Giải nhanh bài toán hay và khó Đại số 10 chương Mệnh đề tập hợp

Giải nhanh bài toán hay và khó Đại số 10 chương Mệnh đề tập hợpGiải nhanh bài toán hay và khó Đại số 10 chương Mệnh đề tập hợpGiải nhanh bài toán hay và khó Đại số 10 chương Mệnh đề tập hợpGiải nhanh bài toán hay và khó Đại số 10 chương Mệnh đề tập hợpGiải nhanh bài toán hay và khó Đại số 10 chương Mệnh đề tập hợpGiải nhanh bài toán hay và khó Đại số 10 chương Mệnh đề tập hợpGiải nhanh bài toán hay và khó Đại số 10 chương Mệnh đề tập hợpGiải nhanh bài toán hay và khó Đại số 10 chương Mệnh đề tập hợpGiải nhanh bài toán hay và khó Đại số 10 chương Mệnh đề tập hợpGiải nhanh bài toán hay và khó Đại số 10 chương Mệnh đề tập hợpGiải nhanh bài toán hay và khó Đại số 10 chương Mệnh đề tập hợpGiải nhanh bài toán hay và khó Đại số 10 chương Mệnh đề tập hợpGiải nhanh bài toán hay và khó Đại số 10 chương Mệnh đề tập hợpGiải nhanh bài toán hay và khó Đại số 10 chương Mệnh đề tập hợpGiải nhanh bài toán hay và khó Đại số 10 chương Mệnh đề tập hợpGiải nhanh bài toán hay và khó Đại số 10 chương Mệnh đề tập hợp

Trang 1

LIÊN HỆ LẤY FILE WORD:096.79.79.369(Mr.Hiệp)

2 Cho mệnh đề P Mệnh đề “không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh

đề P và kí hiệu là P Mệnh đề P và mệnh đề phủ định P là hai câu khẳng định trái ngược nhau Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng

3 Cho hai mệnh đề P và Q

a Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là PQ Mệnh đề PQ sai khi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại

b Mệnh đề Q P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề PQ

c Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và

kí hiệu là PQ Mệnh đề P Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề p và Q đều đúng hay đều sai

4 Mệnh đề chứa biến P(x) là một câu chứa biến (không phải là mệnh đề đúng hay

sai), nhưng với mỗi giá trị của biến X trong tập xác định X nào đó ta được một mệnh đề

a Cho mệnh đề chứa biến P(x) với xZ Khi đó khẳng định “với mọi x thuộc X, P(x) đúng” là một mệnh đề Mệnh đề này sai nếu tồn tạo một x0X sao cho P(x0) là một mệnh đề sai Mệnh đề trên được kí hiệu là " x X P x, ( )"

b Cho mệnh đề chứa biến P(x) với xZ Khi đó khẳng định “tồn tại x thuộc X,

P(x) đúng” là một mệnh đề Mệnh đề này sai nếu tồn tạo một x0X sao cho P(x0) là một mệnh đề đúng Mệnh đề trên được kí hiệu là đ" x X P x, ( )"

c Mệnh đề phủ định của " x X P x, ( )" là " x X P x, ( )"

Mệnh đề phủ định của " x X P x, ( )" là " x X P x, ( )"

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1: Xác định một phát biểu có là mệnh đề Tính đúng sai của mệnh đề

 PQ chỉ sai khi P đúng, Q sai

 P Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P và Q đều đúng hay đều sai

  x X P x, ( ) đúng khi P(x0) đúng với mọi x0 X

  x X P x, ( ) đúng khi có x0 X sao cho P(x0) đúng

2 Ví dụ

Ví dụ 1: Xét xem các phát biểu sau có phải là mệnh đề không? Nếu là mệnh đề thì cho

biết đó là mệnh đề đúng hay sai?

a) A: 2 là một số nguyên dương

b) B: Ca-na-đa là một nước châu Âu phải không?

c) C: Phương trình x25x 6 0 vô nghiệm

Trang 2

d) D: Chứng minh bằng phản chứng khó thật!

