chuyên đề quỹ tích dựng hình toán học THCS

Cỏch giải bài toỏn quỹ tớch Để giải bài toán này, ta phải chứng minh hai phần: Phần thuận và phần đảo Phần thuận: Nếu điểm M có tính chất  thì MX Phần đảo: Nếu MX thì M có tính chất

CHỦ ĐỀ 1: BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

I Hệ thống kiến thức cơ bản

1 Khỏi niệm về quỹ tớch

Khi hình X được xác định như là tập hợp tất cả những điểm có tính chất , thì

ta nói “ X là quĩ tích của những điểm có tính chất  ” hay “Quĩ tích của những

điểm có tính chất  là hình X” Theo lý thuyết tập hợp điều đó có nghĩa là:

- Nếu điểm M có tính chất  thì MX

- Nếu MX thì M có tính chất 

2 Cỏch giải bài toỏn quỹ tớch

Để giải bài toán này, ta phải chứng minh hai phần: Phần thuận và phần đảo

Phần thuận: Nếu điểm M có tính chất  thì MX

Phần đảo: Nếu MX thì M có tính chất 

Có thể thay phần thuận bằng mệnh đề tương đương: Nếu MX thì M không

- Quĩ tích các điểm cách đều một điểm O cố định là đường tròn

- Quĩ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới góc không đối là hai

đường tròn chứa góc đi qua A, B và đối xứng với nhau qua AB

- Quĩ tích các điểm cách có tỉ số khoảng cách tới hai điểm cố định A, B cho trước bằng số k1, k>0, là một đường tròn có bán kính PQ (P, Q lần lượt chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k và -k nghĩa là PA  k PBvà QA k QB

- Quĩ tích các điểm có hiệu bình phương khoảng cách từ đó đến hai

điểm A, B cố định bằng số k không đổi là đường thẳng vuông góc với AB tại

H sao cho 2AB.IH k, trong đó I là trung điểm của AB

AMB  Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB,

trong tam giác vuông AMB ta có trung tuyến

M I  Tam giác

AM B có trung tuyến M I xuất phát từ đỉnh M  bằng nửa cạnh đối diện AB

 , với I là trung điểm của AB Đó chính là đường tròn đường kính AB trừ hai điểm A B,

cùng vuông góc với AB Hai điểm M N, di động lần lượt trên A x và By sao

cho MN  AM BN Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của trung điểm đoạn

*Phần thuận: - Gọi O là trung điểm đoạn AB

Kẻ nửa đường tròn ;

2

AB O

- Lấy H thuộc nửa đường tròn đó; H  A B,

- Qua H kẻ tiếp tuyến với ;

2

AB O

  cắt A x By, lần lượt tại M N,

Ta có: MH MA NH; NBMN MH NH MANB

OH MN H là hình chiếu của trung điểm đoạn AB lên MN

 Quỹ tích điểm H là nửa đường tròn tâm O, bán kính

2

AB

R  không đổi,

nằm cùng phía đối với A x By, , bờ là AB trừ hai điểm A B,

*Phần đảo: - Lấy điểm H  thuộc nửa đường tròn ;

2

AB O

Vậy quỹ tích hình chiếu vuông góc H của trung điểm O của đoạn AB lên

đường thẳng MN là nửa đường tròn tâm O, bán kính

2

AB

R  không đổi, nằm

cùng phía đối với A x By, , bờ là AB trừ hai điểm A B,

Một đường thẳng  d thay đổi qua P cắt  C tại A và B Tìm quỹ tích

trung điểm M của đoạn AB khi  d quay quanh P

OMP  nên  d đi qua P Vì OAB cân tại O và OM  AB nên

M là trung điểm của AB Vậy M là một điểm thuộc quỹ tích

*Giới hạn: Do M ABM nằm phía trong  C nên quỹ tích điểm M chỉ

là phần đường tròn đường kính OP nằm bên trong  C

b Các điểm , A B là hình chiếu của O lần lượt trên a và b Lấy các điểm

VD5: Cho một hình vuông cố định ABCD và một điểm P di động trên cạnh

AB Trên tia CP và bên ngoài đoạn thẳng CP ta lấy một điểm M sao cho:

P

C D

M

Điểm M nhìn hai điểm cố định A,C dưới cùng một góc vuông nên M nằm

trên đường tròn đường kính AC (cũng là đường tròn ngoại tiếp hình vuông

Vậy M chỉ di chuyển trên cung nhỏ AB thuộc đường tròn đường kính AC

Kết luận: Tập hợp các điểm M là cung AB (không chứa đỉnh C) của đường

tròn

VD6: Cho nửa đường tròn đường kính AB, M là một điểm di động trên nửa

đường tròn đó Gọi H là chân đường cao hạ từ M xuống AB (H  AB), trên

OM lấy điểm N sao cho ON = MH Tìm quỹ tích điểm N

CONOHM không đổi

AB cố định nên OC cố định Vậy N nằm trên đường tròn đường kính OC

* Phần đảo:

Lấy N’ thuốc đường tròn đường kính OC

Kẻ tia ON’ cắt nửa đường tròn đường kính AB tại M’ từ M’ kẻ M’H’ vuông

góc với AB (H’ thuộc AB), ta chứng minh ON’ = M’H’ Thật vậy:

VD7: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm chính giữa của

cung AB M là một điểm chuyển động trên cung BC Gọi H là hình chiếu của

C trên AM Các tia OH và BM cắt nhau tại I Tìm quỹ tích các điểm I

Ta lại có OC = OM nên OH là đường trung trực của CM

Điểm I thuộc tia OH nên IC = IM do đó  ICM cân tại I

OM nên các điểm H, I’, O đều nằm trên đường trung trực của CM  OH và

BM cắt nhau tại I’

Kết luận: Quỹ tích các điểm I là nửa đường tròn đường kính BC phần nằm ngoài đường tròn (O)

VD8: Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định Một điểm C chạy trên

đường tròn Kẻ CD vuông góc với AB Trên OC đặt một đoạn OM = CD Tìm

quỹ tích các điểm M

O

I C

M H

Giải:

* Phần thuận:

Kẻ đường kính EE’  AB

Giả sử C chuyển động trên nửa đường tròn AEB Nối

E với M Xét hai tam giác EOM và OCD, chúng có

Vậy M nằm trên đường tròn đường kính OE

Khi C chuyển động trên nửa đường tròn AE’Bcũng chứng minh tương tự, M

nằm trên đường tròn đường kính OE’

* Phần đảo:

Lấy M’ là một điểm bất kì trên đường tròn đường kính OE hoặc OE’ Kẻ bán

kính OM’C’ của (O) Ta phải chứng minh khoảng cách C’D’ từ C’ đến AB

bằng OM’ Dễ thấy E’M’O = OD’C’, suy ra OM’ = C’D’

 Kết luận: Quỹ tích các điểm M là hai đường tròn đường kính OE và đường kính OE’ (EE’ là đường kính vuông góc với đường kính AB của đường tròn

(O))

vuông góc với tia Bx tại E Tìm quỹ tích điểm E khi tia Bx quét góc ABC

Khi Bx  BA thì E  A, khi Bx  BC thì E  C Vậy

E AC của đường tròn đường kính BC

* Phần đảo:

Lấy bất kì E’ thuộc cung AC, dĩ nhiên BE’ nằm giữa BA và BC Gọi O là

trung điểm của BC, ta có: OB = OC = OE’

 Kết luận: Quỹ tớch điểm E là AC của đường trũn đường kớnh BC

VD10: Cho đường trũn đường kớnh AB Gọi C là một điểm chạy trờn đường

trũn đú Trờn AC lấy điểm D sao cho AD=CB Qua A kẻ tiếp tuyến với

đường trũn rồi lấy AE=AB (E và C cựng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB) Tỡm quỹ tớch điểm D

Giải:

* Phần thuận:

Nối D với E Xột ADE và BCA cú:

AE=AB (giả thiết)

Khi C di chuyển trờn nửa đường trũn đường kớnh

AB thỡ D luụn nhỡn đoạn thẳng AE dưới một gúc

bằng 90, nờn D nằm trờn nửa đường trũn đường

kớnh AE

* Phần đảo:

Lấy điểm Dbất kỡ trờn đường trũn đường kớnh AE Đường thẳng AD cắt

đường trũn đường kớnh AB tại C Nối C với B, nối D với E

A, khi C trựng với a thỡ D trựng với E)

