Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, ngoài việc trang bị tốt hệ thống kiến thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mở
Trang 1MỤC LỤC
I.MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài
Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục luôn đổi mới không ngừng Các nhà trường luôn chú trọng đến chất lượng toàn diện bên cạnh
sự đầu tư thích đáng cho giáo dục Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn Toán
đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác
Trang 2Dạy toán là một hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán là công việc chủ yếu Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, ngoài việc trang
bị tốt hệ thống kiến thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mở rộng kết quả những bài toán đơn giản
và xây dựng bài toán gốc để giải một loạt các bài toán liên quan Điều này giúp học sinh tự tìm tòi suy nghĩ ra những bài toán mới và có những cách giải sáng tạo
Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say
mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình
Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh, trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải đi
từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tư duy Toán học
1.2 Mục đích nghiên cứu
Với mong muốn nâng cao hiệu quả công tác giảng dạy nói chung và công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 nói riêng Tôi nhận thấy chương
trình toán 6 có rất nhiều nội dung hay và hấp dẫn, cách tính tổng và tìm tích là một trong những nội dung thú vị, phong phú, đa dạng Để giải các bài toán dạng này thông thường ta biến đổi để làm xuất hiện các số hạng đối nhau sau khi thu gọn ta được một số ít số hạng mà ta dễ dàng tính được hoặc làm xuất hiện các dãy số mà ta dễ dàng tính được hoặc là ta phải phân tích các phân số thành một tích như thế nào đó để có thể rút gọn được Nhưng biến đổi như thế nào để xuất hiện các hạng tử đối nhau hoặc các dãy số dễ dàng tính được lại là vấn đề không
đơn giản mà học sinh hay mắc phải Tôi xin đưa ra đề tài: “Phát triển tư duy
cho học sinh lớp 6A3 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi thông qua giải bài toán
số học” Ở đề tài này tôi xin đưa ra vài bài toán mang nội dung tính tổng theo
quy luật và một số bài toán tìm tích để giới thiệu cách khai thác kết quả, mở rộng bài toán và xây dưng bài toán gốc (bài toán tổng quát) để giải một loạt các bài toán tương tự nhằm mục đích phát huy trí tuệ sáng tạo của học sinh, rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh
1.3 Đối tượng nghiên cứu:
Tập trung nghiên cứu số học sinh lớp 6A3 trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Trỗi Thành phố Thanh Hóa
Hướng dẫn các em làm một số bài tập về dãy số dễ dàng tính được lại là vấn đề không đơn giản mà học sinh hay mắc phải
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
Chủ yếu phương pháp khái quát hóa, tổng hợp hóa từ các bài tập cụ thể để tổng kết kinh nghiệm
1.5 Những đổi mới của SKKN:
- Từ những những bài tập đơn giản trong sách giáo khoa lớp 6, Tôi đã tổng kết kinh nghiệm và đưa ra những “nhận diện” đặc chưng của các dạng bài toán về dãy số, giúp học sinh hiểu và làm tốt hơn những dạng bài toán này
II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Trang 32.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Trước đây việc dạy học toán thường sa vào phương pháp đọc chép áp đặt kiến thức, học sinh lĩnh hội kiến thức một cách bị động, người giáo viên thường chú trọng đến số lượng bài tập Nhiều học sinh chỉ hiểu bài thầy dạy mà không
tự giải được bài tập Việc phát triển bài toán ít được học sinh quan tâm đúng mức Phần nhiều học sinh cảm thấy sợ môn số học, giải bài tập số học Thực tiễn dạy học cho thấy: HS khá - giỏi thường tự đúc kết những tri thức, phương pháp cần thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệm, còn học sinh trung bình hoặc yếu, kém gặp nhiều khó khăn hoặc không thể nắm được bài
Để có kĩ năng giải bài tập số học cần phải qua quá trình luyện tập Tuy rằng, không phải cứ giải bài tập nhiều là có kĩ năng, việc luyện tập sẽ có hiệu quả, nếu như học sinh nắm chắc được lí thuyết và biết khéo léo khai thác từ một bài tập này sang một loại bài tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó, rèn luyện một phương pháp học tập nào đó cho mình
Nếu người thầy giáo biết hướng cho học sinh cách học chủ động thì học sinh không những không có ái ngại với môn số học mà còn hừng thú với việc học số học Học sinh không còn cảm thấy học số học nói riêng và toàn học nói chung là gánh nặng, mà còn ham mê học toán, có được như thế mới là thành công trong việc dạy học môn toán
Trong quá trình dạy học môn toán, tôi suy ngẫm vẫn khẳng định rằng: phương pháp dạy giải toán theo yêu cầu của phương pháp tìm tòi lời giải Có nhiều yêu điểm và phát huy được tác dụng tốt cho nhiều đối tượng - dạy toán theo yêu cầu của phương pháp tìm tòi lời giải của bài toán gồm hai nội dung:
a - Dạy cách tìm tòi lời giải của bài toán
b - Dạy cách giải toán
c Từ những bài toán cụ thể (giải phương trình bậc cao) đưa về những phương trình cơ bản đã được học
Từ đó tôi suy nghĩ rằng một phương pháp dạy tốt là một phương pháp xích gần nhận thức trong học tập của học sinh với nhận thức sáng tạo - hay nói cách khác là phương pháp dạy cho học sinh tư duy sáng tạo - cốt lõi của hoạt động dạy và học, vì vậy tôi chỉ chọn một khía cạnh trong việc hường dẫn học sinh có cách tư duy sáng tạo cho các bài toán và các em đưa ra những cách giải
cơ bản ở một số phương trình bậc bốn nói chung, mà hiện nay trong chương trình Đại số cấp THCS chỉ đề cập đến phương trình bậc bốn đặc biệt
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
2.2.1 Thuận lợi:
- Qua nhiều năm giảng dạy Toán 6 và bồi dưỡng, nâng cao chất lượng cho học sinh khá giỏi lớp 6 đã giúp tôi nhận thấy được một số điểm yếu trong cách
tư duy, khai thác bài toán của các em học sinh
- Thư viện nhà trường luôn có một số sách bồi dưỡng toán nâng cao và các tài liệu có liên quan
- Nhà trường luôn tạo điều kiện thuận lợi để tôi viết đề tài
- Các em học sinh học giỏi toán thì không nhiều nhưng các em rất chăm ngoan, chịu khó học tập, biết tiếp thu và nghe lời thầy cô giáo
Trang 4- Gia đình học sinh luôn tạo điều kiện để các em học tốt môn toán cũng như các môn học khác
2.2.2 Khó khăn:
- Đối với học sinh khối 6 cũng như các khối 7, 8, 9 việc được học toán nâng cao là rất ít, vì không có lớp chọn cho các đối tượng này Giáo viên chủ yếu dạy lồng ghép vào các lớp học đại trà, nên không được chuyên sâu nâng cao cho học sinh giỏi toán
- Đối với Nhà trường thì chưa thực hiện các kì thi riêng chọn học sinh giỏi cấp trường và chưa tổ chức được lớp chọn dành cho học sinh giỏi
2.2.3 Khảo sát học sinh:
Trước khi triển khai chuyên đề tôi đã tiến hành kiểm tra sự hiểu biết của các em học sinh lớp 6A3 của nhà trường trong việc khai thác cách giải và giải một số bài toán sau
ĐỀ BÀI
(Thời gian làm bài 60 phút)
* Thực hiện tính các tổng sau:
1) A 1 2 2 3 3 4 99 100
2) B 1 3 3 5 5 7 97 99
3) C 1 2 3 2 3 4 3 4 5 98 99 100
1 2 2 3 3 4 99 100
* Tìm số tự nhiên x biết rằng :
5) ( 2 1) 20001998
