Lên lớp 7 pháttriển cao hơn với những loại toán chứa dấu giá trị tuyệt đối của những sốnguyên, số hữu tỷ, số thực, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa giátrị tuyệt đối, ở l
Trang 1II Mục đích và phương pháp nghiên cứu 03
2
IV Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 19
Trang 2PHẦN I: MỞ ĐẦU
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là một trong những môn học quan trọng để rèn luyện tư duy, rèn luyện
kỹ năng vận dụng để giải quyết một số vấn đề xảy ra trong thực tế Vì vậy việcdạy học môn Toán là dạy cho học sinh có năng lực trí tuệ, năng lực từ đó giúphọc sinh học tập và tiếp thu các kiến thức khoa học và biết cách vận dụng nó vàocuộc sống Dạy học môn Toán người thầy không chỉ dạy cho học sinh kiến thứctoán học (những công thức, những định lý, định đề, tiên đề …) mà người thầycòn phải dạy cho học sinh có năng lực, trí tuệ để giải quyết vấn đề được nêu ratrong học tập và sau này
Trong quá trình dạy học toán, việc lựa chọn công cụ và phương pháp phùhợp để giải các bài toán là việc làm cần thiết và quan trọng Chọn được công cụthích hợp sẽ cho ta lời giải hay và ngắn gọn, dễ hiểu Để có bài giảng thu hútđược được học trò, giúp học trò phát triển được tư duy và dẫn dắt học trò tớiniềm say mê sáng tạo, tôi cũng như bao giáo viên yêu nghề khác luôn trăn trởvới những khó khăn của học trò trong quá trình tiếp cận từng bài toán
Giá trị tuyệt đối của một số là một phạm trù kiến thức rất hẹp, tương đối trừutượng Đây là một vấn đề mà học sinh đã được học ở chương trình lớp 6 (đối với
số nguyên) và tiếp tục được học ở lớp 7 (đối với số thực) nhưng không phải làvấn đề đơn giản đối với học sinh Khi gặp một bài toán có giá trị tuyệt đối không
ít học sinh lúng túng không biết phải bắt đầu từ đâu và đặc biệt không biết xoay
sở ra sao Điều đó cũng dễ hiểu vì tuy đã được học phần lý thuyết cơ bản song
số bài tập để củng cố để khắc sâu, để bao quát hết các dạng thì lại không nhiều,không có sức thuyết phục để lôi kéo sự hăng say học tập của học sinh Nhưchúng ta đã biết hệ thống câu hỏi, bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập đãđược biên soạn, chọn lọc, sắp xếp một cách công phu rất phù hợp với kiến thức
và năng lực của học sinh Tuy nhiên, sách giáo khoa và sách bài tập là tài liệudành cho tất cả các đối tượng học sinh trên mọi miền đất nước Vì vậy để cónhững bài tập phù hợp với yêu cầu của từng tiết dạy, phù hợp với từng đối tượnghọc sinh, phù hợp với hoàn cảnh thực tế của địa phương Ngoài việc khai tháctriệt để các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập, thì người giáo viên phải
tự mình biên soạn thêm những câu hỏi và bài tập mới, nhằm phát huy tính tíchcực, tự giác, tư duy sáng tạo, bồi dưõng năng lực tự học, lòng say mê học tập và
ý chí vươn lên cho học sinh
Biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là dạng Toán xuyên suốt trong quátrình học của học sinh ở bậc Trung học cơ sở và ở bậc cao hơn nữa Ví dụ ở lớp
6 bắt đầu với những bài toán đơn giản chứa dấu giá trị tuyệt đối của số nguyên,tìm giá trị của biến trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Lên lớp 7 pháttriển cao hơn với những loại toán chứa dấu giá trị tuyệt đối của những sốnguyên, số hữu tỷ, số thực, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa giátrị tuyệt đối, ở lớp 8 các em sử dụng loại toán chứa dấu giá trị tuyệt đối trongtìm nghiệm nguyên của phương trình nghiệm nguyên, lớp 9 loại toán chứa dấu
Trang 3giá trị tuyệt đối lại càng đa dạng hơn như giải phương trình chứa giá trị tuyệtđối, đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Như vậy ta thấy các loại toán chứa dấu giá trị tuyệt đối rất quan trọng đặcbiệt ở lớp 7 nếu các em học chắc về các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối phùhợp với các em thì việc giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối ở các lớp trêncác em làm sẽ thấy đơn giản và làm bài một cách hứng thú hơn
Để giúp HS lớp 7 tháo gỡ những vướng mắc trên và có định hướng đúngđắn trước các bài toán về giá trị tuyệt đối của 1 số, có phương pháp giải phù hợpcho mỗi bài toán ở dạng này đồng thời góp phần giúp HS đạt kết quả cao trong
các kì thi học sinh giỏi tôi đã trăn trở suy nghĩ chọn đề tài: “Hình thành kỹ năng giải bài toán có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh.”
