skkn một số phương pháp giải phương trình diophantine

Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Người thực hiện: Nguyễn Tất Thu Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: Toán..... KINH NGHIỆM KHOA HỌC -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị: Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh

Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Người thực hiện: Nguyễn Tất Thu

Lĩnh vực nghiên cứu:

- Quản lý giáo dục 

- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 

- Lĩnh vực khác: 

(Ghi rõ tên lĩnh vực)

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

BM 01-Bia SKKN

(Ghi đầy đủ tên gọi giải pháp SKKN)

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE

Năm học: 2016 – 2017

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

––––––––––––––––––

BM02-LLKHSKKN

môn, giảng dạy môn, lớp, chủ nhiệm lớp,…): Giảng dạy bộ môn Toán ở các lớp: 11Tin,

11 Anh 1 và 11 Toán

9 Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ

- Năm nhận bằng: 2013

- Chuyên ngành đào tạo: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy bộ môn Toán

Số năm có kinh nghiệm: 14

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

1 Một số phương pháp giải bài toán cực trị tổ hợp – năm 2012

2 Một số phương pháp giải bài toán tồn tại trong tổ hợp – năm 2013

3 Một số phương pháp đếm nâng cao – năm 2014

4 Một số tính chất của hệ số nhị thức – năm 2015.

5 Một số vấn đề về đa thức một biến - năm 2016

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: NGUYỄN TẤT THU

2 Ngày tháng năm sinh: 13/09/1980

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương trình Diophantine là chủ đề quan trọng trong chương trình THPT Chuyên,

có sức thu hút lớn đối với giáo viên, học sinh Từ các cấp học tiểu học và THCS, các

em học sinh đã được làm quen với các phương trình Diophantine bậc nhất hai ẩn,

ba ẩn qua các bài toán dân gian như bài toán

Vừa gà vừa chó

Bó lại cho trònTổng36con

100chân chẵn

Hỏi có bao nhiêu con gà và bao nhiêu con chó?

Hay bài toán

Trăm trâu trăm cỏTrâu đứng ăn 5Trâu nằm ăn 3

Lụ khụ trâu già

Ba con một bóTìm số trâu mỗi loại?

2 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Dựa vào quá trình giảng dạy chương trình Toán Chuyên ở trường THPT, cùng nhưcác tài liệu và nghiên cứu của cá nhân về phương trình Diophantine

chọnđề tài "Một số phương pháp giải phương trình Diophantine " để làm

đề tàinghiên cứu

vớix1, x2, , xn là các số nguyên (hoặc nguyên dương) Giả sử ta có thể biến đổi (1)

về dạng:

f1(x1, x2, , xn) f2(x1, x2, , xn) fk(x1, x2, , xn) = m (2)

Trong đó f1, f2, , fn là các đa thức n biến hệ số nguyên Khi đó, ta phân tích m

thành tích của k số nguyên m1, m2, , mk và giải (2) chuyển về giải hệ phươngtrình

là (1 + 2α1) (1 + 2α2) (1 + 2αk).

Ví dụ 2. Tìm các số tự nhiên x, ythỏa mãn

(x y − 7)2= x2+ y2

Lời giải Phương trình tương đương với

Giải ra ta được các cặp nghiệm(x; y)là:(3; 4) , (4; 3) , (0; 7) , (7; 0)

Ví dụ 3. Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình

Giả sửx ≥ y ≥ z, khi đó nếu x > y > zthì

Bài tập 3 Với số nguyên dươngn, ta kí hiệus (n) là số nghiệm nguyên dương củaphương trình

1

x+1

y =1

n

Tìm tất cả các số nguyên dươngn sao chos (n) = 5

Bài tập 4 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

¡x2

+ 1¢ ¡ y2+ 1¢ + 2(x − y)(1 − xy) = 4(1 + xy)

(Titu Andreescu) Bài tập 5 Giải phương trình nghiệm nguyên:

x2( y − 1) + y2(x − 1) = 1

Bài tập 6 Tìm tất cả các số nguyên dương x, ythỏa mãn3x− 2y= 1

Bài tập 7 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

với plà số nguyên tố lớn hơn3

(Titu Andreescu, Dorin Andrica ) Bài tập 10 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

(x + 1)(x + 2)(x + 8)(x + 9) = y2

Thái Nguyên 2013 Bài tập 11 Giải phương trình nghiệm tự nhiên

• Nếu x < −1thì từ(x + 1)2< 1 + x + x2< x2suy ra (1) không có nghiệm nguyên.

