tổng hợp đề thi toán học quốc gia

Bài toán cực trị hình học Trong chương trình THPT hầu như các bài toán cực trị hình học có dạng chung là: Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìmhình mà một đại lượng nào đó độ

CHƯƠNG I

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

I BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

I.1 Bài toán cực trị hình học

Trong chương trình THPT hầu như các bài toán cực trị hình học

có dạng chung là: Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìmhình mà một đại lượng nào đó (độ dài, khoảng cách, số đo góc, số đodiện tích, số đo thể tích, ) có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất

Giả sử hình H thay đổi trên miền D mà vị trí hay hình dạng của

nó thay đổi theo một đại lượng cho bởi biểu thức f ứng với sự biến

thiên của tập các biến số X trên tập xác định D

Khi tìm vị trí hay hình dạng của hình H trên miền D sao cho

f đạt giá trị lớn nhất ta phải xác định được hai điều kiện sau:

1 Với mọi vị trí hay dạng của hình H trên miền D thì f ≥ M (là

hằng số)

2 Tồn tại vị trí hay dạng của hình H trên miền D sao cho f = M Khi tìm vị trí hay hình dạng của hình H trên miền D sao cho f

đạt giá trị nhỏ nhất ta phải xác định được hai điều kiện sau:

1 Với mọi vị trí hay dạng của hình H trên miền D thì f ≤ m (là

hằng số)

2 Tồn tại vị trí hay dạng của hình H trên miền D sao cho f = m.

I.2 Một số dạng Toán cực trị hình học thường gặp

Dạng 1: Xác định khoảng cách (độ dài đoạn thẳng) lớn nhất hay

Dạng 2: Các bài toán xác định diện tích đa giác, diện tích hình

- Biết cách dựng đường vuông góc từ một điểm đến một đường

thẳng, đến một mặt phẳng đặc biệt là đường vuông góc tới mặt phẳng

- Biết vận dụng kiến thức hình học vào việc chứng minh: song

song, vuông góc, chéo nhau,

- Biết cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo

nhau

- Biết cách so sánh, đặt tương ứng khoảng cách cần tìm với

khoảng cách nào đó để tiện cho việc tính khoảng cách

- Biết cách vận dụng thành thạo các công thức liên quan đến tính

khoảng cách, tính độ dài của đoạn thẳng

- Kỹ năng vẽ hình không gian

- Kỹ năng nhận dạng các hình đăc biệt như: tam giác(tam giác

vuông, cân, đều), Tứ giác có hai đường chéo vuông góc, hình bìnhhành, hình thoi, chữ nhật

- Kỹ năng nhận dạng các đa diện đặc biệt như: đa diện đều, hình

chóp đều, lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp, hộp chữ nhật, lập

ph Biết vận dụng linh hoạt các công thức vào tính toán

- Kỹ năng nhận dạng các khối đa diện đặc biệt

- Kỹ năng xác định chiều cao của hình chóp, lăng trụ, hình trụ,

hình nón

- Kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức tính thể tích, công

thức về tỉ số các thể tích của các khối chóp tam giác

- Kỹ năng dựng góc giữa hai đường thẳng trong không gian, góc

giữa đường thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng

- Biết cách thiết lập tương ứng sự thay đổi độ lớn của đoạn thẳng

(góc, diện tích, thể tích ) với các đại lượng (biến số) hay hàm số củamột hay nhiều biến số

Phư ơng pháp 2: Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp

khúc, các bất đẳng thức trong tam giác

Ph

ương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức trong đường tròn.

Phư ơng pháp 4: Sử dụng một số phép dời hình.

Ph

ương pháp 5: Sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản.

II RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢITOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

II.1 Kỹ năng

1 Các kỹ năng chung giải toán cực trị hình học: Vẽ hình, chứng

minh, nhận dạng, áp dụng công thức, tính toán và biến đổi linh hoạt,

so sánh,

2 Các kỹ năng giải toán cực trị, tìm GTLN, GTNN của hàm số:

Kỹ năng tính đạo hàm, xét dấu của đạo hàm, kỹ năng vận dụng cácquy tắc tìm cực trị, tìm GTLN, GTNN của hàm số

