Một số phương pháp giải hệ phương trình cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS đông cương

Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳngcấp và nhiều hệ phương trình không mẫu mực khác thì học sinh không được tìmhiểu chính thức trong chương trình học, ở nhà trường có chăng t

Mục lục Tiêu đề Trang

1.3 Đối tượng nghiên cứu: 2

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài:

Thực hiện đổi mới của giáo dục hiện nay, đó là: không chỉ dạy kiến thức chocác em, mà cần dạy cả phương pháp suy luận, khả năng vận dụng, khả năng kết nốicác môn khoa học, hướng tư duy khái quát và cả sự phát minh khoa học

Người thầy phải thực hiện điều đó và hướng dẫn hoc sinh thực hiện ngaytrong mỗi tiết học Tất nhiên để làm được, chính người thầy phải có những khảnăng trên, cùng với sự yêu nghề và đam mê khoa học, đồng thời phải có phươngpháp tạo ra tình huống có vấn đề cho hoc sinh, và từ đó đưa tư tưởng phát minh vàotrong tiết học, với những xuất phát điểm phải từ trong SGK rồi sau đó phát triển cácbài toán, các dạng toán lên để đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh

Hệ phương trình là một nội dung quan trọng trong chương trình toán phổthông Hệ phương trình có nhiều dạng và cách giải khác nhau Đơn giản nhất là hệhai phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn Hệ hai phươngtrình bậc nhất hai ẩn học sinh được học ở cấp hai, đến lớp 10 được ôn tập lại và học

hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳngcấp và nhiều hệ phương trình không mẫu mực khác thì học sinh không được tìmhiểu chính thức trong chương trình học, ở nhà trường có chăng thì biết được thôngqua tài liệu tham khảo, tự học

Chính vì vậy bồi dưỡng học sinh giỏi không đơn thuần chỉ cung cấp cho các

luyện khả năng sáng tạo cho học sinh Dạng toán giải Giải hệ phương trình là một

mảnh đất rất thuận lợi cho chúng ta thực hiện công việc này

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Hệ phương trình là một mảng kiến thức quan trọng trong chương trình ôn thihọc sinh giỏi các cấp cũng như thi Đại học sau này Để đáp nhu cầu học tập đó củahọc sinh tôi mạnh dạn cung cấp thêm các phương pháp cũng như kỹ năng giải hệphương trình Để các em có cách nhìn toàn diện hơn về dạng toán này Cho nên bản

thân mạnh dạn tìm tòi nghiên cứu đưa ra “Một số phương pháp giải hệ phương trình cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Đông Cương” nhằm đáp ứng tốt và

bền vững quá trình ôn thi học sinh giỏi các cấp

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Một số phương pháp giải các hệ phương trình cơ bản Những bài toán cụ thểbao gồm phân tích và lời giải Các bài tập tự luyện

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Giáo viên đưa ra các bài tập cụ thể ⇒ cùng với học sinh phân tích, địnhhướng ⇒ bài này thuộc dạng nào ⇒ phương pháp giải đối với những dạng đó rasao ⇒ tìm tòi lời giải ⇒ phân tích lời giải ⇒ có thể vận dụng vào giải các bàitương tự Định hướng học sinh tham khảo thêm các tài liệu liên quan, hướng dẫncách học ở nhà, cách khai thác nguồn tài liệu, rèn luyện tính tự học

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận:

Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệthông tin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trongthời kỳ đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước nhữngthời cơ và thách thức mới Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào

tạo luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực,

nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi

mới giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”

Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đườngduy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ

thông Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiếnthức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn họcđáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó.

Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập

do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quáthoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích Dạng toán giải hệ phương trình

là một dạng toán quan trọng của môn đại số 9 đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng,làm cơ sở để học sinh học tiếp các bài học sau cũng như các môn học khoa học

tự nhiên khác, …

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán về hệ phương trình một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp

đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn Các phương pháp chủ yếu như:

* Phương pháp thế

- Cơ sở phương pháp: Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình trong

hệ và thế vào phương trình còn lại

- Nhận dạng: Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương trình là bậc nhất đối với một ẩn nào đó

* Phương pháp đưa về dạng tích

- Cơ sở phương pháp: Phân tích một trong hai phương trình của hệ thành tích các nhân tử Đôi khi cần tổ hợp hai phương trình thành phương trình hệ quả rồi mới đưa về dạng tích

* Phương pháp cộng đại số

- Cơ sở phương pháp: Kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia ta thu được phương trình hệ quả mà việc giải phương trình này là

- Nhận dạng: Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng loại II, hệ phươngtrình có vế trái đẳng cấp bậc k.

