

đề tài này tôi muốn góp thêm một cách làm để giúp học sinh có kỹ năng thànhthao trong việc phương trình vô tỉ , phát huy được năng lực tư duy sáng tạo tronghọc toán và luôn có những ý tưởng sáng tạo trong giải toán, giúp các em càngthêm yêu thích bộ môn toán nhiều hơn

1.2.MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI.

- Đề tài giúp học sinh nắm được các dạng phương trình vô tỉ , các phươngpháp giải từ đó giúp các em có thể định hướng được cách giải khi đứng trướcmột phương trình vô tỉ

- Đề tài còn giúp bồi dưỡng năng lực phát hiện tìm tòi lời giải bài toán ,phát huy khả năng suy luận óc phán đoán của học sinh

- Nghiên cứu đề tài này tôi muốn trao kinh nghiệm dạy “Phương trình vô tỉ

” với các đồng nghiệp giúp việc dạy học đạt kết quả tốt hơn

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.

- Phương trình vô tỉ (Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn).

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

Phương pháp:

- Nghiên cứu lý luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm

Cách thực hiện:

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trìnhgiảng dạy

- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 9 trong năm học từ 2011 đến2017

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN:

Trong xu thế phát triển ngày càng cao của xã hội thì giáo dục cũng ngàycàng phải đổi mới nhiều để tiến kịp với sự phát triển đó Với mục tiêu đào tạohọc sinh trở thành những con người phát triển toàn diện về đạo đức ,trí tuệ ,thẩm mỹ, các kỹ năng cơ bản , phát triển năng lực cá nhân , tính năng động vàsáng tạo Vì vậy trong dạy học cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động ,sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng bộ môn , bồi dưỡng cho học sinhphương pháp tự học , khả năng hợp tác rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thứcvào thực tế gây hứng thú học tập cho học sinh

Do đó để giúp cho học sinh có phương pháp tự học tốt và chủ động sángtạo trong việc tiếp thu kiến thức thì việc hình thành cho học sinh kỹ năng giảibài tập , cách phát hiện đường lối giải khi đứng trước một bài toán cụ thể là mộtviệc làm vô cùng quan trong và cần thiết bởi điều đó sẽ làm cho HS vững vàng

và tự tin hơn khi làm toán

Đối với việc dạy học sinh giải phương trình vô tỉ:

- Giúp HS nắm được một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản và cách giải

- Cần giúp cho học sinh xác định được các phương pháp giải phương trình vô tỉ

từ đó giúp học sinh định hướng được cách giải

- Học sinh cần được hiểu bản chất của việc giải phương trình vô tỉ thông qua hệthống bài tập

- Cần giúp học sinh biết giải phương trình vô tỉ ở các dạng bài khác nhau

2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN.

Phương trình vô tỉ là phần PT khó, học sinh không được học một tiết líthuyết nào tại lớp vì vậy nhiều học sinh lúng túng khi đứng trước một bài giải PT

vô tỉ

Khảo sát một bài kiểm tra sau khi học xong chương I “ Căn bậc hai , cănbậc ba” về giải phương trình vô tỉ cho 10 HS thuộc nhóm HS khá giỏi với đềbài:

Giải các phương trình:

Bài 1 (3 điểm) : x− − 1 5x− = 1 3x− 2

Bài 2: (5điểm): x2 − 7x+ + + 4 (x 1) 3x− = 2 0

Bài 3: (2điểm) : x− + 1 5 − = − +x x2 2x+ 1

Kết quả như sau:

Tôi nhận thấy học sinh chưa có định hướng về cách giải phương trình vô tỉ ,biến đổi không đúng hướng nên không tìm ra kết quả, điều kiện đặt còn thiếuchặt chẽ Vì vậy nếu các em được học học phương pháp giải PT vô tỉ và rèn cácbài tập tổng hợp thì kết quả sẽ tốt hơn nhiều

Xuất phát từ nhu cầu thực tế trên tôi đã viết kinh nghiệm mà tôi đã đúc kếtđược từ nhiều năm giảng dạy ở trường THCS đặc biệt là dạy đội tuyển học sinh

giỏi dưới dạng đề tài “ Rèn kỹ năng giải phương trình vô tỉ cho học sinh lớp 9

trường THCS Lý Tự Trọng”

2.3.GIẢI PHÁP THỰC HIỆN.

+) 3 AB = 3 A B 3+) 3 3

3 ( 0)

B

b) Phương pháp chung để giải phương trình vô tỉ:

- Tìm tập xác định của phương trình ( nếu cần)

- Biến đổi đưa về phương trình quen thuộc ( Làm mất dấu căn thức).

- Giải phương trình vừa tìm được

- Đối chiếu kết quả với tập xác định và trả lời.

c Các phương pháp giải phương trình vô tỉ

Phương pháp 1: Phương pháp nâng hai vế lên cùng một lũy thừa Dạng 1 : f( )x = g (x) (1)

Khi bình phương hai vế để đi đến phương trình tương đương thì hai vế đó phải

⇔

9 29 2

9 29 2

x x

! Lưu ý: không cần phải thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu

để thử mà chỉ cần so sánh với điều kiện x ≥ 3 (*) để lấy nghiệm

Dạng 2 f( )x = g( )x (2)

f( )x = g( )x ⇔

( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )

x x

 (thoả mãn điều kiện (**))

Vậy nghiệm của phương trình là x = -1 hoặc x = 3

x x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Chú ý: - đối với các căn bậc hai khi bình phương hai vế cần phải có điều

kiện : biểu thức dưới dấu căn không âm và hai vế không âm

Thử lại ta thấy x= 1 ; x= 7 đều thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 ; x = 7

Ví dụ 7: 3 2x+ = − 1 1 3 x (2)

3 3 3 3

3 3

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Nhận xét : - Đối với phương trình chứa căn bâc ba khi lập phương hai vế

- Phương trình chứa căn bâc ba sau khi tìm ra giá trị của ẩn phải thử lại vì

trong quá trình biến đổi có những phương trình không tương đương

– Nếu x ≥ 2 : (1) ⇒ x – 2 = 8 – x ⇔ x = 5 (thoả mãn) Vậy: x = 5

Ví dụ 9 : Giải phương trình: x2 − 4x+ + 4 x2 − 6x+ = 9 1 (1)

(1) ⇔ (x− 2) + (x− 3) = ⇔ − + − = 1 x 2 x 3 1

Xét bài toán trong 3 khoảng :

+) Xét x < 2 phương trình (1) trở thành: 2 − + − = ⇔ =x 3 x 1 x 1 ( không thuộckhoảng đang xét)

+) 2 ≤ ≤x 3 phương trình (1) trở thành : x− + − = ⇔ 2 3 x 1 0x= 0 PT có vô sốnghiệm 2 ≤ ≤x 3

+) Xét x > 3 phương trình (1) trở thành x− + − = ⇔ = 2 x 3 1 x 3 ( không thuộckhoảng đang xét)

Vậy phương trình có vô số nghiệm 2 ≤ ≤x 3

Ví dụ 10: Giải phương trình: x 2 2 x 1+ + + + x 10 6 x 1+ − + =2 x 2 2 x 1+ − +

(2)

– Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm)

Với y = 3 ⇔ x + 1 = 9 ⇔ x = 8 (thoả mãn) Vậy: x = 8

Ví dụ 11: :Giải phương trình: x− + 2 2x− + 5 x+ + 2 3 2x− = 5 7 2 (3)

( Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm học

2006-2007 – dành cho mọi thí sinh)

ĐK: 5

2

x≥

PT (3) ⇔ 2x− + 5 2 2x− + + 5 1 2x− + 5 6 2x− + = 5 9 14 ( Nhân 2 vế của PT(3)với 2 )

Nhận xét: - Một số phương trình vô tỉ sau khi thêm bớt các số hạng một

cách hợp lí tạo thành các hằng đẳng thức ( như PT ở ví dụ 10) hoặc đôi khi chúng ta phải nhân cả hai vế với một hằng số mới xuất hiện được hằng đẳng thức( như PT ở ví dụ 11).