II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trước những thực tế đặt ra ở trên, ta cần hướng dẫn cho các em học sinh ngay
từ lớp 7 tìm ra hướng giải quyết bài toán có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinhnhằm đạt tới ba mục đích
1 Thứ nhất: Hoàn thiện, khắc sâu, nâng cao (ở mức độ của chương trình cho
phép) phần lí thuyết về giá trị tuyệt đối của 1 số qua hệ thống bài tập
2 Thứ hai: Rèn luyện kỹ năng, thuật toán, nguyên tắc giải toán về giá trị tuyệt
đối của 1 số (tuỳ theo yêu cầu của từng bài cụ thể)
3 Thứ ba: Rèn luyện nề nếp học tập có tính khoa học, rèn luyện các thao tác tư
duy, phương pháp học tập chủ động, tích cực, sáng tạo
III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Học sinh lớp 7 trường THCS Hà Lĩnh
IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Với mục đích và nhiệm vụ đặt ra như trên, tôi đã tiến hành hoàn thành sáng kiến
kinh nghiệm “Hình thành kỹ năng giải bài toán có chứa giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Trường THCS Hà Lĩnh”bằng việc phối hợp các phương pháp
nghiên cứu sau:
1 Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Hình thức chủ yếu tôi dùng là nghiên
cứu tài liệu lí luận và phân tích tiên nghiệm Sử dụng các kiến thức có trongsách giáo khoa theo chương trình mới của Bộ giáo dục và Đào tạo, các kết quả
đã có trong một số tài liệu có liên quan trên cơ sở kế thừa những cái hay, bổsung và hoàn chỉnh những tri thức đã đạt được Đồng thời dựa những cách tiếp
cận khác nhau về các bài toán có chứa giá trị tuyệt đối để định hướng, phát hiện
và giải quyết bài toán
2 Điều tra, khảo sát thực tế: Tiến hành theo dõi quá trình phát hiện và giải quyết các bài toán có chứa giá trị tuyệt đối theo trình tự thời gian trên các đối
tượng là các em học sinh lớp 7 của trường THCS Hà Lĩnh
3 Tổng kết kinh nghiệm: Đánh giá và khái quát kinh nghiệm trong quá trình thực hiện Từ đó khám phá ra những mối liên hệ có tính quy luật của vấn đề đặt
ra
Trang 4PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I CỞ SỞ LÝ LUẬN
1 Các kiến thức cơ sở
a Định nghĩa:
*Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của một số a là khoảng cách từ điểm a đến điểm
gốc trên trục số Kí hiệu |a|
Ta thường sử dụng định nghĩa trên dưới dạng: ê 0
a n u a a
b a
1.1 Đối với giáo viên :
Trong quá trình dạy toán ở Trường THCS với đối tượng HS lớp tôi phụ tráchmột số các em có học lực khá và ham hiểu biết, cho nên làm thế nào để trongquá trình giảng dạy học sinh từ hiểu biết đi đến yêu thích bộ môn, nắm vữngkiến thức và vận dụng linh hoạt vào việc giải bài tập là điêù tôi luôn trăn trở Trong quá trình giảng dạy chính khóa, giáo viên không có đủ thời gian đểđưa ra những bài tập phức tạp nhằm phát triển khả năng tư duy cho học sinh,hoặc nếu có cũng chỉ là ở những tiết ôn tập chương, tuy nhiên số lượng cũng rất
ít và chỉ lướt nhanh qua một hoặc hai ví dụ
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, tôi nhận ra rằng nếu chỉ dạy học sinh đơnthuần kiến thức theo sách giáo khoa thì chỉ đáp ứng được yêu cầu của số HStrung bình, khá và kết quả thu được của HS chưa cao Đặc biệt là việc giải bàitoán có dấu giá trị tuyệt đối thì HS còn rất lúng túng Do vậy trong quá trìnhgiảng dạy tôi thường xuyên nghiên cứu kĩ chương trình từng khối lớp: phân loạikiến thức, dạy cho học sinh theo từng chuyên đề và trong mỗi dạng đó, tôi đã cốgắng tìm tòi và cung cấp thêm cho các em những phương pháp giải ngoài sáchgiáo khoa để có thể giúp học sinh vận dụng giải bài toán một cách nhanh nhấtvào những buổi học bồi dưỡng
