Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (LA tiến sĩ)

Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (LA tiến sĩ)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (LA tiến sĩ)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (LA tiến sĩ)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (LA tiến sĩ)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (LA tiến sĩ)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (LA tiến sĩ)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (LA tiến sĩ)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (LA tiến sĩ)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (LA tiến sĩ)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (LA tiến sĩ)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (LA tiến sĩ)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (LA tiến sĩ)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (LA tiến sĩ)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (LA tiến sĩ)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (LA tiến sĩ)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (LA tiến sĩ)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (LA tiến sĩ)Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số (LA tiến sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 GS TSKH Nguyễn Văn Khang

2 TS Trần Đình Sơn

Hà Nội – 2017

E  hàm Mittag – Leffler hai tham số

Trung bình theo thời gian

x Đạo hàm theo thời gian của x

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi và chưa được công bố trong bất cứ công trình nào khác Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực

Bùi Thị Thuý

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến GS.TSKH Nguyễn Văn Khang và TS Trần Đình Sơn đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong suốt thời gian thực hiện luận án

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo đã tham gia giảng dạy và đào tạo trong quá trình học nghiên cứu sinh Tôi xin cảm ơn Viện Cơ học, Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành luận án

Tôi xin bày tỏ sự cảm ơn tới đơn vị công tác là Bộ môn Cơ lý thuyết, Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Mỏ - Địa chất đã ủng hộ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình làm nghiên cứu sinh

Xin cảm ơn ThS Dương Văn Lạc và Kỹ sư Trương Quốc Chiến, cảm ơn gia đình và bạn bè đã khích lệ, động viên và giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt luận án này

E  hàm Mittag – Leffler hai tham số

Trung bình theo thời gian

x Đạo hàm theo thời gian của x

MỤC LỤC

Lời cam đoan ……….………i

Lời cảm ơn ……… ii

Danh mục các từ viết tắt iii

Mục lục 1

Danh mục hình 3

Mở đầu 6

Chương 1 Mô hình đàn nhớt cấp phân số 11

1.1 Một số kiến thức bổ trợ ……… 11

1.1.1 Khái niệm và định nghĩa mở đầu đạo hàm và tích phân cấp nguyên 11

1.1.2 Hàm Gamma 12

1.1.3 Hàm Mittag – Leffler 16

1.1.4 Biểu thức hợp nhất giữa đạo hàm và tích phân cấp nguyên 18

1.2 Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số ……… 21

1.2.1 Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville 21

1.2.2 Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald – Letnikov 22

1.2.3 Định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Caputo 24

1.2.4 Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo hàm biến phức 25

1.2.5 Một số định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số khác 28

1.3 Mô hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính ……… 29

1.3.1 Mô hình Kelvin – Voigh cấp phân số (3 tham số c, k, α) 30

1.3.2 Mô hình Maxwell cấp phân số (3 tham số c, k, α) 31

1.3.3 Mô hình tuyến tính tiêu chuẩn cấp phân số (4 tham số c, k1, k2, α) 32

1.3.4 Mô hình đàn nhớt của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 33

1.4 Mô hình đàn nhớt cấp phân số phi tuyến ……… 35

1.5 Kết luận chương 1 ……… 38

Chương 2 Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp số 39

2.1 Phương pháp Newmark tính toán dao động của hệ động lực cấp ba………… 39

2.1.1 Ý tưởng của phương pháp Newmark 39

2.1.2 Tính toán dao động tuyến tính hệ cấp ba 41

2.1.3 Tính toán dao động phi tuyến hệ cấp ba 41

2.1.4 Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 42

2.2 Phương pháp Runge – Kutta tính toán dao động của hệ động lực cấp một… 51

2.2.1 Ý tưởng của phương pháp Runge – Kutta 51

2.2.2 Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 52

2.3 Kết luận chương 2……… 62

Chương 3 Tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp tiệm cận 64

3.1 Dao động cộng hưởng của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số ……… 64

3.1.1 Dao động cộng hưởng cưỡng bức của hệ Duffing cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 64

3.1.2 Dao động cộng hưởng của hệ van der Pol cưỡng bức cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 73

3.2 Dao động cộng hưởng tham số của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số ……… 82

3.2.1 Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát Coulomb và cản nhớt theo luật đạo hàm cấp phân số 82

