Sử dụng phương pháp hàm số vào giải hệ phương trình

Xác định m để hàm số nghịch biến trên R.. Lập phơng trình đờng tròn đi qua M2; -1 và tiếp xúc với đờng tròn C tại A... vậy tâm I của đường tròn luôn thuộc miền D.. Do đó đường tròn I,R

Câu1 (3,0 điểm)

f x( )= −2mx− x +2x 2m+ ,với mlà tham số

Xác định m để hàm số nghịch biến trên R

Câu 2 (3,0 điểm)

Cho đờng tròn (C) có phơng trình: x2 + y2 – 2x – 6y + 1 = 0 và A(1; 6) thuộc (C) Lập phơng trình đờng tròn đi qua M(2; -1) và tiếp xúc với

đờng tròn (C) tại A

Câu 3 (3,0 điểm)

Giải phơng trình sin2x – cosx = 1 + log2sinx ; với x 0

2 ( ; )π

Câu 4 (3,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hệ sau luôn có nghiệm (x;y):

mx 2y m

− >





Câu 5 (2,0 điểm)

Giả sử hàm số f 0 1: ;[ ] [ ]→ 0 1; liên tục có đạo hàm trên khoảng (0;1), ngoài

ra f(0) = 0, f(1) =1 Chứng minh rằng tồn tại a, b∈( ; )0 1 sao cho a b≠ và f’(a)f’(b)=1

Câu 6 (3,0 điểm)

Với mọi x,y ≠0 Chứng minh rằng:

8+ 8− 6 2− 2 6+ 5 3+2 4 4+ 3 5≥0

Câu 7 (3điểm)

Cho a, b là các số dơng Chứng minh:

b

( + ) ln( + + ≥ +) ( )( + )

Họ và tên thí sinh: ………Số báo danh:………

Sở giáo dục - đào tạo

Thái bình

*****

đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THpt

Năm học 2007-2008

Môn: toán Thời gian làm 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đáp án và biểu điểm

Câu1(3đ)

*)( 0,75đ) Điều kiện cần để hàm số nghịch biến trên R là hàm số phải xác định trên R hay bất phơng trình x2+2x 2m 0+ ≥ (1) phải đúng với mọi x 1 2m 0 m 1

2

*) Điều kiện đủ: Xét m 1

2

≥ với hai trờng hợp sau:

TH1: (0,75đ) Nếu m 1

2

= thì f x( )= − −x x2+2x 1+

2x 1

R

f x x x 1 f x với x> -1

1 với x 1

Do đó f(x) không nghịch biến với mọi x (loại)



∈

TH2: (1đ) Nếu m > 1/2 thì 2x +2x 2m 0 x R+ > ∀ ∈ Vậy ∀ ∈x R ta có

2

Do đó bất phơng trình f’(x) < 0 ⇔ −2m x2+2x 2m+ − + <(x 1) 0

2

2m x 2x 2m (x 1) 0 ( )2

Vì m 1 2m 1

2

> ⇒ > và x2+2x 2m+ > x2 +2x 1+ = + ≥x 1 0

2

(0,5đ) Vậy (2) đúng với mọi x hay f’(x) < 0 đúng ∀x khi m >1/2

KL: m >1/2

Câu2 (3điểm)

*)(1đ) Đờng tròn (C) có tâm I(1;3) Gọi I’ là tâm của đờng tròn (C’) tiếp xúc với (C) tại A(1;6) và đi qua M(2;-1) ⇒I’ thuộc đờng thẳng IA Mà IAuur=( ; )0 3 ; vậy ta chọn nr=( ; )0 1 là véc tơ pháp tuyến của IA ⇒ phơng trình đờng thẳng IA là x-1=0

*) (1đ) Mặt khác (C’) qua A và M nên I’ thuộc đờng trung trực của đoạn AM Gọi J là trung

điểm của AM ⇒ J 3 5

2 2

( ; ) và AM uuuur =(1; - 7)

⇒ Phơng trình đờng trung trực của đoạn AM là

*) (1đ) Vậy toạ độ I’ là nghiệm của hệ:

x 1

I 1 17

7

;

=



− =

⇒(C ) ’ có bán kính là

2

*) Phơng trình đờng tròn là

2

y

2 (x-1) + −  =

2

C

1

0 1

t t v 0 1 ta c

2

2

âu 3

*)( đ) x 0; s inx,cosx>0

2 Phương trình log s in2x sin log osx - cosx

*) (1đ) x 0; s in2x ( ; ], cosx (0;1)

2 Xét hàm số f(t)=log , ới t ( ; ) ó

1

t.ln2

π

π

*) (1đ) Mà phương trình có dạng f(sin2x)=f(cosx) sin2x=cosx

s inx=1/2 x=

6

⇔ π

C

2

âu 4(3 điểm)

Bất phương trình: mx-2y > m mx-2y-m > 0 (2)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta có (1) là phương trình đường tròn tâm

⇔

2

2

1/2);

bán kính R mà R / : ( ) là tập hợp các điểm M(x;y) thuộc nửa mặt phẳng (D)

có bờ là đường thẳng (d):mx-2y-m=0 ((D) nằm phía trên (d)

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi đường tròn (I,R) và

2 1

miền (D) có điểm chung

*)(1đ) Gọi I(x ;y ) ta có : mx , đúng với mọi m vậy tâm I của

đường tròn luôn thuộc miền (D) Do đó đường tròn (I,R) luôn có điểm chung với (D)

Hệ có nghiệm với m

ọi m Câu5:

*) (1đ) Giả sử hàm số f(x) thoả mãn điều kiện bài toán

Xét hàm số g(x)=f(x)+x-1 xác định trên đoạn [0;1]

Vì hàm số này liên tục (do f(x) liên tục), hơn nữa

g(0)=-1, g(1)=1,

nên tồn tại

f 1 f c

f b

1 c

f a f b 1

a (0;c), b (c;1) để:

f(c)-f(0) ( ) ( )

*)(1đ) f'(a)= , '( )

c '( ) '( )

−

=

−

Câu 6: (3đ)

*) (1đ) Đặt t x y; |t| 2.

y x

2

t

= t 5 4

t t

*)(1đ) Có :

3 2

'( ) 4 10 1

"( ) 12 10

Vì | | 2t ≥ ⇒ f t"( ) 0> ⇒ f t'( )đồng biến nên:

*) (1đ)Lập bảng biến thiên ta đợc MinA=Min ( )f t =- 2 với |t| 2≥

khi t=-2 hay x=-y

Vậy

c b c

C

0 5 N

e

c b

âu7.(3đ)

*) (1đ) Đặt c=ln(a+1) c>0 và a+1=e Bđt của đề bài e ( )

( ) ( ) xét hàm số f(x)=e , ó f'(x)=e

*)( , đ) ếu c=b thì (1) đúng

*) (1đ) Nếu c>b ta có (1)

−

⇔ ≥

−

c b

t

t

c b

( ) Theo định lý Lagăng tồn tại t (a;c) để: ( ),

à c>t>b e ( ) Từ (3) và (4) suy ra (2) đúng Vậy (1) đúng

*)(0,5đ) Tương tự với b>c

Vậy (1) được chứng minh Dấu bằng xảy r

−

−

⇒ >

a khi c=b hay b=ln(a+1)

Ngời thẩm định Ngời soạn đề

GV: Vũ Văn Cẩn

Hiệu trởng ký duyệt