KHÓA LUẬN: MÔ HÌNH HÓA VỚI PHẦN MỀM CASYOPÉE ĐỂ HỖ TRỢ MỘT TIẾP CẬN THỰC NGHIỆM HÀM SỐ Ở PHỔ THÔNG

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông minh đến các vấn đề quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng và trình bày dựa trên mô tả hình học hoặc

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRƯƠNG THỊ XUÂN MỸ

MÔ HÌNH HÓA VỚI PHẦN MỀM CASYOPÉE ĐỂ HỖ TRỢ MỘT TIẾP CẬN THỰC NGHIỆM HÀM SỐ Ở

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

LỜI CÁM ƠN Trong thời gian học tập tại khoa Toán trường ĐHSP Huế, tôi đã tham gia làm

khóa luận tốt nghiệp dưới sự hướng dẫn của TS Trần Kiêm Minh Được tham gia làm khóa luận tốt nghiệp là niềm vinh dự, tự hào của bản thân tôi, không những vậy đây cũng là một khó khăn, thử thách đòi hỏi phải tập trung, đầu tư thời gian nhiều Bằng sự nỗ lực, phấn đấu không ngừng học hỏi, tôi đã hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này Khóa luận này được hoàn thành không thể không kể đến công lao của người thầy đã hướng dẫn tôi Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và chân thành cảm

ơn sự nhiệt tình, tận tụy chỉ bảo, hướng dẫn và động viên của thầy đã giúp tôi trong thời gian qua

Bên cạnh đó, tôi cũng xin chân thành cám ơn các thầy cô trong khoa Toán đã chỉ bảo, dạy dỗ tôi trong suốt thời gian học tập tại trường Tôi xin cám ơn sự giúp

đỡ của bạn bè tôi, các thầy cô giáo và các học sinh trường THPT Phú Lộc, đặc biệt cám ơn gia đình yêu quý đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi được hoàn thành khóa luận này

Trong thời gian nghiên cứu có hạn, mặc dù đã cố gắng nhưng có lẽ không tránh khỏi những sai sót Tôi rất mong được nhận sự đóng góp của quý thầy cô và bạn bè

Tôi xin cám ơn tất cả

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 2

3 Nội dung của đề tài 2

4 Cấu trúc của khóa luận 3

Chương 1 TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU VỀ DẠY VÀ HỌC HÀM SỐ Ở PHỔ THÔNG 4

1.1 Sơ lược về lịch sử hàm số 4

1.1.1 Thời cổ đại: Các bảng số tương ứng 4

1.1.2 Thời Trung đại: Xuất hiện biểu diễn bằng đồ thị 4

1.1.3 Thời kì hiện đại: Xuất hiện các biểu thức đại số và hình thức hóa khái niệm hàm số 5

* Thế kỉ XVI- XVII 5

* Thế kỉ XVII- XIX 6

1.1.4 Những ghi nhận 8

1.2 Hàm số trong chương trình và sách giáo khoa Pháp - Việt 9

1.2.1 Hàm số trong chương trình sách giáo khoa Pháp 9

1.2.2 Hàm số trong chương trình sách giáo khoa Việt Nam 13

1.3 Nghiên cứu về dạy và học hàm số 18

Chương 2 KHUNG LÍ THUYẾT SỬ DỤNG 23

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

2.1 Phân bậc hoạt động về hàm số trong môi trường công nghệ 23

2.2 Chu trình mô hình hóa hàm 25

Chương 3 MÔI TRƯỜNG PHẦN MỀM CASYOPÉE 28

3.1 Giới thiệu phần mềm và một số chức năng 28

3.2 Mô hình hóa với Casyopee 33

Chương 4 THỰC NGHIỆM 35

4.1 Mục tiêu của thực nghiệm 35

4.2 Nội dung của thực nghiệm 35

4.2.1 Giới thiệu phần mềm Casyopée cho học sinh phổ thông 35

4.2.2 Tiến hành hoạt động 35

4.3 Phân tích tiên nghiệm 36

Chương 5 KẾT QUẢ 47

5.1 Phân tích bài làm của học sinh 48

5.1.1 Phiếu học tập số 1 48

5.1.2 Phiếu học tập số 2 55

5.1.3 Phiếu học tập số 3 60

5.2 Phân tích bảng hỏi 71

5.3 Kết luận 78

5.4 Đóng góp của khóa luận và hướng phát triển của đề tài 79

Tài liệu tham khảo 81

PHỤ LỤC 83

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Học Toán đã khó khăn nhưng dạy Toán còn vất vả hơn nhiều Làm thế nào

để học sinh hiểu, nắm bắt và giải quyết các vấn đề Toán học thật sự là điều đáng quan tâm Một trong những biện pháp đó là sử dụng những công nghệ mới, đặc biệt là các môi trường phần mềm

Ngày nay, với sự phát triển như vũ bão của công nghệ thông tin, các môi trường phần mềm dành cho việc dạy học Toán được sử dụng phổ biển trong nhà trường Những phần mềm này tạo ra môi trường học tập tích cực, giúp cải tiến khả năng mô hình toán học, tăng khả năng hình thành các khái niệm toán học và thúc đẩy hoạt động của học sinh Việc sử dụng phần mềm sẽ giúp đem lại cái nhìn trực quan, sinh động và từ quan sát học sinh sẽ phát hiện, dự đoán và định hướng lời giải Vì vậy sự hỗ trợ của máy tính điện tử và các phần mềm là cần thiết trong dạy học hiện đại

Hàm số là khái niệm quan trọng trong toán học cũng như trong các khoa học thực nghiệm khác Chủ đề hàm số trong chương trình phổ thông là một chủ đề khó

để lĩnh hội đối với học sinh Ngày nay, trong chương trình Toán THPT của nhiều nước tiên tiến trên thế giới như Pháp, Mỹ chủ đề hàm số chiếm một vai trò quan trọng Hàm số được giới thiệu như là mô hình của các quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng biến thiên trong một tình huống xuất phát từ các lĩnh vực ứng dụng hay

từ thực tế

Casyopée1 là một môi trường phần mềm mã nguồn mở miễn phí đang được phát triển và thiết kế đặc biệt dành cho việc dạy và học chủ đề hàm số ở phổ thông

1 Có thể tải phần mềm tại địa chỉ: http://www.casyopee.eu/

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

Casyopée có hai cửa sổ chính là cửa sổ hình học động và cửa sổ đại số Phần mềm này là khá mới mẻ đối với trường phổ thông Điểm mạnh của Casyopée là khả năng kết nối hai cửa sổ này bằng thẻ Geometric Caculations Cụ thể, Casyopée cho phép dựng các hình hình học động, khảo sát mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng hình học (độ dài, diện tích ), chọn một đại lượng làm biến và đại lượng kia làm giá trị hàm để khảo sát mối quan hệ phụ thuộc hàm của chúng Tiếp theo, Casyopée cho phép mô hình hóa mối quan hệ phụ thuộc hàm này bằng một hàm

số đại số và xuất ra trong cửa sổ đại số

Những đặc trưng trên của môi trường phần mềm Casyopée sẽ hỗ trợ học sinh như thế nào trong việc tiếp cận khái niệm hàm số? Hoạt động của học sinh trong các kiểu biểu diễn hàm số khác nhau của Casyopée (hình học, đồ thị, đại số) giúp học sinh hiểu được khái niệm hàm số như thế nào? Xuất phát từ những lí do trên,

để hỗ trợ việc học chủ đề hàm số ở trường phổ thông, tôi chọn đề tài: “Mô hình

hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

 Đề tài hướng đến việc phân tích tiềm năng của phần mềm Casyopée đối với việc học chủ đề hàm số ở phổ thông Cụ thể, đề tài sẽ phân tích một tiếp cận hàm số

thông qua mô hình hóa hàm các quan hệ phụ thuộc hình học

 Các tình huống học tập với sự hỗ trợ của phần mềm Casyopée sẽ được phân tích

nhằm làm rõ những tiềm năng của cách tiếp cận này

3 Nội dung của đề tài

Nội dung của đề tài bao gồm:

 Sơ lược về lịch sử khái niệm hàm số

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

 Tìm hiểu phần mềm Casyopée

 Thiết kế các tình huống học tập chủ đề hàm số với phần mềm Casyopée

 Thực nghiệm

 Phân tích việc sử dụng Casyopée bởi học sinh

4 Cấu trúc của khóa luận

Khóa luận gồm có ba phần, tài liệu tham khảo và phụ lục

I Mục lục

II Nội dung

A Phần mở đầu

B Phần nội dung

Chương 1 Tổng quan nghiên cứu về dạy và học hàm số ở phổ thông

Chương 2 Khung lý thuyết sử dụng

Chương 3 Môi trường phần mềm Casyopée

Chương 4 Thực nghiệm

Chương 5 Kết quả

III Tài liệu tham khảo

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

Chương 1 TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU VỀ DẠY VÀ HỌC HÀM

