(Demo) Tài liệu Toán Dành cho Chuyên Lý

Bộ tài liệu các em đang đọc là tâm huyết do E.T.C biên soạn, biên tập và tổng hợp dành riêng cho các em học sinh lớp 10 Chuyên Lý với mục đích giúp các em học tốt các kiến thức Toán có

Chuyên đề 1 Vecto

Chuyên đề 2 Hệ trục tọa độ

Chuyên đề 3 Công thức lượng giác

Chuyên đề 4 Tọa độ phẳng

Chuyên đề 5 Hàm bậc hai và hàm số tổng quát

Chuyên đề 6 Giới hạn

Chuyên đề 7 Đạo hàm và ứng dụng

Chuyên đề 8 Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng Chuyên đề 9 Hàm số mũ – Hàm số Logarit và ứng dụng

Bộ tài liệu các em đang đọc là tâm huyết do E.T.C biên soạn, biên tập và tổng hợp dành riêng cho các em học sinh lớp 10 Chuyên Lý với mục đích giúp các em

học tốt các kiến thức Toán có liên quan và phục vụ trực tiếp cho việc giải các bài tập

Vật lý Chuyên, nâng cao,…

Để bộ tài liệu phát huy được hết giá trị mà nó mang lại, E.T.C khuyên các em nên sử dụng tài liệu kết hợp với bộ sách giáo khoa và sách bài tập (cơ bản hoặc

nâng cao) do Nhà xuất bản Giáo dục ban hành

E.T.C mong rằng, bộ tài liệu Toán này sẽ giúp được các em tiếp cận được với kiến thức Vật lý một cách nhanh nhất, dễ dàng nhất

Trong quá trình sử dụng tài liệu, nếu có khó khăn trong việc tự học, tự làm

bài tập hay có những ý kiến đóng góp cho E.T.C nói chung và bộ tài liệu nói riêng các em hãy liên lạc trực tiếp với E.T.C qua các kênh thông tin, liên lạc sau:

Facebook: www.facebook.com/etcgroup.edu.vn Website: www.etcgroup.edu.vn

www.tochucgiaoducetc.xyz Mail: etc.gddt@gmail.com

Hotline: 0964 595 404 – 0966 868 747 – 0946 595 404

Bên cạnh đó, E.T.C có các nhóm học tối đa 5 học sinh hoặc gia sư tại nhà, nếu các em có mong muốn tham gia học, hãy liên hệ tới E.T.C

E.T.C cảm ơn các em học sinh đã tin tưởng!

Ban biên tập

TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÀN CHUYÊN ĐỀ

1 Vecto là một đoạn thẳng có hướng

• Vecto có điểm đầu (gốc) là A và điểm

cuối (ngọn) là B ta ký hiệu vecto đó là

AB! "!

• Đường thẳng AB (đường thẳng d ) là

giá của vecto AB! "!

• Một vecto xác định nào đó có thể ký hiệu bằng một chữ in thường với

mũi tên như: a!, b!

, u!

, v!

, x!

, y! ,…

• Vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vecto-không

Ký hiệu: 0!, AA" !""

, XX" !""

,…

2 Các vecto cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau

• Vecto-không cùng phương với mọi vecto

• Các vecto AB! "! , CD! "!!

, EF! "!

, GH! "!!

là các vecto cùng phương

3 Các vecto cùng phương thì chúng cùng hướng

hoặc ngược hướng

• Vecto-không cùng hướng với

mọi vecto

• Các vecto AB! "! , EF! "!

là hai vecto cùng hướng

Ký hiệu AB! "! ↑↑ EF! "!

• Các vecto AB! "! , GH! "!!

là hai vecto ngược hướng

Ký hiệu AB! "! ↑↓ GH! "!!

4 Độ lớn (độ dài) của một vecto là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó

• Ký hiệu:

a

!

là độ lớn (độ dài) của vecto a!

•

AB

! "!