e) E: -5x -6 là một số âm

f) F: Nếu n là số chẵn thì n chia hết cho 4

g) G: Nếu n chia hết cho 4 thì n là số chẵn

h) H: n là số chẵn nếu và chỉ nếu n2 chia hết cho 4

i) I:  n ,n3n không là bội của 3

j)  x ,x2  x 1 0

Giải

a) A là mệnh đề sai

b) B la một câu hỏi, không phải là mệnh đề

c) C là mệnh đề sai vì phương trình trên có ít nhất một nghiệm là x = 1

d) D là câu cảm thán, không phải là mệnh đề

e) E không phải là mệnh đề Đây là mệnh đề chưa biến

f) F là mệnh đề sai vì n là số chẵn nhưng n chưa chắc chia hết cho 4

b) Nếu 45 tận cùng bằng 5 thì 45 chia hết cho 25

c) Nếu 2 không là số vô tỉ thì thì 2 2 không là số vô tỉ

d) Nếu Py-ta-go (Pythagore) là người Thái Lan thì Việt Nam thuốc về châu Á

b) Đặt P = “45 tận cùng bằng 5” và Q= “45 chia hết cho 25” Ta có mệnh đề đã cho có dạng “P Q” Ta thấy P đúng và Q sai, do đó mệnh đề đã cho sai

c) Đặt P = “ 2 không là số vô tỉ” và Q= “2 2 không là số vô tỉ” Ta có mệnh đề đã cho

có dạng “P Q” Ta thấy P sai và Q sai, do đó mệnh đề đã cho đúng

d) Đặt P = “Py-ta-go (Pythagore) là người Thái Lan” và Q= “Việt Nam thuốc về châu Á” Ta có mệnh đề đã cho có dạng “P Q” Ta thấy P sai và Q đúng, do đó mệnh đề

đã cho đúng

e) Đặt P = “2=3” và Q= “2+1=3+1” Ta có mệnh đề đã cho có dạng “PQ” Ta thấy P sai và Q sai, do đó mệnh đề đã cho đúng

f) Đặt P = “(-5)2=52” và Q= “-5=5” Tac có mệnh đề đã cho có dạng “P Q” Ta thấy P đúng và Q sai, do đó mệnh đề đã cho sai

g) Đặt P = “Tứ giác ABCD là hình bình hành” và Q= “Tứ giác ABCD có các góc đối bằng nhau” Ta có mệnh đề đã cho có dạng “P Q” Ta thấy P và Q cùng đúng hoặc cùng sai, do đó mệnh đề đã cho đúng

3 Bài tập

Bài 1: Tìm mệnh đề trong các câu sau và cho biết chúng đúng hay sai?

a) 5 là số chẵn

Trang 3

b) Nếu AB2+AC2=BC2 thì tam giác ABC vuông

c) 2 có phải là số nguyên tố không?

d) Hôm nay trời không mưa, chúng ta đi xem ca nhạc nhé!

e) Nếu phương trình bậc 2 có ∆≥0 thì nó có nghiệm

f) Trái Đất quay quanh Mặt Trời

g) Tháng hai (dương lịch) có 30 ngày

h) 2 10

i) Tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800

j) Hình lập phương có 8 đỉnh

k) Boa giờ lớp mình đi dã ngoại?

l) Thủy ngân không phải là kim loại

Bài 2: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) Tất cả các chất khí đều không dẫn điện

b) Nhà toán học Cô-si (Cauchy) là người Ý

c) 9801 là số chính phương

d) Giải thưởng cao nhất về toán học trên thế giới là giải Nobel

e) Có vô số số nguyên tố

f) Một năm có tối đa 52 ngày chủ nhật

Bài 3: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM Xét hai mệnh đề sau:

P: “Tam giác ABC vuông tại A”

Q: “Trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC”

a) Phát biểu mệnh đề PQ và cho biết mệnh đề này đúng hay sai

b) Phát biểu mệnh đề PQ và cho biết mệnh đề này đúng hay sai

Bài 4: Xét hai mệnh đề sau: P: “120 chia hết cho 6 và chia hết cho 8”

Q: “120 chia hết cho 6.8”

a) Phát biểu mệnh đề PQ và cho biết mệnh đề này đúng hay sai

b) Phát biểu mệnh đề PQ và cho biết mệnh đề này đúng hay sai

Ví dụ 1: Tìm mệnh đề đảo của mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đảo này đúng hay sai:

“Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau”

Giải

Mệnh đề đã cho có dạng PQ trong đó:

P: “hai góc đối đỉnh” và Q: “hai góc bằng nhau”

Vậy mệnh đề đảo là: “Nếu hai góc bằng nhau thì chúng đối đỉnh” Mệnh đề này sai

Ví dụ 2: Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề sau và cho biết chúng này đúng hay sai:

a) P= " x , (x3)2 0"

b) Q= “Có một tam giác không có góc nào lớn hơn 600”

Giải

a) Mệnh đề phủ định của P là " x , (x3)2 0" Đây là mệnh đề sai

b) Mệnh đề phủ định của Q là Q= “Mọi tam giác đều có một góc lớn hơn 600”.

Trang 4

Đây là mệnh đề sai vì tam giác đều không có góc nào lớn hơn 600.

3 Bài tập

Bài 1: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau đây và cho biết mệnh đề phủ định

đúng hay sai?

A= “Mọi số thực đều là số nguyên”

B= “Tồn tại một số góc  sao cho sin >1”

C= “Mọi tam giác đều luôn là tam giác cân”

Bài 2: Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau đây và cho biết chúng đúng hay sai?

a) P " x 0,x2 12 2"

x

b) Q= “Có một hình thoi không phải là hình vuông”

Bài 3: Cho mệnh đề chứa biến P(x): “x=x4” Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau: a) P (0) d) P(-1)

d) D= “Có những tứ giác không có đường tròn ngoại tiếp”

Bài 5: Gọi X là tập hợp tất cả các học sinh lớp 10A Xét mệnh đề chứa biến P(x): “x tự

học ở nhà ít nhất 4 giờ trong một ngày” Hãy phát biểu các mệnh đề sau bằng các câu thông thường:

Trong đó P(x) và Q(x) là những mệnh đề chứa biến, X là một tập hợp nào đó

Chứng minh định lí (1) là dùng suy luận và những kiến thức đã biết để khẳng định rằng mệnh đề (1) là đúng

Ta có thể chứng minh định lí dạng (1) một cách trực tiếp hay gián tiếp

a Phép chứng minh trực tiếp gồm các bước sau:

 Lấy x tùy ý thuộc X mà P(x) đúng

 Dùng suy luận và những kiến thức đã biết để khẳng định rằng Q(x) đúng

Khi đó " ( )P x Q x( )"đúng Do đó định lí được chứng minh

b Phép chứng minh phản chứng (gián tiếp) gồm các bước sau:

 Giả sử tồn tại x thuộc X sao cho P(x) đúng là Q(x) sai, tức là mệnh đề (1) sai;

Trang 5

 Dùng suy luận và những kiến thức toán học đã biết để đi đến mâu thuấn (với giả thiết hay với một kết quả đúng đã biết)

2 Điều kiện cần, điều kiện đủ

Cho định lí có dạng "AB" A gọi là giả thiết, B gọi là kết luận của định lí

Khi đó ta nói:

“A là điều kiện đủ để có B” hay “B là điều kiện cần để có A”

3 Định lí đảo, điều kiện cần và đủ

Cho định lí "AB" (*)

Nếu mệnh đề "BA"đúng thì nó được gọi là định lí đảo của định lí (*)

Khi đó (*) gọi là định lí thuận

Định lí thuận và đảo có thể gộp lại thành một định lí "AB"

Lúc này ta nói:

“A là điều kiện cần và đủ để có B” hay “điều kiện cần và đủ để có A là B”

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

2 Phép chứng minh trực tiếp gồm các bước sau:

 Lấy x tùy ý thuộc X mà P(x) đúng

 Dùng suy luận và những kiến thức đã biết để khẳng định rằng Q(x) đúng Khi đó " ( )P x Q x( )"đúng Do đó định lí được chứng minh

Vì k2 k nên n2-1 chia hết cho 4

Vậy định lí được chứng minh

5n+4 là số chẵn Điều này mâu thuẫn với giải thiết 5n+4 là số lẽ

Vậy ta phải có: Với mọi số tự nhiên n, nếu 5n+4 là số lẻ thì n là số lẻ Do đó, định lí được chứng minh