Để chất lượng đội tuyển bền vững bản thân thiết nghĩ chương trình dạy học cũng là

một phần rất quan trọng trong quá trình dạy học Trong đó phần kiến thức “Giải hệ phương trình” năm nào cũng có Trong quá trình dạy học và bồi dưỡng cho các

em, giáo viên thường gặp dạng nào thì hướng dẫn dạng đó mà không theo một dạngtổng quát Hầu như các em còn lúng túng chưa có cách giải tổng quát hay chưa có

kỹ năng thành thạo khi gặp các dạng hệ phương trình Vì vậy việc nhận dạng vàkhái quát hóa cách giải một số hệ phương trình cơ bản là việc làm thiết thực và cấpbách

Để đánh giá được khả năng giải toán và có phương án, phương pháp truyềnđạt đến học sinh Tôi đã tiến hành kiểm tra 6 em trong đội tuyển học sinh giỏi dựthi cấp thành phố năm học 2016-2017 với thời gian làm bài 30 phút

y

x y x

Qua bài kiểm tra tôi thấy đây là 6 học sinh trong đội tuyển Toán chính thức.Nhưng chất lượng bài làm không cao Nếu làm được bài thì lập luận thiếu chặt chẽ;

từ đó tôi phân dạng để học sinh dễ tiếp thu

Trong các buổi học thông qua các tình huống có vấn đề hoặc các bài tập đưa

ra, người thầy phải hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng bài toán, biết nhìn bàitoán dưới nhiều góc độ Hay xuất phát từ một bài toán bất kỳ, yêu cầu học sinh phảiphán đoán đưa ra nhận xét và hướng giải quyết Tìm ra nhiều cách giải thú vị gâyhứng thú trong học tập

2.3 Các giải pháp thực hiện:

2.3.1: Hệ thống kiến thức một số hệ phương trình cơ bản:

a Hệ phương trình đối xứng loại I:

- Nhận dạng: Đổi chỗ hai ẩn thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự

các phương trình cũng không thay đổi

- Cách giải: Biến đổi đưa về dạng tổng - tích.

+ Đặt S = + x y P xy ; =

+ Giải hệ với ẩn S; P với điều kiện có nghiệm (x; y) là S2 ≥ 4 P

+ Tìm nghiệm (x; y) bằng cách thế vào phương trình X2 −SX P+ = 0

b Hệ phương trình đối xứng loại II.

- Nhận dạng: Đổi chỗ hai ẩn thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự

các phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia)

- Cách giải: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, lúc nào cũng đưa

Lưu ý: Ta sẽ làm tương tự đối với dạng đẳng cấp bậc ba và bậc bốn

d Sử dụng phương pháp thế tạo phương trình đẳng cấp (đồng bậc).

Phương pháp giải: Sử dụng kỹ thuật đồng bậc, tức là:

Hệ phương trình đã cho

( ; )

( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )

Phân tích: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ không thay đổi và trật

tự các phương trình trong hệ cũng không thay đổi ⇒ đây là hệ đối xứng loại I vàphương pháp giải là biến đổi về tổng và tích

x y

=



 =

 Vậy tập nghiệm hệ cần tìm S ={ ( ; )x y } {= (2;0);(0; 2)}

Bài toán 2: Giải hệ phương trình: 2 2 6

Phân tích: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ không thay đổi và trật tự các

phương trình trong hệ cũng không thay đổi ⇒ đây là hệ đối xứng loại I Nhưngtrong hệ phương trình có chứa x; y, nên ta sẽ đặt s= x+ y p; = xy hoặc ta cóthể đặt u= x v; = y, rồi sau đó đặt s; p theo u, v cũng được kết quả tương tự

Lời giải: Điều kiện x y; ≥ 0 Đặt u= x≥ 0;v= y ≥ 0

u v

y y

x y

=



 =



So với điều kiện, nghiệm hệ là S ={ ( ; )x y } {= (1;4);(4;1)}

Bài toán 3: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Nếu thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ không thay đổi và

phương trình này trở thành phương trình kia⇒ đây là hệ đối xứng loại II (lấy vế trừvế) Ngoài ra nếu quy đồng thì đây là hệ đẳng cấp bậc ba (đặt x ty= )

y x

⇔ = ⇔  = .

Vậy tập nghiệm của hệ là S ={ ( ; )x y } {= (1;1)}

Lời giải 2: Xem đây là hệ phương trình đẳng cấp bậc ba.