3 Kỹ năng vận dụng quy trình 4 bước để giải toán cực trị hình

học bằng phương pháp hàm số có ứng dụng của đạo hàm

II.2 Một số khó khăn và sai lầm khi giải toán cực trị hình học

Khi giải toán hình học nói chung, giải toán cực trị hình học đặcbiệt là hình học không gian, học sinh lớp 12 kể cả học sinh khá, giỏimôn Toán đã và có thể mắc những khó khăn và sai lầm sau:

1 Trong vẽ hình không gian: khó khăn do hình vẽ phức tạp,

phương tiện hỗ trợ còn thô sơ (thước kẻ và compa), quy tắc vẽ hìnhkhông gian đơn giản song để vẽ đúng hình trong các trường hợp cụthể còn gặp khó khăn như xác định hình chiếu, đường vuông góc,thiết diện,… dẫn đến vẽ hình sai

2 Khó khăn trong việc áp dụng các định lý, đặc biệt là cách xác

định góc, khoảng, cách dẫn đến xác định sai góc, và khoảng cách

3 Sai lầm khi không xét bài toán ở trường hợp đặc biệt, trường

hợp không tồn tại theo giả thiết

4 Khó khăn và sai lầm trong việc vận dụng các phương pháp giải

toán cực trị hình học: so sánh các đại lượng, áp dụng bất đẳng thức,

sử dụng phương pháp hàm số

Ví dụ 1 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a.Đường chéo BC’ hợp với mặt bên BAA’B’ một góc α Tính thể tíchhình lăng trụ

Nối BA’ Góc α = ∠C’BA’ từ đó tính toán được: V =

2 sin 4 1

(?) Sai lầm chính của lời giải là việc xác định góc giữa BC’ với

mp(BAA’B’) Lẽ ra theo định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ta phải tìm góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó lên mp

Do tam giác A’B’C’ đều nên gọi I là trung điểm của A’B’ ⇒C’I ⊥

A’B’ và C’I ⊥ (A’B’BA) vì lăng trụ cho là đều Từ đó suy ra α = ∠

C’BI, sau khi tính toán ta được kết quả đúng là V =

α

3

sin 4 3

Ví dụ 2 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Lấy hai điểm

M và N theo thứ tự trên AC và A’B sao cho AM = A’N = t (0 ≤ t ≤ a

2) Tìm GTNN của M khi M, N lần lượt chuyển động trên AC, A’B

Bài giải

Lập hệ trục toạ độ Descartesvuông góc Oxyz sao cho O trùngB’,trục Ox chứa A’, trục Oy chứa C’trục Oz chứa B

Ta có: A(a; 0; a), C(0; a; a), A’(a; 0;

0), B(0; 0; a), M(a- t t ;a

2

;

2 ), 2

; (

; 0

Do MN nhỏ nhất khi và chỉ khi MN là đoạn vuông góc chung của AC

0 2 0

'

0

a

t a

at B

A MN

AC MN

hệ này vô nghiệm Vậy giá trị nhỏ nhất không tồn tại!

Lời giải sai lầm ở chỗ vì MN nhỏ nhất trong bài toán này có thể xảy

ra mà MN không là đoạn vuông góc chung

M

x

Từ (!) thay là:MN2 =

2 2

I HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH CÓ ỨNG DỤNG

ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

I.1 Mục tiêu

1 Giúp giáo viên có được hệ thống các bài toán ứng dụng của

đạo hàm để giải toán cực trị hình học để rèn luyện kỹ năng giải toáncho học sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏi

2 Giúp học sinh củng cố, nắm vững kiến thức cơ bản, và có kỹ

năng giải toán cực trị hình học dựa trên kiến thức và kỹ năng giải toáncực trị của hàm số

3 Phát huy tính tự giác,tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh

4 Rèn luyện kỹ năng ứng dụng tri thức Toán học vào nội bộ môn

Toán, tăng cường khả năng ứng dụng tri thức Toán học vào thực tếcho học sinh qua đó học sinh thấy được vai trò của công cụ Toán học

I.2 Hệ thống các bài toán điển hình

I.2.1 Một số bài toán cực trị trong hình học không gian tổng hợp Bài toán 1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.

