Luyện Tập Công phá trắc nghiệm bất đẳng thức +lời giải

Luyện Tập Công phá trắc nghiệm bất đẳng thức +lời giảibài tập khá hay cách ra đề mới lạ kiến thức khá chắc nhé.................................................................................................................................

Kênh Youtube: NĐT OFFICIAL

Page Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai

𝑃 = 1 + 𝑏 1 + 𝑐 4𝑎3 + 1 + 𝑐 1 + 𝑎 4𝑏3 + 1 + 𝑎 1 + 𝑐 4𝑐3A.2 B.1 C.3 D.3

y y

x y

 



 A.−1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2

2

4

8

b a

27.Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn:abc=1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 𝑄 = 𝑎𝑏

𝐾 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏𝑐 + 18

𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎A.10 B.11 C.12 D.13

31.Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện: 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 +

𝑧𝑥 ≥ 2𝑥𝑦𝑧 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1)

A.1/2 B.1/4 C.1/6 D.1/8

32. Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x (y z) y (z x) z (x y) P

z

 1

1

 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xyz

b a

41 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện:

   

x y  xy x y  x y xy  x y  T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M = x + y

Câu 47:Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:𝐵 = 𝑏3𝑎+𝑐6 3 +𝑐3𝑏+𝑎6 3+𝑎3𝑐+𝑏6 3.Trong đó a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1

Câu 51: Cho các số x, y, z > 0 thỏa mãn x y z 12  

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A  4x 2 x 1    4y 2 y 1    4z 2 z 1  

A 21 B.2 21 C.3 21 D.4 21

Câu 52: Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn 1 1 2

a b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 53: Cho x và y là hai số dương có tổng bằng 1.Chứng minh xy

Tìm giá

Câu 58: Cho a b c là ba số thực dương thỏa mãn: , , a b c   3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 12 12 12

2 2

2 21

ab c a b M

2

Hưỡng dẫn giải chi tiết:

1 Cho các số thực a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3

≥ 3𝑎44𝑏3

3

≥ 3𝑏44𝑐3

3

≥ 3𝑐4

4 Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ 𝑜 và 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy giá trị nhỏ nhất của K là 6 dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1

5 Với a,b là các số dương.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Khi x=y=3 thi x+y=6

Ta có: 2 𝑥 + 6 𝑦 + 6 ≥ 0 nên từ (*) suy ra:

𝑥 + 𝑦 2 ≥ 𝑥 + 𝑦 + 12→ 𝑥 + 𝑦 2 − 𝑥 + 𝑦 − 12 ≥ 0

→ 𝑥 + 𝑦 − 4 𝑥 + 𝑦 + 3 ≤ 0 → (𝑥 + 𝑦) ≥ 4(𝑑𝑜 𝑥 + 𝑦 + 4 ≥ 0)

Khi x=10,y=-6 hoặc x=-6 và y=10 thì x+y=4

Vậy GTLN của T là 6 khi x=y=3 và GTNN của t là 4 khi x=10,y=-6 hoặc

𝑧+𝑥 +𝑧+𝑥

4 ≥ 2 𝑦²

𝑧+𝑥.𝑧+𝑥

4 = 𝑦 𝑥+𝑦𝑧² +𝑥+𝑦4 ≥ 2 𝑥+𝑦𝑧² 𝑥+𝑦4 = 𝑧

 𝑃 +𝑦+𝑧4 +𝑧+𝑥4 +𝑥+𝑦4 ≥ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧

 𝑃 +2(𝑥+𝑦+𝑧)4 ≥ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

 𝑃 ≥2 Đáp án D

13 Cho x,y >0 và x  y 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của

2

3x 4 2 A

4x

y y

Áp dụng bất đẳng thức Cô si chi 5 số dương,kết hợp giải thiết 𝑥 + 𝑦 ≥ 4 ta được:

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 29 dấu “=” xảy ra khi 𝑥 = 𝑦 = 2 Chọn đáp án D

14 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   4 4   2 2

16.Cho a, b, c, d >0 và ab+bc+cd+da = 1 Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:𝑃 = 𝑏+𝑐+𝑑𝑎³ +𝑐+𝑑+𝑎𝑏³ +𝑎+𝑏+𝑑𝑐³ +𝑎+𝑏+𝑐𝑑³

x y

 



 A.−13;13 B.−𝟏𝟒;𝟏𝟒 C −15;15 D.−16;16 Giải:

Giải:

Có a2 2ab ( ) ( c a2 bc)a bc) (1) , 2 2 2

( ) ( ) )

bbc a bca b ca (2)

cca2 2  ( ) ( b c2 ab)c ab) (3) Dấu „=‟ xảy ra   a b c

Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta có : a ca ( bc)b ca)c ab) (*)

22 Cho hai số thực a; b thay đổi , thoả mãn điều kiện a + b  1 và a > 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2

2

4

8

b a

b a

  

2 3 3

a b c B

3 3( )

Kết hợp (2) và (1) ta có điều phải chứng minh

Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1

2 2

1 31

1 1

27.Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn:abc=1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 𝑄 = 𝑎5+𝑏𝑎𝑏5+𝑎𝑏 +𝑏5+𝑐𝑏𝑐5+𝑐𝑎 +𝑐5+𝑎𝑐𝑎5+𝑐𝑎

Tương tự công lại ta được:

𝑄 ≤ 𝑎+𝑏+𝑐𝑐 +𝑎+𝑏+𝑐𝑎 +𝑎+𝑏+𝑐𝑏 = 1 dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1

