Các nghiệm không bị chặn của phương trình logistic và dáng điệu tiệm cận của chúng 8tr

CÁC NGHIỆM KHÔNG BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CHÚNG NGUYỄN BÍCH HUY * , TRẦN ĐÌNH THANH ** TÓM TẮT Trong bài báo chúng tôi xét phương trình logistic chứ

CÁC NGHIỆM KHÔNG BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CHÚNG

NGUYỄN BÍCH HUY * , TRẦN ĐÌNH THANH **

TÓM TẮT

Trong bài báo chúng tôi xét phương trình logistic chứa toán tử p-Laplace và hàm trọng ( ) m x ÎL q với q nhỏ Chúng tôi chứng minh sự tồn tại các nghiệm yếu lớn nhất (có thể không bị chặn) và nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của chúng

ABSTRACT

Unbounded solutions of the logistic equation and their asymptotic behaviors

In the paper we consider the logistic equation involving the p-Laplace operator and the weight function ( ) m x ÎL q with small q We prove the existence of maximal weak solutions (may be unbounded) and study their asymptotic behaviors

1 Mở đầu

Trong bài báo này, chúng tôi xét sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm lớn nhất, không bị chặn của phương trình logistic sau:

( )

p u lm x ua ub

trong đó W Ì R N là miền bị chặn, có biên trơn, 2

p u div u - u

p_Laplace, m x( ) ÎL q( ) W với q thích hợp và a£ - <p 1 b.

Khi hàm m x( ) là hằng số và toán tử -Dp u được thay bằng một toán tử tuyến tính elliptic bậc 2 thì với mỗi l l³ 0 bài toán (1) có duy nhất nghiệm trơn và dáng điệu tiệm cận của nghiệm được nghiên cứu trong [3] Khi q đủ lớn thì (1) có duy nhất nghiệm bị chặn (thuộc 1,2

0

W ÇL¥) và sự phụ thuộc của nghiệm vào tham số l

có thể nghiên cứu bằng phương pháp của [4] Khi q nhỏ nghiệm của (1) có thể không bị chặn và không duy nhất, do đó việc nghiên cứu sự phụ thuộc của nghiệm theo tham số trở nên phức tạp Trong [6] chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại nhánh liên tục không bị chặn trong tập nghiệm của (1) khi p = 2 và q nhỏ Trong bài này, chúng tôi sẽ nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm lớn nhất (khi l cố định), có thể không bị chặn và dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi l® 0hoặc l® ¥

2 Các kết quả được sử dụng

2.1 Phương trình không gian có thứ tự

Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K Ta nói ánh xạ

:

F M ÌX ®X là tăng nếu u v M u v, Î , £ thì F u( ) £F v( )

Định lý A [5]

Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón, M ÌX là tập đóng,

:

F M ®M là ánh xạ tăng thỏa mãn các điều kiện

(i) Tập M0 = {u M uÎ : £F u( )} ¹f và có tính chất

u v M w M u w v w

" Î $ Î £ £

(ii) Nếu { }u n ÌM0 là dãy tăng thì dãy { ( )}F u n hội tụ

Khi đó F có điểm bất động lớn nhất trong M

2.2 Nghiệm yếu của một lớp phương trình elliptic tựa tuyến tính

Giả sử W ÌR N là miền bị chặn, có biên trơn, Dp u là toán tử p-Laplace với

1 p N< < và f : W ´ ®R R là hàm thỏa điều kiện Caratheodory Ta xét bài toán biên sau:

( , )

p u f x u

Ta xét các không gian 1,

0 p( ), p( )

ký hiệu tương ứng là . và p Đặt * pN

p

N p

=

p p p

=

- Dưới đây các tích

phân đều được lấy trên W

Định nghĩa:

0 p( )

*

( , ) p ( )

0

u - u j f x u j j W

0

( , ) p ( )

f x u ÎL W ,

u - u j f x u j j W j

và u0 £ 0 trên ¶W theo nghĩa vết

Định lý B [2]