Với x= −y thế vào pt thứ nhất của hệ ta được ⇔ 2x2 = − ⇔ = − = − 2x x y 1

Vậy tập nghiệm của hệ là { ( ; ) } (0;0);( 1;1); 1 1;

2 2

Ghi chú: Ngoài nhân chéo để được phương trình đẳng cấp ta có thể dùng

phương pháp thế với mục đích tạo ra phương trình bậc cao một ẩn mà trọng tâm đó

là phương pháp thế cụm tạo thành phương trình đẳng cấp, nó là tiền đề cơ bản,công đoạn nhỏ để giải các dạng toán

Bài toán 5: Giải hệ phương trình:

2 2

8 2 (1)

-3y =6 (2)

x y

6 13

x y

x y

Bài toán 6: Giải hệ phương trình:

2xy+ = 3 2xy+ (x − +xy y )thu được bậc 2, hiển nhiên (1) là phương trình đẳng cấp bậc 3 và có lời giải sau:

Nhận xét: Giải hệ phương trình đưa về tích số là một dạng toán thường

xuyên xuất hiện trong các kỳ thi Để đưa về tích số ta có thể sử dụng một số kỹthuật như: Kỹ thuật tách, ghép, nhóm và tam thức bậc hai, ký thuật liên hợp, kỹthuật dùng phương pháp cộng

Bài toán 7: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Phương trình (1) và (2) đều có dạng tam thức bậc 2 theo ẩn x

hoặc theo ẩn y nhưng ta sẽ không tìm được gì ở phương trình (1) Do đó sẽ địnhhướng biến đổi về tích số ở phương trình (2) với các hướng suy nghĩ sau đây:

Hướng 1: Nhận thấy vế trái (2) có dạng đẳng cấp nên sẽ sử dụng máy tính

để phân tích thành tích số nhóm này, tức có x2 − −xy 2y2 = − (x 2 )(y x y+ ) kế đến tacần phân tích vế trái theo 2 hạng tử tích này, nhưng nó đã có sẵn nếu viết

Bài toán 8: Giải hệ phương trình:

x − −xy y = −x y x y+ có nhân tử với vế phải.

Hướng 2: Xem (2) là phương trình bậc 2 ẩn x hoặc ẩn y ta cũng phân tích

Vậy tập nghiệm của hệ là S ={ ( ; )x y } {= (5; 2)}

Bài toán 9: Giải hệ phương trình: 3 22 0 (1)2 2

Phân tích: Từ phương trình (2), nếu nhìn nhận đó là phương trình bậc 2 với

ẩn là y thì khi lập ∆ không là số chính phương nên sẽ không áp dụng phân tíchđược theo tam thức Lúc này ta nghĩ đến việc nhóm hạng tử, ta nên ưu tiên phép thửđối với hạng tử có chứa những hằng số giống nhau trước, nhận thấy nhóm

1 0

5 2

Nhận xét: Kỹ thuật phân tích thành tích số bằng việc tách - ghép - nhóm

hạng tử là kỹ thuật khá cơ bản trong việc giải hệ phương trình Ngoài ra còn mộtpháp phân tích đa thức 2 biến F x y( ; ) bằng máy tính bỏ túi như sau:

Bước 1: Cho biến chứa bậc cao nhất bằng 1000, chẳng hạn x= 1000 (nếu

;

x y cùng bậc thì cho x hay y gì cũng được)

Bước 2: Thế x= 1000 vào F x y( ; ) và phân tích F x y( ; ) thành nhân tử (phântích 2

ax + + =bx c a x x x x− − hoặc Hoocner đối với phương trình bậc cao).

Bước 3: Dựa vào đa thức 1000 x= trở lại F x y( ; )được biểu thức tích

* Ngoài việc kỹ thuật tách, ghép, nhóm và tam thức bậc hai để đưa về phương trình tích ta có thể sử dụng kỹ thuật liên hợp:

Bài toán 10: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Từ (1), nhận thấy (x y+ − − = − ) (x 3) y 3 có nhân tử với vế phải nên

sẽ ghép 2 căn thức lại với nhau để tiến hành liên hợp Nhưng khi liên hợp sẽ xuấthiện ở mẫu số dạng A− B nên ta phải xét lượng này có khác 0 hay chưa?

Lời giải: Điều kiện x> 0;x y+ ≥ 0 Khi đó (1) dương nên cần y> 3.