SỐ Ở PHỔ THÔNG

1.1 Sơ lược về lịch sử hàm số

1.1.1 Thời cổ đại: Các bảng số tương ứng

Đây là bước đầu tiên của khái niệm hàm số Ngay từ những năm 2000 trước công nguyên, những nhà toán học Babylon đã sử dụng một cách rộng rãi các bảng bình phương, bảng căn bậc hai, bảng lập phương hay bảng căn bậc ba trong hệ lục thập phân Còn người Hy Lạp thì đã thiết lập các bảng sin Những bảng này xuất hiện chủ yếu từ nhu cầu giải quyết các vấn đề của toán học (đo đạc hình học, nghiên cứu các đường cong, ) hay của các ngành khoa học tự nhiên (vật lý, thiên văn học ) Tại thời điểm này, ý tưởng về hàm số có nguồn gốc từ cuộc sống và thực

hành nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho tính toán Như vậy, ở thời kì này, khái niệm

hàm số chưa có tên, chưa có định nghĩa Nó chỉ xuất hiện như một công cụ ngầm

ẩn cho việc giải quyết các bài toán thuộc về thiên văn học, toán học Trong đó, các quan hệ phụ thộc lẫn nhau giữa hai đại lượng chủ yếu lấy giá trị trong các tập hợp hữu hạn và rời rạc Yếu tố đầu tiên của khái niệm hàm số được ưu tiên đề cập là

tính “phụ thuộc” giữa hai đại lượng, mặc dù đặc tính phụ thuộc này không xuất

hiện tường minh Tương tự, đặc trưng tương ứng và đặc trưng biến thiên của các đại lượng chỉ thể hiện một cách ngầm ẩn Như vậy, khái niệm “biến” - yếu tố cơ bản cấu thành khái niệm hàm số chưa xuất hiện Hơn nữa, sự phụ thuộc giữa hai đại lượng chỉ được mô tả dưới hình thức các bảng số

1.1.2 Thời Trung đại: Xuất hiện biểu diễn bằng đồ thị

Tại thời điểm này các khái niệm chung về đại lượng biến thiên và hàm số được thể hiện đồng thời dưới hình thức hình học và cơ học Cũng giống như Thời cổ đại, từng trường hợp cụ thể của sự phụ thuộc giữa hai đại lượng được mô tả bằng lời

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

nói hoặc bởi một đồ thị mà không phải bởi một công thức Vào thời điểm đó, các chuyển động được nghiên cứu hoặc theo cách định tính bằng cách mô tả bằng lời chiều biến thiên hoặc bằng cách nghiên cứu một vài giá trị riêng lẽ của hiện tượng

và có xu hướng che đậy đi mặt biến thiên liên tục Cho đến giữa thế kỷ thứ XIV, các dạng biểu diễn đồ thị đầu tiên bắt đầu xuất hiện Các nghiên cứu về sự phụ thuộc giữa hai đại lượng, đặc biệt là các đại lượng liên quan đến chuyển động như: vận tốc, quãng đường, thời gian,…Các chuyển động này được nghiên cứu chủ yếu

về mặt định tính bằng cách mô tả chiều biến thiên nhưng không đi tới các quan hệ

số lượng Tính phụ thuộc giữa các đại lượng được mô tả bằng lời, nhưng chủ yếu bằng các bảng số hoặc bằng các hình hình học Chẳng hạn, N.Oresme (1323 – 13820) đã biểu diễn cường độ của chất điểm chuyển động (vận tốc) theo thời gian bằng một hình hình học Như vậy, ngoài nghiên cứu về tính phụ thuộc giữa các đại lượng, thời kì này bắt đầu có những nghiên cứu rõ nét hơn về đặc trưng biến thiên, biểu diễn bằng đồ thị và bằng hình hình học Điều này đánh dấu một bước tiến về khái niệm hàm số như là biến phụ thuộc Tuy nhiên, bản thân thuật ngữ “biến thiên” và khái niệm biến chưa xuất hiện một cách rõ ràng

1.1.3 Thời kì hiện đại: Xuất hiện các biểu thức đại số và hình thức hóa khái niệm hàm số

* Thế kỉ XVI- XVII

Trong giai đoạn này, việc gia tăng mạnh mẽ những phép tính toán học và đặc biệt

sự ra đời của các kí hiệu chữ đóng vai trò quyết định đối với sự phát triển sau này của lí thuyết các hàm số

Cũng như Oresme, Galileo (1564 - 1642) quan tâm chủ yếu vào nghiên cứu các chuyển động và như vậy là các đại lượng như vận tốc, gia tốc, khoảng cách bắt đầu xuất hiện Tuy nhiên, ông cố gắng đi tìm những kết quả nhờ vào đo đạc và thực

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

nghiệm chứ không dựa duy nhất trên tư duy thuần túy như Oresme Đây là điểm khác biệt cơ bản cho phép ông đi vào nghiên cứu định lượng các hiện tượng Mục tiêu nghiên cứu các chuyển động theo cách định lượng của Galileo đã đóng góp lướn vào sự tiến triển của khái niệm hàm số “Việc khảo sát một quan hệ giữa hai đại lượng biến thiên là vấn đề có tính cơ bản trong việc đi đến khái niệm hàm số” (Malik, 1980, p.490)

Descartes (1596 – 1650) là người nêu lên một cách rõ ràng hơn cái gọi là “phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên” Hình học giải tích của Descartes đã dẫn đến xem xét các đường cong như là quỹ đạo hoặc quỹ tích của các điểm Ý tưởng giới thiệu hàm số bằng phương pháp giải tích được phát triển bởi Descartes trong tác phẩm nổi tiếng của ông “Hình học” được xuất bản năm 1637 Với hình học này, các đường cong được mô tả bởi các công thức được đưa vào trong các nghiên cứu Ta sẽ thấy rõ sự xuất hiện cách biểu diễn sự phụ thuộc giữa hai đại lượng biến thiên: “Bằng cách lấy lần lượt và vô hạn các đại lượng khác nhau đối với đường 𝑦 ta cũng có vô hạn các đại lượng khác nhau đối với đường 𝑥, và như vậy ta có vô hạn các điểm khác nhau, nhờ vào đó ta mô tả được đường cong mong muốn” (Descartes, 1637, trích dẫn của Youschkevitch, 1976, p.52) Trong mô tả này của Descartes, ta thấy những yếu tố chủ yếu của khái niệm hàm số đã hiện diện rõ ràng hơn : Những “đường 𝑥”, “đường 𝑦” - đó là những biến và giá trị của chúng phụ thuộc nhau Tuy nhiên, các thuật ngữ “hàm số”, “phụ thuộc”, “biến thiên” vẫn chưa xuất hiện tường minh Như vậy, ở giai đoạn này, khái niệm hàm

số mất dần đi các đặc tính cơ học và hình học

* Thế kỉ XVII- XIX

Dần dần, khái niệm hàm số được hình thức hóa trong thời gian này Trong nhiều định nghĩa hàm số được đề xuất, chúng tôi nhận thấy có một sự tham chiếu tường

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

minh đến các vấn đề quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng và trình bày dựa trên

mô tả hình học hoặc đồ thị Điều này hàm ý một quan niệm động và “đồng biến thiên” Bây giờ chúng tôi sẽ giới thiệu một vài quan niệm và định nghĩa hàm số

Như vậy, ngoài khái niệm “hàm số”, các khái niệm “đại lượng không đổi”, “đại lượng biến thiên” cũng chính thức được nêu lên Đặc biệt, đặc trưng biến thiên luôn được nhấn mạnh, đặc trưng phụ thuộc và đặc trưng tương ứng được ngầm ẩn Theo Euler, “đại lượng không đổi” hay “hằng”(constante) là một đại lượng xác định luôn lấy một và chỉ một giá trị, trong khi “đại lượng biến thiên” là đại lượng được đưa vào như một tập hợp các số Chúng ta có thể suy ra một nhận xét rằng trong thế kỷ XVII và XVIII, một hàm số được xem như là một biểu thức giải tích biểu diễn cho một mối quan hệ giữa các biến Cho đến giữa thế kỷ XIX với sự đóng góp từ Fourier, Lobachevsky và Dirichlet, các khái niệm về hàm số khá gần với định nghĩa hiện đại của hàm số đã được xây dựng

Fourier (1821) phát biểu :

“ Tổng quát, hàm số 𝑓(𝑥) biểu diễn một dãy các giá trị có thứ tự mà mỗi phần tử đã được lấy tùy ý.” (trích dẫn Youschkevitch, 1976, trang 77)