3.2.2 Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát động và cản nhớt theo luật đạo hàm cấp phân số 95

3.3 Kết luận chương 3 ……… 108

Kết luận chung và những đóng góp mới của luận án 109

Danh mục các công trình đã công bố 111

Tài liệu tham khảo 112

DANH MỤC HÌNH

Hình 1.1 Chu tuyến L 26

Hình 1.2 Chu tuyến tích phân gồm L1, L2 và γ 27

Hình 1.3 Mô hình đàn hồi tuyến tính  0  E D    30

Hình 1.4 Mô hình nhớt tuyến tính cấp nguyên  1  .D    30

Hình 1.5 Mô hình nhớt tuyến tính cấp phân số  c D t 30

Hình 1.6 Mô hình Kelvin – Voigh 30

Hình 1.7 Phân tích lực 30

Hình 1.8 Mô hình Maxwell 31

Hình 1.9 Phân tích lực 31

Hình 1.10 Mô hình tuyến tính tiêu chuẩn 32

Hình 1.11 Phân tích lực 32

Hình 1.12 Mô hình ô tô 33

Hình 1.13 Phân tích lực 33

Hình 1.14 Mô hình giá treo ô tô 34

Hình 1.15 Phân tích lực 34

Hình 1.16 Mô hình cổ điển 35

Hình 1.17 Mô hình mới 35

Hình 1.18 Hệ dao động chịu kích động va đập 36

Hình 1.19 So sánh mô hình lý thuyết IIa và thực nghiệm với h = 30mm 37

Hình 1.20 So sánh mô hình lý thuyết IIIc và thực nghiệm với h = 60mm 38

Hình 2.1 Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân sốp0.5,a1.3,b0.5,c0.25, f  45 0 Hình 2.2 Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, sin 3 p a b c f t             46

Hình 2.3 Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số p0.5,a10,b1,c10 46

Hình 2.4 Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp

phân số p1.5,a1,b1,c1, f  49 0

Hình 2.5 Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp

phân số 1.5, 1, 1, 1, sin

3

  50

Hình 2.6 Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số p1.5,a10,b1,c10 51

Hình 2.7 Xấp xỉ tích phân bởi công thức hình thang 54

Hình 2.8 Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân sốp0.5,a1.3,b0.5,c0.25, f  56 0 Hình 2.9 Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, sin 3 p a b c f  t      57

Hình 2.10 Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số p1.5,a1,b1,c1, f  61 0 Hình 2.11 Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 1.5, 1, 1, 1, sin 3 p a b c f  t      61

Hình 2.12 Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số p1.5,a10,b1,c10 62

Hình 3.1 Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi 70

Hình 3.2 Đường cong biên độ tần số khi p 0;p0.25 71

Hình 3.3 Đường cong biên độ tần số khi p 1;p 71 0 Hình 3.4 Đường cong biên độ tần số khi p 1;p0.25 71

Hình 3.5 Đường cong biên độ tần số khi p 1;p0 72

Hình 3.6 Đường cong biên độ tần số khi E thay đổi 72

Hình 3.7 Đường cong biên độ tần số kết hợp MPS khi p 0.5;p0.5 73

Hình 3.8 Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi 79

Hình 3.9 Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi 79

Hình 3.10 Đường cong biên độ tần số khi p 0;p0.5 80

Hình 3.11 Đường cong biên độ tần số khi p 1;p0.25 80

Hình 3.12 Đường cong biên độ tần số khi p 1;p0.5 81

Hình 3.13 Đường cong biên độ tần số khi p 1;p0.75 81

Hình 3.14 Đường cong biên độ tần số khi E thay đổi 82

Hình 3.15 Đường cong biên độ tần số kết hợp MPS khi p 1;p0.5 82

Hình 3.16 Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi 92

Hình 3.17 Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi 93

Hình 3.18 Đường cong biên độ tần số khi h thay đổi 93 0 Hình 3.19 Đường cong biên độ tần số khi p 0.01;p0.5 94