Với y> ⇔ + > + ⇔ 3 x y x 3 x y+ > x+ ⇔ 3 x y+ − x+ > 3 0 thì:

(1) ⇔ x y+ −y−3x+3 = y x−3⇔ x y+ −1 x+3 = ⇔1x x y+ − x+ =3 x (3)

Bài toán 11: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Nhận thấy (1), (2) là phương trình bậc hai với ẩn x, nhưng biệt

số delta không là chính phương Đối với những hệ phương trình đại số có các biếnkhông độc lập với nhau, chẳng hạn x y2 3 Thường ta làm theo các bước như sau:

* Viết lại hệ hai phương trình bậc hai với ẩn x:

2 2 2

2 2

2 2

1 0 ( 3 3) 2( 1) 0 (*)

= − + = 

+ + − = ⇔ ⇔

=  = ±

Vậy tập nghiệm của hệ là S={ ( ; )x y } {= − ( 1;5);( 1;3) − }

Bài toán 13: Giải hệ phương trình:

lệ thì ta sẽ làm như thế nào? Câu trả lời được trình bày qua các bước giải sau:

*) Bước 1: Tìm hai cặp nghiệm của hệ phương trình, chẳng hạn: ( ; );( ; )x y1 1 x y2 2

*) Bước 2: Tìm quan hệ tuyến tính giữa hai nghiệm này (thực chất là viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A x y B x y( ; ); ( ; ) 1 1 2 2 trong mp Oxy).

*) Bước 3: Thế quan hệ tuyến tính sao cho có lợi nhất vào hệ và phân tích thành nhân tử Từ đó xác định được biểu thức nhân vào phương trình.

Tuy nhiên, cách này sẽ không giải quyết được nếu ta không nhẩm được hai cặp nghiệm hoặc nghiệm quá lẻ không dò được bằng máy tính bỏ túi.

Bài toán 15: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Nhận thấy hệ có nghiệm: ( ; ) (0;1);(1;0)x y = Quan hệ tuyến tính

giữa hai nghiệm là: x y+ = 1 hay y= − 1 x Thay vào hệ ta được:

Khi x 1,

y

= thế vào (1) ⇔ 3y2 − 2y+ = 1 0 vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình: S ={ ( ; )x y } {= (0;1);(1;0)}

Bài toán 16: Giải hệ phương trình:

y x

= −



 =

Với 18x2 + 15xy− 60x− 10y2 − 80y= 0, kết hợp với (1) được:

để đưa về tích số; kỹ thuật đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2; Kỹ thuật đặt ẩnphụ dựa vào tính đẳng cấp 1 phương trình; đặt ẩn phụ đưa về hệ cơ bản Ngoài ra ta

có dùng định lý Viét để tìm ra phép đặt ẩn phụ có thể giải quyết được rất nhiều bàitoán

2.3.3 Bài toán tự luyện:

Bài toán 1: Giải hệ phương trình:

2 2 2

Bài toán 4: Giải hệ phương trình:

2

( 1)( 1) 3 4 1

( 1) 1

2.4 Kết quả sau khi nghiêm cứu.

Sau khi áp dụng SKKN vào giảng dạy cho các em, tôi nhận thấy việchọc tập của các em có phần tiến bộ rõ rệt Từ việc tư duy vào bài giải cũng như thái

độ học tập và sự yêu thích bộ môn Tôi cũng đã tiến hành kiểm tra lại 6 em trongđội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp thành phố năm học 2016-2017 với thời gian làmbài 30 phút và kết quả cho thấy cũng khả quan hơn Cụ thể:

hệ giữa các biến, định hướng phân tích để học sinh có thể vận dụng hết các kỹ thuậtbiến đổi để có thể tiếp cận được đến lời giải Bên cạnh đó, giáo viên cũng tạo hứngthú cho học sinh trong các giờ học, hướng dẫn học sinh cách học bài, làm bài vàcách nghiên cứu trước bài mới ở nhà

Để giải tốt dạng toán hệ phương trình thì người học cần tìm hiểu rất nhiều kỹnăng biến đối Nhưng với phạm vi trong đề tài này tôi chỉ đưa ra được một số kỹthuật mà thường hay dùng trong quá trình làm bài tập và có thể vận dụng để có thểgiải quyết nhiều dạng bài tập khác

Do thời gian hoàn thành đề tài này không nhiều nên không thể tránh khỏithiếu sót mong quý đồng nghiệp đóng góp để đề tài này hoàn thiện hơn Tôi xin

chân thành cảm ơn

XÁC NHẬN CỦA

HIỆU TRƯỞNG

TP Thanh Hóa, ngày 22 tháng 03 năm 2017.

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

Người thực hiện

Hà Thị Thu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TRƯỜNG THCS