2 Đối với học sinh:
Giải bài toán có chứa giá trị tuyệt đối là một phần khó đối với HS lớp 6, xuấthiện nhiều trong các đề thi HSG nhưng sách giáo khoa lại không đưa ra cụ thểcác phương pháp giải
Với HS lớp 7 ở trường THCS Hà Lĩnh do điều kiện kinh tế xã hội của xã cònkhó khăn nên điều kiện học tập dành cho các em còn ít Vì vậy với bộ môn toán
Trang 5nói chung và phần toán về trị tuyệt đối nói riêng các em làm được ít hoặc thườnggặp phải những sai lầm sau:
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức : B = 4x2 - 3x + 1 với x = 3
HS đã thay luôn x = 3 vào biểu thức B rồi tính, mà chưa biết có 2 giá trị của xdẫn tới thiếu một trường hợp x = -3
Ví dụ 2: Tìm x biết : x 3 = 2
HS chưa nắm chắc được đẳng thức luôn xảy ra vì 2 > 0 mà vẫn xét hai trườnghợp x-3 > 0 và x-3 < 0 và giải hai trường hợp tương ứng Cách làm này chưagọn
Ví dụ 3: Tìm x biết : x 1- 2x = 2 (1)
Học sinh đã làm như sau:
Nếu x-10 suy ra x-1 -2x =2
Nếu x-1<0 suy ra 1- x- 2x=2
Với cách giải này các em không xét tới điều kiện của x
Có em đã thực hiện (1) suy ra x 1= 2x+ 2 x-1= 2x+2 hoặc x-1= -2x-2 Trong trường hợp này các em mắc sai lầm ở trường hợp không xét điều kiệncủa 2x+2
Như vậy trong các cách làm trên các em làm chưa kết hợp chặt chẽ điềukiện hoặc làm bài còn chưa ngắn gọn
2 Kết quả của thực trạng trên.
Sau khi học xong bài giá trị tuyệt đối của 1 số hữu tỉ năm học 2016 - 2017,tôi cho các em trong lớp 7A làm một bài kiểm tra khảo sát nhằm phân loại họcsinh từ đó tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với mỗi đối tượng
Kết quả thấp là do học sinh còn vướng mắc những điều tôi đã nói ở trên và phầnlớn các em chưa làm được câu c, d
Nhìn chung HS còn hạn chế nhiều trong việc giải bài tập về giá trị tuyệt đốicủa 1 số, chưa có phương pháp giải Chính vì vậy cần phải có những biện pháptích cực hình thành kĩ năng giải bài tập về giá trị tuyệt đối của 1 số cho HS lớp 7
Trang 6III CÁC GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN :
Để giải bài toán mà biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối tôi đã sử dụng các
kiến thức cơ bản như quy tắc, tính chất, định nghĩa về giá trị tuyệt đối hướngdẫn học sinh phân chia từng dạng bài, phát triển từ dạng cơ bản sang dạng khácphức tạp hơn.Từ phương pháp giải dạng cơ bản, dựa vào định nghĩa tính chất vềgiá trị tuyệt đối tìm tòi các phương pháp giải các dạng khác đối với mỗi dạngbài, loại bài Tôi đã chia thành 6 dạng chính như sau :
1.Dạng 1: Tính giá trị của một biểu thức có liên quan đến giá trị tuyệt đối
a.Ví dụ
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức A = 2 x - 3 - 3 2- x tại x = 4
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức : B = 4x2 - 3x + 1 với x = 3
* Những khó khăn của học sinh khi giải bài toán trên:
Sau khi giao bài tập thì có học sinh thay được x = 4 vào biểu thức A nhưng lạikhông tính được giá trị của biểu thức A vì biểu thức này có chứa giá trị tuyệtđối, còn đối với biểu thức B học sinh lại lúng túng, không thay được giá trị của
x vào biểu thức B để tính giá trị
b, Cách tìm phương pháp giải