10
1 6
1 3
1
x x
ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM
1) A 333300 2 điểm 2) B 161651 2 điểm
3) C 24497550 2 điểm 4) S 99
100
TH NG KÊ K T QU TRỐNG KÊ KẾT QUẢ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI ẾT QUẢ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI Ả TRƯỚC KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI ƯỚC KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀIC KHI ÁP D NG ỤNG ĐỀ TÀI ĐỀ TÀI TÀI
Tổng số học
sinh 6A3
Sau khi kiểm tra các em học sinh lớp 6A3 của nhà trường tôi thấy trong cách tư duy của các em còn tồn tại một số điểm sau:
- Học sinh có nhiều em chưa biết cách giải một số bài toán đơn giản về dãy
số dạng như bài kiểm tra, lời giải còn trình bày dài dòng, rắc rối
- Học sinh chưa phát huy được tư duy sáng tạo, khả năng học hỏi, sự tìm tòi kiến thức mới
2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện đề tài:
2.3.1 Giải pháp thực hiện đề tài:
Để khắc phục một số hạn chế như trên và để nâng cao hiệu quả trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi toán 6, tôi đưa ra một số giải pháp như sau:
Trang 52.3.1.1 Giải pháp chung:
Giáo viên cần cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản sau:
- Củng cố lại các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu ngoặc ở môn số học lớp 6
- Rèn học sinh thói quen quan sát, nhận dạng bài toán, phân tích nhằm phát hiện quy luật của bài toán
- Rèn học sinh tính tự học, tự tìm tòi sáng tạo, biết cách tổ chức học tổ, học nhóm một cách khoa học sáng tạo để tìm ra những cách giải hay
2.3.1.2 Giải pháp cụ thể:
- Giáo viên đưa ra các bài tập để hướng dẫn cho học sinh cách làm cơ bản
- Sau khi học sinh nắm được cách làm cơ bản rồi, giáo viên khai thác các bài toán vận dụng tương tự
- Tổ chức cho học sinh thảo luận làm một số bài toán tương tự như giáo viên đã đưa ra
- Cuối cùng giáo viên ra bài khảo sát, đánh giá kết quả để rút kinh nghiệm
2.3.2 Tổ chức thực hiện đề tài
2.3.2.1 Bài toán mở đầu về một số dãy số đơn giản:
Bài toán 1: Tính A 1 2 2 3 3 4 99 100
Để tính A ta biến đổi A để xuất hiện các hạng tử đối nhau Muốn vậy ta cần tách một thừa số trong mỗi hạng tử thành một hiệu: a b c
Lời giải:
3A 1 2 3 2 3 3 3 4 3 99 100 3
1 2 3 2 3 4 1 3 4 5 2 99 100 101 98
1 2 3 2 3 4 1 2 3 3 4 5 2 3 4 99 100 101 98 99 100
99 100 101
A 33 100 101 333300
Ta tổng quát thành bài toán sau:
Tính tổng:
A = 1.2 +2.3 + 3.4 + ………+ n(n+1) Với n là số nguyên dương
Với cách làm tương tự ta có:
3A = 1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 +…… + n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1) = n(n+1)(n+2) A =
3
) 2 )(
1 (n n
n
Từ bài toán tổng quát này ta có thể đề xuất thêm 2 bài toán tính tổng sau:
a 12 + 22 + 32 + …………+ n2
b 1.4 + 2.5 + 3.6 +…………+ n(n+3)
Lời giải:
Câu a:
Nhận xét: n2 = n(n+1) – n
12+ 22 + 32 + …………+n2 =
=1.2 – 1 + 2.3 – 2 + 3.4 – 3 +………+ n(n+1) – n
= 1.2 +2.3 + 3.4 + ………+ n(n+1) – ( 1 +2 +3 +………+n)
Trang 6=
2
) 1 ( 3
) 2 )(
1
n
n
=
6
) 1 2 )(
1 (n n
n
Câu b:
Nhận xét: n(n+3) = n(n+1) + 2n
1.4 +2.5 +3.6 +…………+ n(n+3) =
=1.2 +2.1 +2.3 +2.2 + 3.4 +2.3+……… n(n+1) +2n
=(1.2 +2.3 + 3.4 + ………+ n(n+1)) + 2( 1 +2 +3 +………+n)
=
3
) 2 )(
1
(n n
n
+
2
) 1 (
2n n =
3
) 5 )(
1 (n n
n
Lưu ý) Một số dãy số dễ dàng tính được:
1 2 3 n n N
a a k a 2k a nk a,k,n N
Sau khi học sinh thực hiện được bài tập 1, Giáo viên có thể phát triển thành bài toán mới chẳng hạn :
- Thay đổi giá trị các thừa số trong mỗi số hạng theo quy luật như bài tập 1
- Chứng minh rằng
100
A
là một số Tự nhiên hoặc chứng minh rằng A chia hết cho 3
Khai thác bài toán 1.