= 𝑎 − 3 2 + 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑎 +9

𝑎 + 𝑏 +1

𝑏 Trong đó : 𝑎 − 3 2 ≥ 0 dấu bằng xảy ra khi a=3 4𝑎 + 2𝑏 ≥ 14 (𝑣ì 2a + b ≥ 7) dấu “=” khi a=3,b=1

Áp dụng bất đăng thức cô si:

𝑎 +𝑎9 ≥ 2 𝑎.9𝑎 = 6 dấu “=” xảy ra khi 𝑎 = 𝑎9 → 𝑎 = 3

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1

Khi đó:

𝐾 ≥ 2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 + 18

𝑎𝑏 +𝑏𝑐 +𝑐𝑎 − 1 ≥ 2 2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 18

𝑎𝑏 +𝑏𝑐 +𝑐𝑎 − 1 =11 Vậy giá trị nhỏ nhất của K bằng 11 khi a=b=c=1

vậy Amax = 1 3

8    x y z 2

Vậy Đáp Án D

32. Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x (y z) y (z x) z (x y) P

P  2(x + y + z) = 2  x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1

3 2 2 3

1 1

1

a a

c c c

b b b

1 1

2 1

2 2

4

2 2

2

3

b b

a b

1 1

2 1

2

2

2 2

2

3

c c

b c

1 1

2 1

2

2

2 2

2

3

a a

c a

6 3

6

2 16

3 2 16

3 2 16



6 2 2 2

9 ) (

2 2 2

3 2

3 2 2

9 2 2

3 2 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = xy + 2yz + zx

35.Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=1

 1

1

 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xyz

z

 1

1( y z

1( x z

1

 2

) 1 )(

1 ( x y

b a

A.37/33 B.99/33 C.100/33 D.25/33

Giải: Ta có : F = (a2 + b2 + c2) + ( 12 12 12

c b

a   ) + 6 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có :

(a.1 + b.1 + c.2)2  3(a2 + b2 + c2)

=> a2 + b2 + c2 

3 1

) 1 1 1 (

c b

a   3( 12 12 12)

c b

a   (1) Mặt khác ta chứng minh được (

c b a

1 1 1



 )(a + b + c)  9

=>

c b a

1 1

1    9 do a + b + c = 1

) 1 1 1 (

c b

a    81 (2)

Từ (1) và (2) => ( 12 12 12)

c b

a    27

3 1

x

4 4

3 1

(2)

Từ(1) và (2) 3

3

4

xyz xy

x

4 4

Kết hợp với giả thiết

3x xx

Đáp án C

44. Cho hai sè thùc d-¬ng x, y tho¶ m·n:

   

x y  xy x y  x y xy  x y  T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M = x + y

Gi¶ sö   (1) cã nghiÖm b tho¶ m·n b

4 (*) nên suy ra: 2 a 5 0, 2 b 5 0, 2 c  5 0

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có: 2 5 2

Giải: Ta có: 𝐴 = 𝑥−𝑡𝑡+𝑦 + 1 +𝑦+𝑧𝑡−𝑦 + 1 +𝑦−𝑧𝑧+𝑥 + 1 +𝑧−𝑥𝑥+𝑡 − 4

Câu 47:Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:𝐵 = 𝑎6

𝑏 3 +𝑐 3 + 𝑏6

𝑐 3 +𝑎 3 + 𝑐6

𝑎 3 +𝑏 3.Trong đó a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1

1 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 4 ≤ 3(𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 2 = 3 𝑎𝑎 𝑎 + 𝑏𝑏 𝑏 + 𝑐𝑐 𝑐 2 ≤ 9 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 9 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 → 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 ≥ 1

9 → 𝐵 ≥

1

18 Vậy minB=1/18 khi a=b=c=1/3 →Đáp Án C

Câu 48: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thưc:𝐶 = 𝑏2𝑎+𝑐82 2 + 𝑐2+𝑎𝑏82 2 + 𝑎2+𝑏𝑐82 2 Trong

đó a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện :ab+bc+ca=1

Vậy MinB=1/4 → Đáp án B

Câu 49: Cho x,y,z>0 thỏa mãn 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≥ 1

3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy Min D=1/30 Khi

𝑥42𝑥 2 +3𝑦+5𝑧 = 2𝑦2+3𝑧+5𝑥𝑦4 =2𝑧2+3𝑥+5𝑦𝑧4

Vậy giá trị lớn nhất của P là 4 khi và chỉ khi x= y = z = => đáp án B

Câu 51: Cho các số x, y, z > 0 thỏa mãn x y z 12  

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A  4x 2 x 1    4y 2 y 1    4z 2 z 1  

A 21 B.2 21 C.3 21 D.4 21

Giải: Cho các số x, y, z > 0 thỏa mãn x y z 12  

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A  4x 2 x 1    4y 2 y 1    4z 2 z 1  

 x y 2 x z 2  y z 20 luôn đúng với mọi x, y, z (2)

Vậy BĐT (1) đúng, dấu "=" xảy ra khi x = y = z

(xy xz



) )(

4 x yz

3 2

Vậy max A 3 21 khi x = y = z = 4 => đáp án C

Câu 52: Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn 1 1 2

a b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

nhất của biểu thức:

A.5/2 B.15/2 C.25/2 D.25

Giải: Ta có: , x + y = 1

Áp dụng bất đẳng thức côsi Dấu *=* xảy ra

Mà Vậy A nhỏ nhất = 25/2 khi x=y=1/2 => Đáp Án C

Câu 54: Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: 12 12 12

3.

x  y  z  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

1.4

2

x  y z Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3.

2 => Vậy Đáp án B Câu 55: Với x > 2015, tìm giá trị nhỏ nhất của A =