Điểm M chạy trên đoạn AA’, điểm N chạy trên BC sao cho AM = BN

= x (0 < x < 1) P là trung điểm của C’D’ Dựng thiết diện tạo bởimp(MNP) của hình lập phương Tìm x để chu vi thiết diện đạt GTNN

Bài giải

Gọi Q là trung điểm của AB,

Suy ra mặt phẳng (MNP) đi qua Q

D C

BM SA

2

4 3 2

4

a x a

x

x a

2

23

B

M A

H

C S

0

2 1

1

Tìm x để SH lớn nhất : SH lớn nhất ⇔ f(x) = 2 2

2

4 3

2a x a x

) ( ' : ) 4 3 2 (

8 3 2

2 2 2

2 2

a x

x x

f a x a x

x a x a

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra Maxf(x) = 3 khi x = a 3 với mọi x ∈

[0; a 3] khi H trùng với C Khi đó SH = a 7

Chú ý: Thấy được kết quả này đến đây ta có thể nghiên cứu lời giải

và tìm cách giải mới là: Bằng cách so sánh đường ⊥ với đường xiên suy ra được SH lớn nhất khi H trùng với M và M trùng với C

Bài toán 3 Cho tứ diện đều cạnh bằng 1 Các điểm M, N di động lần

lượt trên AB và AC sao cho mp(DMN) ⊥ mp(ABC) Đặt AM =x, AN

=y

a) Chứng minh hệ thức x+y = 3xy

b) Xác định vị trí của M và N đểThể tích của tứ diện ADMN đạt GTLN,GTNN

c) Diện tích toàn phần của tứdiện ADMN đạt GTLN, GTNN

H

y x

C

a) Chứng minh hệ thức x+y = 3xy.

Hạ DH ⊥ (ABC) ⇒ H là trọng tâm ⇒ AH là phân giác của MAN

Do (DMN) ⊥ (ABC) ⇒ M, H, N thẳng hàng Ta có

xy xy

S AMN

4

3 60

sin 2

3 30 sin 2

1 30 sin 2

S S

x, y là các nghiệm ∈ [0; 1] của phương trình z 2 - 3tz + t = 0 (*)

⇔ t =

1 3

2

−

z

z Với z ∈ [0 ; 1]\{1/3} z = 1/3 không là nghiệm của (*) Bài toán quy về tìm t để pt (*) có hai nghiệm thuộc [ 0 ; 1]

⇔ Tìm t để pt

1 3

2

−

z

z với z ∈ [0 ; 1] f’(z) = 2

2

) 1 3 (

2 3

−

−

z

z z

= 0

3

2 ,

Từ bảng biến thiên suy ra (*) có hai nghiệm ∈ [0; 1] ⇔

xy y

6

6 4

3 60

sin 2

4

− +

t

−

− +

2

3 4

) 1 6 ( 2

x 0

f(x) fx x) f’(x)

0

f(x)

-Bài toán 4.Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác

vuông cân đỉnh C và SA ⊥ mặt phẳng(ABC), SC = a Hãy tìm gócgiữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất

Bài giải:

Ta có BC ⊥ AC nên BC ⊥ SC

⇒ ∠SCA là góc giữa hai mp(SCB) và (ABC)

Đặt ∠SCA = x, (0 < x < π/2)

Khi đó: SA = asinx, AC = acosx

6 2

cos 3

Xét hàm số f(x) = sinxcos2x trên khoảng )

2

; 0

Ta có f’(x) = cos3x - 2cosxsin2x = cosx(3cos2x -2)

f’(x) = 3cosx  −  + 3 

2 cos

2

; 0 ( π

x

Bài toán 5 Cho tứ diện ABCD có một cạnh > 1, còn các cạnh khác

đều ≤ 1 Gọi V là thể tích của nó hãy tìm các cạnh của ABCD sao cho

là các đường cao của các tam giác ACD, BCD

M là trung điểm của BC Đặt CD=x ∈ (0; 1]

Theo hệ thức lượng trong tam giác BCD,

2

x

− Tương tự AE≤

4 1

1

3

AH BF CD AH

4 1 ( 6

1

4

1 6

x AH

x x

4 1

1 x2

x − đạt giá trị lớnnhất

Xét hàm số f(x)= )

4 1 ( 6

1 x2

2

) 4 1 [(

6

1 x2 x2

−

− = 0 ⇔x2= 4/3 ⇔x =3

1 − = ⇔ MaxV = 81, khi tứdiện ABCD có đáy BCD, mặt bên ACD là các tam giác đều cạnh bằng

1 và (BCD) ⊥ (ACD), với AB = 1

2

3

>

Bài toán 6 Cho mặt cầu (S) bán kính R, tìm hình nón (N) ngoại tiếp

mặt cầu sao cho (N) có thể tích nhỏ nhất

Bài giải

Đặt SI = x, x > R Ta có SO = x+ R,

SK = x2 −R2 Do ∆SIK~∆SAO

2 2

) (

R x

x R R SK

IK SO AO AO

) ( 3

.

