skkn rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian

Có thể nói, “Kỹ năng tính khoảng cách trong không gian” là đỉnh cao của môn hình học không gian , vì để giải quyết tốt các bài toán tính khoảng cách trong không gian đòi hỏi học sinh phả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

Mã số:

(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH

TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: ĐẶNG THANH HÃNLĩnh vực nghiên cứu:

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2016 - 2017

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

10C1, 12A2, 12A10; Chủ nhiệm lớp 12A10

9 Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học

- Năm nhận bằng: 2000

- Chuyên ngành đào tạo: Toán học

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán

- Số năm có kinh nghiệm: 17 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 02

BM02-LLKHSKKN

Tên SKKN : RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG

KHÔNG GIAN

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

- Trong chương trình Toán học THPT, môn hình học không gian là một nội dungquan trọng ở hai năm học cuối cấp Trong đó, các bài toán tính khoảng cách làmột nội dung phong phú và đem lại nhiều thú vị

Có thể nói, “Kỹ năng tính khoảng cách trong không gian” là đỉnh cao của môn

hình học không gian , vì để giải quyết tốt các bài toán tính khoảng cách trong

không gian đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức hình học , phải biếtphân tích và có tư duy ở mức độ cao; biết cách nhận xét mối quan hệ của các đối

tượng: “điểm, đường thẳng, mặt phẳng” để từ đó đề xuất cách giải phù hợp.

- Tuy vậy, trong chương trình toán THPT ở môn hình học không gian, các em họcsinh được tiếp cận với các bài tính khoảng cách ở một vài ví dụ cơ bản đơn giản,thiếu hệ thống và tính liên hệ Nhưng trong thực tế, các bài toán tính khoảng cáchxuất hiện rất nhiều trong các kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao đẳng gây không ítkhó khăn cho các em học sinh, trong khi đó chỉ có số ít các em biết phương pháp

để giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được rõ ràng, thậm chí còn mắc một

số sai lầm không đáng có trong khi trình bày Tại sao lại như vậy?

Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Hình học lớp 11 hiện hành, bàitoán tính khoảng cách được trình bày ở cuối chương III (cuối học kỳ II) rất là ít vàhạn chế Chỉ có một tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược 1 ví dụ và đưa

ra cách giải thích vắn tắt và dễ mắc sai lầm Hơn nữa, do số tiết phân phối chươngtrình cho phần này quá ít (3 tiết) nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viênkhông thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải

cho học sinh mặc dù cách giải nào cũng có chung một mục đích là chuyển về bài

toán tính “khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng”

- Trong những năm học qua, khi được phân công giảng dạy lớp 11, 12 qua nhậnxét và đánh giá, tôi thấy đa số học sinh đang thiếu tư duy độc lập, sáng tạo về vận

dụng kiến thức; nhất là khả năng “quy lạ về quen” hay mở rộng kiến thức vào từng

dạng toán cụ thể.Vì vậy, trong các giờ dạy, việc củng cố kiến thức và bồi dưỡngnăng lực tư duy cho học sinh thông qua các bài toán là một điều cần thiết Khi đó

người thầy phải có phương pháp truyền thụ tốt và kiến thức chuyên sâu để dẫn dắt

học sinh, đồng thời cần hệ thống hóa lại bài tập để học sinh vận dụng có hiệu quả.

- Tôi viết chuyên đề này với mục đích “Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong

không gian”, một câu hỏi thường gặp trong các kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao

đẳng trong những năm gần đây, nhằm giúp các em học sinh lớp 12 có thể tự ôntập để nâng cao kiến thức và đạt mức điểm 7 trong đề thi Đại học - Cao đẳng.Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn không thể tránh được những thiếu sót,rất mong được sự góp ý của quý thầy cô và các em học sinh Chúc các em học tậpthật tốt và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới; Chúc quý thầy cô hạnh phúc vàthành công trong sự nghiệp trồng người

Tôi xin chân thành cảm ơn !

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận:

- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của giáo viên và

hoạt động học của học sinh, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí,

đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”, giúp học sinh củng cố những kiến thức

phổ thông Trong đó, bộ môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khóvới kiến thức rộng, đa phần các em học sinh gặp khó khăn ở môn học này

- Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môntoán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài

tập Điều đó thể hiện ở việc “học đi đôi với hành”, đòi hỏi học sinh phải có tư

duy logic Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toánhọc một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyếtvào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

- Mặt khác, sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật đòi hỏi người học liên tục cập nhậttri thức Trong những năm gần đây, ngành giáo dục đã liên tục có những thay đổinhằm để phù hợp với xu thế của thời đại, điều đó được thể hiện trong năm học

2016 - 2017 thông qua hình thức thi trắc nghiệm và liên môn Đối với hình thức

thi này, người học phải nỗ lực và không ngừng học tập tìm tòi cách giải mới; liêntục rèn luyện thì mới đạt được những kết quả cao

Xét ví dụ sau:

Ví dụ : (Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng khối A năm 2006)

Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có cạnh bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A 1 C và MN Cách gi ả i 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp

Cách giải 2: Phương pháp toạ độ trong không gian

Xét hệ trục toạ độ Oxyz với : z

A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a 0), D(0; a; 0)

A1(0; 0; a), B1(a; 0; a), C1(a; a; a) D1(0; a; a)

- Qua ví dụ minh họa ta thấy, nếu học sinh được hướng dẫn và phân tích cụ

thể đồng thời kết hợp với máy tính cầm tay các em có thể nhanh chóng cho đáp số

chính xác Điều này cần thiết cho các bài thi bằng trắc nghiệm khách quan

- Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp cho học sinh THPT

vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán “Tính khoảng cách

trong không gian”.

- Trong giới hạn của SKKN tôi giới thiệu 3 kỹ năng tính khoảng cách thườnghay sử dụng trong chương trình toán THPT:

đồng thời kết hợp sử dụng công thức tính thể tích khối đa diện.

D A

N

C M

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:

- Đưa ra một số ví dụ có phân tích lời giải cho học sinh tham khảo và bài tâp

áp dụng

- Đây là nội dung thường gặp trong các kỳ thi Tuyển sinh Cao đẳng và Đại

học Với phương châm “ Từ dễ đến khó” , học sinh cần phải rèn luyện nhiều thì

mới đạt kết quả tốt

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

A TÍNH KHOẢNG CÁCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ KẾT HỢP CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Tóm tắt lý thuyết:

1 TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

); S = p(p a)(p b)(p c)   (Công thức Hê-rông)

2 Tam giác đều cạnh a:

3 Tam giác vuông: a) S = 1

2 ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)

b) Tâm đg tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

4 Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):

S = 1

2 a

2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) Cạnh huyền bằng a 2

5 Nửa tam giác đều:

a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o

b) BC = 2AB c) AC = a 3

2 d) S =

2

a 3 8

6 Tam giác cân:

a) S 1ah

2

 (h: đường cao; a: cạnh đáy)

b) Đường cao từ đỉnh là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

7 Hình Thang: S = S =1

2 h(d1 + d2 ) (h: đường cao; d1, d2 là 2 cạnh đáy)

8 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)

9 Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)

10 Hình thoi: S = 1

2 d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)

11 Hình vuôngcạnh a: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2

12 Đường tròn: a) Chu vi = 2R (R: bán kính đường tròn) b) S = R2

7 CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

1 Đường trung tuyến:

a) Giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm.

b) Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh bằng 2

3 độ dài trung tuyến.

2 Đường cao: Giao điểm của ba đường cao của tam giác gọi là trực tâm

3 Đường trung trực: Giao điểm của ba đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

4 Đường phân giác: Giao điểm của ba đường phân giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Tính chất: Các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với đáy các góc bằng nhau; Các

mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và tạo với đáy các góc bằng nhau

Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau.

2 Hình lăng trụ: Thông qua việc xác định chiều cao của hình lăng trụ , ta có thể tạm phân thành 2 dạng hình lăng trụ như sau:

- Hình lăng trụ đứng (chiều cao chính là cạnh bên của lăng trụ).

- Hình lăng trụ xiên (chiều cao tùy thuộc vào giả thiết của bài toán).

Chú ý:

Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

Hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hànhHình hộp đứng là hình lăng

+ Cách 2: Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau () và ()

sao cho cả () và () đều vuông góc với ()

+ Cách 3: Chứng minh a song song với b và b vuông góc với ().

+ Cách 4: Chứng minh 2 mặt phẳng () và () vuông góc với nhau theo giao

tuyến d và a nằm trong () và vuông góc với d

Bài toán có yêu cầu chứng minh đường thẳng a vuông góc với đt b :

Ta có thể thực hiện một trong các cách thông dụng sau:

+ Cách 1: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng () chứa đường thẳng b + Cách 2: Đường thẳng a song song với đường thẳng c và c vuông góc với b.

 Bài toán có yêu cầu chứng minh hai mặt phẳng (  ) và (  ) vuông góc với nhau

Ta có thể thực hiện một trong các cách thông dụng sau:

+ Cách 1: Tìm trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt

phẳng kia

+ Cách 2: Chứng minh góc giữa hai mặt phảng đó bằng 900 thực hiện như sau:

 B1: Xác định giao tuyến  của hai mặt phẳng

 B2: Trên  xác định điểm I thuận lợi nhất, rồi từ I kẻ các đường thẳng

a trong () và b trong () sao cho a và b vuông góc với 

 B3: Chứng minh a và b vuông góc với nhau

4 Khoảng cách: Từ vị trí tương đối của ba đối tượng trong không gian là điểm, đường thẳng, mặt phẳng ta có 5 bài toán tính khoảng cách sau:

 Bài toán 1 : Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  : Khoảng cách từ một

điểm M đến đường thẳng  là khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu H của nó

trên  kí hiệu d(M, ) = MH (MH   và H  )

 Bài toán 2 : Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (  ) : Khoảng cách từ một

điểm M đến mặt phẳng () là khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu H của nó

trên mặt phẳng () kí hiệu d(M, ()) = MH (MH  () và H  ())

Để xác định hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (  ) : Ta thực hiện :

B1: Xác định mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với () theo giao tuyến d B2: Trong mặt phẳng (P) kẻ MH vuông góc với d (H thuộc d) thì MH  ()

Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng () bằng MH.

Chú ý: Khi việc xác định hình chiếu H phức tạp, do đó việc tính khoảng cách từ

điểm M đến mặt phẳng () quá khó thì ta có thể đổi cách tính khoảng cách:

- Đổi điểm song song: Xác định đường thẳng  đi qua M và song song với ();

với A là một điểm thuộc ∆ và A khác M, khi đó d(M, ()) = d(A, ())

- Đổi điểm cắt nhau: Cho đoạn thẳng MA cắt mặt phẳng () tại B, khi đó :

từ điểm M tùy ý trên đường thẳng  đến mặt phẳng ()

 Bài toán 4 : K hoảng cách giữa 2 m ặt p hẳng song song :

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ điểm M tùy ýtrên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

 Bài toán 5 : K hoảng cách giữa 2 đường thẳng a, b chéo nhau : Kí hiệu d(a, b)Khoảng cách giữa 2 đường thẳng a, b chéo nhau:

 Bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b

 Bằng khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng song song với nóchứa đường thẳng b

 Bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa a và b

Chú ý :Cách xác định đoạn vuông góc chung khi hai đường thẳng a, b chéo và vuông góc với nhau.

5 Góc:

a) Góc  (0 0 ≤  ≤ 90 0 ) giữa hai đường thẳng a, b trong không gian là góc

giữa hai đường thẳng a ’ ,b ’ cắt nhau và lần lượt song song với hai đường thẳng a, b

b) Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó

với hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng.

c) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng bất kì lần lượt vuông

góc với hai mặt phẳng đó.

Thực hành: Ta tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, sau đó tìm hai đường thẳng

trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm khi đó góc giữa hai đường thẳng là góc cần tìm (chú ý định lí ba đường vuông góc).

9 KHỐI ĐA DIỆN:

1 Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)

2 Thể tích khối chóp: V = 1

Bh

3 (B: diện tích đáy; h: chiều cao)

3 Tỉ số thể tích của khối chóp: Khối chóp tam giác SABC có A/, B/, C/ thuộc

các cạnh SA, SB, SC Khi đó: VS.A B C SA SB SC. .

B PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN:

Tóm tắt lý thuyết

1 Hệ trục tọa độ Decartes vuông góc Oxyz (Hệ tọa độ Oxyz)

Hệ gồm ba trục 'x Ox y Oy z Oz vuông góc với nhau từng đôi một tại O cùng, ' , '

với các vectơ đơn vị trên mỗi trục lần lượt là , ,  i j k

   (với điều kiện: x y z  )2 2 2 0

e) Tích vô hướng của hai vectơ: Định nghĩa: a b  a b cos , a b 

Biểu thức tọa độ: a b  x x1 2  y y1 2 z z1 2 Hệ quả: a  x12  y12 z12

f) Tích có hướng của hai vectơ :

Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ ,a b  là một vectơ được kí hiệu và xác

Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

- Vectơ n khác 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   nếu giá của

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

- Phương trình tổng quát của mặt phẳng là phương trình có dạng:

0

Ax By Cz D    , với A2B2 C2 0

Trong đó, nA B C; ;  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

- Mặt phẳng   đi qua điểm M x y z và nhận  0; ;0 0 nA B C; ;  làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Vectơ u khác 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của

u song song với  hoặc chứa trong 

- Nếu hai vec tơ ,a b  khác 0, không cùng phương và cùng có giá vuông góc với  thì ta có thể chọn ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng  là ua b, 

 

  

2 Phương trình của đường thẳng.

a) Phương trình tham số của đường thẳng:

- Đường thẳng  đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương a a a a  ( ; ; )1 2 3 ,

M thuộc đường thẳng.

b) Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Khử tham số t từ phương trình tham số ta được phương trình chính tắc của đường thẳng  là: 0 0 0

3 Khoảng cách giữa hai đườngthẳng chéo nhau.

Cho hai đường thẳng 1 và 2 chéo nhau

1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương a( ; ; ) a a a 1 2 3

2 đi qua M2 và có vectơ chỉ phương ( ; ; ) 1 2 3

a b

Giải bài toán bằng hình học không gian bằng phương pháp tọa độ:

Để giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp sử dụng tọa độ Đê – các trong không gian Oxyz, ta thường thực hiện các bước sau:

Bước 1: Từ giả thiết cả bài toán, lập hệ tọa độ thích hợp rồi từ đó suy ra tọa

độ các điểm cần thiết

Bước 2: Chuyển hẳn bài toán sang hình học giải tích trong không gian bằngcách:

+ Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định

+ Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy ra kết quả cần chứng minh

+ Thiết lập biểu thức cho đối tượng cần tìm cực trị