Luyện thi đại học năm 2014 – Chuyên đề: Phương trình, bpt chứa cănVấn đề 2 : PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN.. *Lời dặn: Để học tốt chuyên đề này học sinh cần nắm vững các phép
Trang 1Luyện thi đại học năm 2014 – Chuyên đề: Phương trình, bpt chứa căn
Vấn đề 2 : PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN.
*Lời dặn: Để học tốt chuyên đề này học sinh cần nắm vững các phép biến đổi tương đương các
phương trình, bất phương trình chứa căn ở dạng cơ bản, làm nhiều bài tập để nhận dạng nhanh một bài toán, nắm vững cách giải từng dạng
A)LÝ THUYẾT: Các phép biến đổi tương đương các pt, bpt cơ bản:
A B
; *
A B
* Phương trình có nhiều căn bậc hai: Đặt điều kiện cho mỗi căn có nghĩa, biến đổi để hai vế không âm, bình phương hai vế Nếu bình phương mà chưa đảm bảo điều kiện 2 vế không âm thì tìm nghiệm xong phải thử lại
* 3 A 3B 3C: Lập phương 2 vế, không có điều kiện
*
2
0 0
B
A B
; *
2
0 0
B
A B
*
2
0 0 0
B A
B
A B
; *
2
0 0 0
B A
B
A B
*
0 0 0
A
C
*Bất phương trình có nhiều căn bậc hai: Đặt điều kiện cho mỗi căn có nghĩa, xét các trường hợp, nếu bình phương thì 2 vế phải không âm
*Chú ý:
-Khi gặp các dạng cơ bản thì biến đổi tương đương theo công thức đã nêu Nếu chưa có dạng cơ bản thì cần quan tâm đến điều kiện có nghĩa của các căn bậc chẵn ( biểu thức trong căn không âm) sau đó bước biến đổi để xuất hiện dạng cơ bản
-Thường xuyên lưu ý đã có vế nào 0 ( hay 0)chưa để việc biến đổi cũng như đặt điều kiện bớt phức tạp
-Khi nâng hai vế của một phương trình hay một bất phương trình lên bậc chẵn cần kiểm tra xem 2 vế
đã không âm chưa Nếu chưa cần đặt điều kiện để hai vế không âm, nếu không đảm bảo 2 vế không
âm mà bình phương thì tìm nghiệm xong phải thử lại
-Gặp các bài có chứa nhóm A B ; A B ; ta thường nhân với lượng liên hiệp tương ứng
là A B ; A B ;
-Gặp những bài không biến đổi đưa về dạng cơ bản được ta thường dùng phương pháp đặt ẩn phụ, biến đổi thành tích, thành tổng các bình phương, đánh giá hai vế, dùng tính đơn điệu của hàm số,…
Phương trình, bất phương trình chứa căn Giáo viên: Ngô Khánh 1
Trang 2Luyện thi đại học năm 2014 – Chuyên đề: Phương trình, bpt chứa căn -Khi giải pt, bpt học sinh thường gặp các sai lầm:
+ Ước lược nhân tử chung ở 2 vế : A B A C B C (Sai ở chỗ thiếu trường hợp
0
A ); A B A C B C (Sai ở chỗ không phân biệt 2 trường hợp A 0, A 0)
+ Nhân chéo:A C A B C
B (Sai ở chỗ không phân biệt 2 trường hợp B 0, B 0)
+ A B A B ( Chỉ đúng trong trường hợp A 0, B 0 ), khi A 0, B 0 thì
A B A B)
+ A2 A( Sai vì A2 A )
+ Giải bài toán tìm tham số m bằng cách đặt ẩn phụ nhưng đặt điều kiện cho ẩn phụ không chặt, ví dụ giải bài: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để pt: x2 x2 1 m có nghiệm Giải:
Đặt t x2 1, đ/k: t 0( sai, vì điều kiện chặt là t 1 Đ/k không chặt dẫn đến tìm m sai
+Vân vân …
B)PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
LOẠI 1: CÓ SẴN DẠNG CƠ BẢN HOẶC BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ DẠNG CƠ BẢN
Bài1: Giải các pt, bpt sau:
3
x
c) 2 x2 6 x 1-x+2 > 0 3 7
2
d) x 3 3 x 1 2 x 2 x 2 *x 1( Thử lại)
2
x x x
3
x
x
g)
2
*x 10 34
6
k) 51 2 2
1 1
x x
x
*
x
x
Trang 3Luyện thi đại học năm 2014 – Chuyên đề: Phương trình, bpt chứa căn m) 3 x 1 6 x 3 x2 14 x 8 0 ( KB2010) *x 5
n)4 x2 3 x 3 4 x x 3 2 2 x 1 *x 1
LOẠI 2: BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH.