C là trung điểm của đoạn thẳng O1O2 Trên hai đường tròn đó lần lượt lấy hai

điểm A và B, gọi M là trung điểm AB Chứng minh rằng quĩ tích điểm M khi

A, B thay đổi là hình tròn tâm C bán kính R

B A

C

D E

2

R B O

2 2

1

1

R A

O

CN   Từ đó suy ra CM

MN+CN =R

Phần đảo: Giả sử M là một điểm thuộc hình tròn tâm C bán kính R (tức là

CMR) Ta phải chứng minh M là trung điểm của thẳng AB nào đó, vói A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đã cho

Ta gọi (O3, R) là đường tròn đối xứng với (O1, R) qua điểm M Hai đường tròn (O2, R) và (O3, R) cắt nhau vì O2O3 = 2CM2R Nếu gọi B là một điểm chung của chúng và A là điểm đối xứng của B qua M thì ta có m là trung điểm của

AB và A(O1, R) và B(O2, R)

Nhận xét: Phần thuận và phần đảo nhiều khi có thể gộp lại thành một phần nếu chúng dùng phép lập luận tương đương

VD12: Cho tam giác đều ABC cạnh a Chứng minh rằng quĩ tích các điểm M

trong mặt phẳng sao cho MA2+ MB2+ MC2 = 2a2 là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

) ( )

MC MB

MA MC

M nằm trên đường tròn (O, R)

j

d

I A

C

K'

K

VD13: Cho hình tứ diện ABCD Một điểm M thay đổi trên cạnh AB, một

điểm N thay đổi trên cạnh CD Tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN

Gọi O là trung điểm của AC, ta có: OA OC

Vì I là trung điểm của MN nên:

)(

2

1)(

2

1)(

2

1

CD AB

CN OC AM OA ON

2

1)(

2

1

ON OM ON

ON OA OM CN

AM

Từ đó suy ra I là trung điểm của đoạn MN, trong đó M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, CD

VD14: Cho hai đường tròn đồng tâm (O, R) và (O, R’), R>R’ Hai điểm A, B

lần lượt thay đổi trên hai đường tròn đó Tìm quĩ tích trung điểm M của đoạn

' 2

2

R R OM R R hay OB OA OM

N I

O

B A

M

Lấy một điểm M thuộc hình vành khăn nói trên Lấy (O’, R’) là đường tròn

đối xứng với (O, R’) qua điểm M Ta dễ thấy hao đường tròn (O’, R’) và(O, R) cắt nhau

Thật vậy OO’ = 2OM mà

2

' 2

OM R

Gọi A là một giao điểm của hai đường tròn đó, B là điểm đối xứng với A qua

M thì M là trung điểm của AB và A(O, R), B(O, R’)

 Bài tập vận dụng:

Bài 16 Cho đường trũn (O,R) và điểm A cố định trờn đường trũn và 1 điểm

B di động trờn đường trũn đú Cỏc tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại C Tỡm tập hợp tõm đường trũn nội tiếp ∆ABC

Hướng dẫn: Quỹ tớch điểm E là đường trũn (O,R) với E khỏc A và B

Trờn tia đối của MA lấy E sao cho EM = MB Tỡm tập hợp điểm E khi M thay đổi trờn cung BC

Đỏp số: Giới hạn

Khi MB thỡ EM

Khi MC thỡ E ( F là điểm đối xứng của A qua C) F

Quỹ tớch điểm E là cung nhỏ BF của ( C; 2 R)

Bài 18 Cho nửa đường trũn tõm O, đường kớnh AB Gọi C là điểm chớnh

giữa cung AB, M là một điểm bất kỡ trờn cung BC Đường phõn giỏc của gúc COM cắt AM tại I Tỡm quỹ tớch điểm I khi M di động trờn cung BC

Hướng dẫn: Chứng minh ∆CIM cõn tại I, đường thẳng AC cố định

Quỹ tớch: M di động trờn cung BC thỡ I thuộc đường trũn đường kớnh AC

Bài 19 Cho hai đường trũn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Một đường thẳng

d bất kỡ luụn đi qua A cắt (O) và (O’) theo thứ tự ở C và D Tỡm quỹ tớch trung điểm M của CD

Đỏp số: Quỹ tớch trung điểm M của CD là đường trũn đường kớnh AI

đổi Gọi H là trực tâm tam giác ABC, H’ là điểm sao cho tứ giác HBH’C là hình bình hành Chứng minh rằng H’ nằm trên đường tròn (O), từ đó suy ra quĩ tích điểm H