3

1

2 2

2 2

R x

x R R SO

−

+

= π π

⇒V(x) =

R x

x R R

x R x

R x x

f R

x

R Rx x

x

) (

3 2 )

(

2 2

Bảng biến thiên của f(x) trên khoảng (R; + ∞ )

Hàm số f(x) đạt GTNN trên khoảng (R; + ∞ ) tại x = 3R,

3

x R x R SO

OA

với 0 ≤ x ≤R Xét hàm số f(x) = (R2-x2)(R+x), x ∈

[0;R]

V lớn nhất⇔f(x) đạt GTLN Bài toán trở về việc tìm x∈[0 ; R] để f(x) đạt GTLN

8R

I O S

A B

x 0 1 f’(x)

f(x)

0

-0 -0

R x

R x

x = R/3 ∈ [0; R] Ta có f(0) = R3 , f(R) = 0, f(R/3) = 8R2/9.4R/3 =32R3/27

α α

α

cos sin 2 sin

.

cos 2 cos ,

cos

R SA

AO

R SA

SO R

= 4πR2(sin2 α +sinα )cos2 α = 4πR2(sin2 α +sinα )(1-sin2 α )

Stp lớn nhất ⇔ P = (sin2 α +sinα )(1-sin2 α ) lớn nhất

3 2

2 2

Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu có bán kính R có thể tích lớn nhất

khi chiều cao của nó bằng 2R3 Khi đó, thể tích của hình trụ là

3 3

0

3

2R

2R

I.2.2 Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích

Bài toán 9 Trong hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho Parabol (P): y = x2 và điểm A(-3; 0) Tìm M thuộc (P) sao cho đoạn AM nhỏ nhất, tìm giá trị đó Bài giải Cách 1. M ∈ (P) ⇒ M(a; a2) Ta có AM2 = (a+3)2 + a4 = a4+a2 + 6a + 9 Xét hàm số f(a) = a4+a2 + 6a + 9, a ∈ R f’(a) = 4a3+2a+6 = 2(2a3+a +3) = 0 ⇔a = -1 Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ⇒ Minf(a) = f(-1) = 5 ⇒M(-1; 1) Vậy AM nhỏ nhất bằng 5 khi M (-1 ; 1) Cách 2 M ∈ (P) ⇒ M(a; a2) Tiếp tuyến tại M có phương trình:y = 2ax-a2 (d), khoảng cách từ A đến (P) ngắn nhất khi AM ⊥ (d) ⇔AM ⊥ d Ta có AM = (a+ 3 ; a2 ); u d = ( 1 ; 2a) AM ⊥ d ⇔ AM.u d =0 a - -1 +

f’(a) f(a) - 0 +

+

+

(P)

Vậy AM nhỏ nhất bằng 5 khi M (-1 ; 1)

Bài toán 10 Trong hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho Elíp (E):

1

4

2

2

=

+ y

x và đường thẳng d: x+y - 4 = 0 Tìm N ∈ d, M ∈ (E) sao cho

MN nhỏ nhất.Tìm khoảng cách giữa d và (E)

Bài giải

Do d nằm phía trên (E) nên MN nhỏ nhất ⇒

M ∈ (E) và M nằm phía trên trục Ox

⇒ M∈(C): y= 2 4 2

2

1 4

1 − x = −x

⇒ M (x; 4 2

2

1

x

− ) ,x∈[-2 ; 2] Ta có:

d(M, d) =

2

4 4

2

−

−

x

Xét hàm số f(x)= 4 4

2

1 − 2 −

x , x∈[-2;2]

x

−

2

4

2 , x ≥ 0 ⇔16 -4x2 = x2 ⇔ x = 45

Ta có bảng biến

thiên:

Từ bảng biến thiên

⇒ f(x) ≥ 4 − 5 ⇒ Mind(M,d) = 4 − 5; khi M ( 45 ; 15 ),

0

x f’(x) f(x)