Trong bài toán 1 các thừa số trong mỗi hạng tử hơn kém nhau 1 đơn vị hay cách nhau 1 đơn vị Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng
tử ta có bài toán 2
Bài toán 2: Tính A 1 3 3 5 5 7 97 99
Lời giải:
6A 1 3 6 3 5 6 5 7 6 97 99 6
1 3 5 1 3 5 7 1 5 7 9 3 97 99 101 95
1 3 5 1 3 3 5 7 1 3 5 5 7 9 3 5 7 97 99 101 95 97 99
1 3 5 3 3 5 7 1 3 5 5 7 9 3 5 7 97 99 101 95 97 99
3 97 99 101
1 97 33 101
2
Trong bài toán 1 ta nhân A với 3 Trong bài toán 2 ta nhân A với 6 Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi hạng tử:
3kn n k n n k r 2k n k n n k
Thay đổi số các thừa số trong tích ta có bài toán 3
Bài toán 3: Tính A 1 2 3 2 3 4 98 99 100
Lời giải:
Trang 7
4A 1 2 3 4 2 3 4 4 3 4 5 4 98 99 100 4
1 2 3 4 2 3 4 5 1 3 4 5 6 2 98 99 100 101 97
1 2 3 4 2 3 4 5 1 2 3 4 3 4 5 6 2 3 4 5
98 99 100 101 97 98 99 100
98 99 100 101
A 98 99
25 10 24497550
Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ở bài 3 ta có bài toán 4:
Bài toán 4: Tính A 1 3 5 3 5 7 5 7 9 95 97 99
Lời giải:
8A 1 3 5 8 3 5 7 8 5 7 9 8 95 97 99 8
1 3 5 7 1 3 5 7 9 1 5 7 9 11 3 95 97 99 101 93
1 3 5 7 15 3 5 7 9 1 3 5 7 5 7 9 11 3 5 7 9
95 97 99 101 3 95 97 99
15 95 97 99 101
15 9
A 5 97 99 101 11517600
8 Trong bài 3 ta nhân A với 4 (bốn lần khoảng cách)
Trong bài 4 ta nhân A với 8 Như vậy để giải bài toán dạng
n n(n k)(n 2k)
khoảng cách) sau đó tách:
4kn n k n 2k n n k n 2k n 3k n k n k n n 2k
Thay đổi sự kế tiếp lặp lại ở các thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán 5:
Bài toán 5: Tính A 1 2 3 4 5 6 99 100
Lời giải:
2 2 4 4 4 6 6 98 100 100
98 100 102:6 102 50: 2
166600 2550 169150
Cách khác:
1 3 1 3 5 3 5 7 5 99 101 99
171650 – 2500 169150
Trong bài toán này ta không nhân A với một số hạng mà tách ngay một thừa số trong tích làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được Làm tương tự với các bài toán 6:
Trang 8Bài toán 6: Tính A 1 2 2232421002
Lời giải:
1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 99 100 100
333300 5050 338350
Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số trong bài 6 ta có bài toán 7:
Bài toán 7: Tính A 1 2 3252992
Lời giải:
1 2 3 1 3 2 5 3 5 2 7 5 7 2 99 97 99
1 4998 161651 166650
Bài toán 8: Tính A 1 2 3 3 4 5 5 6 7 99 99 100
Lời giải:
A 1 3 5 – 3 3 5 7 – 3 5 7 9 3 99 101 103 – 3
1 3 5 3 5 7 5 7 9 99 101 103 – 1 3 3 3 5 3 99 101 3
15 99 101 103 105 :8 – 3 1 3 3 5 5 7 99 101
13517400 – 3 171650
1 3002450
Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số ở bài toán 8 ta có bài toán
Lưu ý ) Trong bài toán 5 và 7 có thể sử dụng dãy tổng quát:
.