Bài 21 Một hình bình hành ABCD có hai đỉnh A, B cố định, còn đỉnh C thay

đổi trên một đường tròn (O) Tìm quĩ tích đỉnh D

quĩ tích trọng tâm tam giác ABC

qua B, PQ là đường kính thay đổi cỏa (O), CQ cắt PA, PB lần lượt tại M, N

a) Chứng minh QC = QM, NC = NQ

b) Tìm quĩ tích các điểm M, N

BC thay đổi của (O) nhưng có độ dài không đổi Tìm quĩ tích trong tâm tam giác PBC

CHỦ ĐỀ 2: BÀI TOÁN DỰNG HèNH

I Hệ thống kiến thức cơ bản

1 Khái niệm về dựng hình

Khi ta nói: ‘‘dựng hình H ’’ thì điều đó có nghĩa là: dùng một số dụng

cụ nào đó để vẽ ra được hình H Các dụng cụ có thể là: bút, thước thẳng( để vẽ

đường thẳng), compa (để vẽ đường tròn), Thước chữ T( để vẽ đường vuông góc), thước đo độ (để vẽ các góc có số đo cho trước)

2 Các tiên đề của phép dựng hình (bằng thước và compa)

Ta thừa nhận các tiên đề sau:

Tiên đề 1: Đương thẳng đi qua hai điểm dựng được là dựng được

Tiên đề 2: Đường tròn là dựng được nếu có tâm dựng được và bán kính bằng

độ dài một đoạn thẳng dựng được

Tiên đề 3: Nếu H1 và H2 là các hình dựng được thì giao H1 H2 là hình dựng

được

Tiên đề 4: Nếu hinh H là dựng được thì có thể dựng được một điểm M tùy ý

thuộc hình H, hoặc một điểm N tùy ý không thuộc hình H

Tiên đề 5: Các hình đã cho xem là dựng được

Bài toán 1: Dựng đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước

Bài toán 2: Dựng một góc bằng một góc cho trước

Bài toán 3: Dựng một tam giác biết ba cạnh, hoặc hai cạnh và góc xen giữa,

hoặc hai góc và một cạnh

Bài toán 4 Dựng trung trực của một đoạn thẳng Dựng trung điểm của một

đoạn thẳng

Bài toán 5 Dựng đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường

thẳng đã cho Dựng đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng đã cho

Bài toán 6: Dựng các điểm chia một đoạn đã cho thành n đoạn thẳng tỉ lệ với

n đoạn thẳng cho trước

Bài toán 7: Dựng đường phân giác của một góc đã cho

Bài toán 8: Dựng tiếp tuyến của một đường tròn đi qua một điểm cho trước

Dựng tiếp tuyến của hai đường tròn cho trước (nếu có)

Bài toán 9: Dựng đường trung bình nhân của hai đoạn thẳng cho trước

Bài toán 10: Dựng cung chứa góc  cho trước có hai điểm mút là A và B

5 Các bước giải một bài toán dựng hình

Để giải bài toán “ Dựng hình có tính chất  ”, chúng ta phải nêu ra cách dựng Đó là kể ra lần lượt các phép dựng cơ bản cần thiết để cuối cùng được

hình H

Sau khi đã dựng được hình H, ta cần chứng minh rằng hình H thỏa mãn các yêu cầu của bài toán, tức là hình H quả thật có tính chất  Phần này gọi

là phần chứng minh

Để lý giải tại sao chúng ta phải lại nêu ra cách dựng đã trình bày,

thường người ta còn yêu cầu thêm một phần gọi là phần phân tích Phần phân

tích được bắt đầu bằng cách giải sử hình H đã dựng được Từ đó suy ra muốn dựng được hình H thì trước đó ta phải dựng được hình H’, rồi trước khi dựng hình H’, ta lại phải dựng được hình H’’, cứ như thế ta đi “giật lùi ” để có thể tìm ra hình H pahir dựng đầu tiên Nếu phần phân tích của ta là đúng thì cách dựng chỉ là quá trình ngược lại của phần phân tích

Một phần cuối cùng không thể thiếu là phần biện luận Với những giải

thiết đã cho, bài toán có thể không có nghiệm hình (tức hình H) thỏa mãn điều kiện đã cho, có thể có nghiệm duy nhất hoặc là có nhiều nghiệm