+ 0 -

-6 -2

-2

5 4 2

N ∈ d MN ngắn nhất ⇔ MN ⊥ d

5

1 4

; 5

Xét hệ trục toạ độ Oxy Giả sử trong hệ trục toạ độ này các điểm

Ai có toạ độ (xi ; yi); i = 1, n Các đường thẳng đi qua O có phươngtrình kx - y = 0

Khi đó tổng các bình phương khoảng cách từ Ai đến đường thẳng

f(k) =

2 1

2

1

) (

k

y kx

2 2

1

) 2

(

k

y y kx x

+

− ta có 1 k2

a c

+

− ≤ −c a ⇒ Maxf(k) = c, với

k =0

+

− , ta có f’(k) =

2 2

2

) 1

(

2 ) (

2

2

k

b c a

2bk2 - 2(a-c)k - 2b = 0 luôn có hai nghiệm k1, k2 và k1.k2 = -1

Ta có bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên ⇒ Maxf(f) = f(k1) Minf(k) = f(k2) vì k1k2 = -1nên ∆1 ⊥ ∆2

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có ∆1 ⊥ ∆2 Đó là đpcm

Bài toán 12 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường

thẳng ∆ là giao hai mặt phẳng (P): x + y – 1 = 0, (Q): x y z+ + − = 3 0,và hai điểm A(1; -2; -1), B(2- 2; 2; -3 ) Tìm M thuộc ∆ sao cho AM +

t y x

f’(t) = 222 9 2 22(+123)+22

+ +

t t

t

; f’(t) = 0 ⇔ t = −59 Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên⇒Min f(t) = 43 đạt được tại t = a2 +b2 ⇔M(2;

Dùng phương pháp hình học không gian tổng hợp:

B1: Tìm toạ độ hình chiếu A1 của A lên ∆; B1 lên ∆

B2: Tính độ dài AA1; BB1 từ đó suy ra điểm N chia A1B1 theo tỉ

Bài toán 13 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Lấy hai

điểm M và N theo thứ tự trên AC và A’B sao cho AM = A’N = t (0 ≤ t

≤ a 2) Tìm GTNN của M khi M, N lần lượt chuyển động trên AC,A’B

43

sao cho O trùng B’,trục Ox chứa A’ ,

trục Oy chứa C’ trục Oz chứa B (hình bên)

; 0

MN2 =

2 2

Bài giải

Xét nur1 = (1;1;1),nuur2 = − (1; 1;1), ta có n nur uur1 , 2  = (2;0; 2) − , N(1; 0; 0) thuộc ∆ nên ∆

có véctơ chỉ

phương (1;0;-1) suy ra phương trình tham số của ∆:

1 0

BM = + − −t t BA= − −

suy ra , (2 ; 2 2 ; 4 )

Vậy khoảng cách từ A tới d lớn nhất bằng 11khi t = -2 ứng với

M(-1;0;2) và nhỏ nhất bằng 13 khi t =2 ứng với M(3;0;-2) Hai đườngthẳng cần tìm ứng với GTLN, GTNN lần lượt có phương trình là:

3

t - ∞ -2 2 +∞

f’(t) + 0 - 0 +

Bài toán 15 Cho mặt phẳng (α): x+y-z+1 = 0 và đường thẳng d làgiao hai mặt phẳng

( ) :P x y z+ + − = 3 0;( ) : 2Q x y z− − − = 2 0 Trong các đường thẳng đi qua 1;2) và song song với mặt phẳng (α ) viết phương trình đường thẳng ∆

A(1;-sao cho khoảng cách giữa ∆ và d lớn nhất

Trường hợp 1: a = 0 ⇒b = c Chọn b = 1 thì c = 1 Đường thẳng ∆ có

phương trình:

1 1 2

là

∆:

1 1 2

h x x V

b) Diện tích của mảnh các tông dùng làm hộp là

0 ,

2000 )

( 4

)

x x

x S hx x

) ( '

;

0

, ) 1000 (

2 2000 2

)

(

3 2

S x

x

x x

a)Hãy biểu diễn bán kính r của hình tròn đáy và đường cao h của

x 0 10 + S’(x)

S(x)

0

+ +

300

x 0 2 V’(x)

V(x)

0

-b)Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất, và tính giá trị lớn nhấtđó

2

R x R R r

π π

π

24 3

3

4

) 3 8 (

x x

R

−

− π

0 5 10

f’(x) f(x)

) 10 ( 4

1

x x

x x

100

5 100

5

x

x x