Trang 6

Khi đó số thỏ mỗ chuồng ≤ 1 thỏ Do đó số thỏ trong k chuồng ≤ k < n (vô lí)

Vậy phải có ít nhất một chuồng có nhiều hơn một con thỏ

Một định lí thường có dạng " x X P x, ( )Q x( )" (*)

Khi đó ta có thể phát biểu (*) theo hai cách sau

 Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”: “Q(x) là điều kiện cần để có P(x)”

 Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ”: “P(x) là điều kiện đủ để có Q(x)”

Ví dụ 1: Cho định lí: “ n , n chia hết cho 6n chia hết cho 3”

Giải

*Theo ngôn ngữ điều kiện đủ:

“n chia hết cho 6 là điều điện đủ để n chia hết cho 3”

*Theo ngôn ngữ điều kiện cần:

“n chia hết cho 3 là điều kiện đủ để n chia hết cho 6”

Ví dụ 2: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” phát biểu các định lí sau:

a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau

b) Nếu a+ b >0 thì có ít nhất một số a hay b dương

Giải

a) *Theo ngôn ngữ điều kiện cần:

“Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác đó bằng nhau”

*Theo ngôn ngữ điều kiện đủ:

“Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác đó có diện tích bằng nhau” b) *Theo ngôn ngữ điều kiện cần:

“Hai số a, b có ít nhất một số dương là điều kiện cần để a +b >0”

*Theo ngôn ngữ điều kiện đủ :

“Hai số a, b thỏa mãn a + b >0 là điều kiện đủ để hai số đó có ít nhất một số dương”

C BÀI TẬP

Bài 1: Cho các mệnh đề chứa biến:

P(n): “n là số chẵn” và Q(n): “7n + 4 là số chẵn”

a) Phát biểu và chứng minh định lí: “ n , ( )P n Q n( )”

b) Phát biểu và chứng minh định lí đảo của định lí trên

c) Phát biểu định lí thuận và định lí đảo bằng hai cách

Bài 2: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu các định lí sau:

a) Nếu hai tam giác đồng dạng thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau

b) Nếu ABCD là hình thoi thì ABCD có hai đường chéo vuông góc

c) Nếu a = b thì a2 = b2

Bài 3: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu các định lí sau:

a) Với n , nếu n2 chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3

b) Nếu tam giác ABC cân tại A thì đường trung tuyễn từ đỉnh A cũng là đường cao c) Nếu một số nguyên dương lẻ được biểu diễn thành tổng của hai số chính phương thì hai số đó phải có dạng 4k + 1 (k )

Bài 4: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” để phát biểu các định lí sau:

a) Tam giác ABC vuông tại A nếu và chỉ nếu AB2 + AC2 = BC2

b) Tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối của nó bằng

1800

Bài 5: Chứng minh các định lí sau bằng phản chứng:

a) 2 là một số vô tỉ

b) Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn 600

c) Cho a, b, c  , có ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau là đúng:

Trang 7

Hãy phát biểu và chứng minh định lí đảo của định lí trên (nếu có) rồi dùng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” để phát biểu gộp cả hai định lí thuận và đảo”

Bài 11: Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c thỏa mãn ba điều kiện:

A+b +c > 0; ab + bc +ca >0 và abc > 0

 Tập hợp các tam giác vuông cân

 Tập hợp các học sinh giỏi của khối 10

Để cho gọn đôi khi ta gọi tập hợp là “tập”

 Các đối tượng tạo nên tập hợp gọi là phần tử của tập hợp đó Nếu x là phần tử của

tập hợp X, ta viết xX (đọc là : x thuộc X) Nếu y không là phần tử của tập hợp

X, ta viết yX(đọc là y không thuộc X)

2 Cách xác định một tập hợp

 Phương pháp liệt kê:

Trang 8

Các phần tử của tập hợp được viết trong dấu (…), cách nhau bởi dấu phẩy (hay dấu chấm phẩy), mỗi phần tử chỉ viết một lần

 Tập A các số thực lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1 là A={x ǀ 0 < x <1}

