Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh chứng minh sự vuông góc ở chương i, hình học 8 tại trường THCS tây hồ, thọ xuân

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH CHỨNG MINH SỰ VUÔNG GÓC Ở CHƯƠNG I, HÌNH HỌC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH

CHỨNG MINH SỰ VUÔNG GÓC Ở CHƯƠNG I, HÌNH HỌC 8

TẠI TRƯỜNG THCS TÂY HỒ - THỌ XUÂN

Người thực hiện: Phùng Thị Tình Chức vụ: Phó Hiệu trưởng

Đơn vị công tác: Trường THCS Tây Hồ - Thọ Xuân SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán.

THỌ XUÂN, NĂM 2017

1 Mở đầu 1

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2 2.2 Thực trạng vấn đề chứng minh sự vuông góc ở chương I, Hình học 8 trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm. 2 2.3 Các giải pháp hướng dẫn học sinh chứng minh sự vuông gócở chương I, Hình học 8 3 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáodục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường. 10

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học Học đi đôi với hành;

lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội [3]

Vì thế, mỗi giáo viên phải tìm cho mình những phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh để phát huy khả năng sáng tạo và độc lập suy nghĩ của các

em, giúp học sinh nâng cao tính tự học, tự nghiên cứu trau dồi kiến thức, chủ động trong học tập Nhất là trong thời điểm hiện nay, chúng ta tiếp tục hưởng ứng cuộc vận động của ngành giáo dục “Mỗi thầy cô giáo là một tấm gương sáng tự học, tự sáng tạo” thì mỗi giáo viên cần có một phương pháp phù hợp để học sinh thích học môn mình dạy, mỗi giờ học các em được nghiên cứu, khám phá tri thức thể hiện rõ vai trò trung tâm của mình

Trong đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Thọ Xuân năm học: 2009

-2010, môn Toán lớp 8 có câu V: “Cho hình thang vuông ABCD (A = D =

900) có CD = 2AB Gọi H là hình chiếu của D trên AC, M là trung điểm của HC Chứng minh rằng BMD = 900” có nhiều học sinh không giải được, trong đó có học sinh tôi trực tiếp giảng dạy Bản thân rất trăn trở và đã nghiên cứu dạng bài tập này giúp các em tự tin hơn trong chứng minh sự vuông góc

Qua tìm hiểu của bản thân thì hiện tại chưa có tài liệu nào bàn sâu về chứng minh sự vuông góc ở chương I, Hình học 8 Đồng nghiệp, nhà trường chưa có kinh nghiệm để giải quyết, khắc phục vấn đề này Vì vậy, tôi đã nghiên cứu đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh chứng minh sự vuông góc

ở chương I, Hình học 8 tại trường THCS Tây Hồ - Thọ Xuân”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài: Giúp học sinh lớp 8 nắm vững những kiến thức cơ bản có liên quan đến chứng minh sự vuông góc Giúp học sinh lớp

8 hệ thống phương pháp chứng minh sự vuông góc Củng cố cho học sinh những

kĩ năng chứng minh hình học Từ đó, học sinh thêm hứng thú khi học phân môn hình học nói chung và khi học chứng minh sự vuông góc nói riêng

Hệ thống một số phương pháp chứng minh sự vuông góc liên quan đến bài tập chương I, hình học 8 Giải và khai thác một số bài toán về chứng minh sự vuông góc

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Các kiến thức cơ bản có liên quan đến chứng minh sự vuông góc trong chương I, hình học lớp 8 Một số phương pháp chứng minh sự vuông góc trong chương I, hình học lớp 8

1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp thu thập thông tin, thống kê, xử

lý thông tin, xây dựng cơ sở lý thuyết

1

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Nhắc lại một số khái niệm

Trực tâm của tam giác là giao điểm ba đường cao của tam giác đó

Hai đường thẳng xx’, yy’ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc và được ký hiệu là xx’  yy’[5]

2.1.2 Nhắc lại một số tính chất

Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì

nó cũng vuông góc với đường thẳng kia

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau

Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau

Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó [5]

Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền

Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh

ấy thì tam giác đó là tam giác vuông [6]

2.2 Thực trạng vấn đề chứng minh sự vuông góc trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Về phía học sinh: Hình học sơ cấp cấp THCS là bộ môn khoa học khó đối với học sinh Các em thường ngại học, ngại đầu tư, chưa say mê với bộ môn này Học sinh mới làm quen với phân môn hình học, chưa biết vận dụng tri thức vào thực hành, suy luận hình học chưa tốt, lập luận đôi khi còn cảm tính Chưa

có nhiều kinh nghiệm trong đúc rút kinh nghiệm qua mỗi bài giải Chưa biết cách khai thác một bài toán

Về phía giáo viên: Chưa chú trọng cung cấp phương pháp cho học sinh cách giải toán hình học, bằng lòng, kết thúc công việc giải bài tập hình học khi

đã tìm ra một cách giải nào đó Ít quan tâm tới sự phát triển tư duy, sáng tạo của học sinh Chú trọng đến số lượng bài tập, chưa chú trọng tới chất lượng bài tập

Trước những nguyên nhân cơ bản làm cho học sinh ngại học môn hình học đặc biệt là chứng minh hình học, tôi thiết nghĩ người giáo viên cần: Nắm vững kiến thức, chú trọng phát triển phương pháp tư duy cho học sinh, vận dụng dạy học theo phương pháp đổi mới Tìm tòi hệ thống bài tập theo chủ đề, theo

2

cấp độ từ đơn giản đến phức tạp để củng cố khắc sâu kiến thức, nhằm giúp cho học sinh có phương pháp chứng minh một bài toán hình học tốt hơn Từ đó, tạo cho học sinh sự tự tin, sự hưng phấn trong học hình Đồng thời, thông qua hệ thống bài tập cung cấp cho các em phương pháp chứng minh hình học Đề tài:

“Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh chứng minh sự vuông góc ở chương I, Hình học 8 tại trường THCS Tây Hồ - Thọ Xuân” không nằm ngoài mục đích

đó

2.3 Các giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 8 chứng minh sự vuông góc

2.3.1 Chứng minh sự vuông góc theo định nghĩa

Để chứng minh sự vuông góc theo định nghĩa thực chất ta chứng minh trong các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau đó có một góc bằng 900 Có nhiều cách chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng bằng 900 Ta thường dựa vào tính chất tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800, ta đi chứng minh cho tam giác có hai góc phụ nhau suy ra góc thứ ba bằng 900

Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi I, K theo thứ tự là

hình chiếu của H trên AB, AC Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng

AM vuông góc với IK [4]

Bài giải:

Gọi O là giao điểm của AH với IK

N là giao điểm của AM với IK

Ta có: MA = MC (Tính chất đường trung tuyến ứng

với cạnh huyền)

 MAK = MCK,

Tứ giác AKHI có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

 OKA = OAK

 MAK + OKA =

MCK + OAK = 900

 AM  IK

N O

M

K I

H

A

Nhận xét: Để chứng minh AM  IK ta đã đi chứng minh ANK vuông tại N bằng

cách chỉ ra tổng hai góc NAK và AKN bằng 90 0 Bản chất bài toán trên không đổi, nhưng với cách ra đề khác ta có bài toán mới sau đây.

Bài 2 Cho tam giác vuông tại A, đường cao AH Kẻ HD vuông góc với AB, HE

vuông góc với AC (D  AB, E  AC)

a) Chứng minh rằng: C = ADE.

b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng AM vuông góc với DE [2]

Bài giải

a) BAH = C (Cùng phụ với B)

Tứ giác DHEA là hình chữ nhật nên

ADE = DAH (DAH = BAH)

 C = ADE (1)

b) MB = MC (gt)

 ABM cân tại M

M

E D

H B

A

C

 B = MAB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: B + C = MAB + ADE = 900

 AM  DE

Bài 3 Cho hình vuông ABCD và điểm E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC.

a) Chứng minh: CE vuông góc với DF

b) Gọi M là giao điểm của CE và DF Chứng minh rằng: AM = AB [1]

Bài giải

a) BEC = CFD (c.g.c)

 BEC = CFD

Mà CFD + ECF = BEC + ECF = 900

 EC  DF (1)

b) Gọi I là trung điểm của DC

 AI // CE (2)

AI cắt DF tại N

 N là trung điểm của DM

Do đó, ADM cân tại A (AN là đường cao, đường

trung tuyến)

 AM = AD

 AM = AB

I N

Nhận xét:Trong quá trình chứng minh hai đường thẳng vuông góc theo định

nghĩa ta thường chứng minh gián tiếp Dựa vào tổng ba góc trong một tam giác vuông Rồi suy ra góc tạo bởi hai đường thẳng cần chứng minh vuông góc bằng

90 0

3

2.3.2 Chứng minh sự vuông góc dựa vào quan hệ giữa đường thẳng song song

và đường thẳng vuông góc

Bài 4 Cho hình thang vuông ABCD (A=D= 900), có AB=1

2CD Gọi H là hình chiếu của D trên AC, M là trung điểm của HC Chứng minh rằng BMD = 900 [2]

Bài giải

Gọi N là trung điểm của HD

Ta có MN là đường trung bình của HDC nên

MN // DC, MN = 1

2 DC

Ta lại có AB // DC, AB = 1

2 DC,

do đó AB//MN, AB = MN

Vậy ABMN là hình bình hành, suy ra

AN // BM (1)

ADM có DH  AM, MN  AD,

suy ra, N là trực tâm của ADM nên

AN  DM (2)

Từ (1) và (2) suy ra BMD = 900

Nhận xét: Thay đổi cách ra đề, nhưng bản chất toán học của bài toán thì không

đổi, cách chứng minh như bài 4 Ta có bài toán sau:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi I là trung điểm của HC Kẻ

2AC, K và C cùng phía đối với AB.

a) Gọi E là trung điểm của AH Chứng minh rằng BE // IK.

b) Chứng minh rằng: KI  AI [4].

Hướng dẫn:

a) Ta chứng minh được BKIE

là hình bình hành do: BK = EI và BK // EI.

b) ABI có AH  BI, IE  AB.

 E là trực tâm của tam giác ABI.

 IK // BE

B

K

H I

Bài 5 Cho hình thang vuông ABCD (A=D = 900) có CD = 2AB Gọi H là hình chiếu của D trên AC, M là trung điểm của HC Chứng minh rằng BMD = 900

(Trích đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Thọ Xuân năm học: 2009 - 2010, môn Toán lớp 8 có câu V)

Bài giải

Gọi N là trung điểm của DH, MN là đường trung bình của HDC ta có:

MN // DC và MN = 1

2 DC; AB // CD và AB =

1

2 DC (gt).

 MN // AB; MN = AB

 Tứ giác ABMN là hình bình hành

 AN // BM (1)

4

A

D

B

C

H

M

ADM có DH  AM (gt) và MN  AD

 N là trực tâm của ADM

 AN là đường cao hay AN  DM (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BM  DM hay BMD = 900

Nhận xét:

- Cũng cách chứng minh như bài 5 nhưng ra đề theo cách khác Ta có bài toán mới: Cho hình vuông ABCD Gọi E là điểm đối xứng với A qua D Kẻ AH  BE,

M, N lần lượt là trung điểm của AH và HE Chứng minh rằng AN  NC.

- Phương pháp sử dụng mối quan hệ giữa đường thẳng song và đường thẳng vuông góc là công cụ đắc lực trong chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

- Trong bài 4 và bài 5 có điểm N là trực tâm của ADM, tính chất điểm trực tâm của tam giác cũng là một trong những cách thường dùng để chứng minh sự vuông góc Với bài 5, nếu thay đổi một chút giả thiết thì có bài toán mới Chứng minh sự vuông góc dựa vào tính chất trực tâm của tam giác Ta có bài toán 6 sau đây.

2.3.3 Chứng minh sự vuông góc dựa vào trực tâm của tam giác

Bài 6 Cho hình thang vuông ABCD (A = D = 900) Gọi H là hình chiếu của D trên AC N, M lần lượt là trung điểm của DH, HC Chứng minh rằng AN  DM

Bài giải:

MN là đường trung bình của HDC

 MN // DC nên MN  AD

Ta lại có DH  AM

 N là trực tâm của ADM

 AN  DM

M N

H

Nhận xét: Hình chữ nhật là trường hợp đặc biệt của hình thang vuông Vì thế ta

có thể đặc biệt hoá bài toán 6 với hình thang vuông ABCD là hình chữ nhật ta có bài toán mới sau đây.

Cho hình chữ nhật ABCD, gọi H là hình chiếu của D trên AC N, M lần lượt là trung điểm của DH, HC Chứng minh rằng AN  DM.