Hình 3.20 Đường cong biên độ tần số khi MPS p 0.01;p0.5 94

Hình 3.21 Đường cong biên độ tần số khi p 0;p0.5 94

Hình 3.22 Đường cong biên độ tần số MPS khi p 0;p0.5 95

Hình 3.23 Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi 104

Hình 3.24 Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi 105

Hình 3.25 Đường cong biên độ tần số khi h thay đổi 105 2 Hình 3.26 Đường cong biên độ tần số khi p 0;p0.5;h2 0.01 106

Hình 3.27 Đường cong biên độ tần số khi p 0.01;p0.5;h2 0.01 107

Hình 3.28 Đường cong biên độ tần số khi p 0.01;p0.5;h2 0.1 107

Hình 3.29 Đường cong biên độ tần số MPS khi p 0.01;p0.5;h2 0.005 108

MỞ ĐẦU

1 Lý do lựa chọn đề tài

Trong kỹ thuật, nhiều máy và công trình được thiết kế, cấu tạo dựa trên các

mô hình giảm chấn đàn nhớt cấp nguyên Kelvin-Voigt, mô hình Maxwell và mô hình tuyến tính tiêu chuẩn…Tuy nhiên với sự phát triển của khoa học công nghệ nói chung và cơ học nói riêng, càng ngày càng có nhiều vật liệu mới ra đời (như cao su tổng hợp, silicone…), những mô hình đàn nhớt cổ điển với đạo hàm cấp nguyên không thể hiện được đầy đủ tính chất của vật liệu Do đó xuất hiện các mô hình đàn nhớt cấp phân số

Với các vật liệu mới, các mô hình giảm chấn được tính toán với phần tử đạo hàm cấp phân số Từ các bài toán thực tế ta đã biết rằng đối với những biến dạng lớn, tính phi tuyến của vật liệu xuất hiện Quy luật dao động của cơ hệ không còn đơn thuần là quy luật tuyến tính, thay vào đó là quy luật phi tuyến Do đó các nhà khoa học cần phải có sự nghiên cứu chuyên sâu về dao động phi tuyến của cơ hệ có đạo hàm cấp phân số để thiết kế những công trình, máy móc tối ưu phục vụ nhu cầu cuộc sống Việc thiết lập và giải các phương trình vi phân mô tả đặc tính dao động phi tuyến của cơ hệ là rất cần thiết trong kỹ thuật hiện đại

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu các hệ dao động cơ học được biểu diễn về mặt toán học bởi các phương trình vi phân có chứa đạo hàm cấp phân

số Cụ thể, tìm nghiệm của các phương trình vi phân dao động phi tuyến của một số

hệ đàn nhớt có chứa đạo hàm cấp phân số

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các hệ dao động được biểu diễn bởi các phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số Các hệ cơ học được mô

tả về mặt toán học bằng các phương trình vi phân cấp ba được gọi là các hệ động lực cấp ba Thuật ngữ này do GS.Nguyễn Văn Đạo sử dụng đầu tiên ở nước ta

Nội dung nghiên cứu là sử dụng phương pháp số Newmark, phương pháp số Runge – Kutta và phương pháp tiệm cận tìm nghiệm phương trình vi phân dao động phi tuyến của một số cơ hệ đàn nhớt cấp ba có đạo hàm cấp phân số, tìm ra tính chất dao động mới của cơ hệ

4 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

Lý thuyết về đạo hàm cấp không nguyên được đề cấp đến trong ghi chú của Leibniz gửi tới L’Hospital [44] vào ngày 30 tháng 09 năm 1695, trong đó ý nghĩa

về đạo hàm cấp ½ đã được thảo luận

Khi trả lời câu hỏi của L’Hospital, biểu thức đạo hàm

n n

Năm 1819, lần đầu tiên khái niệm đạo hàm cấp n với n là số tùy ý được đề

cập đến Trong cuốn sách về phép tính vi phân và tích phân dày hơn 700 trang của Lacroix, ông đã để gần hai trang bàn về đề tài này Ông đã trình bày cách tính đạo hàm   n

m  )

Khoảng giữa các năm 1832 đến 1835, Liouville đã công bố một vài bài báo

về vấn đề này Năm 1847, Riemann đã đưa ra định nghĩa đạo hàm cấp phân số dựa theo các công trình của Liouville Năm 1967, Caputo đưa ra một phương án mới về định nghĩa đạo hàm cấp phân số

Trong vòng ba thế kỷ, lý thuyết về đạo hàm cấp phân số được phát triển chủ yếu như là một lĩnh vực lý thuyết thuần tuý của toán học và chỉ hữu ích cho các nhà toán học Tuy nhiên, một vài thập kỷ gần đây, nhiều tác giả đã chỉ ra rằng đạo hàm

và tích phân cấp không nguyên rất phù hợp cho sự mô tả tính chất của các vật liệu thực khác nhau, chẳng hạn như polymer Họ cũng chỉ ra rằng những mô hình cấp phân số mới thích hợp hơn những mô hình cấp nguyên đã được sử dụng trước đó

Sự xem xét về mặt vật lý càng cho thấy việc sử dụng các mô hình dựa trên đạo hàm cấp không nguyên là hợp lý và phù hợp [15]

Đạo hàm cấp phân số cung cấp một công cụ mới để mô tả bộ nhớ và tính chất di truyền của những vật liệu và quá trình khác nhau Đây là ưu điểm chính của đạo hàm cấp phân số so với những mô hình đạo hàm cấp nguyên cổ điển, trong đó những ảnh hưởng như vậy trong thực tế bị bỏ qua

Việc mô hình toán học và mô phỏng các cơ hệ và các quá trình, dựa trên sự

mô tả những tính chất của chúng thông qua đạo hàm cấp phân số, tất nhiên sẽ dẫn tới những phương trình vi phân cấp phân số và dẫn tới sự cần thiết phải giải những phương trình như vậy Tuy nhiên, không thể tìm được những phương pháp tổng quát để giải

Vài thập kỷ gần đây, nhiều ứng dụng của đạo hàm cấp phân số trong lĩnh vực

cơ học đã được quan tâm nghiên cứu Ví dụ những bài báo cổ điển của Bagley và Torvik [71], Caputo [13], Caputo và Mainardi ([15], [16]) (bốn bài báo này đề cập đến việc thiết lập mô hình của tính chất cơ học các vật liệu), Chern [17], Diethelm

và Freed ([22], [23]), Freed và Luchko [24] (mô hình trạng thái của những vật liệu đàn nhớt và nhớt dẻo dưới ảnh hưởng của ngoại lực), Gaul, Klein, và Kempfle [31] (mô tả sự tắt dần của những hệ cơ học) và Shaw, Warby, Whiteman [62] (mô hình của những vật liệu đàn nhớt)…

Những ý tưởng về việc chèn đạo hàm cấp phân số vào việc thiết lập những phương trình kết cấu của vật liệu đã được thử nhiều lần trong suốt nhiều thập kỷ qua Nutting ([49], [50], [51], [52]) là một trong những nhà nghiên cứu đầu tiên nghĩ rằng hiện tượng chùng (relaxation) ứng suất có thể được mô hình thông qua thời gian bậc phân số Gemant ([33], [34]) nhận thấy rằng độ cứng tắt dần của vật liệu đàn nhớt đã xuất hiện tỷ lệ với bậc phân số của tần số Sau đó, ông ấy cũng đề xuất những vi phân cấp phân số theo thời gian có thể mô hình hoá trạng thái cơ học của vật liệu Scott Blair và Caffyn [61] nghiên cứu chi tiết hơn việc sử dụng đạo hàm cấp phân số để mô hình mối quan hệ ứng suất – biến dạng Caputo ([12], [13], [14]), Caputo và Mainardi [16] chỉ ra mối quan hệ quy luật kết cấu sử dụng phép tính phân số có thể mô tả tính chất đàn nhớt và tính chất cơ học của tầng địa chất và một số kim loại, thuỷ tinh Sau những năm 1970, sự nghiên cứu một cách cẩn thận

và toàn diện các mô hình vật liệu đàn nhớt bằng phép tính phân số được thấy rõ hơn Bagley và Torvik [8] đã xem xét lại các bài báo liên quan đến ứng dụng của

phép tính phân số đối với tính đàn nhớt Họ đã chỉ ra rằng những mô hình tính toán đạo hàm cấp phân số của vật liệu đàn nhớt là phù hợp với lý thuyết mô tả trạng thái của những vật liệu đàn nhớt Việc hiểu biết những hàm chùng và rão (relaxation and creep), va chạm tắt dần, đáp ứng dao động của vật liệu cấp phân số là một lĩnh vực quan trọng cho các kỹ sư ứng dụng Chẳng hạn Koeller [41] đã nghiên cứu những hàm chùng và rão cho những phần tử phân số thông qua những phương trình tích

phân Volterra với nhân Abelian

Caputo [14], Bagley và Torrik [9], Sakakibara [60], Zhang và Shimizu [76]

đã nghiên cứu những tính chất va chạm, dao động và tắt dần của các bộ dao động với các toán tử phân số Những tính chất đặc biệt của chúng được nêu bật Những ứng dụng kỹ thuật của vật liệu đàn nhớt để khử va chạm và dao động được nghiên cứu bởi Gaul và Chen [32] và Tsai [72], Li và Tsai [45]

Những nghiên cứu của Sakakibara [60] trên bộ dao động phân số với đạo hàm cấp ½ nhấn mạnh tầm quan trọng của toán tử phân số trên những tính chất động lực học của cơ hệ Zhang và Shimizu [76] nghiên cứu một vài khía cạnh quan trọng về trạng thái tắt dần của bộ dao động đàn nhớt mô hình bởi quy luật kết cấu Kelvin – Voigt Baker [10] nghiên cứu một phương trình đạo hàm riêng của mô hình thanh đàn nhớt với quy luật Kelvin – Voigt

Tính chất phi tuyến trong trạng thái của vật liệu tồn tại khá nhiều Đối với vật liệu polymer có một sự phức tạp rất lớn là sự tương tác phụ thuộc thời gian sẵn có

và nguồn gốc của tính phi tuyến Sugimoto ([67], [68], [69], [70]) nghiên cứu bài toán giá trị đầu của phương trình Burgers liên quan đến đạo hàm cấp phân số ½ Nghiên cứu chỉ ra rằng đạo hàm cấp phân số cho thấy sự nổi bật của tính không liên tục nhưng không cho phép kiểm tra độ dốc phi tuyến Nhiều vật liệu giảm chấn được phát triển và sử dụng những điều kiện chuyển tiếp ở mức độ cao của biến dạng trong đó đáp ứng của chúng là phi tuyến một cách rõ ràng Sackman và Kelly [59], Papoulia và Kelly [54] xây dựng quan hệ kết cấu phi tuyến của vật liệu trong miền thời gian để tính toán trạng thái phi đàn hồi và sự hư hại của vật liệu đàn nhớt sử dụng bộ giảm chấn Họ giải thích thành công những kết quả của thực nghiệm Rossikhin và Shitakova [58] nghiên cứu chi tiết động lực học phi tuyến liên quan đến tính đàn nhớt N Gil – Negrete [35] nghiên cứu mô hình vật liệu cao su phi tuyến kết hợp với tính đàn nhớt cấp phân số

Hiện nay ở trong nước, một số tạp chí chuyên ngành Toán và Cơ học có đăng một số công trình nghiên cứu về đạo hàm cấp phân số nhưng còn ít và chủ yếu nghiên cứu về mặt toán học Trên tạp chí Toán học có các nghiên cứu về quy luật luỹ thừa cho sự khuếch tán phân số, phương pháp Possion [36] và đó là các công trình của các tác giả nước ngoài

Trong luận án, tác giả đã áp dụng các phương pháp số Newmark, phương pháp Runge – Kutta và phương pháp tiệm cận để tính toán dao động phi tuyến của

hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số

Cấu trúc của luận án gồm: Phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận chung và những đóng góp mới của luận án

Chương 1: “Mô hình đàn nhớt cấp phân số” Trong chương này giới thiệu một số kiến thức bổ trợ, các định nghĩa của đạo hàm và tích phân cấp phân số, mô hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính và phi tuyến Từ đó cho ta một cái nhìn tổng quan về đạo hàm và tích phân cấp phân số và các mô hình đàn nhớt cấp phân số

Chương 2: “Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp số” Trong chương này áp dụng hai phương pháp số Newmark

và phương pháp số Runge – Kutta tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số, sau đó so sánh kết quả giữa hai phương pháp số

Chương 3: “Tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp tiệm cận” Trong chương này áp dụng phương pháp tiệm cận tính toán dao động cộng hưởng cưỡng bức của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số (hệ Duffing và hệ van der Pol), tính toán dao động cộng hưởng tham số của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số (hệ có ma sát Coulomb và hệ có ma sát động) Với mỗi

cơ hệ, nghiệm xấp xỉ của dao động cộng hưởng, điều kiện ổn định của nghiệm dừng dựa trên lý thuyết Lyapunov được khảo sát Từ kết quả mô phỏng số, nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số của đạo hàm cấp phân số đối với đường cong biên độ tần số, điều kiện ổn định của hệ, so sánh giữa hệ có đạo hàm cấp nguyên và đạo hàm cấp phân số

CHƯƠNG 1 MÔ HÌNH ĐÀN NHỚT CẤP PHÂN SỐ

Chương 1 trình bày một số định nghĩa về đạo hàm và tích phân cấp phân số của các tác giả khác nhau Đó là các định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville, theo Grünwald – Letnikov, theo Caputo, theo hàm biến phức, theo Weyl, theo Miller – Ross Sử dụng định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville, luận án đã trình bày mối quan hệ giữa định nghĩa này với các định nghĩa khác về đạo hàm và tích phân cấp phân số Phần tiếp theo của chương trình bày một số mô hình đàn nhớt cấp phân số trong các hệ dao động

1.1 Một số kiến thức bổ trợ

1.1.1 Khái niệm và định nghĩa mở đầu đạo hàm và tích phân cấp nguyên

Chúng ta sử dụng n và N là những số nguyên dương, , , , , p q r   và Q là

những số bất kỳ Cho một hàm số f t  Ta ký hiệu đạo hàm cấp 1, cấp 2, , cấp

n,…của hàm f t như sau  

  2    

2

, , , ,

n n

, , , ,

n n

t

f t dt dt

Khi giới hạn dưới khác 0, các tích phân sẽ được viết

1.1.2.1 Định nghĩa hàm Gamma hay tích phân Euler loại 2

Với s > 0 ta có định nghĩa hàm Gamma (tích phân Euler loại 2)

Định nghĩa trên có được bằng phép đổi biến u log t  trong định nghĩa ban đầu của Euler

  1    1 0

1.1.2.3 Công thức cơ bản thứ 2 của hàm Gamma và hàm Beta

Hàm Beta (tích phân Euler loại 1) có dạng

1.1.2.4 Hàm Gamma có thể xem như giới hạn của một tích

x e

s n

s n

1.1.2.5 Hàm Gamma và hệ số của nhị thức Newton

a Hàm Mittag – Leffler một tham số

Như đã biết khai triển Taylor của hàm x

z z

Hàm này đã được giới thiệu bởi Mittag-Leffler năm 1903

Với một số giá trị của  ta có các hàm Mittag – Leffler

1

2

3 2

3

1 2

1,1,cosh ,

b Hàm Mittag-Leffler hai tham số

Hàm Mittag-Leffler hai tham số đóng vai trò rất quan trọng trong phép tính không nguyên Kiểu hàm này được đưa ra bởi R.P.Agarwal và Erdelyi vào năm 1953-1954

Hàm hai tham số được định nghĩa

2 2,2

cosh ,

sinh1

! 22

f t t   E  at

 

!

 

1 ,1

1 ,1

Đầu tiên, ta có định nghĩa đạo hàm cấp 1 của hàm f t  

Bởi các hệ số trong những phương trình trên gần giống với hệ số nhị thức

Newton, ta có thể viết đạo hàm cấp n

Giả thiết rằng tất cả các đạo hàm đều tồn tại và  t tiến tới 0 liên tục, nghĩa

là tất cả những giá trị của nó đều tiến tới 0 Đối với sự biểu diễn hợp nhất với tích phân, ta sẽ cần có một giới hạn chặt Để làm được điều này, chia khoảng t a

1.1.4.2 Tích phân nhiều lớp của một hàm số

Bây giờ chú ý vào biểu thức tích phân n lớp của f t Vì một tích phân cấp  nguyên được định nghĩa qua diện tích, ta biểu diễn nó với tổng Riemann

0

N

t t

a a N

a a a N

1.1.4.3 Sự hợp nhất giữa toán tử đạo hàm cấp n và tích phân n lớp

Bây giờ thay n n   với n nhận giá trị âm thì phương trình (1.57) có dạng

 

1 0

Trong đó n nhận cả giá trị nguyên âm và dương

1.2 Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số

1.2.1 Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville

Công thức tích phân Cauchy có dạng

t

n n

Mở rộng khái niệm tích phân với giá trị không nguyên của n, thay thế số nguyên n bằng số thực p0 trong công thức tích phân Cauchy (1.63) [55]

(1.65) được gọi là đạo hàm cấp phân số theo Riemann – Liouville

1.2.2 Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald – Letnikov

Công thức (1.62) đúng với mọi n tùy ý, từ đó suy ra định nghĩa về đạo hàm

và tích phân cấp phân số theo Grünwald – Letnikov với p là số thực tùy ý

1lim

1.2.2.2 Sự tương đương giữa các định nghĩa đạo hàm theo Riemann – Liouville và Grünwald – Letnikov

Ta có định nghĩa tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville

1 1

1

0 0

t a p a

j n

Điểm khác nhau giữa định nghĩa đạo hàm cấp phân số Riemann – Liouville

và Caputo là đạo hàm Caputo của một hằng số bằng 0 Trong khi đó với giá trị xác

định của cận dưới a, đạo hàm Riemann – Liouville của một hằng số C khác 0

1 

p

R p a

f a j n ta có hai định nghĩa trùng nhau

1.2.4 Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo hàm biến phức

Nếu f z là hàm đơn trị và giải tích trong miền mở A của mặt phẳng phức,  

và nếu A là miền mở bên trong A bị chặn bởi đường cong đóng trơn C, khi đó với

điểm z bất kỳ trong Atích phân Cauchy có dạng

n

n C

f n

Nếu n là số bất kỳ (ký hiệu là p), điểm z là điểm phân nhánh và không phải là

cực của hàm tích phân trong biểu thức (1.88) Đường cong đóng C không còn là

một tuyến phù hợp Do đó, dựng một nhát cắt dọc trục thực từ điểm z tới 

Trong hình (1.1), giả sử z là một số thực dương, ký hiệu là x Định nghĩa p  

và L L là đoạn thẳng 1, 2 a x,  Những đoạn này đồng nhất thành một đoạn của r

trục thực trong mặt phẳng  nhưng khác nhau trong diện Riemann đối với  p 1

Hình 1.2 Chu tuyến tích phân gồm L1, L2 và γ

1 sin 1

x

p p

a

a

x

p a

1.2.5 Một số định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số khác

1.2.5.1 Đạo hàm cấp phân số dạng dãy (dạng Miller – Ross)

n

n p p

1.2.5.2 Định nghĩa dạng Weyl (tích phân Weyl)