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

Lobachevsky (1834):

“ Hàm số của 𝑥 là một số được cho với mỗi 𝑥 và biến thiên dần dần cùng với 𝑥 Giá trị của hàm số có thể được cho bằng một biểu thức giải tích hoặc bằng một điều kiện làm phương tiện để thử tất cả các số và chọn một trong chúng hoặc cuối cùng, sự phụ thuộc có thể tồn tại nhưng còn chưa được biết.” (trích dẫn Youschkevitch, 1976, trang 77)

Dirichlet (1837):

“Gọi 𝑎 và 𝑏 là hai giá trị cố định, 𝑥 là một đại lượng biến thiên giữa 𝑎 và

𝑏 Nếu tương ứng với mỗi 𝑥 đều có một giá trị xác định 𝑦 = 𝑓(𝑥) và 𝑦 biến thiên một cách liên tục khi chính 𝑥 biến thiên một cách liên tục từ 𝑎 đến 𝑏, thì ta nói 𝑦 là một hàm số liên tục trên khoảng (𝑎 ; 𝑏) Theo quan điểm hình học, nếu xem 𝑥 và 𝑦 như là hoành độ và tung độ của một điểm sao cho mỗi giá trị của 𝑥 thuộc khoảng được xét đều tương ứng với một và chỉ một giá trị của 𝑦 thì sự liên tục của hàm số sẽ xảy ra đồng thời với việc đường cong liền một khoảng.” (trích dẫn trong Falcade, 2006, trang 75)

Như vậy, tất cả các định nghĩa trên đều thể hiện một cách rõ ràng sự rời bỏ tư tưởng đồng nhất hàm số với một biểu thức giải tích ở thời kì trước Ở thời kì này, hàm số được biểu diễn bằng bảng số, đồ thị, công thức hoặc tổng quát hơn là bằng một phương tiện nào đó cho phép xác định sự tương ứng giữa hai đại lượng

1.1.4 Những ghi nhận

Sau khi phân tích tóm tắt quá trình phát triển khái niệm hàm số qua các giai đoạn chính, chúng tôi rút ra một vài ghi nhận ban đầu:

* Ghi nhận đầu tiên liên quan đến các mặt sinh thái và lịch sử của khái niệm hàm

số Ý tưởng về hàm số xuất phát từ những tình huống thực tế liên quan mật thiết đến đời sống con người Khái niệm hàm số xuất hiện nhằm mục đích mô hình hóa

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

các tình huống vật lý Các bài toán dẫn đến sự phát triển khái niệm hàm số xuất phát từ các lĩnh vực ứng dụng và từ cuộc sống thực tế như vật lý ( chuyển động, vận tốc), vũ trụ học, thời tiết, cơ học

* Ghi nhận thứ hai về mặt tri thức luận là chính các mối quan hệ phụ thuộc là những cái được biểu hiện cơ bản của khái niệm hàm số Đó là các quan hệ phụ thuộc động giữa hai đại lượng biến thiên

1.2 Hàm số trong chương trình và sách giáo khoa Pháp - Việt

1.2.1 Hàm số trong chương trình sách giáo khoa Pháp

Trong chương trình của Pháp cũng như hầu hết các nước khác, hàm số đóng một vai trò rất quan trọng

Tại Pháp, kể từ lớp sáu, học sinh đã nghiên cứu mối quan hệ giữa các đại lượng (khối lượng, diện tích, chiều dài, khoảng cách, thời gian) Đến lớp chín, khái niệm hàm số được xem như là một “quy tắc tương ứng” được hình thành Ở lớp 10, chủ

đề hàm số là một phần quan trọng trong chương trình Học sinh sẽ sử dụng hàm số

để giải quyết các bài toán có liên quan, điều này giúp họ khám phá về các hàm số mới và các tính chất của hàm số Đây cũng là một cơ hội để huy động và phát triển các năng lực của học sinh liên quan đến tính toán, sử dụng máy tính cầm tay và các phần mềm khác nhau như: bảng tính, phần mềm hình học động, phần mềm tính toán hình thức

Chương trình hàm số trong sách giáo khoa lớp 10 ở Pháp đề cập đến một số vấn

đề sau:

Khái niệm hàm số; đồ thị hàm số; hàm số tăng, hàm số giảm; hàm số đạt cực đại, cực tiểu trên một khoảng; biến đổi giữa các biểu thức đại số; hàm số tuyến tính, hàm số afin, hàm số bạc hai; hàm số ngược; bất phương trình và hàm số lượng giác

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

Bộ sách lớp 10 Seconde, Collection math’x, Didier được viết theo chương trình

năm 2009 đề cập đến chủ đề hàm số qua sáu chương:

Chương 1 nói về “ Mô hình hóa bởi một hàm số” Các hoạt động trong chương này chủ yếu nhấn mạnh các bài tập và các vấn đề liên quan đến đồng biến thiên và phụ thuộc giữa hai đại lượng Như tên chương cho thấy, đây là phương pháp tiếp cận đầu tiên khái niệm hàm số và các khái niệm liên quan (tập xác định, ảnh và tạo ảnh, đường cong biểu diễn) bằng cách nhấn mạnh sự mô hình hóa hàm các hiện tượng thực tế, các tình huống xuất phát từ lĩnh vực ứng dụng bằng cách đưa ra các tình huống khác nhau về quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng, đồng thời minh họa các quan hệ này bởi một đồ thị, một bảng giá trị hoặc một quy trình tính toán Chúng ta có thể nhận thấy rằng, xuyên suốt chương này, các hàm số sẽ được xem

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

xét dưới khía cạnh các quan hệ phụ thuộc và đa biểu diễn Trước khi đưa ra một định nghĩa hàm số, sách giáo khoa nhấn mạnh một nhận xét về khả năng mô hình hóa mối quan hệ giữa hai đại lượng biến thiên: “Hai đại lượng có thể biến thiên cùng nhau Mối quan hệ này có thể được thể hiện bằng một bảng dữ liệu, một công thức hoặc một đồ thị (đường cong) Trong một vài trường hợp, chúng ta có thể mô hình hóa mối liên hệ này bằng một hàm số Sau đó, sách giáo khoa đưa ra ba ví dụ

để minh họa các cách khác nhau cho một hàm số: một bảng giá trị, một đồ thị, hoặc một công thức Mục đích là để mô hình hóa một mối quan hệ phụ thuộc hình học giữa hai đại lượng liên quan Thông qua việc giải quyết vấn đề, yêu cầu học sinh xác định các biến và thiết lập các hàm số Đối với các ví dụ và bài tập có lời giải, chúng tôi nhận thấy rằng sách giáo khoa đặc biệt nhấn mạnh đến việc mô hình hóa mối quan hệ giữa các hàm số, cũng như đến các khái niệm biến và tập xác định Đây là một ví dụ:

Phần “ Bài tập thực hành” và “ Bài tập” hướng đến củng cố và tìm hiểu sâu hơn khái niệm hàm số, khái niệm biến và tập xác định thông qua các tình huống rất đa dạng xuất phát từ các lĩnh vực ứng dụng như hình học, cuộc sống thực tế, kinh tế, thời tiết Mục đích là kết nối mỗi tình huống với mỗi hàm số, kết nối các biểu diễn

Đoạn [𝐴𝐵] có độ dài 8𝑐𝑚 Với mỗi điểm 𝑀 thuộc

đoạn [𝐴𝐵], ta dựng hình vuông 𝐴𝑀𝐸𝐹 và hình vuông

𝑀𝐵𝐺𝐻 về cùng phía đối với đường thẳng 𝐴𝐵

1 Xác định diện tích của hình tạo bởi hai hình vuông

khi 𝐴𝑀 = 3𝑐𝑚, 𝐴𝑀 = 6𝑐𝑚

2 Biểu diễn bởi một công thức mối lien hệ giữa 𝐴𝑀 và

diện tích của phần hình này

3 Mô hình hóa tình huống này bằng hàm số 𝑓 Chỉ rõ

biến và tập xác định của 𝑓

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

khác nhau của một hàm số và chuyển mối liên hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng thành một công thức đại số hoặc tiền đại số

Sách giáo khoa đặc biệt khuyến khích việc sử dụng các công cụ công nghệ để giải quyết các tình huống và bài toán Các công nghệ được khuyến khích sử dụng rất

đa dạng: máy tính cầm tay, phần mềm hình học động, bảng tính excel, phần mềm tính toán hình thức

Chương 2 đề cập đến chiều biến thiên hàm số và hàm số affine Chương này nói

về hàm số đồng biến và hàm nghịch biến, bảng biến thiên của hàm số, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, sự biến đổi hàm số affine, khảo sát về hàm số bậc nhất dạng 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, với 𝑎 và 𝑏 là hệ số thực Các tình huống học tập cũng xuất phát từ các lĩnh vực thực tế, học sinh được yêu cầu để khám phá các giá trị cực trị và chứng minh kết qủa