 Tập C các điểm của đường tròn (O, R) là C= {M ǀ OM= R}

 Tập S gồm các nghiệm của phương trình x2

II Tập con và tập hợp bằng nhau

1 Tập con: Tập A được gọi là tập con của tập B nếu mọi phần tử thuộc A đều thuộc B,

M = tập tất cả các tam giác đều

N = tập tất cả các tam giác cân có một góc bằng 600

Ta có M=N

3 Biểu đồ Ven

Để minh họa trực quan một tập hợp ta dùng một

đường cong phẳng khép kín không tự cắt, các điểm

bên trong chỉ các phần tử của tập hợp

Một số các tập hợp con của tập hợp số thực ℝ

A  B A Bvà B A

A

Trang 9

 Tập số thực (∞; +∞) = ℝ

 Đoạn [a; b] = {𝓍  ℝ | a ≤ 𝓍 ≤ b

 Khoảng (a; b) = {𝓍  ℝ | a < 𝓍 < b}

 Nửa khoảng [a; b) = {𝓍  ℝ | a ≤ 𝓍 < b}

 Nửa khoảng (a; b] = {𝓍  ℝ | a< 𝓍 ≤ b

 Nửa khoảng [a; + ∞) = 𝓍  ℝ | 𝓍 ≥ a

 +∞ đọc là dương vô cực; ∞ đọc là âm vô cực

IV Các phép toán trên tập hợp

Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A ⋂ B, là tập

hợp tất cả các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

Trang 10

3 Phép lấy hiệu

Hiệu của hai tập A và B, kí hiệu A\B , là tập hợp gồm

tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B

 Liệt kê các phần tử của tập hợp nếu đó là tập hữu hạn

 Nêu tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp đó

b) Để xác định một tập hợp là kết quả của các phép toán trên các tập hợp cho trước ta áp dụng các định nghĩa các phép toán để xác định các phần tử của tập hợp

Chú ý: Với các tập hợp và các phép toán trên tập hợp các số thực ta thường:

 Biểu diễn các tập hợp lên trục số thực

 Dùng định nghĩa các phép toán để xác định các phần tử của tập hợp

a) Dùng phương pháp liệt kê các phần tử xác định các tập hợp B và C

b) Xác định các tập hợp sau: A⋂B, B⋂C, A⋂C

c) Xác định các tập hợp sau: A⋃B, B⋃C, A⋃C

d) Xác định các tập hợp sau: A\B, B\C, A\C

Trang 11

910

03

2

x x x x

x x

 A⋃ D = {𝓍 | 𝓍 là hình thoi hoặc 𝓍 là hình bình hành} = {𝓍 | 𝓍 là hình hành} = D

Ví dụ 3: Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số:

c) C = {𝓍 | 0 < 𝓍 < 2 hoặc 1 ≤ 𝓍 < 1} = {𝓍 | 1 ≤ 𝓍 <2 } = [1; 2)

-1 2 d) D = {𝓍 | 𝓍 < 1 hoặc 𝓍 > 1} = ℝ

Trang 12

-1 3 b) N = {𝓍 | 4 < 𝓍 < 7 và 7 < 𝓍 < 4} = Ø

0

c) P= {𝓍 | 2< 𝓍 < 3 và 3 ≤ 𝓍 < 5} = Ø

0 d) Q= {𝓍 | 𝓍 < 1 và 𝓍 > 1} = {𝓍 | 1 < 𝓍 < 1} = (1; 1)

-1 1

1 Phương pháp:

 Vẽ các vòng tròn đại diện các tập hợp (mỗi vòng tròn là một tập hợp) lưu ý 2 vòng tròn có

phần chung nếu của 2 tập hợp khác rỗng

 Dùng các biến để chỉ số phần tử của từng phần không giao nhau

 Từ giả thiết bài toán, lập hệ phương trình và giải tìm các biến

2 Các ví dụ

Ví dụ 5:

Trong kì thi học sinh giỏi cấp trường, lớp 10A có 17 bạn được công nhận học sinh giỏi văn,

25 bạn học sinh giỏi toán Tìm số học sinh đạt cả 2 giải văn và toán, biết lớp 10A có 45 bạn và có 13 bạn không đạt học sinh giỏi

x y

Định dạng
Số trang	24
Dung lượng	0,98 MB