= AB = BA = BA! "!

•

0

!

= 0

5 Các vecto bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài

• Ký hiệu: a!= b! ta nói hai vecto a! và b! bằng nhau

6 Hai vecto đối nhau nếu cùng có cùng độ dài và ngược hướng

• Vecto a! và −a! là hai vecto đối nhau

• Vecto AB! "! và −AB! "! là hai vecto đối nhau

• Vecto AB! "! và BA! "! là hai vecto đối nhau

• Vecto a! và b! thỏa mãn a!↑↓ b! và

a

!

= b! nên a! và b! là hai vecto đối nhau

7 Tích của một số với một vecto

Với số thực k và vecto a! ta có ka! là một vecto thỏa mãn:

• Với k > 0 ta có ka!↑↑ a! và

ka

!

= k a!

• Với k < 0 ta có ka!↑↓ a! và

ka

!

= k a!

Hai đường thẳng AB và CD song song khi và chỉ khi AB! "! = kCD! "!!

Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB! "! = kAC! "!!

8 Quy tắc tính tổng (cộng) hai vecto a!= AB" !" và b!= BC" !" :

a

!

+ b!= AB" !" + BC" !" = AC" !""

• Phép cộng hai vecto có tính chất giao hoán, kết hợp

như phép cộng các số

• Tổng của một vecto với vecto-không bằng chính

vecto đó

9 Quy tắc hình bình hành

ABCD là hình bình hành ta có AB

! "!

+ AD! "!! = AC! "!!

10 Quy tắc trung điểm

M là trung điểm của đoạn thẳng AB ta có:

• MA! "!! + MB! "!! = 0"

• Với điểm O bất kỳ ta có OA! "!! +OB! "! = 2OM! "!!

11 Quy tắc trọng tâm

G là trọng tâm của ΔABC ta có:

• GA! "!! +GB! "! +GC! "!! = 0"

• Với điểm O bất kỳ ta có OA! "!! +OB! "! +OC! "!! = 3OG! "!!

12 Quy tắc hiệu của hai vecto a!= OA" !"" và b!= OB" !" :

a

!

−b!= OA" !""−OB" !" = BA" !"

13 Định lý Menelaus

Cho ΔABC , các điểm M, N, P lần lượt nằm trên các đường AB, BC, CA

Ba điểm M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi

MA

MB.

NB

NC.

PC

PA= 1

CÁC DẠNG BÀI TẬP

Vấn đề 1

Xác định một vecto từ điểm cho trước

Xác định sự cùng phương, hướng của các vecto

Xác định các vecto bằng nhau

Xác định các vecto đối nhau

Sử dụng kiến thức trong lý thuyết 1, 2, 3, 4, 5, 6

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD

a) Chỉ ra các đoạn thẳng được tạo ra từ bốn đỉnh của hình bình hành

b) Chỉ ra các vecto được tạo ra từ bốn đỉnh của hình bình hành

c) Chỉ ra các vecto cùng phương

d) Chỉ ra các vecto cùng chiều

e) Chỉ ra các vecto ngược chiều

f) Chỉ ra các vecto có độ lớn bằng nhau

g) Chỉ ra các vecto bằng nhau

h) Chỉ ra các vecto đối nhau

Lời giải

a) Các đoạn thẳng được tạo ra từ bốn điểm A,

B , C , D là: AB , AC , AD , BC , BD , CD

b) Các vecto được tạo ra từ bốn điểm A, B, C,

D là: AA! "!! , AB! "! , AC! "!! , AD! "!! , BA! "! , BB! "! , BC! "! ,

BD

! "!!

, CA! "!!

, CB! "!

, CC! "!

, CD! "!!

, DA! "!!

, DB! "!!

, DC! "!!

, DD! "!!

c) Ta có ABCD là hình bình hành nên AB//CD và AD//BC

• Do AB//CD nên ta có các vecto AA! "!!, BB! "!

, CC! "!

, DD! "!!

, AB! "!

, BA! "!

, DC! "!!

, CD! "!! cùng phương

• Do AD//BC nên ta có các vecto AA! "!!, BB! "!

, CC! "!

, DD! "!!

, AD! "!!

, DA! "!!

, BC! "!

, CB! "! cùng phương

d) Các vecto AA! "!!, BB! "!

, CC! "!

, DD! "!!

, AB! "!

, DC! "!!

cùng chiều

Các vecto AA! "!!, BB! "!

, CC! "!

, DD! "!!

, BA! "!

, CD! "!!

cùng chiều

Các vecto AA! "!!, BB! "!

, CC! "!

, DD! "!!

, AD! "!!

, BC! "! cùng chiều

Các vecto AA! "!!, BB! "!

, CC! "!

, DD! "!!

, DA! "!!

, CB! "! cùng chiều

Các vecto AA! "!!, BB! "!

, CC! "!

, DD! "!!

, AC! "!!

cùng chiều

Các vecto AA! "!!, BB! "!

, CC! "!

, DD! "!!

, CA! "!!

cùng chiều

Các vecto AA! "!!, BB! "!

, CC! "!

, DD! "!!

, BD! "!!

cùng chiều

Các vecto AA! "!!, BB! "!

, CC! "!

, DD! "!!

, DB! "!!

cùng chiều

e) Các vecto ngược chiều với AB! "! , DC! "!!

là BA! "! , CD! "!!

Các vecto ngược chiều với AD! "!! , CB! "!

là DA! "!!, BC! "!

Các vecto ngược chiều với AC! "!! là CA! "!!

Các vecto ngược chiều với BD! "!! là DB! "!!

f) Các vecto AA! "!!, BB! "!

, CC! "!

, DD! "!!

là các vecto có cùng độ lớn bằng 0

Các vecto AC! "!!, CA! "!!

là các vecto có cùng độ lớn

Các vecto BD! "!!, DB! "!!

là các vecto có cùng độ lớn

Ta có ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AD = BC

• Do AB = CD nên AB! "! , DC! "!!

, BA! "! , CD! "!!

là các vecto có cùng độ lớn

• Do AD = BC nên AD! "!! , CB! "!

, DA! "!!, BC! "!

là các vecto có cùng độ lớn

g) AB! "! = DC! "!! ; BA! "! = CD! "!! ; AD! "!! = BC! "! ; DA! "!! = CB! "!

h) Các vecto đối của AB! "! , DC! "!!

là BA! "! , CD! "!!

Các vecto đối của AD! "!!, CB! "!

là DA! "!!, BC! "!

Các vecto đối của AC! "!! là CA! "!!

Các vecto đối của BD! "!! là DB! "!!

Vấn đề 2

Xác định điểm, vecto từ các quy tắc tổng, hiệu, nhân với một số

Ví dụ Cho ΔABC

a) Dựng điểm D thỏa mãn ABCD là hình bình hành

b) Dựng điểm M và N lần lượt thỏa mãn MB! "!! + MC! "!! = 0" và

AN

! "!!

= 1

2AD

! "!!

c) Tính NC! "!! + MC! "!! ; AM! "!! + CD! "!! ; AD! "!! + NC! "!!

Lời giải

a) Để ABCD là hình bình hành thì

AB//CD

AB = CD

⎧

⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪ hay BA! "! = CD! "!!

Do đó, điểm D là điểm cuối (ngọn) của vecto CD! "!! thỏa mãn CD! "!! = BA! "!

b) Điểm M thỏa mãn MB! "!! + MC! "!! = 0", theo quy tắc trung điểm ta có M là trung điểm của BC

Điểm N thỏa mãn

AN

! "!!

= 1

2AD

! "!!

, theo quy

tắc nhân vecto với một số thực ta có N là

điểm cuối của vecto AN! "!! thỏa mãn AN! "!!

cùng chiều với AD! "!! do đó N nằm trên

đường thẳng AD cùng phía với điểm D so

với A và

AN =

1

2AD Suy ra N là trung điểm của AD

c) Tính NC! "!! + MC! "!! :

Vì M là trung điểm của BC nên

MC = BC2

N là trung điểm của AD nên

AN = AD2

ABCD là hình bình hành nên BC = AD và BC//AD Suy ra MC = AN và MN//AN do đó NC! "!! = AM! "!!

Ta có NC! "!! + MC! "!! = AM! "!! + MC! "!! = AC! "!!

Tính AM! "!! + CD! "!! :

AM

! "!!

+ CD! "!! = NC! "!! + CD! "!! = ND! "!!

Tính AD! "!! + NC! "!! :

AD

! "!!

+ NC! "!! = AD! "!! + AM! "!!

Cách 1 Áp dụng quy tắc trung điểm ta có AD! "!! + AM! "!! = 2AI! "! với I là trung điểm của DM , do đó AD! "!! + NC! "!! = 2AI! "! với I là trung điểm của DM

Cách 2 Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có AD! "!! + AM! "!! = AE! "! với E là đỉnh của hình bình hành ADEM

Vấn đề 3

Xác định và tính độ dài (độ lớn) của vecto

Ví dụ: Cho ΔOBC vuông cân tại O có OB = OC = a Dựng và tính độ dài của các

vecto sau:

a) OB! "! +OC! "!!

b) OB! "! −OC! "!!

c) 3OB! "! + 4OC! "!!

d)

11

4 OB

! "!

− 3

7OC

! "!!

Lời giải

a) OB! "! +OC! "!! = 2OI! "! với I là trung điểm của BC

OB

! "!

+OC! "!! = 2OI! "! = 2OI

ΔOBC vuông cân tại O có OB = OC = a , OI

là đường cao cũng là đường trung tuyến, ta

O

có:

OI =

BC

2 = OB2+OC2

2 Vậy

OB

! "!

+OC! "!! = a 2

2 b)

OB

! "!

−OC! "!! = CB! "! ⇔ OB! "! −OC! "!! = CB! "! = CB = a 2

Vậy

OB

! "!

−OC! "!! = a 2

c) Dựng OE! "! = 3OB! "! và OF! "! = 4OC! "!!

⇒ OE = 3OB = 3a

và OF = 4OC = 4a

3OB

! "!

+ 4OC! "!! = OE! "! +OF! "! = 2OM! "!! với

M là trung điểm của EF

3OB

! "!

+ 4OC! "!! = 2OM! "!! = 2OM

ΔOEF vuông tại O , OM là

đường trung tuyến ứng với cạnh

huyền EF , ta có:

OM =

EF

2 = OE2+OF2

2 = ( )3a 2

+ 4a( )2

2 Vậy

3OB

! "!

+ 4OC! "!! = 5a

2 d) Dựng

OD

! "!!

= 11

4 OB

! "!

và

OE

! "!

= 3

7OC

! "!!

⇒ OD =11

4 OB =

11

4 a

và

OE =

3

7OC =

3

7a

11

4 OB

! "!

− 3

7OC

! "!!

= OD! "!! −OE! "! = ED! "!!

11

4 OB

! "!

− 3

7OC

! "!!

= ED! "!! = ED

= OD2+OE2 = 11

4 a

⎛

⎝

⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟2+ 3

7a

⎛

⎝

⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟2 = a 6073

28

Vấn đề 4

Biểu diễn một vecto qua hai vecto không cùng phương

Ví dụ: Cho ΔOAB có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh OA, OB Biểu diễn các vecto OM! "!! , MN! "!!!

, AN! "!!

, MB! "!!

theo hai vecto OA! "!!, OB! "!

Lời giải

• Vì M là trung điểm của OA nên ta có

OM

! "!!

= 1

2OA

! "!!

= 1

2OA

! "!!

+ 0OB! "!

•

MN

! "!!!

= ON! "!! −OM! "!! = 1

2OB

! "!

− 1

2OA

! "!!

•

AN

! "!!

= ON! "!! −OA! "!! = 1

2OB

! "!

−OA! "!!

•

MB

! "!!

= OB! "! −OM! "!! = OB! "! − 1

2OA

! "!!

Vấn đề 5

Tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vecto

Ví dụ: Cho ΔABC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:

2 MA

! "!!

+ MB! "!! + MC! "!! = 3 MB! "!! + MC! "!!

Lời giải

• Lấy điểm I thỏa mãn IA! "!+ IB!"!+ IC!"!= 0" ta có I là trọng tâm ΔABC

• Lấy điểm J thỏa mãn JB!"!+ JC! "!= 0" ta có J là trung điểm của BC

•

MA

! "!!

+ MB! "!! + MC! "!! = MI! "!!+ IA! "!+ MI! "!!+ IB!"!+ MI! "!!+ IC!"!= 3MI! "!!+ IA(! "!+ IB!"!+ IC!"!)

= 3MI

! "!!

+ 0"= 3MI! "!!

•

MB

! "!!

+ MC! "!! = MJ! "!!+ JB!"!+ MJ! "!!+ JC! "!= 2MJ! "!!+ JB(!"!+ JC! "!)= 2MJ! "!!+ 0"= 2MJ! "!!

•

2 MA

! "!!

+ MB! "!! + MC! "!! = 3 MB! "!! + MC! "!! ⇔ 2 3MI! "!! = 3 2MJ! "!! ⇔ 2.3MI = 3.2MJ

⇔ MI = MJ

• Vì I, J là các điểm cố định đã xác được theo cách dựng Điểm M thỏa mãn

MI = MJ nên M luôn nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng IJ

Vậy tập hợp điểm M là trung trực của IJ

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Cho ΔABC

a) Dựng điểm M thỏa mãn

MC

! "!!

= 1

3MB

! "!!

b) Phân tích vecto AM! "!! theo hai vecto AB! "! và AC! "!!

c) Biểu diễn vecto AG! "!! theo các vecto CA! "!! và CB! "! , biết G là trọng tâm ΔABC d) Gọi CK là đường phân giác trong của ΔABC Biểu diễn vecto CK! "!! theo các vecto CA! "!!, CB! "!

Bài 2 Cho lục giác đều ABCDEF Hãy biểu diễn các vecto AC! "!!, AD! "!!

, AF! "!

, EF! "! theo các

vecto AB! "! và AE! "!

Bài 3 Cho hình thang ABCD , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Qua O

kẻ MN//AB ( AB là đáy của hình thang, M ∈ AD, N ∈BC ) Đặt AB! "!

= a, DC! "!! = b

Chứng minh rằng:

MN

! "!!!

= bAB

! "!

+ aDC! "!!

a + b

Bài 4 Cho ΔABC đều cạnh a Tính AB! "!! +AC! "!! ; AB! "!!−AC! "!!

Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính AB! "!!+AC! "!! +AD! "!!

Bài 6 Cho ΔABC đều cạnh a, trực tâm H Tính độ dài của các vectơ HA! "!!,HB! "!!,HC! "!!

Bài 7 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài của các vectơ AB! "!! +AD! "!! ,

AB

! "!!

+AC! "!! , AB! "!!−AD! "!!

Bài 8 Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến I là trung điểm của AM

a) Chứng minh: 2IA! "!+IB!"!+IC!"!=0"

b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA! "!! +OB! "! +OC! "!! =4OI! "!

Bài 9 Cho ΔABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là

tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh:

a) AH! "!! =2OM! "!!

b) HA! "!! +HB! "!!+HC! "!! =2HO! "!!

c) OA! "!!+OB! "! +OC! "!! =OH! "!!

Bài 10 Cho hai tam giác ABC và A′B′C′ lần lượt có các trọng tâm là G và G′