Chương 3 tập trung vào các biểu thức đại số, khái niệm của phương trình và phương trình tương đương, giải phương trình Ở đây, hàm số được sử dụng như một công cụ hữu ích để tăng cường việc học tập đại số, đặc biệt là phương trình đại số

Chương 4 trình bày các hàm số tham chiếu (các hàm số cơ bản thường gặp) Học sinh được học hàm số bậc hai 𝑦 = 𝑥2, hàm số nghịch đảo 𝑦 = 1

𝑥, hàm đa thức bậc hai 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐, các hàm số đơn ứng 𝑦 = 𝑎𝑥+𝑏

𝑐𝑥+𝑑 Chương 5 tập trung vào các nghiên cứu về bất phương trình và khảo sát sự biến thiên Các bài học đầu tiên trình bày phương pháp đồ thị giải một phương trình Tiếp đến sách giáo khoa trình bày phương pháp đại số để giải quyết các bài toán bất phương trình bằng cách sử dụng khái niệm về bất phương trình tương đương Bài học thứ ba tập trung vào phương pháp để nghiên cứu sự biến thiên của hàm

số

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

Chương 6 cuối cùng nói về hàm số lượng giác

1.2.2 Hàm số trong chương trình sách giáo khoa Việt Nam

Đến lớp 10 học sinh vẫn tiếp tục được nghiên cứu về hàm số Ở đây sách giáo khoa giới thiệu lại khái niệm hàm số một cách chính xác hơn có đề cập đến tập xác định của hàm số, đồng thời đưa ra các khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến, hàm số chẵn, hàm số lẻ và giới thiệu một phương pháp nghiên cứu hàm số là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của chúng

Khái niệm hàm số đã được giới thiệu trong chương trình toán lớp 7 Vì vậy, ở đây, sách giáo khoa Đại số 10 không xuất phát từ ví dụ mà giới thiệu ngay định nghĩa

và cho ví dụ minh họa Sách giáo khoa lớp 10 trình bày về hàm số như một khái niệm toán học mô tả sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên theo quan điểm hiện đại và chặt chẽ hơn đó là dùng lý thuyết tập hợp mà không theo quan điểm ánh xạ Tuy nhiên theo chương trình lớp 10 cần đưa ra khái niệm tập xác định của hàm số, vì vậy trong định nghĩa có đưa vào tập hợp xác định và định nghĩa này

đã làm nổi bật đặc trưng tương ứng của hàm số Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao dùng thuật ngữ “quy tắc tương ứng” để định nghĩa khái niệm hàm số Ở đây, sách giáo khoa không định nghĩa quy tắc tương ứng mà xem đây là một khái niệm

cơ bản Sau khi trình bày định nghĩa, sách giáo khoa đưa ra các ví dụ về hàm số trong thực tế đó là các hàm số cho bằng bảng, nhằm khuyến khích học sinh tự tìm các ví dụ về hàm số trong thực tiễn giúp học sinh thấy được ý nghĩa thực tiễn của khái niệm này

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

Về cách cho hàm số, sách giáo khoa Đại số 10 trình bày ba cách cho hàm số: hàm

số cho bằng bảng, hàm số cho bằng biểu đồ và hàm số cho bằng công thức Trong các sách giáo khoa Toán thường chỉ xét các hàm số được cho bằng công thức Tuy nhiên, trong thực tiễn thì thường gặp các hàm số cho bởi bảng hoặc biểu đồ Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao chỉ giới thiệu hàm số được cho bởi biểu thức mà không nói tới các cách cho khác Điều này có thể gây cho học sinh hiểu lầm rằng hàm số phải được cho bằng một biểu thức Trong phần này, sách giáo khoa đã đưa

ra các ví dụ thực tế về hàm số và qua ví dụ củng cố khái niệm tập xác định (TXĐ), khái niệm giá trị của hàm số Đối với sách giáo khoa Việt Nam, hệ thống biểu diễn bằng công thức đại số được ưu tiên so với cách biểu diễn bằng đồ thị và bảng giá trị

Vậy ta có một hàm số Tập hợp 𝐷 là tập xác định của hàm số này

Các giá trị 𝑦 = 200; 282; 295; … được gọi là các giá trị của hàm số, tương

ứng, tại 𝑥 = 1995; 1996; 1997; …

Hoạt động 1: Hãy tìm một ví dụ thực tế về hàm số

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

Về đồ thị hàm số, sách giáo khoa lớp 10 chỉ nhắc lại và minh họa bằng những ví

dụ cụ thể Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến cũng đã được trình bày trong sách giáo khoa Toán 9 Ở đây, đặc trưng biến thiên tiếp tục được đề cập và trở thành đặc trưng cơ bản nổi bật được xem xét, sách giáo khoa đã chính thức đưa vào thuật ngữ “sự biến thiên của hàm số” và điểm mới ở đây là sách giáo khoa đưa

ra bảng biến thiên để tổng kết kết quả xét chiều biến thiên của hàm số

Khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến được nhắc lại một cách khái quát Kết quả xét chiều biến thiên được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên Nhìn vào bảng đó học sinh có thể thấy được một cách trực quan sự thay đổi phụ thuộc lẫn nhau của biến số và hàm số trên các khoảng xác định của nó Cụ thể, nhìn vào bảng học sinh có thể hình dung một cách sơ bộ dạng của đồ thị hàm số,

đồ thị hàm số đi lên trong khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào

Tính chẵn, lẻ của hàm số cũng giúp nhận dạng đồ thị của hàm số Như vậy, các hàm số được xem xét một cách tổng quát về tính chất chẵn lẻ, tính chất biến thiên

và đồ thị Và ở đây, đặc trưng tương ứng và đặc trưng phụ thuộc được ngầm ẩn trong quá trình khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Ở đây, học sinh đã thực sự được tiếp xúc một cách tường minh với sự chuyển đổi các đối tượng từ dạng tĩnh sang dạng biến thiên Việc nghiên cứu đặc trưng biến thiên của hàm số không chỉ thuận tiện trong khảo sát hàm số mà còn tạo cơ sở để sau này đưa vào các khái niệm giới hạn, đạo hàm của hàm số Sách giáo khoa cũng đưa ra các ví dụ về khảo sát các hàm

số cụ thể để rèn luyện cho học sinh kỹ năng xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm

số Như vậy, ở lớp 10 các vấn đề về hàm số được trình bày khá đầy đủ, khái quát Đồng thời, do thực hiện chương trình phân ban nên sách giáo khoa Đại số lớp 10 cũng được phân thành hai ban gồm sách giáo khoa Đại số 10 dành cho ban cơ bản

và sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao dành cho ban khoa học tự nhiên Cách trình

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

bày các vấn đề về hàm số của hai quyển có sự khác nhau và phù hợp với trình độ của học sinh Sách giáo khoa Đại số 10 trình bày các vấn đề một cách trọng tâm,

cơ bản, đơn giản hóa vấn đề, chẳng hạn các định lý chỉ nêu để học sinh nắm được

mà không trình bày chứng minh Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao có phần đi sâu hơn nhằm giúp học sinh hiểu được bản chất từ đó nắm vững kiến thức, chẳng hạn một số định lý có trình bày chứng minh

Trong chương trình Đại số và Giải tích 11, sách giáo khoa trình bày các loại hàm

số cụ thể như: hàm số lượng giác, hàm số với đối số tự nhiên (Dãy số) Từ đó sách giáo khoa giới thiệu về các loại phương trình lượng giác Đồng thời, học sinh được làm quen với một loại các khái niệm mới để nghiên cứu hàm số như khái niệm giới hạn, tính liên tục, đạo hàm của hàm số Các khái niệm này đều liên quan chặt chẽ tới đặc trưng biến thiên của hàm số Đặc trưng biến thiên của hàm số vẫn là đặc trưng cơ bản được xem xét, nghiên cứu trong quá trình khảo sát hàm số, và trong quá trình đó, các đặc trưng tương ứng và phụ thuộc vẫn được củng cố có khi tường minh có khi chỉ ngầm ẩn