• Nếu x = 0hoặc x = −1thì từ (1) suy ra

y2+ y + 1 = ±1 ⇔

"

y = 0

y = −1.

Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên( x; y) ∈ {(0;0); (0;−1); (−1;0); (−1;−1)}.

Ví dụ 3. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

Lời giải Vìx, y, z có vai trò như nhau nên ta giả sửx ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1 Từ (1) suy ra:

x yz+ 5xzt+ 5

2 y − 5 = 1(

x = 9

y = 5

Ta có các nghiệm(x, y, z, t) = (35, 3, 1, 1 ), (9, 5, 1, 1)và các hoán vị củachúng

+) Với z = 2và z = 3, phương trình không có nghiệm nguyên dương

• Nếu v > 1hoặc v < −2 thì (v − 1)(v + 2) > 0, suy ra (v − 1)3< u3< v3⇔ v − 1 < u <

Vậy phương trình có tập nghiệm làS = {(1;1),(1;−1),(−1;1),(−1;−1)}

Ví dụ 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Lần lượt xétk = 1,2,3ta tìm được nghiệm(x; y) = (3;1)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên(x; y) ∈ {(−26;−13),(3;1)}

Bài tập 4 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

¶ µ

1 +1y

¶ µ

1 +1z

¡x2

− y2¢2= 1 + 16y

(Russian MO ) Bài tập 8 Tìm tất cả các bộ nguyên dương(x; y; z)thỏa mãn phương trình

3.3 Phương pháp xuống thang (lùi vô hạn)

Phecma đã có những đóng góp to lớn cho nên toán học thông qua các kết quả vàphương pháp ông để lại Ông là một trong những nhà toán học đầu tiên đã sử dụngmột phương pháp chứng minh gọi là “lùi vô hạn”

ChoP là tính chất liên quan đến các số tự nhiên và dãy các mệnh đề(P(n)) có dạng

P (n) :“ncó tính chất P”Các phương pháp sau thường được áp dụng để chứng minh mệnh đềP (n) sai với n

3.3.1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm các số tự nhiên x, y, zthỏa mãn phương trình

x3+ 2y3= 4z3

Lời giải Ta thấyx = y = z = 0là một nghiệm của phương trình

Giả sử phương trình có nghiệm (x; y; z) với z 6= 0 Khi đó ta gọi (x0; y0; z0) là mộtnghiệm màz06= 0và nhỏ nhất

Từ đó, suy ra (x1; y1; z1) cũng là một nghiệm của phương trình đã cho, mà z1< z0

nên ta suy ra điều vô lí

Vậy phương trình chỉ có nghiệm duy nhấtx = y = z = 0

Ví dụ 2. Tìm các nghiệm tự nhiên của phương trình

(

h |x

h ≤ p − 1 < p.

Gọi p1là ước nguyên tố của h, khi đó p1| xvà p1< p

Tương tự vậy, ta xây dựng được dãy vô hạn các số nguyên tố p > p1> p2> đều làước củax.Điều này vô lí vì xcó hữu hạn ước nguyên tố

Ví dụ 3. Tìm tất cả các bộ số(a, b, c, d)thỏa mãn

a2+ 7b2= 3c2+ 2cd + 5d2

(Chọn đội tuyển KHTN vòng 2, năm 2013.)

Tương tự ta có7|a1; ; 7|d1haya2=a1

không có nghiệm nguyên dương

Bài tập 2 Chứng minh rằng phương trình

x2+ y2+ z2= 2x yz

không có nghiệm nguyên dương

Bài tập 3 Tìm giá trị lớn nhất củam2+ n2 với m, n ∈ {1,2, ,1981}thỏa mãn

¡n2− mn − m2¢2

= 1

(22nd IMO) Bài tập 4 Chứng minh rằng phương trình

x4+ y4= z2

không có nghiệm nguyên dương

Bài tập 5 Tìm tất cả các giá trịk sao cho phương trình

(x + y + z)2= kx yz

có nghiệm nguyên dương

Bài tập 6 Tìm tất cả các số nguyên dương ksao cho phương trình

x2−¡k2

− 4¢ y2

= −24

có nghiệm nguyên dương

(Chọn đội tuyển PTNK, năm 2003.)

Lời giải Từ đề bài ta có p > 2và

x2≡ y2( mod p) ⇒ x ≡ ±y( mod p)

Màx ∈ Nthìx3≡ 0, ±1 ( mod 7)nên từ (1) ta suy ra trong ba sốx, y, zcó một số chia hếtcho7và hai số còn lại đồng dư với1theo modunlo7.Nhưng khi đóx+ y+z ≡ 2( mod 7),điều này vô lí vì x + y + z = 0 ≡ 0( mod 7) Từ đó, suy ra n = 0 Khi đó

Vậy các bộ cần tìm là:(a; b; c) = (k − 2; k; k − 1),k ∈ Zvà các hoán vị

Ví dụ 5. Tìm số nguyên dương tnhỏ nhất sao cho tồn tại các số nguyên x1, x2, , xt

thỏa

x31+ x32+ + x3t = 20022002

(IMO Shortlist 2002) Lời giải Nếu 3| xthìx3≡ 0(mod9)

Nếu(x, 3) = 1thìx3đồng dư 1 hoặc−1modulo9

Như vậy, x31+ x32+ + x3t đồng dư từ−t đến tmodulo9

Ví dụ 6. Chop ≥ 5là số nguyên tố,nlà số nguyên dương sao cho các số p−1, pn, n+

1 đôi một không có ước lớn hơn2 Chứng minh rằng phương trình sau không cónghiệm nguyên dươngx, y

(THTT số 423) Lời giải Giả sử tồn tại các số nguyên dương x, ythỏa (1)

suy ra p .qhay p = q hoặc q ≡ 1( mod p).

Suy ra tất cả các ước nguyên tố q của x

p− 1

x − 1 thì q = phoặc q = 1( mod p).

Dẫn tới hai số y − 1và yn+ yn−1+ + y + 1hoặc chia hết cho phoặc có số dư là

1 khi chia cho p

+) y − 1 ≡ 0( mod p) ⇔ y ≡ 1( mod p), suy ra yn+ yn−1+ + y + 1 ≡ n + 1( mod p)Vì

(n +1, p) ≤ 2nên p 6 |n+1và(n, p) ≤ 2nênn +1 6≡ 1( mod p) Do đó trường hợpnày không xảy ra

+) y − 1 ≡ 1( mod p) ⇔ y ≡ 2( mod p) Khi đó

Bài tập 1 Chứng minh rằng phương trìnhx5− y2= 4không có nghiệm nguyên

Bài tập 2 Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên

(x + 1)2+ (x + 2)2+ + (x + 2001)2= y2

Bài tập 3 Tìm các cặp số nguyên dương(x; y)thỏa mãn

x2− y! = 2001

(Titu Andreescu) Bài tập 4 Tìm các số nguyên dương(x; y)thỏa mãn phương trình

(Bosnhia TST 2014) Bài tập 8 Tìm tất cả các cặp số nguyên tố(p; q) thỏa mãn

p3+ 7q = q9+ 5p2+ 18p

(Turkey JBMO TST 2016) Bài tập 9 Tìm tất cả các cặp số tự nhiên(x, y, z)thỏa mãn

2013x+ 2014y= 2015z

(AZE JBMO TST 2016) Bài tập 10 Chứng minh rằng hệ phương trình

Bài tập 12 Tìm các số nguyên tô p, q và số nguyên dươngn > 2thỏa mãn

pn+ pn−1+ + 1 = q2+ q + 1

India National Olympiad 2003

Bài tập 13 Tìm các số nguyên dươngm, nvà số nguyên tố p ≥ 5thỏa mãn

m(4m2+ m + 12) = 3(pn− 1)

India National Olympiad 2013 Bài tập 14 Kí hiệuϕ(n)là phi hàm Euler củan Giải phương trình nghiệm nguyêndương (n ≥ 2) sau

2n+¡n − ϕ(n) − 1¢! = nm

+ 1

(Tukey TST 2013) Bài tập 15 Tìm các số nguyên dươngm, nvà số nguyên tố pthỏa mãn

¡m3

+ n¢ ¡n3+ m¢ = p3

(Tukey TST 2017)

3.5 Phương pháp quy nạp toán học

Quy nạp toán học là một phương pháp mạnh để chứng minh các phát biểu phụthuộc vào một số tự nhiên

Cho(P(n))n≥0là một dãy các mệnh đề Phương pháp quy nạp toán học được sử dụng

để chứng minhP (n)đúng với mọi n ≥ n0 vớin0 là một số tự nhiên

Phương pháp quy nạp toán học (dạng yếu): Giả sử

• P (n0)đúng.

• Với mọi k ≥ n0 vàP (k)đúng thì P (k + 1)đúng.

Khi đóP (n)đúng với mọi n ≥ n0

Phương pháp quy nạp toán học (bước nhảys): Cho slà số nguyên dương Giả sử

• P (n0) , P (n0+ 1) , , P (n0+ s − 1)đúng.

• Với mọi k ≥ n0,P (k)đúng kéo theo P (k + s)đúng

Khi đóP (n)đúng với mọi n ≥ n0.

Phương pháp quy nạp toán học (Dạng mạnh): Giả sử

Vớin = 2,phương trinhdx2= 15y2= 4ncó hai nghiệm tự nhiên là(x; y) = (4; 0),(1; 1).

Giả sử n ≥ 2, phương trình x2+ 15y2= 4n có n nghiệm (x1; y1), (x2; y2), ··· ,(xn; yn).Khi đó(x; y) = (2xk; 2 yk)là các nghiệm tự nhiên của phương trình

x2+ 15y2= 4n+1

Ta chứng minh rằng với mỗi số nguyênn ≥ 2tồn tại cặp số nguyên dương lẻ(xn, yn)

sao cho sao cho

Lời giải Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề: Cho các số nguyên dương phân biệt a1, a2, , an Khi đó

Suy ra bổ đề được chứng minh.

Trở lại bài toán.

Không mất tính tổng quát, ta giả sửx1< x2< < xm Khi đóx1≥ 1, x2≥ 2, , xm≥ m

x1+ 1

x2+ + 1

xn = 1

luôn có nghiệm nguyên dương phân biệt x1, x2, , xn

Bài tập 3 Chứng minh rằng với mọi số nguyênn ≥ 412, luôn tồn tại các số nguyêndươngx1, x2, , xn thỏa mãn

x2+ x y + y2= 7n

luôn có nghiệm nguyênx, y

Bài tập 6 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 1, luôn tồn tại các số nguyên

luôn có nghiệm trong tập các số tam giác

Bài tập 8 Chứng minh rằng với mọin ˆ≥6,phương trình

Bài tập 9 Chứng minh rằng với mọi số nguyêns ≥ 2, tồn tại các số nguyên dương

luôn có nghiệm nguyên dươngx, y, zvới x < y < z

Bài tập 11 Chứng minh rằng phương trình

(x + 1)2+ x2= y2

có vô số nghiệm nguyên dươngx, y

Bài tập 12 Tìm các số nguyên dương phân biệt x1, x2, , x2002thỏa phương trình

x21+ x22+ + x22002= 1335 (x1+ x2+ + x2002)