Giả sử hàm g: W ´ ®R R thỏa điều kiện Caratheodory và

(i) g x( ,0) 0, ( , ) = g x u tăng theo biến u " ÎWx

| |

0, t ( ) :sup| ( , ) | t( )

u t

t j L g x u j x

£

Khi đó với mỗi h WÎ -1, 'p( ) W tồn tại duy nhất hàm 1,

0 p( )

z WÎ W sao cho 1

( , ) loc( ), ( , ) ( )

g x z ÎL W g x z z LÎ W và

2

| Ñz|p- Ñ Ñ +z j g x z( , )j = hj

đúng cho mọi jÎC0¥ ( ) W và j =z

Ghi chú 1:

1) Nếu hàm z nói trong định lý B thỏa thêm điều kiện g x z( , ) ÎL( *)'p ( ) W thì (4)

0 p( )

W

jÎ W do tập C0¥( ) W trù mật trong 1,

0 p( )

là nghiệm yếu của bài toán

( , )

p u g x u h

-D + = trên W, u= 0 trên ¶W

2) Dưới đây, để ngắn gọn ta sẽ kí hiệu vế trái của (3) là < Au,j>

3 Kết quả chính

Ta xét phương trình (1) với các giả thiết sau:

(H1) m x( ) 0, ³ m x( ) ÎL q( ) W với q > 1 thích hợp và tồn tại miền trơn W Í W' , tồn tại số m0 > 0 sao cho m x( ) ³m0 " Î Wx '

(H2) a b< £ p* 1

-Đầu tiên ta sẽ đưa bài toán (1) về bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự

Do điều kiện (H2) ta có 1 b ( *) 'p

b

+ > , do đó nếu z1 b ÎL1 ( ) W thì zb ÎL( *) 'p ( ) W

Áp dụng định lý B và ghi chú 1 cho hàm g x u( , ) =ub ta có với mọi ( *)'p ( ) 1, 'p( )

0 p( )

z WÎ W thỏa z LÎ 1 b( ) W và 1,

0

Gọi P là ánh xạ đặt tương ứng mỗi h LÎ ( *)'p ( ) W với nghiệm z của (5) thì P có các tính chất sau [4]

0

( ) p( ) ( )

P h ÎW W ÇL b W , P là ánh xạ tăng

(b) Nếu M là một tập bị chặn trong L( *) 'p ( ) W thì P(M) là một tập bị chặn trong 1,

0 p( )

W W và do đó là tập compắc tương đối trong Lg ( ) W với g < p*

(c) P liên tục nếu p³ 2

Giả sử số r³ 1 thỏa điều kiện

( *) '

qr

p

Khi đó nếu u LÎ r+( ) W ta có m x u( ) aÎL t( ) W với t qr

qa r

= +

Do đó ánh xạ Nemyskii N( , )l u =lm x u( ) a tác động từ L r( ) W vào L( *)'p ( ) W và liên tục, biến tập bị chặn vào tập bị chặn

Đặt F( , )l u =PoN( , )l u thì sự tồn tại nghiệm yếu của (1) được đưa về bài toán tìm nghiệm của phương trình

( , )

Bổ đề 1

Giả sử (6) được thỏa mãn thì F là ánh xạ từ [0, ) ¥ ´L r+( ) W vào

(i) F là ánh xạ tăng; nếu u0 là nghiệm dưới của (1) thì u0£F( , )l u0

(ii) Nếu p³ 2 và * ( *) '

*

qp p

qa+p > thì F là ánh xạ hoàn toàn liên tục từ

1, 0

[0, ) ¥ ´W p( ) W vào 1,

0 p( )

W W

Chứng minh :