Đối với dạng toán này tôi đã cho học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữabài toán tính giá trị một biểu thức đơn thuần với bài toán tính giá trị một biểuthức có dấu giá trị tuyệt đối
c, Phương pháp giải :Thay giá trị đã cho trước của biến vào biểu thức rồi
tính giá trị của biểu thức.Lưu ý giá trị tuyệt đối của một số bao giờ cũng không
âm và hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau
d, Hướng dẫn giải :
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức A = 2 x - 3 - 3 2- x tại x = 4
Đây là bài toán đơn giản đối với bài toán này học sinh phải biết thay x = 4 vào
biểu thức A sau đó bỏ giá trị tuyệt đối để tính giá trị của biểu thức A
Với x = 4 ta có:
A = 2 4 - 3 - 3 2 - 4 = 2.1 - 3.2 = - 4
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức: B = 4x2 - 3x + 1 với x = 3
Ở bài toán này xuất phát từ sai lầm của HS như đã trình bày ở trên nên trước hếtcác em phải biết x = 3 thì x = 3 hoặc x = -3 từ đó sẽ có 2 giá trị của biểu thức
* Những khó khăn của học sinh khi giải bài toán trên: HS lúng túng không
biết bắt đầu từ đâu, có em không để ý đến dấu giá trị tuyệt đối tính ngay C =4(2x-3) - x – 3 , đối với biểu thức D thì hầu như các em không rút gọn được
Trang 7b, Cách tìm phương pháp giải
Đối với dạng toán này tôi đã khắc sâu cho học sinh: Giá trị tuyệt đối của mộtbiểu thức bằng chính nó (nếu biểu thức không âm) hoặc bằng một biểu thức đốicủa nó (nếu biểu thức âm) Vì thế khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối của 1 biểu thức cầnxét giá trị của biến làm cho biểu thức dương hay âm Dấu của các biểu thứcthường được viết trong bảng xét dấu
c, Phương pháp giải : Xét giá trị của biến làm cho biểu thức dương hay âm,
Ở đây biểu thức D có chứa tới 2 biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối do đó
để đơn giản trong trình bày tôi đã hướng dẫn cho học sinh lập bảng xét dấu
Trang 8Ở ví dụ 1 HS chưa nắm chắc được đẳng thức luôn xảy ra vì 2,3 > 0 màvẫn xét hai trường hợp x- 1,7 > 0 và x-1,7 < 0 và giải hai trường hợp tương ứng.Cách làm này chưa gọn, có em bỏ luôn dấu giá trị tuyệt đối giải ngay
Với cách giải này các em không xét tới điều kiện của x
Có em đã thực hiện (1) suy ra x 1= 2x+2 x-1=2x + 2 hoặc x-1= -2x-2 Trong trường hợp này các em mắc sai lầm ở trường hợp không xét điều kiệncủa 2x + 2
Ngoài các dạng toán cơ bản trên, còn có những bài toán tìm x có chứa giá
trị tuyệt đối phức tạp hơn các em chưa có phương pháp giải, không biết bắt đầu từ đâu tôi đã hướng dẫn cho các em từ dạng cơ bản đến dạng mở rộng như sau :
3.1 Dạng cơ bản A x = B với B 0
a, Cách tìm phương pháp giải
Đẳng thức có xảy ra không ? Vì sao ? Nếu đẳng thức xảy ra cần áp dụngkiến thức nào để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ( áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối củahai số đối nhau thì bằng nhau )
b, Phương pháp giải
Ta lần lượt xét A(x) = B hoặc A(x) = -B
c, Ví dụ
Ví dụ 1 : Tìm x biết x 1 , 7 = 2,3 [3]
GV: Đặt câu hỏi bao quát chung cho bài toán :
Đẳng thức có xảy ra không ? vì sao? Số nào có giá trị tuyệt đối bằng 2,3
( Đẳng thức có xảy ra vì x 1 , 7 0 và 2,3 > 0 ) Cần áp dụng kiến thức nào đểgiải , để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối ( áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai
số đối nhau thì bằng nhau )
Trang 9Từ đó học sinh biến đổi đưa về dạng 3 1
Làm thế nào để đưa về dạng cơ bản đã học ?