Đối với hàm số lượng giác, để vẽ chính xác đồ thị của nó, cần thiết phải dựa vào các tính chất biến thiên, tuần hoàn; tính chẵn, lẻ Việc trình bày và nghiên cứu kỹ các tính chất và đồ thị của hàm số lượng giác có ý nghĩa quan trọng, tạo cơ sở cho việc trình bày phương trình lượng giác Trong chương III, sách giáo khoa trình bày

về khái niệm dãy số và nghiên cứu hai dãy số đặc biệt là cấp số cộng và cấp số nhân Thực chất, dãy số chính là hàm số với biến số tự nhiên Phần này được trình bày tương tự nhau ở sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 và sách giáo khoa Đại

số và Giải tích 11 nâng cao Ở đây, hàm số cũng được củng cố cả ba đặc trưng khoa học luận của nó trong đó đặc trưng biến thiên được đề cập đến tường minh

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

qua định nghĩa về dãy số tăng và dãy số giảm Còn các đặc trưng tương ứng và phụ thuộc được đề cập một cách ngầm ẩn qua các cách cho dãy số

Tiếp tục chương đạo hàm ở lớp 11, chương I, sách giáo khoa Giải tích 12 trình bày ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số sách giáo khoa nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến và giới thiệu định lý cho phép

sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số (có trình bày chứng minh định lý) Đến đây, học sinh đã biết thêm một phương pháp mới đơn giản hơn để xét sự biến thiên của hàm số Với phương pháp này, học sinh có thể khảo sát sự biến thiên của nhiều loại hàm số khác nhau và sự biến thiên của các hàm số được biểu diễn trên các bảng biến thiên Các bảng này còn cho biết điểm cực đại, cực tiểu của hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Như vậy, đặc trưng biến thiên được nghiên cứu để khảo sát những tính chất khác của hàm số, những điểm đặc biệt của đồ thị hàm số Và sự biến thiên của hàm số trở thành phương tiện trung gian để suy ra các tính chất của hàm số một cách nhanh chóng và trực quan dựa vào bảng biến thiên Ta thấy, hàm số ở đây chỉ được nghiên cứu về đặc trưng biến thiên, còn các đặc trưng tương ứng và phụ thuộc đều được ngầm ẩn Như vậy, ở đây các hàm số cũng được xem xét, nghiên cứu thiên về đặc trưng biến thiên của chúng thông qua việc khảo sát và vẽ đồ thị Ngoài ra, tính chất biến thiên

và đồ thị của hàm số mũ, hàm số logarit còn được vận dụng vào việc giải các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và loragit

Sau khi tìm hiểu về chương trình sách giáo khoa Pháp và Việt Nam, tôi rút ra một

số nhận xét sau:

 Sách giáo khoa Việt Nam đưa ra định nghĩa trước sau đó đưa ra ví dụ minh họa trong khi sách giáo khoa Pháo có các hoạt động và ví dụ trước, sau đó

đi đến định nghĩa

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

 Các ví dụ ở sách giáo khoa 10 Việt Nam vẫn mang đặc trưng “ tương ứng” hơn là nhấn mạnh tính “ đồng biến thiên” liên tục giữa hai đại lượng

 Quan điểm mô hình hóa không được đề cập ở sách giáo khoa Việt Nam trong khi được trình bày khá rõ ở sách giáo khoa Pháp

 Các tình huống và ví dụ ở sách giáo khoa 10 Việt Nam sơ sài, nghèo nàn Bài tập chủ yếu tập trung vào tính toán các giá trị hàm số tại các điểm qua một biểu thức

 Kiểu nhiệm vụ mô hình hóa các quan hệ phụ thuộc được ưu tiên trong sách giáo khoa Pháp Điều này phù hợp với đặc trưng tri thức luận và lịch sử của khái niệm hàm số

1.3 Nghiên cứu về dạy và học hàm số

Hàm số đóng một vai trò quan trọng trong toán học và khoa học thực nghiệm, nó

là cần thiết cho việc mô hình hóa các quá trình động từ lĩnh vực ứng dụng Vì vậy

có không ít các công trình nghiên cứu về dạy và học hàm số Tôi xin tóm tắt các quan điểm chính dưới đây thông qua một số nghiên cứu để làm nổi bật tính phức tạp của khái niệm và hàm số

Từ quan niệm “quy trình – đối tượng” đến khía cạnh “đồng biến thiên” của hàm số

Từ đầu những năm 1990, hầu hết các nghiên cứu liên quan đến quan niệm về hàm

số dựa trên sự phân biệt hai quan niệm chủ đạo mà học sinh chấp nhận khi học hàm số: quan niệm “quy trình” và quan niệm “đối tượng” (Sfard, 1991) Quan niệm quy trình (process view) về hàm số được đặc trưng bởi sự tập trung chú ý đến kết quả của các hoạt động tính toán sau một dãy các phép tính, trong khi quan niệm đối tượng (object view) dựa trên sự khái quát hóa các quan hệ phụ thuộc giữa các cặp giá trị vào-ra (imput-output) của các đại lượng

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

Khảo sát sâu hơn tính đối ngẫu quy trình – đối tượng trong việc hiểu hàm số của

học sinh, các nhà nghiên cứu giáo dục Toán gợi ý rằng việc hiểu hàm số của học sinh có thể được xem xét khi chuyển từ chú trọng trên các hành động và quy trình đến cái nhìn định hướng đối tượng được đặc trưng bởi sự chú ý nhiều hơn đến cấu trúc, sự hợp thành các tính chất và sự chuyển thành (reification) các đối tượng toán học Theo hướng này, từ những năm 1990, một số tiếp cận được phát triển để mô

tả các quan niệm định hướng đối tượng về hàm số đã nhấn mạnh khía cạnh “đồng biến thiên” của hàm số (Thompson, 1994) Điểm mấu chốt của một quan niệm đồng biến thiên liên quan đến việc hiểu cách thức trong đó các biến (biến độc lập)

và giá trị hàm (biến phụ thuộc) thay đổi cũng như sự kết hợp giữa các thay đổi này Suy luận đồng biến thiên bao gồm việc kết hợp hai đại lượng biến thiên, đồng thời quan tâm đến cách mà chúng thay đổi liên quan đến mỗi đại lượng Điều này kéo theo sự thay đổi trong cách hiểu một biểu thức từ cách nhìn giá trị vào-giá trị ra có tính đơn lẻ đến cách nhìn động hơn có thể được mô tả như là chạy qua một dải liên tục các số (“running through a continuum of numbers”, Thompson, 1994, trang 26) Tuy nhiên, quan niệm động về biến thiên này dường như không rõ ràng đối với học sinh vì nó chủ yếu chú ý đến sự biến thiên đồng thời giữa các đại lượng ở các mức độ khác nhau trong một dãy có thứ tự, và vì vậy đòi hỏi cần thiết phải có các tình huống có thể mang lại cho học sinh cơ hội để suy nghĩ về bản chất đồng biến thiên của hàm số trong việc mô hình hóa các sự kiện động Các tình huống như vậy minh họa việc trải nghiệm và khám phá các mô hình về quan hệ phụ thuộc với sự hỗ trợ của công nghệ có thể giúp học sinh như thế nào trong việc hiểu ý nghĩa của quá trình đồng biến thiên

Hiểu ý niệm về biến (biến độc lập)

Một khó khăn đặc biệt trong việc hiểu khái niệm hàm số là hiểu ý niệm về biến

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

Thompson (1994, trang 6) chỉ ra rằng hình ảnh nổi bậc được gợi lên bởi từ “hàm số” ở học sinh liên quan đến hai biểu thức rời nhau được liên kết bởi dấu “=” Với mục đích chỉ ra khó khăn của học sinh để phát triển việc hiểu cấu trúc của biểu thức hình thức của các quan hệ hàm và vai trò của các ký hiệu đặc biệt trong đó, tác giả mô tả một ví dụ về công thức tính tổng 𝑆𝑛 = 12 + 22 + ⋯ + 𝑛2 đưa ra bởi một học sinh như là câu trả lời Học sinh đó viết 𝑓(𝑥) =(𝑛)(𝑛+1)(2𝑛+1)

6 và không

có học sinh nào tìm thấy chỗ sai trong công thức này vì dường như nó khớp với hình ảnh về hàm số của học sinh Ở đây học sinh quan niệm hàm số bao gồm hai thành phần phân biệt mà không có liên quan gì với nhau ở mức độ cấu trúc và với các đối tượng hay đại lượng hiện tại

Các tình huống học tập mà chúng tôi xây dựng một phần hướng đến việc giúp học sinh hiểu hơn về khái niệm biến Chẳng hạn, việc mô hình hóa tự động với phần mềm Casyopée giúp học sinh tập trung vào việc thành lập các thành phần của một hàm số (biến, giá trị hàm) hơn là vào việc tính toán công thức đại số của hàm số

Vai trò của biểu tượng

Nhiều nghiên cứu giáo dục Toán đều có chung thừa nhận rằng vấn đề biểu tượng (symbolism) về hàm số là một khó khăn chủ yếu đối với học sinh Cách nhìn của học sinh về các biểu thức hình thức có thể đơn thuần chỉ là một tương ứng các giá trị vào-ra Slavit (1997) chỉ ra vai trò then chốt của biểu tượng được xem xét trong các dạng khác nhau như đồ thị hay phương trình trong sự phát triển của khái niệm hàm số và gợi ý về sự cần thiết đối với việc khảo sát ý niệm về hàm số của học sinh trong các ngữ cảnh khác nhau chẳng hạn như ngữ cảnh hình học Thậm chí khi học sinh đạt được những thành thạo cơ bản về biểu tượng hình thức đại số, việc kết hợp sự thành thạo này với việc hiểu cấu trúc của công thức đại số của một hàm

số cũng là quan trọng và đặc biệt được hướng đến khi hàm số đó xuất phát từ ngữ

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

cảnh ứng dụng Hầu hết học sinh không có khả năng trong việc hiểu kết hợp này Chứng cứ về điều này được đưa ra trong ngữ cảnh về phương trình Ví dụ, Van der Kooij (2010, trang 122) cho rằng hầu hết học sinh trung học phổ thông có khả năng tính toán về phương trình con lắc 𝑇 = 2𝜋√𝑙

𝑔 nhưng lại không hiểu ý nghĩa của phương trình tổng quát 𝑦 = 2√𝑥 Kieran (2007) cho biết về thành tích thấp của học sinh các nước khi giải một bài toán đưa ra bởi chương trình đánh giá TIMSS2 liên quan đến hình thành hoặc lý giải các công thức để mô tả một hiện tượng phụ thuộc vào một đại lượng biến thiên Các tình huống học tập đưa ra ở phần sau sẽ cho thấy Casyopée có thể hỗ trợ làm tương thích dạng biểu tượng hình thức và thao tác động các đối tượng toán học cũng như quan hệ phụ thuộc giữa chúng như thế nào

Tiếp cận hàm số bằng mô hình hóa hàm các quan hệ phụ thuộc

Hàm số rõ ràng là một khái niệm phức tạp, cả từ quan điểm nhận thức luận và quan điểm dạy học Điều này được thể hiện thông qua một số nghiên cứu trình bày ở trên Tính phức tạp của nó cũng đòi hỏi một cách tiếp cận hàm số phù hợp hơn để giúp học sinh hiểu sâu sắc khái niệm này

Minh (2012a) xem xét các hàm số như mô hình các quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng trong lĩnh vực ứng dụng Mô hình hóa hàm cho phép kết nối lĩnh vực ứng dụng này với các phạm vi khác và các hệ thống biểu diễn khác của hàm số Minh (2012a) cho rằng các hoạt động dựa trên việc nghiên cứu sự phụ thuộc giữa các đại lượng cho phép học sinh hiểu hàm số như là mô hình các quan hệ phụ thuộc Tác giả xem xét các hoạt động này trong một môi trường phần mềm tích hợp đa biểu diễn, hình học động và đại số

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

Trong khóa luận này, chúng tôi sẽ vận dụng cách tiếp cận hàm số như trên để thiết

kế và thực nghiệm các tình huống học tập thích hợp về hàm số trong môi trường phần mềm Casyopée

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

Chương 2 KHUNG LÍ THUYẾT SỬ DỤNG

2.1 Phân bậc hoạt động về hàm số trong môi trường công nghệ

Trong một công trình gần đây, Lagrange và Artigue (2009) đề xuất một bảng phân bậc hoạt động để phân loại và kết nối các hoạt động về hàm số trong môi trường công nghệ Bảng phân bậc hoạt động này gồm hai thành phần: phạm vi (domain) biểu diễn các quan hệ phụ thuộc và kiểu hoạt động với các quan hệ phụ thuộc Việc

đề xuất ba phạm vi khác nhau (Hệ vật lý, Đại lượng và Hàm số) đối với các hoạt động về hàm số dựa trên ý tưởng khái niệm hàm số liên quan mật thiết đến các trải nghiệm cảm tính về các quan hệ phụ thuộc trong một hệ vật lý ở đó các biến đổi phụ thuộc lẫn nhau giữa các đối tượng được quan sát Các kiểu hoạt động (enactive-iconic, hình thành, biến đổi đại số, tổng hợp) được lấy ý tưởng từ công trình về các kiểu biểu diễn khác nhau trong Giải tích của Tall (1996), được bổ sung bởi mô hình về hoạt động đại số của Kieran (2007)

Các loại hoạt động Enactive-Iconic Hìnhthành Biến đổi Tổng hợp

Xét các đối tượng chung

Độ lớn

và đại lượng

Sự khám phá địa phương: Sự thay đổi độ lớn trên các đại

Chọn một biến độc lập

Xây dựng một công thức tiền đại

Xét và giải thích các đại lượng

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

lượng khác nhau

số biểu diễn

sự phụ thuộc

Hàm số toán học

Đồ thị địa phương Nhận dạng đồ thị toàn cục

Biểu diễn đại

số một công thức và tập xác định của hàm số

Khai triển, nhân tử hóa một biểu thức

Công nhận biểu thức

Làm việc trên họ các hàm số và các tham

số Chứng minh

Bảng 3.1 Bảng phân bậc hoạt động về hàm số trong môi trường công nghệ

Việc sắp xếp hàng dựa trên mức độ nhận thức xoay quanh chủ đề về hàm số không thể tách rời khỏi ý tưởng phụ thuộc vào hệ thống vật lý- một trong những nơi có thể quan sát sự thay đổi lẫn nhau của các đối tượng Kết nối cần thiết này cũng có một nền tảng nhận thức: ý tưởng hàm số có liên quan chặt chẽ đến các khái niệm cảm tính về quan hệ phụ thuộc trong một hệ thống vật lý (Radford 2005) Trong quá trình nghiên cứu thường đề cập đến một hoặc cả hai phạm vi, chúng ta xem xét phạm vi thứ hai, phạm vi phụ thuộc giữa các đại lượng hoặc đơn vị đo là cầu nối giữa các từ vật lý và từ toán học của các hàm số Falcade et al (2007) đưa ví

dụ tập trung vào phạm vi đầu tiên: chọn hình học động (DG) là một lĩnh vực để cung cấp cho học sinh một khái niệm bản chất của đồng biến thiên và hàm số phụ thuộc Arzarello và Robutti (2004) đã làm một trong các nghiên cứu bao gồm các phạm vi thứ nhất và thứ ba, nhưng không có phạm vi Đại lượng Các hoạt động trong lớp mà họ thử nghiệm phần nhiều về chuyển động vật lí Bằng việc sử dụng một bộ cảm biến chuyển động và một máy tính đồ họa, học sinh tạo lập, giải thích

đồ thị và bảng số để mô tả các loại chuyển động khác nhau nhờ vào các hàm toán học Các đại lượng (khoảng cách, thời gian) được quản lí bởi máy tính: bằng cách

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

sử dụng các biến ẩn và các đơn vị cho khoảng cách và thời gian, trực tiếp hoán chuyển động vào thế giới toán học dưới dạng các bảng và đồ thị Chúng tôi cho rằng các các hoạt động ở phạm vi “Đại lượng” có thể có hiệu quả cho việc học khái niệm hàm số: chọn biến thích hợp để định lượng các quan sát, phân biệt quan

hệ phụ thuộc hàm giữa các quan hệ đồng biến thiên, việc lựa chọn biến phụ thuộc

và độc lập

Các hoạt động trong cột “enactive-iconic” liên quan đến các trải nghiệm về chuyển động trong hệ vật lý, các khám phá trên đồ thị hàm số và bảng giá trị Các hoạt động trong cột “Hình thành” liên quan đến việc lựa chọn biến, thành lập các biểu thức biểu thị mối quan hệ hàm giữa các đại lượng Các hoạt động trong cột “Biến đổi” liên quan đến việc biến đổi tương đương các biểu thức đại số Hoạt động trong cột “Tổng hợp” là các hoạt động mang tính tổng hợp như mô hình hóa, giải quyết vấn đề, làm việc với tham số, với họ tham số, chứng minh

2.2 Chu trình mô hình hóa hàm

Dựa trên bảng phân bậc hoạt động này, Minh (2012b) đề xuất một chu trình mô hình hóa hàm nhằm tiếp cận các hàm số Chu trình này cho phép xem xét các bước trong quá trình xây dựng một mô hình toán học để nghiên cứu một quan hệ phụ thuộc hàm trong một Hệ vật lý

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

(1) Mô hình hóa bài toán bằng một hình hình học động

(2) Tạo các phép tính hình học, lựa chọn biến và tạo một công thức tiền đại

số biểu diễn mối quan hệ phụ thuộc

(3) Biểu diễn công thức tiền đại số bởi một biểu thức đại số

(4) Lý giải và kiểm chứng mô hình toán học

Hình 3.2 Chu trình mô hình hóa hàm

Hệ vật lý là ngữ cảnh thực tế nghiên cứu Vấn đề hoặc tình huống này được cung

cấp cho các học sinh trong hệ thống vật lý, nơi họ có thể quan sát, khám phá và cảm nhận được mối quan hệ phụ thuộc giữa cá đối tượng Bước chuyển từ Hệ vật

lý sang phạm vi Hình học được đặc trưng bởi việc dựng một hình hình học động

minh họa bài toán Hình học là phạm vi trong đó các khám phá enactive-iconic

được thực hiện : học sinh có thể di chuyển các đối tượng, quan sát sự biến đổi của hình hình học nhờ sự hỗ trợ của công nghệ, và nhận thức các quan hệ phụ thuộc

hình học giữa các đối tượng của Hệ vật lý Phạm vi Đại lượng là lĩnh vực ở đó học

sinh có thể sử dụng công nghệ để lượng hóa các quan sát và khám phá, thể hiện qua việc thiết lập các tính toán và biểu diễn mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng bằng một công thức hình thức Học sinh có thể lựa chọn một biến độc lập sau đó xây dựng một công thức tiền đại số thể hiện mối quan hệ phụ thuộc (bước (2)) Việc xây dựng một công thức tiền đại số thể hiện một mối quan hệ phụ thuộc giữa các đối tượng ở phạm vi này rất hữu ích để hỗ trợ cho những khám phá Phạm

vi Hàm số là phạm vi dành cho các biến đổi đại số và chứng minh toán học Bước

(3) bao gồm các thao tác, chuyển đổi hoặc chứng minh đại số để tìm một công thức đại số Cuối cùng, bước (4) trong chu trình minh họa việc trở lại trong Hệ vật lý

để lý giải và kiểm chứng tính thích đáng của mô hình toán học

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

Chúng tôi xem chu trình mô hình hóa hàm của Minh (2012b) như một khung lý thuyết của việc học tập hàm số trong môi trường công nghệ Nó hỗ trợ học sinh làm việc trên các mô hình đại số cũng như hiểu ý nghĩa của công thức đại số biểu diễn hàm số đó, vì vậy việc tiếp cận hàm số được coi là “mô hình về quan hệ phụ thuộc” trở nên dễ dàng hơn Các hoạt động ở phạm vi đại lượng là có hiệu quả cho khái niệm hàm số: lựa chọn các biến thích hợp để định lượng quan sát, phân biệt phụ thuộc hàm số giữa các đại lượng, xây dựng một công thức tiền đại số thể hiện

sự phụ thuộc mạnh mẽ góp phần làm cho các hàm số tồn tại như là các mô hình vật lí phụ thuộc Trong khóa luận này, tác giả sẽ vận dụng chu trình mô hình hóa hàm như một khung lí thuyết về dạy học hàm số trong môi trường công nghệ để thiết kế, thực nghiệm và phân tích các tình huống học tập về hàm số

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

Chương 3 MÔI TRƯỜNG PHẦN MỀM CASYOPÉE

3.1 Giới thiệu phần mềm và một số chức năng

Casyopée là môi trường phần mềm nguồn mở được thiết kế dành cho việc dạy và học hàm số ở phổ thông (Lagrange, 2010) Quá trình cài đặt đơn giản, chỉ cần tải phần mềm ở trang http://casyopee.eu và cài đặt vào máy hoặc có thể dùng trên usb Casyopéee hiện đang sử dụng thành công ở Pháp

Casyopée gồm hai cửa sổ: cửa sổ đại số và cửa sổ hình học động

Cửa sổ đại số hỗ trợ các hoạt động biến đổi biểu thức đại số và đồ thị, chứng minh Cửa sổ hình học cung cấp các đặc trưng chủ yếu của một phần mềm hình học động: tạo và cơ hoạt các đối tượng hình học Các tham số cũng có thể được đưa vào trong việc định nghĩa các đối tượng hình học và số đo Đặc biệt, cửa sổ hình học cung cấp các hỗ trợ cho việc mô hình hóa các quan hệ phụ thuộc hình học giữa các đại lượng như : tạo các phép tính hình học, biểu diễn một đại lượng hoặc một số đo, chọn một đại lượng làm biến và một đại lượng làm giá trị hàm để khảo sát mối quan hệ phụ thuộc hàm giữa chúng, tính toán tự động và xuất vào cửa sổ đại số một hàm số mô hình hóa quan hệ phụ thuộc hàm này Các hỗ trợ này đóng vai trò

như là cầu nối trung gian giữa phạm vi Hình học và Hàm số và cho phép học sinh

thực hiện các hoạt động hình thành (chọn biến, chọn giá trị hàm, thành lập biểu thức hình học) Các hoạt động này rất khó thực hiện nếu không có sự hỗ trợ của Casyopée

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

Hình 3.1 Cửa sổ đại số

Hình 3.2 Cửa sổ hình học Khi nhấn vào nút Geometry, thẻ Đại số sẽ được chuyển thành thẻ Hình học và nhấn vào Algebra ta có quá trình ngược lại Khu vực phía dưới bên phải là Ghi

chú Kết quả đầu ra được của Casyopée ghi lại ở đó Người dùng có thể chỉnh sửa

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

và lưu các nội dung Ban đầu, số phiên bản được hiển thị Khi máy tính có truy cập Internet, Casyopée sẽ kiểm tra xem một phiên bản mới hơn tồn tại

 Một số thao tác cơ bản với Casyopée:

Để làm ẩn một đối tượng, ta chọn vào đối tượng và chọn Hide/ Display

Để xóa một biểu thức hay hàm số, kích chuột phải vào biểu thức hoặc hàm số và

chọn Suppr hoặc chọn đối tượng và chọn Delete từ bàn phím

Để thay đổi kích thước hiển thị của biểu thức, ta chọn vào biểu tượng

Để chỉnh sửa một biểu thức, kích đúp chuột vào biểu thức Khi xuất hiện hộp thoại

xác nhận chọn Yes rồi nhập lại công thức và chọn Ok

 Một số chức năng trong cửa sổ đại số:

Evalute Formula: Đánh giá công thức Trong quá trình làm quen với hàm số, ta

có thể tính giá trị của hàm số tại một giá trị bất kì nhờ vào chức năng này

Create Expression: Tạo một biểu thức Sau khi hộp thoại xuất hiện, nhập biểu thức vào và chọn Create Sau khi nhập các biểu thức vào, chọn Exit để thoát khỏi

chức năng này

Create function: Tạo một hàm số bằng cách chọn by domain+ formla Khi hộp

thoại xuất hiện thì điền tập xác định của hàm số vào và nhập công thức hàm Nếu

đã có sẵn giá trị của biến không thuộc vào tập xác định của hàm số thì chọn Auto, phần mềm sẽ tự động cập nhập tập xác định Sau đó nhấn Create và Exit

Create equation: Tạo một phương trình Với chức năng này, giúp ta tìm ra nghiệm

của một phương trình một cách nhanh chóng và chính xác

Sau khi tạo ra một hàm số trong cửa sổ đại số, ta có thể khai thác các hoạt động trên hàm số này bằng cách: chọn hàm số, khi đó hàm số sẽ được làm nổi lên rồi

chọn Calculate và tùy chọn các chức năng như khai triển biểu thức của hàm, phân

tích thành nhân tử chung, quy đồng mẫu, tính đạo hàm, giải nghiệm của hàm số…

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

Đối với một bài toán có sử dụng tham số, thì một tham số mới có thể được tạo ra

khi nhập biểu thức Khi đó sẽ xuất hiện hộp thoại xác nhận, chọn Yes để xác nhận

việc tồn tại tham số mới này Hoặc có thể tạo tham số mới bằng cách chọn

Parameters Để tạo tham số dương ta chọn New Positive Khi đó một hộp thoại

xuất hiện để chỉnh sửa các thuộc tính của tham số như tên, miền giá trị của tham

số, bước nhảy và tốc độ

 Một số thao tác cơ bản trong cửa sổ hình học:

Trong Action cung cấp cho ta một số hành động trên đối tượng như: làm ẩn hiện

đối tượng, ẩn hiện lưới tọa độ, dừng chuyển động của một đối tượng, sao chép một hình vẽ, thay đổi các đặc điểm của một đối tượng…

Trong Object cung cấp một số công cụ hỗ trợ cho việc dựng hình học gồm: Point: Tạo điểm Đó có thể là điểm tự do trên mặt phẳng, điểm có tọa độ cho trước,

điểm trên đoạn thẳng, điểm trên đường thẳng, trung điểm của đoạn thẳng, giao điểm của hai đường thẳng, giao điểm của đường thẳng và đường cong, điểm trên đường tròn…

Area: Tính diện tích của một đa giác hoặc diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

đường cong và đường thẳng

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

Droite: Dựng các đoạn thẳng, đường thẳng đi qua hai điểm, đường phân giác, hai

đường thẳng song song, vuông góc, tiếp tuyến, quỹ tích của một điểm…

Transformation: Các phép biến đổi như ảnh qua phép đối xứng tâm, đối xứng

trục, vị tự, tịnh tiến, phép quay, đồng dạng…

Circle: Dựng đường tròn biết tâm và điểm đi qua, dựng đường tròn biết tâm và

bán kính…

Create calculation: Khi chọn nút này, một hộp thoại xuất hiện, ta chọn các đối

tượng đã tạo để tính toán, đo đạc

 Sử dụng nút Graphs và Geometric Calculations để chuyển đổi giữa thẻ Tính toán

đồ thị và Đồ thị

Thẻ Grap hiển thị đồ thị hàm số bằng cách kích vào tên hàm số đó Khi kích vào các biến trong khung đồ thị, ta sẽ thấy được giới hạn của hàm tại các giá trị đó Khi di chuyển đối tượng trên cửa sổ hình học thì trên đồ thị sẽ xuất hiện một điểm tròn di chuyển theo, để giúp học sinh dễ dàng quan sát Đồng thời ta cũng có thể

biểu diễn hàm số dưới dạng bảng biểu bằng cách kích vào Tabulate the functions

trong khung đồ thị

Để chuyển sang tính toán hình học, chon thẻ Geometric Calculations Trong khung tính toán hình học này, chọn Create Calculation để tính toán, đo đạc các

đối tượng Để lập bảng tính toán và xem sự tương ứng giữa các giá trị với đồ thị,

chọn Model rồi chọn Table Để tạo ra một mô hình hàm số bởi Casyopée, phải chọn các biến độc lập và phụ thuộc phù hợp rồi vào Model chọn Calculation of Model funtion by Casyopée Việc chọn biến rất quan trọng, nếu chọn biến thích

hợp thì Casyopée sẽ thông báo xuất hàm vào cửa sổ đại số, còn nếu biến sai thì Casyopée sẽ báo lỗi

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

Trên đây chỉ là một số thao tác cơ bản trên phần mềm mà tôi khai thác có liên quan đến đề tài nghiên cứu Trong thời gian nghiên cứu phần mềm, bạn đọc sẽ khám phá ra nhiều chức năng thú vị và hữu ích khác

3.2 Mô hình hóa với Casyopee

Để làm rõ các quá trình mô hình hóa với Casyopée tôi sử dụng một trong ba bài toán thực nghiệm để làm rõ quá trình này:

Bài toán : Cánh buồm hình tam giác vuông

Một người thợ muốn làm một cánh buồm hình

tam giác vuông IMN Ông sử dụng một cái

khung gỗ cố định hình vuông OABC như hình vẽ

với cạnh OA = 10m Một đầu mút của cánh

buồm được buộc cố định tại điểm I, với I là trung

điểm của đoạn OC Đầu mút thứ hai M có thể di

chuyển trên đoạn OA Tam giác IMN vuông tại

M với đầu mút N nằm trên đoạn AB

Xác định vị trí của điểm M trên đoạn OA để cánh

buồm có diện tích lớn nhất ?

Khi tiếp cận bài toán trên, do mô hình vật lí khó thực hiện được nên giáo viên cho học sinh theo dõi hình vẽ đã dựng để mô phỏng bài toán thực tế Sau khi quan sát, học sinh bắt đầu xây dựng mô hình hình học động Đây là quá trình (1) mô hình bài toán bằng một hình hình học động trong chu trình mô hình hóa hàm

Sau khi dựng các yếu tố cần thiết, học sinh di chuyển M trên cạnh OA để quan sát

và dự đoán sự thay đổi của diện tích Nhờ vào phần mềm, học sinh có thể tính toán được độ lớn của các đại lượng và tạo ra một công thức tính diện tích, việc di chuyển

M làm cho độ lớn của các đại lượng thay đổi và giúp học sinh đồng thời dự đoán

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

tại vị trí nào của M thì diện tích của cánh buồm tam giác vuông MNP là lớn nhất

Đó là bước (2) tạo các phép tính hình học, lựa chọn biến và tạo một công thức tiền đại số biểu diễn mối quan hệ phụ thuộc

Sau đó, học sinh tiến hành chọn các biến, việc chọn biến có nhiều khả năng, miễn các biến là độc lập, sau khi chọn biến phù hợp, phần mềm Casyopee sẽ xuất một hàm số tương ứng vào cửa sổ đại số Đây là bước (3), biểu diễn công thức tiền đại

số bởi một biểu thức đại số

Sau khi xuất hàm số, học sinh tiếp tục khám phá các hoạt động trên cửa sổ đại số

để tiếp cận với hàm số và hoàn thành bài giải Ở đây, học sinh có thể vẽ đồ thị của hàm, đưa ra bảng giá trị từ đó quan sát hình dạng của đồ thị hàm số bậc ba và có thể dựa vào đó để chứng minh các giá trị tối ưu của bài toán Dựa vào phần mềm, học sinh cũng có thể quan sát đồng thời một hàm số được biểu diễn dưới dạng biểu thức, dưới dạng đồ thị và dưới dạng bảng biểu Phần mềm cho phép chuyển đổi giữa cửa sổ đại số và cửa sổ hình học Sau khi giải xong bài toán, học sinh trở lại cửa sổ hình học và kiểm định các dự đoán ban đầu của mình là đúng hay sai

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

Chương 4 THỰC NGHIỆM

4.1 Mục tiêu của thực nghiệm

- Minh họa cụ thể cách tiếp cận hàm số như trình bày ở chương 1, 2, 3 trong môi trường phần mềm mới, tích hợp cả hình học động và tính toán hình thức

- Bước đầu xem xét chức năng của phầm mềm Casyopée trong việc hỗ trợ dạy và học hàm số, đặc biệt là khả năng mô hình hóa hàm và cung cấp các biểu diễn khác nhau cho một hàm số

- Xem xét khả năng học tập của học sinh về hàm số với sự hỗ trợ của Casyopée

Để đáp ứng mục tiêu trên, tôi đã tiến hành thực nghiệm hai buổi tại trường THPT Phú Lộc vào ngày 22, 23 tháng 4 năm 2013 trên một nhóm học sinh lớp 12/5 và 12/1

4.2 Nội dung của thực nghiệm

4.2.1 Giới thiệu phần mềm Casyopée cho học sinh phổ thông

Trong mục này tôi dành một buổi thực nghiệm để giới thiệu một vài đặc điểm cơ bản và một số chức năng và thao tác thường dùng với phần mềm Casyopée đã được nêu ở chương 3 Sau đó, tôi đưa vào bài toán mở đầu và hướng dẫn để học sinh dần làm quen với phần mềm này

4.2.2 Tiến hành hoạt động

Trong quá trình tổ chức thực nghiệm tôi đã tổ chức cho học sinh hoạt động theo nhóm để học sinh có cơ hội thảo luận, trao đổi để tìm ra lờ giải

Các bảng hỏi và phiếu học tập được trình bày ở mục cuối của khóa luận

Nội dung thực nghiệm bao gồm:

- Thiết kế ba tình huống học tập hàm số Ở đây các tình huống học tập được sắp xếp theo mức độ khó tăng dần nhằm để đánh giá sự tiến triển của các em khi học tập có sự hỗ trợ của phần mềm Casyopée Đầu tiên các em được làm quen với hàm

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ thông

số bậc hai có chứa tham số Sau đó, phát triển lên hàm số bậc ba rồi đến hàm phân thức hữu tỷ Các tình huống này có nội dung tập trung vào việc mô hình hóa hàm

số các mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng trong ngữ cảnh thực tế

- Một bảng hỏi về việc sử dụng phần mềm Casyopée để học và khám phá về chủ

đề hàm số

- Sau đây chúng tôi trình bày phân tích tiên nghiệm các tình huống học tập này

4.3 Phân tích tiên nghiệm

4.3.1 Phiếu học tập số 1

Bài toán: Tấm biển quảng cáo

Một người chủ tiệm bánh muốn thiết kế một

tấm biển quảng cáo hình vuông 𝐴𝐵𝐶𝐷 có cạnh

𝑎 Trên tấm biển, chủ cửa tiệm muốn dành một

Nhiệm vụ: Tìm hiểu và giải bài toán với sự hỗ trợ của phần mềm Casyopée

Nhiệm vụ 1 Dựng hình động với Casyopée

Gợi ý : có thể xem một đơn vị trên hệ trục

tương ứng với 𝟏𝒎 trên thực tế