Lưu ý: Với điều kiện A, B có nghĩa, ta có:
0
0
A
A B
B
;
0 0
0 0
A B
A B
A B
A B
A B
A B
Tương tự cho trường hợp A B 0; A B 0
Để đưa về dạng tích ta thường gặp các trường hợp sau:
1) Đặt thừa số chung, chú ý sử dụng các hằng đẳng thức để đưa về dạng tích
Bài2: Giải các pt, bpt sau:
a) 2 2
2
x
b) x2 x 2 x2 2 x 3 x2 4 x 5( AN ) *x 1
c)x 2 x 1 ( x 1) x x2 x 0 *x 2
1;
18
x x
e) 2 3 2 2 3 (34 2)( 2) * 2 34 ; 2;
3 47
f) 2 3 9 ( 3 x x2 2) 2 x 3 3 (3 x x 2)2 *x 1
2)Chú ý các dạng thường gặp sau:
Dạng : u v 1 uv ( u 1)( v 1) 0
Bài 3: 3 x 1 3 x 2 1 3 x2 3 x 2 *x 0; x 1
Dạng:au bv ab uv ( u b v a )( ) 0
Bài4:
a) x 3 2 x x 1 2 x x2 4 x 3 *x 0; x 1
b) x3 x2 3 x 3 2 x x2 3 2 x2 2 x * x 0
C
Phương trình, bất phương trình chứa căn Giáo viên: Ngô Khánh 3
Trang 4Luyện thi đại học năm 2014 – Chuyên đề: Phương trình, bpt chứa căn
5
x
Dạng : A B A B : Đặt điều kiện, bình phương 2 vế
Bài6: x2 4 x 8 x2 4 x 4 2 x2 8 x 12
0
0
A
A B
B
Bài7: 4 x2 3 x 3 4 x x 3 2 2 x 1 *x 1
Dạng : Nhân với lượng liên hiệp để đưa về dạng tích.
Bài8 : Giải các phương trình, bất phương trình sau:
b)
2
2
2
21
x
x
2 x 2 x
m) 3 x 1 6 x 3 x2 14 x 8 0 ( KB2010) *x 5
n) 3 x2 5 x 1 x2 2 3( x2 x 1) x2 3 x 4 * x 2
LOẠI 3: ĐẬT ẨN PHỤ
Dang 1 : Đặt ẩn phụ đưa về phương trình, bpt 1 ẩn.
Bài9: Giải các phương trình, bất phương trình sau:
b) 3 x 2 x 1 4 x 9 2 3 x2 5 x 2 **x=2.
c) x 1 1 x x 8 ** x 8(Thi thử ĐH2009-Trường PCT-ĐN)
d) 3 x x 1 4 4 x x 2 3 2 (Thi thử ĐH2009-Trường LQĐ-ĐN)
e) ( x 1 1) 3 2 x 1 2 x * x 1
2
x h)* 5 x2 14 x 9 x2 x 20 5 x 1 * 5 61
;8 2
x
Dạng 2 : Đặt ẩn phụ đưa về hệ 2 ẩn:
Bài 10: Giải các phương trình, bất phương trình sau:
Trang 5Luyện thi đại học năm 2014 – Chuyên đề: Phương trình, bpt chứa căn b) 39 x x 3 4 ** x 1.
c) 2 33 x 2 3 6 5 x 8 ( x R ) ** x 2 (KA2009)
1;
2
x x
2
x
;
x
Dạng 3 : Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Bài11: Giải:
a)* x2 (3 x2 2) x 1 2 x2 2 *x 7
b)* ( x 1) x2 2 x 3 x2 1 *x 1 5
Dạng 4 : Đặt ẩn phụ lượng giác
Bài12: Giải
2
x x
b)
1
x
x
x
*x 2
LOẠI 4: TRONG CĂN BẬC HAI CÓ DẠNG BÌNH PHƯƠNG, SỬ DỤNG A2 A
Bài 13: Giải các phương trình, bất phương trình sau:
4
b) x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1 * x 8
LOẠI 5: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ.
Bài14: 3 x2 6 x 7 5 x2 10 x 14 4 2 x x 2 * x 1
2
x x
*x 2 3
Bài 16: 2 1 (2010 )
x x
A
x x
2
x
LOẠI 6: DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
Bài 17:
2
x
Phương trình, bất phương trình chứa căn Giáo viên: Ngô Khánh 5
Trang 6Luyện thi đại học năm 2014 – Chuyên đề: Phương trình, bpt chứa căn b) 3 (2 x 9 x2 3) (4 x 2)(1 1 x x2) * 1
5
x
LOẠI 7: NHỮNG BÀI TOÁN CÓ THAM SỐ.