Từ đó học sinh đã biến đổi đưa về dạng cơ bản đã học 9 2x = 11
Từ dạng cơ bản A x = B nếu thay B bằng biểu thức B(x) ( B (x) có chưá biến x ) ta có các dạng bài tập sau khó hơn dành cho HS khá, giỏi
3.2 Dạng A (x) = B(x) ( trong đó biểu thức B (x) có chưá biến x )
a, Cách tìm phương pháp giải
Cũng đặt câu hỏi gợi mở như trên, học sinh thấy được đẳng thức không xảy rakhi B(x) < 0 Vậy cần áp dụng kiến thức nào để có thể dựa vào dạng cơ bản đếsuy luận tìm ra cách giải bài toán trên không ? Có thể tìm ra mấy cách ?
(Thoả mãn)
Trang 10Vậy x = -1
Lưu ý : "Qua hai dạng trên tôi cho học sinh phân biệt rõ sự giống nhau
( đều chứa một dấu giá trị tuyệt đối ) và khác nhau ( A (x) = B 0 dạng đặc biệt của dạng A (x) = B(x).
Nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ được phương pháp giải loại đẳng thức chứa một dấu giá trị tuyệt đối, đó là đưa về dạng A =B (Nếu B0 đó là dạng đặc biệt,còn B<0 thì đẳng thức không xảy ra Nếu B là biểu thức có chứa biến
là dạng hai và giải bằng cách 1 ) hoặc ta đi xét các trường hợp xảy ra đối với
3.3 Dạng A x + B x = 0
a, Cách tìm phương pháp giải
Với dạng này tôi yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá trịtuyệt đối của một số ( giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm ) Vậytổng của hai số không âm bằng không khi nào ? ( cả hai số đều bằng không ).Vậy ở bài này tổng trên bằng không khi nào ? ( A(x) =0 và B(x)=0) Từ đó tatìm x thoả mãn hai điều kiện : A(x) = 0 và B(x) = 0
b, Phương pháp giải
Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bấtđẳng thức
Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng
0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0
Trang 11Chú ý 1: Bài toán có thể cho dưới dạng A B 0 nhưng kết quả khôngthay đổi.
Kết hợp (1)và (2) x = -2
2, Giải tương tự
* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính
chất không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng cócác bài tương tự
Bài tập tương tự :T×m x, y tho¶ m·n :
Trang 127 5
Cần áp dụng kiến thức nào về giá trị tuyệt đối để bỏ được đấu giá trị tuyệt đối
và cần tìm ra phương pháp giải ngắn gọn Có hai cách giải : Xét các trườnghợp xảy ra của A(x) và B(x) (dựa vào định nghĩa )và cách giải dựa vào tínhchất 2 số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau để suy ra ngay A(x) =B(x) ;A(x) =-B(x) ( vì ở đây cả hai vế đều không âm do A x 0 và B x 0)
Bước 2 : Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá
trị của biến Khi xét các trường hợp xảy ra không được bỏ qua điều kiện đểA=0 mà kết hợp với điều kiện để A > 0 ( ví dụ -4 x < 2)
Cụ thể : Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp sau :
+ Nếu x < -4 ta có x - 2 < 0 và x + 4 < 0 nên x 2 = 2 - x và x 4= -x - 4 Đẳng thức trở thành: 2 - x - x - 4 = 8 -2x = 10 x = -5 ( thoả mãn x < -4) + Nếu -4 x < 2 ta có x 2 = 2 - x và x 4= x + 4
Đẳng thức trở thành: 2 - x + x + 4 = 8 0x = 2 (vôlí )
+ Nếu x 2 ta có x 2 = x - 2 và x 4 = x + 4
Đẳng thức trở thành: x- 2 + x + 4 = 8 2x = 6 x = 3 (thoả mãn x2)