Phương pháp 3: Đưa về phương trình tích

+) 10 −x2 − − (x 4)=0⇔ 10 x− 2 = x – 4 PT vô nghiệm vì với − 10 ≤ ≤x 10

thì vế trái không âm, vế phải âm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= -3

Ví dụ 13 : Giải phương trình : x+ 2 7 − =x 2 x− + − + 1 x2 8x− + 7 1 (2)

Vậy phương trình có hai nghiệm x= 3; x= 5

ta thu được PT mới vô nghiệm

Vậy Phương trình có nghiệm duy nhât x = 2

Phương pháp 4: Biến đổi một vế của phương trình về tổng các bình phương, vế kia bằng 0

Nhân xét : ở các ví dụ 15- 19 ta khéo léo biến đổi một vế thành tổng các

bình phương của các biểu thức hoặc hai vế là hai biểu thức bình phương làm cho việc giải bài toán đơn giản đi rất nhiều

Từ đĩ tìm được các nghiệm của phương trình là: x= − 1 2 vàx= + 2 3

Ví dụ 22: Giải phương trình sau x− − 2 x+ = 2 2 x2 − − 4 2x+ 2 (1)

( Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn – Thanh Hĩa năm học

2006-2007 – dành cho thí sinh vào chuyên Nga, Pháp)

ĐK : x≥ 2

2 2

Vậy PT có nghiệm duy nhất x= 2

Ví dụ 23: Giải phương trình sau : ( )( )2

Nhận xét: sau khi đặt ẩn phụ thích hợp thì phương trình đối với ẩn phụ là

những phương trình ta đã biết cách giải ,từ đó tìm ra được ẩn phụ rồi tìm nghiệm của phương trình Tuy nhiên trong quá trình giải PT có thể phải chia 2

vế cho một biểu thức khác 0 (ví dụ 24; 25), hoặc bình phương 2 vế lên mới xuất hiện ẩn phụ ( như ví dụ 26)

b) Đặt ẩn phụ không hoàn toàn đưa về phương trình tích.

Ví dụ 27: Giải phương trình x2 + 4x− = + 7 (x 4) x2 − 7 (1)

( Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm học

2016-2017 – dành cho mọi thí sinh)

Chú ý: Một số bài toán sau khi đặt ẩn phụ không hoàn toàn có thể sử

dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ ( thông thường những bài toán này∆( đenta) của phương trình

là số chính phương) :

Ví dụ : Giải phương trình sau: (x+ 1) 2x2 − 2x = 2x2 − − 3x 2 (3)

( Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Toán Lam Sơn – Thanh Hóa năm học 2014-2015)

1 ( 3)

2 2

c) Đặt hai ẩn phụ đưa về hệ phương trình:

Ví dụ 29: Giải phương trình sau: x+ 5+ x− =1 6

Với b =1 thì a= 0 khi đó giải ra x = 2 (TM)

Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 2

Nhận xét: Đối với những bài toán giải PT vô tỉ mà ta tìm được mối quan

hệ giữa các biểu thức trong phương trình , hoặc sau khi biến đổi các biểu thức

có liên hệ với nhau thì ta nên nghỉ đến việc đặt ẩn phụ nhằm đơn giản hóa việc giải PT.

Phương pháp 6: Sử dụng biểu thức liên hợp.

Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 3

Nhận xét : Đối với những PT có thể dùng nhân liên hợp thông thường ta

nhẩm nghiệm của PT trước ( HS có thể sử dụng chức năng dò tìm nghiệm của PT trên máy tính cầm tay chẳng hạn phím SOLVE trên máy tính CASIO) , sau đó tách các vế của phương trình thành các tổngchứa căn để khi nhân với biểu thức liên hợp thì xuất hiện nhân tử chung

Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá

Ví dụ 37: Giải phương trình : x 1 − − 5x 1 − = 3x 2 −

HD: điều kiện x ≥ 1

Với x ≥ 1 thì: Vế trái: x 1 − < 5x 1 − ⇒ vế trái luôn âm

Vế phải: 3x 2 − ≥ 1 ⇒ vế phải luôn dươngVậy: phương trình đã cho vô nghiệm

Ta có: Vế trái ≥ 4 + 9 2 3 5 = + = Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1

Vế phải ≤ 5 Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1

Ví dụ 39 :Giải phương trình : x 7 2

x 1 + + = + − +

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2

Ví dụ 40: Giải phương trình : x 4x 1 2

x 4x 1

−

−HD: Điều kiện x 1

giải nhất, 3 giải nhì và đặc biệt có 1 em thủ khoa Toán toàn thành phố, đồng độiToán của nhà trường xếp thứ nhất toàn Thành phố, nhà trường có 4em lọt vào độituyển dự thi môn Toán cấp Tỉnh.