n a n a n a n n a n a a
a lµ kho¶ng c¸ch gi ÷ a c¸c c¬ sè Thay đổi số mũ của bài toán 7 ta có bài toán 9:
Bài toán 9: Tính A 1 3 23331003
Lời giải:
Sử dụng dãy tổng quát: n 1 n n 1 n3 n n3 n n 1 n n 1 và sử dụng kết quả của bài toán 8 Ta có:
A 1 2 1 2 3 3 2 3 4 100 99 100 101
1 2 3 100 1 2 3 2 3 4 99 100 101
5050 101989800 101994850
Bài toán 10: Tính A 1 3 3353993
Lời giải:
Sử dụng dãy tổng quát:
n 2 n n 2 n3 4n n3n 2 n n 2 4n
Ta có:
Trang 9
A 1 1 3 5 4 3 3 5 7 4 5 97 99 101 4 99
1 12487503 9996 12497500
Với khoảng cách là a ta tách: n a n n a n3 a n2
Ở bài toán 8, 9 ta có thể làm như bài toán 6, 7
Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán 11:
Bài toán 11: Tính A 1 2 2 2 32 3 42 99 100 2
Lời giải:
1 2 3 1 2 2 3 4 2 3 3 4 5 3 4 99 100 101 99 100
25497450 333300 25164150
2.3.2 2 Một số phương pháp tính tổng các dãy số tạo thành dãy số có qui luật:
a Phương pháp dự đoán và quy nạp :
Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn
Sn = a1 + a2 + an (1)
Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi
đã cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được
Ví dụ 1 : Tính tổng Sn =1+3+5 + + (2n -1 )
Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1
S2 = 1 + 3 =22
S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32
Ta dự đoán Sn = n2
Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng
giả sử với n= k ( k 1) ta có Sk = k 2 (2)
ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3)
Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có
1+3+5 + + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1)
vì k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức là Sk+1 = ( k +1) 2
theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh
vậy Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n2
Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học
1, 1 + 2+3 + + n =
2
) 1 ( n n
2, 12 + 2 2 + + n 2 =
6
) 1 2 )(
1 (n n
n
3, 13+23 + + n3 =
2
2
) 1 (
n n
4, 15 + 25 + + n5 =
12 1
.n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 )
Trang 10b Phương pháp khử liên tiếp :
Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn ai , i = 1,2,3 ,n , qua hiệu hai
số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác , chính xác hơn , giả sử : a1 = b1 - b2
an = bn – bn+ 1
khi đó ta có ngay :
Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + 1 )
= b1 – bn + 1
Ví dụ 2 : tính tổng :
S =
100 99
1
13 12
1 12 11
1 11
.
10
1
Ta có :
11
1 10
1 11
.
10
1
,
12
1 11
1 12 11
1
,
100
1 99
1 100 99
1
Do đó :
S =
100
9 100
1 10
1 100
1 99
1
12
1 11
1 11
1
10
1
Dạng tổng quát
Sn = ( 1 1)
3 2
1 2 1
1
n
n ( n > 1 ) = 1-
1 1
1
n n
Ví dụ 3 : tính tổng
Sn = ( 11)( 2)
5 4 3
1 4 3 2
1 3 2
1
1
n n n
) 2 )(
1 (
1 )
1 (
1 2
1
4 3
1 3 2
1 2
1 3 2
1 2 1
1 2
1
n n n
n
) 2 )(
1 (
1 )
1 (
1
4 3
1 3 2
1 3 2
1 2 1
1 2
1
n n n
n
Sn = 21 11.2 ( 1)(1 2) 4( (1)(3) 2)
n n
n n n
n
Ví dụ 4 : tính tổng
Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n )
Ta có : 1! = 2! -1!
2.2! = 3 ! -2!
3.3! = 4! -3!
n.n! = (n + 1) –n!
Vậy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n!
= ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
Ví dụ 5 : tính tổng
) 1 (
1 2
) 3 2 (
5 )
2
.
1
(
3
n n n