4 Hiệu quả của chuyên đề

Chuyên đề được sử dụng để giang dạy cho lớp 10 Chuyên Toán và đội tuyển tham

dự kì thi HSG Quốc gia năm 2016-2017 Qua các giảng dạy chuyên đề, các em họcsinh đã phần nào nắm được các một số phương pháp xử lí khi gặp một phương trìnhDiophantine

5 Đề xuất, khuyến nghị khả năng áp dụng

Chuyên đề có thể áp dụng cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp

6 Danh mục tài liệu tham khảo

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI

Đơn vị

––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– , ngày tháng năm PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học:

––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm:

Họ và tên tác giả: Chức vụ:

Đơn vị:

Họ và tên giám khảo 1: Chức vụ:

Đơn vị:

Số điện thoại của giám khảo:

* Nhận xét, đánh giá, cho điểm và xếp loại sáng kiến kinh nghiệm: 1 Tính mới

Điểm: …………./6,0 2 Hiệu quả

Điểm: …………./8,0 3 Khả năng áp dụng

Điểm: …………./6,0 Nhận xét khác (nếu có):

Tổng số điểm: /20 Xếp loại:

Phiếu này được giám khảo 1 của đơn vị đánh giá, chấm điểm, xếp loại theo quy định của Sở Giáo dục và Đào tạo; ghi đầy đủ, rõ ràng các thông tin, có ký tên xác nhận của giám khảo 1 và đóng kèm vào mỗi cuốn sáng kiến kinh nghiệm liền trước Phiếu đánh giá, chấm điểm, xếp loại sáng kiến kinh nghiệm của giám khảo 2

GIÁM KHẢO 1

(Ký tên, ghi rõ họ và tên)

BM01b-CĐCN

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI

Đơn vị

––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– , ngày tháng năm PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học:

––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm:

Họ và tên tác giả: Chức vụ:

Đơn vị:

Họ và tên giám khảo 2: Chức vụ:

Đơn vị:

Số điện thoại của giám khảo:

* Nhận xét, đánh giá, cho điểm và xếp loại sáng kiến kinh nghiệm: 1 Tính mới

Điểm: …………./6,0 2 Hiệu quả

Điểm: …………./8,0 3 Khả năng áp dụng

Điểm: …………./6,0 Nhận xét khác (nếu có):

Tổng số điểm: /20 Xếp loại:

Phiếu này được giám khảo 2 của đơn vị đánh giá, chấm điểm, xếp loại theo quy định của Sở Giáo dục và Đào tạo; ghi đầy đủ, rõ ràng các thông tin, có ký tên xác nhận của giám khảo 2 và đóng kèm vào mỗi cuốn sáng kiến kinh nghiệm liền trước Phiếu nhận xét, đánh giá sáng kiến kinh nghiệm của đơn vị

GIÁM KHẢO 2

(Ký tên, ghi rõ họ và tên)

BM01b-CĐCN

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI

Đơn vị

––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– , ngày tháng năm PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học:

––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm:

Họ và tên tác giả: Chức vụ:

Đơn vị:

Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: 

- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác:  Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành 

1 Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô dưới đây)

- Đề ra giải pháp thay thế hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 

- Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 

- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 

2 Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 5 ô dưới đây)

- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả 

- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 

3 Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)

- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:

Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 

- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 

Xếp loại chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại 

Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình

Tổ trưởng và Thủ trưởng đơn vị xác nhận sáng kiến kinh nghiệm này đã được tổ chức thực hiện tại đơn vị, được Hội đồng khoa học, sáng kiến đơn vị xem xét, đánh giá, cho điểm, xếp loại theo quy định

Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của tác giả và người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi cuốn sáng kiến kinh nghiệm

NGƯỜI THỰC HIỆN

SKKN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

(Ký tên, ghi rõ

họ tên và đóng dấu của đơn

vị)

BM04-NXĐGSKKN