Bài 18:
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x2 2 mx 1 m 2 có nghiệm
b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình:mx x 3 m 1 có nghiệm
c)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình: 2 x2 mx 3 x 1 có hai nghiệm phân biệt
d)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình: 2 x2 mx x2 4 0 có nghiệm e) Cho bpt: 2 2 2
A
- Giải khi m=1 **0 x 2 1
-Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bpt (1) thoả với x 0;1 * m 3.
f) Ch/m pt:x2 2 x 8 m x ( 2) luôn có 2 nghiệm thực phân biệt với mọi giá trị dương của tham
số m (KB2007)
g) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
3 x 1 m x 1 24x2 1.(KA2007)
h) m? có nghiệm: x 1 3 x ( x 1)(3 x ) m * 2 2 2 m 2
i) m? có nghiệm: x 9 x x2 9 x m * 9
10
k) m? có nghiệm: x2 x 1 x2 x 1 m * m ( 1;1)
h) m? có nghiệm: m ( 1 x2 1 x2 2) 2 1 x4 1 x2 1 x2
* 2 1 m 1 C) BÀI TẬP TỰ LUYỆN CÓ HƯỚNG DẪN HOẶC ĐÁP SỐ:
Bài1:Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) 1 1 4 2
3.
x
x
b) 5 x2 10 x 1 7 x2 2 x
2
Hướng dẫn:
a) 1 1 4 x2 3.
x
(a) Đk: 1 1
Xét 2 trường hợp:
Trang 7Luyện thi đại học năm 2014 – Chuyên đề: Phương trình, bpt chứa căn
0;
2
x
Giải có: 1
0;
2
x
TH2: 1
;0
2
x
Giải có: 1
;0 2
x
Kết hợp 2 trường hợp ta có : 1 1
b) 5 x2 10 x 1 7 x2 2 x(b) Đặt y 5 x2 10 x 1 0, kết quả: 3
1
x x
2
x x x (c) Đặt 1
0 4
0
t t KQ:x 2 2.
d) 1 x 1 x x (d) Đk: 1 x 1 Xét: x=0, x 0;1 , x 1;0 cóS 0;1 Bài 2: Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) x 5 2 x 3 x2 3 x b) x 2 1 3 x 1
c)x2 2 x 4 3 x3 4 x d)312 x 314 x 2
Hướng dẫn giải:
a) Đặt t x2 3 ; 0 x , đáp số x=1; x=4
b) x 2 1 3 x 1( ) b Đặt u x 2; y 3 x 1;( u 0); KQ: x=1; x=2; x=7
c)x2 2 x 4 3 x3 4 x(c) Đặt
.
có: KQ: x=2
d) 312 x 3 14 x 2(d)
Đặt
3
3
12
; 14
ta
có hệ
Bài 3:Giải các phương trình, bất phương trình sau:
c)32 x 1 x 1 d)x 4 x2 2 3 x 4 x2
e)3 2 x 2 3 7 x 2 3 7 x 2 x 3
Hướng dẫn giải:
chỉ xét:0 x 1
đặt t x 1 x t2 1 2 x x 2.phương trình (a) thành t2 3 t 2 0
t = 1 hoặc 2 ;x = 0 hoặc x = 1
Phương trình, bất phương trình chứa căn Giáo viên: Ngô Khánh 7
Trang 8Luyện thi đại học năm 2014 – Chuyên đề: Phương trình, bpt chứa căn b) x x 1 x x ( 2) 2 x2.(b)
Đk:
2
0
x
x x
x
xét 3 trường hợp
TH1: x = 0 thoả pt (b)
TH2: x 2
1 x x 2 2 x đơn giản 2 vế cho x 0
( chú ý : a 0; b 0 ab a b ) giải bpt này ta được x = 9/8(loại)
TH3: x 1
(b) x 1 x 2 2 x
Giải bpt này ta được x = 9/8 ( nhận ) Vậy nghiệm của (b) là x = 0; x = 9/8
(các bài còn lại hs tự làm.)
Bài4:Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) 2 (1x x2 4 x 2) 4 x2 4 4 x 8.
b) 2 x2 8 x 6 x2 1 2 x 2 c)5 5 2 1 4.
2 2
x x
d)1 1 2
2 2
2
4
x
f) 3 x 32 x 3 312( x 1). g) 4( x 1)2 (2 x 10)91 3 x 2) 2 Hướng dẫn giải :
a) Đặt thừa số chung ; đáp số x=1/2 b) Đặt thừa số chung ; đáp số x 1
c)Nhân với LLH; đáp số : 0 3 2; 3 2.
d) Đặt ẩn phụ ; đáp số : 5
2
x e) Đặt ẩn phụ ; đáp số : x=1; x=3
f) Biến đổi , đặt ẩn phụ ; đáp số : 3 3( 1).
Bài 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bpt: 4 (4 x )(2 x ) 0 Mặt khác theo Cauchy:
2
t (dấu bằng xảy ra khi x=1) Vậy điều kiện của t là t thuộc đoạn [0;3]; phương trình đã cho thành: