skkn sự dung tính đơn điệu để giải bài toán về phương trình hệ phương trình

Để giúp các em hiểu sâu hơn về phương pháp giải trình và hệ phương trình bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Sử dụng tính đơn điệu của hàm s

Mục Lục

Trang

Loại 1 Phương trình có chứa dấu căn thức 4

Loại 3 Phương trình có chứa lượng giác 13

Loại 2 Hệ phương trình có chứa căn thức 18 Loại 3 Hệ phương trình có chứa mũ và logarit 20 Loại 4 Hệ phương trình có chứa lượng giác 23

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Đối với chương trình toán học phổ thông phương trình và hệ phương trình đươc đưa vào rất sớm Tuy nhiên các phương trình và hệ phương trình được đưa và lại là những bài toán tương đối Ở chương trình THCS thì các bài đó thường là phương trình bậc nhất, bậc hai, hoăc bậc bốn dạng trùng phương Còn hệ phương trình thì bậc nhất, bậc hai nhưng chỉ giải được bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số đơn giản Ở chương trình THPT thì các dạng có đa dạng hơn nhưng phương pháp giải thì ở SGK cũng thuộc dạng đơn giản Các bài tập mà sách giao khoa yêu cầu thì chưa cao, chưa đáp ứng đươc yêu cầu như trong các đề thi tuyển sinh

Trong khi đó trong thi cử và ứng dụng thì ở mức độ cao hơn nhiều Đặc biệt là trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng nhiều năm nay đã có một số câu liên quan đến phương trình hoặc hệ phương trình Tuy nhiên việc giải các phương trình hoặc

hệ phương trình đó trong đề thi thì có nhiều phương pháp Trong các phương pháp đó thì

có phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số Để giúp các em hiểu sâu hơn về phương pháp giải trình và hệ phương trình bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của

hàm số, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình và hệ phương trình ”

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Nghiên cứu đề tài “Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình

và hệ phương trình” để giúp học sinh rèn kỹ năng giải toán về phương trình và hệ

phương trình qua đó phát triển tư duy logic cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng học tập của các em, tạo được hứng thú học tập môn toán, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh khá giỏi về môn toán, góp phần kích thích sự đam mê, yêu thích môn toán, phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh Đối tượng áp dụng: học sinh lớp 12

Trong chương trình hoc ở sách giáo khoa chương trình chuẩn để giải phương trình và phương trình chỉ đề cập đến một vài phương pháp giải cơ bản và thường gặp

Tuy nhiên, có rất nhiều bài toán hay, bài toán thương gặp trong các đề thi tuyển sinh thì các phương pháp trên lại không giải được Nên việc đưa thêm một số phương pháp mới vào giảng dạy cho học sinh để các em nắm bắt được các giải một số bài toán khó hơn, hay hơn…

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN VÀ GIẢI PHÁP

A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Tính đơn điệu của hàm số

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng giả sử hàm số y = f(x) xác định trên

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

 Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f(x) đồng biến trên K

 Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên K

b Định lý 2 (Định lý mở rộng)

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

 Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm

số y = f(x) đồng biến trên K

 Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm

số y = f(x) nghịch biến trên K

3 Tính chất

 Nếu y = f(x) liên tục và đồng biến trên K thì f u  f v  u v

 Nếu y = f(x) liên tục và nghịch biến trên K thì f u  f v  u v

4 Các bổ đề

 Nếu y = f(x) liên tục và đồng biến trên K thì phương trình f u   0có nhiều nhất một nghiệm trên K

 Nếu y = f(x) liên tục và nghịch biến trên K thì phương trình f u   0có nhiều nhất một nghiệm trên K

 Nếu f(x) liên tục và đơn điệu tăng trên K, g(x) liên tục và đơn điệu giảm trên K thì phương trình f x g x 

có nhiều nhất một nghiệm trên K

 Nếu f(x) liên tục và đơn điệu giảm trên K, g(x) liên tục và đơn điệu tăng trên K thì phương trình f x g x 

có nhiều nhất một nghiệm trên K

 Nếu đồ thị hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên K thì phương trình f(x) = 0 sẽ không

có quá hai nghiệm thuộc K

B VẬN DỤNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1 2

Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1

Nhận xét: Ở phương trình này ta chứng minh vế trái là một hàm đồng biến trên miền xác định Sau đó nhẩm được nghiệm thỏa mãn, từ đó suy ra nghiệm đó là nghiệm duy nhất của phương trình Tuy nhiên ngoài phương pháp này thì vẫn còn phương pháp khác

Giải:

Điều kiện:

4 5

x x

Nhận xét: Ở phương trình này ta biến đổi thành dạng phương trình f u( )  f v 

sau đó xét hàm đặc trưng của nó Chứng minh hàm đặc trưng đồng biến trên miền xác đinh Từ đó suy ra u = v khi đó ta giải phương trình u = v Tuy nhiên ngoài phương pháp này thì vẫn còn phương pháp khác

Bài 3 Giải phương trình: 3  2      

Bài 4 Giải phương trình: 3 2  

Giải

Điều kiện:

1 3

Nhận xét: Ở phương trình này ta biến đổi thành dạng phương trình f u( )  f v sau đó xét hàm đặc trưng của nó Chứng minh hàm đặc trưng đồng biến trên miền xác đinh Từ đó suy ra u = v khi đó ta giải phương trình u = v Tuy nhiên ngoài phương pháp này thì vẫn còn phương pháp khác

x x





   

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x  2;x 1

Nhận xét: Ở phương trình này ta biến đổi thành dạng phương trình f u( )  f v sau đó xét hàm đặc trưng của nó Chứng minh hàm đặc trưng đồng biến trên miền xác đinh Từ đó suy ra u = v khi đó ta giải phương trình u = v Tuy nhiên ngoài phương pháp này thì vẫn còn phương pháp khác

Bài 5 Giải phương trình: x33x23x 1 3 33 x5

Bài 6 Giải phương trình: 16x324x2 16x 3 5 33 x2

Bài 7 Giải phương trình: 36x 1 4x8x31

Giải

Nếu x 0 thì phương trình vô nghiêm

Nếu

1 2

x  

thì phương trình vô nghiêm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm thì nghiệm thuộc

1

; 0 2

suy ra u = v khi đó ta giải phương trình u = v Tuy nhiên ngoài phương pháp này thì vẫn còn phương pháp khác

Loại 2: phương trình có chữa logarit, mũ

3 ( ) log ( 2) 5u 2

Vậy x 1 là nghiệm của phương trình

Bài 9 Giải các phương trình sau:   2

2 3

Bài 10 Giải các phương trình sau: 2x1  2x2x  (x 1) 2  0

Bài 11 Giải phương trình: 3  2 2

Giải

Điều kiện:

1 2 1

x x

2 2;

Nên phương trình g x( )  3x 2x  1 0 có nhiều nhất hai nghiệm

Mà g(0) g 1  0

Vậy vậy phương trình (*) có hai nghiệm x 0;x 1

Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: x 0;x 1

Nhận xét: Ở bài này ta phải dùng nếu đồ thị hàm số g(x) lồi hoặc lõm trên miền xác định thì phương trình g(x) = 0 không có quá hai nghiệm sau đó ta nhẩm nghiệm rồi đối chiếu điều kiện để kết luận Tuy nhiên vẫn có các giải khác hay hơn

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 1,x 0

Bài 13 Giải phương trình: 1 2  2

2x  2xx  x 1

Bài 14 Giải phương trình: 22x  32x  2x 3x1 x 1

Giải

Điều kiện:

1 3

Vậy phương trình (*) có hai nghiệm: x 0;x 1

Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm: x = 1

x u với u 0 khi đó phương trình (*) trở thành: u3 3u  1 0 (2)

Phương trình (2) chỉ có nghiệm trên  0; 2

Bài 15 Giải phương trình: 2x  3log 3 2 x  1 1

Bài 16 Giải phương trình:

Khi u 2 cos9





ta được:

2 cos 9

x  

2 cos 9

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x  1

Loại 3: Phương trình lượng giác:

Đặt t sinx, điều kiện t 1

t t nên f t( ) là hàm nghịch biến trên 1;1

Màf(1)  0 từ đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất t 1

sin 2 cos 1 log sin log cos sin 2 cos 1 log sin log cos

log cos cos log sin 2 sin 2 1

nên hàm số f(t) đồng biến trên (0;1]

Mà phương trình (1) có dang: f c( osx)  f sin 2x

1 cos sin 2 cos (2sin -1) 0 sin

1 1

1 1

x x

y y

1 2

Từ đó suy ra phương trình (1) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Ta thấy f(1)g(1)nênx1 là nghiệm của phương trình (1)

Vậy hệ có nghiệm  x y ; (1;0)

Giải: Điều kiện:

0 0

3 x 3 x 3 y 3 y (1) Xét hàm số    2

Giải

Điều kiện:

5 4

Mà g(1) = 0 nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm:    x y ; 1;1

Loại 3: Hệ phương trình có chứa mũ và logarit

Thay y = x vào phương trình (2) ta được: 3x2  12   x 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm:       x y;  2;2 ; x y;    2; 2

Nên g(u) là hàm số nghịc biến trên

mà g(2) = 0 nên phương trình (4) có nghiệm duy nhất: u = 2

khi u    2 x 7 y 7 thỏa mãn điều kiện (*)

Trường hợp 2: y xthì (2)  3log 6 3  x 2log 2 1 2   3log 6 3   x 3 log 6 3  x 1        6 x 3 x 3 y 3(thỏa mãn điều kiên (*))

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm:       x y;  7;7 ; x y;  3; 3  

Bài 10 Giải hệ phương trình sau:    

2 2 2

2

1 (1) 1

g   

  Nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất

1 5

y 

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm:   4 1

Mà g(0)0 nên x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình (4)

Vậy hệ phương trình có nghiêm:    x y ; 0;0

Loại 4: Hệ phương trình có lượng giác

Bài 12 Giải hệ phương trình sau:

8 ( ) 3

( ) 9

y

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: x = y = 8

Bài 13: Giải hệ phương trình sau:

5

(thỏa mãn) Vậy hệ phương trình đã cho co nghiệm:     

Mà g 1  0

nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = 1 (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình đã cho co nghiệm:    x y;  1;1

Lời kết: Việc giải hệ phương trình thì có nhiều phương pháp, tuy nhiên phương pháp

sử dụng tính đơn điệu của hàm số là một phương pháp hữu dụng Những bài toán mà sử dụng phương pháp này thường là những bài khó Còn lại việc sử dụng tính đơn điệu để giải lại rất nhanhvà bất ngờ Những để áp dụng thành thạo thì lại cần thời gian

3 2

IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Qua quá trình giảng dạy tôi thấy việc đưa ra các phương pháp giải về phương trình

và hệ phương trình như trên học sinh nắm được bài, hiểu được sâu kiến thức Từ đó học sinh rèn luyện được kỹ năng giải toán, củng cố kỹ năng giải các bài toán về giải phương trình và hệ phương trình, số học sinh đam mê và yêu thích môn toán ngày càng tăng, năng lực tư duy và kỹ năng giải toán của học sinh được nâng cao, nhất là học sinh khá giỏi Học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức và có kỹ năng giải các bài toán tương tự, trên

cơ sở đó học sinh có thể giải được các bài toán tổng hợp Đối với bài kiểm tra các em trình bày chặt chẽ logic, kết quả cao, với kết quả như sau :

Trong năm học 2013 - 2014, tôi đã chọn 30 học sinh dự thi khối A ,tôi đã khảo sát

và kết quả cụ thể như sau :

Lớp Giỏi Tỷ lệ Khá Tỷ lệ Trung bình Tỷ lệ Yếu Tỷ lệ

V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp dụng cho học sinh đại trà và khá, giỏi Học sinh yếu, trung bình nắm được phương pháp giải để vận dụng giải các bài toán đơn giản Học sinh khá, giỏi trên cơ sở nắm vững các phương pháp này áp dụng vào các bài tập phức tạp hơn và từ đó nâng cao khả năng tư duy và tính sáng tạo của học sinh

Sáng kiến kinh nghiệm đã được tác giả thực hiện tại một số lớp và đã đạt được kết quả tương đối Trên sơ sở đó tôi xin đề xuất sáng kiến kinh nghiệm “Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình ” có thể áp dụng trong đơn vị trong thời gian tới

VI DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn- Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuấn

(2010) Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản và nâng cao – NXB giáo dục Việt Nam

2 Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn- Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuấn

(2010) Sách bài tập giải tích 12 cơ bản và nâng cao – NXB giáo dục Việt Nam

3 Trần Đức Huyên (chủ biên) (2011) Giải tích 12 (sách dung cho lớp chuyên ) –NXB

giáo dục Việt Nam

4 Các đề thi đại học thống nhất toàn quốc năm 2009 -2014

5 Các đề thi tốt nghiệp thống nhất toàn quốc năm 2009 -2014

6 Vũ Thế Hựu (2010) Bộ tài liệu ôn thi đại học - NXB đại học sư phạm

7 Một số đề thi thử THQG của một số trương từ năm 2014 – 2016

LỜI KẾT

Chuyên đề này chỉ đề cập được một phương pháp giải phương trình và hệ phương trình, còn rất nhiều phương pháp hay hơn, khó hơn hữu dụng hơn mà tôi chưa thể đề cập tới

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, song chuyên đề chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong toàn thể quý thầy cô và các bạn đọc đóng góp ý kiến để chuyên đề được tốt hơn và hữu ích hơn

Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã giúp tôi hoàn thành chuyên đề

Định Quán, ngày 10 tháng 5 năm 2017

Người thực hiện

Nguyễn văn Đức