Xuất phát từ định nghĩa Riemann – Liouville, cho a  ta có định nghĩa dạng Weyl [55]

,1

k t

t n

1.3 Mô hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính

Ta thường sử dụng các mô hình lưu biến như một sự hỗ trợ trong việc công thức hoá cách đối xử đàn nhớt tuyến tính đơn trục Lợi ích của phương pháp này là dẫn đến việc công thức hoá định luật đối xử mà nó thoả mãn một cách tự động các nguyên lý của nhiệt động học Ở đây chỉ đưa ra một vài chỉ dẫn về những mô hình

đàn nhớt liên quan đến việc áp dụng cho tính toán kết cấu trong kỹ thuật Đàn nhớt tuyến tính là sự hợp thành từ các mô hình: đàn hồi tuyến tính (hình 1.3), nhớt tuyến tính cấp nguyên (hình 1.4) và nhớt tuyến tính cấp phân số (hình 1.5) Với σ là ứng suất,  là biến dạng, E là môđun đàn hồi khi kéo hoặc nén (đặc trưng cho độ cứng của vật liệu), η và c là hệ số cản nhớt

Hình 1.5 Mô hình nhớt tuyến tính cấp phân số  c D t

1.3.1 Mô hình Kelvin – Voigh cấp phân số (3 tham số c, k, α)

Hình 1.6 Mô hình Kelvin – Voigh Hình 1.7 Phân tích lực

Từ phương trình (1.105), (1.106) ta có phương trình vi phân chuyển động

  t      

1.3.2 Mô hình Maxwell cấp phân số (3 tham số c, k, α)

Hình 1.8 Mô hình Maxwell Hình 1.9 Phân tích lực

Lực tác động lên 2 phần tử đàn hồi và phần tử nhớt là như nhau, độ dịch chuyển toàn phần bằng tổng các dịch chuyển thành phần Do đó ta có

R t R R

1.3.3 Mô hình tuyến tính tiêu chuẩn cấp phân số (4 tham số c, k 1 , k 2 , α)

giá trị lực tác dụng lên lò xo k và giảm chấn c 2

1.3.4 Mô hình đàn nhớt của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số

Ví dụ 1 Thiết lập phương trình vi phân dao động của ô tô (hình 1.12)

Hình 1.12 Mô hình ô tô

Hình 1.13 Phân tích lực

Gọi x và u là dịch chuyển của vật và bánh xe Giả thiết độ cứng của lót trục

có thể được biểu diễn bằng một lò xo tương đương với độ cứng k với độ dịch chuyển được ký hiệu là z

Ta có định luật 2 Newton

mx t  R t , (1.120)

Trong đó m là khối lượng của vật, x t là độ dịch chuyển,   R t là nội lực  sinh ra bên trong vật thể đàn nhớt

Giá trị lực R t bằng tổng giá trị lực   R tác dụng lên giảm chấn 1 c và lực R1 2

tác dụng lên lò xo k hay giảm chấn c2

R t R1R2, (1.121)

R2 R2  k R2  c2 , (1.122) Trong đó

c2

Ví dụ 2 Thiết lập phương trình vi phân dao động của giá treo ô tô (hình 1.14)

Hình 1.14 Mô hình giá treo ô tô

 

Trong đó R R là nội lực sinh ra bên trong vật thể đàn nhớt 1, 2

Giá trị lực R bằng tổng giá trị lực tác dụng lên giảm chấn 2 c và lực tác dụng 2

lên lò xo k

R1 c x1 1x2, (1.130)

R2 R2  k R2  c2 , (1.131) Trong đó

1.4 Mô hình đàn nhớt cấp phân số phi tuyến

Hình 1.16 Mô hình cổ điển Hình 1.17 Mô hình mới