Cũng trong năm học này tôi cũng được giao nhiệm vụ dạy đội tuyển toán 9

TP Thanh Hóa dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh kết quả có 7/10 em đạt giải cấp tỉnh Với thành tích của đội tuyển toán 9 năm học 2016-2017 đã góp một phần nhỏ vàothành tích chung của trường THCS Lý Tự Trọng Trong kỳ thi HSG 9 môn vănhóa trường xếp thứ 2 và đội tuyển giải toán bằng máy tính cầm tay của nhàtrường cũng xếp thứ 2 toàn Thành phố Thanh Hóa Nhà trường xứng đáng với

vị trí tốp đầu về chất lượng giáo dục của Thành phố được lãnh đạo ngành và nhândân tin tưởng

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 KẾT LUẬN:

Từ những kết quả cụ thể trên tôi đã rút ra một số kinh nghiệm cho bản thâncũng như cho đồng nghiệp khi dạy học sinh giải phương trình vô tỉ như sau.+) Nắm vững lí thuyết để có thể áp dụng tốt vào bài tập

+) Cần phân dạng các phương trình vô tỉ, và phương pháp giải từng dạng với các

ví dụ cụ thể từ dễ đến khó

+ Hướng dẫn các em trước khi giải phương trình cần phân loại dạng toán, phươngpháp giải hướng dẫn học sinh phân tích bài toán tìm hiểu cách giải, phán đoáncách giải, các bước giải để các em đi đến lời giải thông minh ngắn gọn nhất.+ Rèn kĩ năng giải phương trình vô tỉ cho học sinh, thường xuyên để ý giúp các

em sửa chữa những sai lầm thường mắc phải khi giải phương trình vô tỉ nhất làĐKXĐ

+) Trên cơ sở làm những bài tập mẫu thật cẩn thận, giáo viên cần giao thêm bài

về nhà có nội dụng tương tự hoặc mở rộng hơn để các em được tự mình giảiquyết các phương trình vô tỉ ấy

Đề tài có thể áp dụng dạy đội tuyển học sinh giỏi toán 9, ôn luyện cho học sinh

thi vào lớp 10 THPT, THPT hệ chyên

3.2 ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ

+) Đối với nhà trường :

- Cần tạo điều kiện hơn nữa về mua sắm tài liệu tham khảo để GV được nghiêncứu sâu hơn các kiến thức nhằm phục vụ tốt cho việc dạy học , đặc biệt là bồidưỡng học sinh giỏi

-Thường xuyên tổ chức các kỳ thi HSG các khối lớp để GV luôn trăn trở ,suynghĩ về cách dạy học hiệu quả

+) Đối với nghành: Cần thường xuyên tổ chức các chuyên đề về các môn

học để GV được học hỏi trao đổi với đồng nghiệp để trau dồi chuyên môn tốthơn

Do kinh nghiệm còn hạn chế nên trong quá trình viết khó tránh đượcnhững sai sót trong cách trình bày cũng như hệ thống các bài tâp đưa ra còn chưađầy đủ, chưa khoa học tôi rất mong các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp đóng góp

ý kiến để SKKN được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Xác nhận của thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa ngày 10 tháng 04 năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của bản thân ,

không sao chép của người khác

1.1 Lí do chọn đề tài 1

2.3 Giải pháp thực hiện

1 Kiến thức cần nhớ về căn bậc hai

2 Phương pháp chung để giải PT vô tỉ

3 Các phương pháp giải PT vô tỉ Phương pháp 1: Nâng hai vế lên cùng một lũy thừa Phương pháp 2: Đưa về PT chứa dấu GTTĐ

Phương pháp 3: Đưa về PT tích Phương pháp 4: Biến đổi một vế của PT về tổng

các bình phương, vế kia bằng 0 Phương pháp 5: Đặt ẩn phụ

Phương pháp 6: Sử dụng liên hợp

Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá Bài tập vận dụng

34444789

11161719

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nâng cao và phát triển toán 9 Vũ Hữu Bình Giáo dục

2 Tài liệu chuyên toán lớp 9 Vũ Hữu Bình Giáo dục

3 Tuyển chọn đề thi HSG toán

THCS

Hoàng Văn Minh – Trần Đình Thái

Đại học quốc gia Hà Nội

4 Tuyển chọn đề thi vào lơp 10

chuyên – Môn Toán

Nguyễn Ngọc Đạm

Tạ Hữu Thơ

Đại học quốc gia Hà Nội

5 Các chuyên đề bồi dưỡng học

toán khó trong kỳ thi lớp 10

Trần Bá Hào Đại học quốc

gia Hà Nội

7 Báo toán học tuổi trẻ

8 Báo toán tuổi thơ 2