Để chứng minh bài toán này ta giải tương tự như bài toán 6

Bài 7 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh CD và N là một

điểm trên đường chéo AC sao cho BNM = 900 Gọi F là điểm đối xứng của A qua N Chứng minh rằng BF  AC

Bài giải Gọi I là trung điểm của BF, đường thẳng NI cắt BC tại E.

Ta có F đối xứng với A qua N (gt)

 N là trung điểm của AF mà IB = IF

 NI là đường trung bình của ABF

 NI // AB và NI = 1

2 AB

5

M B

A

C

D N

F

E

Mặt khác AB // CD; AB = CD (ABCD là hình chữ nhật),

CM = MD (gt)

 NI  BC ; NI // CM và NI = CM  Tứ giác CINM là hình bình hành

 CI // MN, mà MN  BN (BNM = 900)

 CI  BN Do đó I là trực tâm của BCN

 BF  AC

2.3.4 Chứng minh sự vuông góc dựa vào tính chất đường cao, đường trung tuyến ứng với đỉnh tam giác cân

Bài 8 Cho tam giác ABC các đường cao BD và CE Gọi M, N là chân các đường

vuông góc kẻ từ B, C đến DE Gọi I là trung điểm của DE, K là trung điểm của

BC Chứng minh rằng: a) KI  ED

b) EM = DN [1]

Bài giải

a) BK=KC (gt), CEAB; BD 

AC(gt)  EK = KD = 21 BC

(Tính chất đường trung tuyến ứng với

cạnh huyền)

I A

D E M

N

 KI vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

 KI  ED

b) Hình thang BCNM có: BK = KC, KI // CN // BM (Cùng vuông góc với MN)

 IM = IN (mà IE = ID (gt))

 ME = DN

Nhận xét: Để chứng minh KI  ED ta đã đi chứng minh EKD cân tại K có KI là

đường trung tuyến ứng với đỉnh của tam giác cân.

Bài 9 Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 3cm, CD = 7cm, AD = 10cm Gọi

M là trung điểm của BC Chứng minh rằng AM vuông góc với DM [4]

Bài giải

Cách 1:

Gọi E là giao điểm của AM và DC

Xét AMB và EMC có:

ABM = MCE (Hai góc so le trong);

BM = ME (gt);

AMB = CME (Hai góc đối đỉnh)

 AMB = EMC (g.c.g)

 MA = ME, AB = CE

 ADE cân tại D

 DM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

 AM  DM

6

I M

Nhận xét: Bài 9 ngoài cách chứng minh AM  DM dựa vào tính chất đường cao,

đường trung tuyến ứng với đỉnh tam giác cân Ta có thể chứng minh AM  DM dựa vào tính chất đường trung tuyến ứng với một cạnh của tam giác và bằng một phần hai cạnh ấy.

Cách 2: Gọi I là trung điểm của AD

 IM là đường trung bình nên IM = 5cm.

AMD có: AI = IM = ID = 5cm  AMD vuông tại M.

 AM  DM.

2.3.5 Chứng minh sự vuông góc dựa vào tính chất đường trung tuyến ứng với một cạnh của tam giác và bằng một phần hai cạnh ấy.

Bài 10 Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật

ABCD, M và K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD

a) Gọi I và O thứ tự là trung điểm của AB và IC Chứng minh: OM =1

2 IC [2]. b) Chứng minh BM  MK

Bài giải

a) IM là đường trung bình của AHB

 IM  AH  IMC là tam giác vuông

 MO = 21 IC

b) Tứ giác IBCK là hình chữ nhật nên BK = IC

MBK có: MO = 21 IC  MO = 12 BK

M

O I

K

H

C D

B A

 MBK vuông tại M  BM  MK

Bài 11 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là trung điểm của BC Qua E kẻ

đường thẳng song song với AD, cắt CD ở F Chứng minh rằng BF  CD [4]

Bài giải

EF // AD  D = EFC mà D = C

(Tứ giác ABCD là hình thang cân đáy AB, CD)

 EFC = C  EFC cân tại E

 EF = EC  BE = EC = EF

 BFC vuông tại F

 BF  FC

E

Nhận xét: Để chứng minh BF  FC ta đã đi chứng minh BFC có một đường

trung tuyến ứng với một cạnh của tam giác và bằng một phần hai cạnh ấy.

7