Tóm lại ta có các bước sau đâytrong lời giải của bài toán dựng hình: 1) Phân tích

2) Cách dựng

3) Chứng minh

4) Biện luận

II Vớ dụ bài tập

tiếp xỳc với a b, và đi qua A

Giải:

- Phõn tớch: Giả sử dựng được đường trũn

 O qua A và tiếp xỳc với a b, Đường trũn

 O dựng được nếu dựng được tõm O Vỡ

a

b A

O

d c

Vì c và đường tròn A R;  dựng được nên  O dựng được

- Cách dựng: + Dựng đường thẳng c song song và cách đều a b,

- Biện luận: Theo bước 1 luôn dựng được duy nhất đường thẳng c

Theo bước 2 luôn dựng được duy nhất đường tròn A R; 

Theo bước 3 thì cA R;   hoặc tại 1 điểm hoặc tại 2 điểm

Bước 4 luôn dựng được

Kết luận: Nếu A nằm ngoài miền giới hạn bởi a b, thì bài toán vô nghiệm

Nếu Aa hoặc AB thì bài toán có một nghiệm

Nếu A nằm trong miền giới hạn bởi a b, thì bài toán có hai nghiệm

đường cao có độ dài h và hai đường chéo BDc và AC d

Giải:

- Phân tích: Giả sử dựng được hình

thang ABCD thỏa mãn ycbt có

A d;  và đường thẳng 2 cỏch AB một khoảng h Đường thẳng 2 dựng được nếu dựng được điểm E mà AE h AE;  AB

+ Điểm D dựng được nếu dựng được B; cvà 2

+ Từ bước 4,5,6 DBc với DB là đường chộo hỡnh thang ABCD

+ Từ bước 1, 4, 7  AC d với AC là đường chộo hỡnh thang ABCD

Do đú, hỡnh thang ABCD dựng được tmycbt

- Biện luận: Theo cỏch dựng luụn dựng được 2 điểm E và tương ứng dựng được 2 điểm C D,

Kết luận: Vậy cú hai hỡnh thang thỏa món ycbt

VD3: Cho hai đường tròn không đồng tâm (O, R) và (O’, R’) có điểm chung

A Dựng đường thẳng đi qua A cắt (O, R) và (O’, R’) tại C và C’ khác A, sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng CC’

Giải:

1) Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng

đi qua A cắt (O, R) và (O’, R’) tại C và C’ khác

A, sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng CC’

Để dựng được đường thẳng đó ta chỉ cần

dựng điểm C Gọi (O’’, R’) là đường tròn đối

xứng qua A với đường tròn (O’, R’) Khi đó có:

O’’C = O’C’ = R, nên điểm C cũng nằm trên

(O’’, R) Từ đó suy ra C là giao điểm (khác A)

của hai đường tròn (O’’, R) và (O, R) Từ đó ta

có cách dựng:

j

d

I A

C

K'

K

2) Cách dựng:

- Dựng điểm O’’ đối xứng với điểm O’ qua điểm A

- Dựng đường tròn (O’’, R’)

- Dựng giao điểm C (khác A) của hai đường tròn (O’’, R’) và (O, R)

- Dựng đường thẳng AC Đó là đường thẳng cần tìm

3) Chứng minh: Giải sử AC cắt (O’, R’) tại C’ Vì hai đường tròn (O’, R’) và

(O’’, R’) đối xứng với nhau qua A nên AC = AC’

- Nếu hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) tiếp xúc nhau tại A và R R’ thì

(O’’, R’) và (O, R) cũng tiếp xúc nhau tại A Bài toán không có nghiệm hình

- Nếu hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) tiếp xúc nhau tại A và R = R’ thì

(O’’, R’) và (O, R) trùng nhau Bài toán có vô số nghiệm hình: mọi đường thẳng đi qua A đều là nghiệm hình

đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng d1, d2 và tiếp xúc với đường tròn (O, R)

Vì đường tròn (I, r) tiếp xúc với (O, R) nên IO = R+r hay IO Rr

Vậy quĩ tích là cặp đường tròn (o, R+r) và (O, R  r )

2) Cách dựng

- Dựng đường thẳng  song song và cách đều d1, d2

- Dựng hai đường tròn (O, R+r) và (O, R  r )