Tính chất (i) đã được chứng minh trong [4] Để chứng minh (ii) ta chọn số

*

r< p thỏa (6) Phép nhúng 1,

0

W ®L là compắc, ánh xạ N L: r ®L( *)'p liên tục và

0

P L ®W liên tục nếu F là ánh xạ hoàn toàn liên tục

Bổ đề 2

Gọi l1 là giá trị riêng đầu và u1 là hàm riêng tương ứng của bài toán biên

1

p

p u lu

D = trong W ', u0 = 0 trên ¶W '

Ta định nghĩa u0 =cu1 trong W ', u0= 0 trong W W \ ' với c> 0 đủ nhỏ thì u0 là nghiệm dưới của (1) trong các trường hợp sau :

1) a < -p 1, l > 0,

0

1,

p

m

l

a = - l >

Chứng minh :

p

p u lu

1 1

Au j lm x ua ub j Au lu - j lm x ua lu - ub j

< > -ò - =< - > -ò - - (8)

Vì

v =lm x -lu - -ub ³ua lm -lu - -a-ub a- trên W ' và u1 bị chặn trên W '

ta thấy nếu c nhỏ và a< -p 1,l> 0 hoặc 1

0

1,

p

m

l

a = - l> thì v³ 0 Vậy ta có vế phải của (8) là không dương và do đó u0 là nghiệm dưới của (1)

Định lý 1

Giả sử các điều kiện (H1), (H2) và (H3) sau được thỏa mãn

1

q

a

a

¢

< - ³ çè + ÷ø

Khi đó với mỗi l> 0 bài toán (1) có nghiệm yếu lớn nhất

Chứng minh :

Từ điều kiện (H3) ta thấy (6) đúng với r= p* Do đó ánh xạ F trong (7) tác động từ L * vào chính nó và ta sẽ xét phương trình (7) trong L * Cố định l> 0, ta

kí hiệu F u( ) thay cho F( , )l u Theo bổ đề 1,2 ta có u0 £F u( )0 Nếu u1 £F u( )1 ,

u £F u thì hàm u= max( , )u u1 2 thỏa u F u£ ( ) do F là ánh xạ tăng Vậy điều kiện (i) của định lý A đúng Để kiểm tra điều kiện (ii) của định lý A ta chỉ cần chứng minh tập F M( 0) là bị chặn trong L * Lấy u MÎ 0, đặt v F u= ( ) và lấy v là hàm thử,

ta có

1

(1 ) '

Av v v+b l m x u va l m x v+a l m v +aa

+

Vì q'(1 +a) £ p* theo (H3) nên từ (9) ta suy ra v p p*£c v1p+*a

Vậy tập F M( 0) bị chặn Định lý được chứng minh

Định lý 2

Gọi l1 là số được định nghĩa trong bổ đề 2 Giả sử các điều kiện (H1), (H2) và (H4) sau được thỏa mãn

p

p q

p p

b a

b

0

m

l

l> bài toán (1) có nghiệm lớn nhất

Chứng minh :

0

m

l

l> thì ánh xạ F: =F( ,.)l thỏa điều kiện (i) của định lý A Từ điều kiện (H4) ta có (6) đúng với r= + 1 b và do đó F tác động từ L1 +b vào chính nó Ta

sẽ chứng minh tập F M( 0) bị chặn trong L1+b Với u MÎ 0 và v F u= ( ) ta có từ (9) (với a= -p 1)

1

pq

Nếu pq' 1 £ +b thì từ (10) ta có v11++bb £c v. 1p+b nên vì b a> = -p 1 ta suy ra tập F M( 0) bị chặn

Tiếp theo ta xét trường hợp 1 + <b pq' Khi đó từ (H4) ta có

'

q

p p pq p p

b b

+

và từ đó ta có pq' £ p*.Vì 1 + <b pq' < p* ta có

1 1

pq

v c vq v -qb

+

Với qÎ (0,1) không phụ thuộc v Từ (10), (11) ta có

1

p

b

= + - <

+

Do đó v bị chặn trong L pq' và trong L1 +b

Định lý 3

Giả sử các giả thiết (H1), (H2) và (H3) sau được thỏa mãn và gọi ul là nghiệm lớn nhất của (1); v 1/( a p 1) u

l =l - + l Khi đó 1) Nếu b > -p 1 thì tồn tại nghiệm v của bài toán biên

( )

p u m x ua

sao cho

0

lim vl v

l ® = trong 1,

0 p

W và hầu khắp nơi trong W

2) Nếu b < -p 1 thì tồn tại nghiệm v của (12) sao cho lim vl v

l ®¥ = trong 1,

0

p

W và hầu khắp nơi trong W

Chứng minh:

Để đơn giản kí hiệu ta đặt t ( b 1 p p)( 1 a ) 1

l =l + - - - - Dễ dàng kiểm tra rằng vl là nghiệm yếu lớn nhất của bài toán

( )

p u m x ua t ul b

hay

1, 0

Auj t ul bj m x uaj j W

1) Khi b > -p 1 ta có tl ® 0 khi l® 0 và nếu l m< thì tl <tm và vm là một nghiệm dưới của (13); do vậy vm <vl Suy ra tồn tại

0

lim

x

v vl

®

= tại mỗi điểm của W

Để chứng minh khẳng định của định lý, ta chỉ cần chỉ ra v là nghiệm của (12)

và với mọi dãy ln® 0 thì dãy { }vln có dãy con hội tụ trong 1,

0

p

W về v

Đặt

n

n

v =vl và cho j=v n trong (14) và lí luận tương tự trong (9) ta có

p

v +t v ++bb £c v ++aa £c v +a £c v +a

trong đó

n

n

t =tl Do đó dãy { }v n bị chặn trong 1,

0

p

W và có dãy con mà ta vẫn kí hiệu là { }v n hội tụ yếu trong 1,

0

p

W và hầu khắp nơi trong W Hàm giới hạn phải là v

Vì t n® 0,v n£v và v m x vb, ( ) a thuộc L( *)p ¢ nên từ (14) (với u v t= n, l =t n) ta có thể

áp dụng định lí hội tụ bị chặn và nhận được

1, 0

Avj m x vaj j W

hay v là một nghiệm của (12) Lấy j = -v n v trong (14) (với u v t= n, l =t n) và trong (15) rồi trừ từng vế hai đẳng thức ta có

Av Av v v m x va va v v t v vb v

Vì v n £v m x v, ( ) a+1 ÎL v1 , 1+b ÎL1 và áp dụng định lí hội tụ bị chặn ta suy ra rằng vế phải của (16) hội tụ về 0 Vế trái của (16) lớn hơn ( p1 p1) ( )

lim v n = v Vì 1,

0

p

W là không gian lồi đều nên từ đây và từ v n®v yếu ta suy ra

n

v ®v trong 1,

0

p

W 2) Nếu b < -p 1 thì ta có limtl 0

l ®¥ = và tl >tm nếu l m< Do đó ta có thể áp dụng các lí luận trên để chứng minh trường hợp này

Ghi chú 2:

Nếu b = -p 1 thì tl = 1 và vl =u1 " >l 0

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Boccardo L., Orsina L (1994), “Sublinear equations in Ls”, Houston J.Math.,

(20), pp 99-114

2 Brezis H., Browder F (1982), “Some properties of higher order Sobolev

space”, J.Math Pures Appl, (61), pp 245-259

3 Delgado M., Suarez A (2002), “On the structure of the positive solutions of

logistic equation with nonlinear diffusion”, JMAA 268, pp 200-216

4 Drabek P., Hernandez J (2001), “Existence and uiniqueness of positive

solution for some quasilinear elliptic problems”, Nonlinear Anal, (44), pp

189-204

5 N B Huy (2002), “Positive week solutions for some semilinear elliptic

equations”, Nonlinear Anal, (48), pp 939-945

6 Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Duy Thanh, Trần Đình Thanh (2007), “Tính liên

tục của tập nghiệm yếu của phương trình logistic chứa tham số”, Tạp chí Khoa

học ĐHSP TP HCM, (12), tr 76-82